北師大新版八年級上學期

《3.3軸對稱與坐標變化》同步練習卷

一.解答題(共60小題)

1.如圖，在平面直角坐標系中，已知^ABC的三個頂點的坐標分別為A(-3,

5),B(-2,1),C(-1,3).

(1)若^ABC經過平移后得到已知點J的坐標為(4,0),寫出頂點

A。Bi的坐標；

(2)若4ABC和2c2關于原點O成中心對稱圖形，寫出4A2B2c2的各頂點

的坐標；

(3)將^ABC繞著點。按順時針方向旋轉90。得到4A3B3c3，寫出4A3B3c3的各

頂點的坐標.

2.在直角坐標系中，C(2,3),U(-4,3),C"(2,1),D(-4,1),A(0,

a),B(a,O)(a>0).

(1)結合坐標系用坐標填空.

點C與U關于點對稱；點C與C"關于點對稱；點C與D關于點

對稱；

(2)設點C關于點(4,2)的對稱點是點P,若4PAB的面積等于5,求a值.

3.在平面直角坐標系中，^ABC的三個頂點的坐標是A(-2,3),B(-4,-

1),C(2,0),將4ABC平移至△AiBiG的位置,點ABC的對應點分別是AiBiJ,

若點Ai的坐標為(3,1).則點J的坐標為.

4.(1)在平面直角坐標系中，將點A(-3,4)向右平移5個單位到點Ai，再

將點Ai繞坐標原點順時針旋轉90。到點A2.直接寫出點A1，A2的坐標；

(2)在平面直角坐標系中，將第二象限內的點B(a,b)向右平移m個單位到

第一象限點Bi，再將點Bi繞坐標原點順時針旋轉90。到點B2,直接寫出點Bi，

B2的坐標；

(3)在平面直角坐標系中.將點P(c,d)沿水平方向平移n個單位到點Pi，

再將點匕繞坐標原點順時針旋轉。到點直接寫出點的坐標.

90P2,P2

5.在平面直角坐標系中，點M的坐標為(a,-2a).

(1)當a=-l時，點M在坐標系的第象限；(直接填寫答案)

(2)將點M向左平移2個單位，再向上平移1個單位后得到點N,當點N在第

三象限時，求a的取值范圍.

6.如圖，在平面直角坐標系xOy中，4ABC三個頂點的坐標分別為A(-6,0),

B(6,0),C(0,4?),延長AC到點D,使CD=1AC,過點D作DE〃AB交

BC的延長線于點E.

(1)求D點的坐標；

(2)作C點關于直線DE的對稱點F,分別連接DF、EF,若過B點的直線y=kx+b

將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式；

(3)在第二問的條件下，設G為y軸上一點，點P從直線y=kx+b與y軸的交點

出發，先沿y軸到達G點，再沿GA到達A點，若P點在y軸上運動的速度

是它在直線GA上運動速度的2倍，試確定G點的位置，使P點按照上述要

求到達A點所用的時間最短.(要求：簡述確定G點位置的方法，但不要求證

明)

7.如圖，在直角坐標系中，RtAAOB的兩條直角邊OA,0B分別在x軸的負半

軸，y軸的負半軸上，且0A=2,OB=1.將Rt^AOB繞點。按順時針方向旋轉

90°,再把所得的像沿x軸正方向平移1個單位，得△CDO.

(1)寫出點A,C的坐標；

(2)求點A和點C之間的距離.

8.如圖，圖形中每一小格正方形的邊長為1,已知^ABC.

(1)AC的長等于；

(2)先將4ABC向右平移2個單位得到△AEC,則A點的對應點A，的坐標

是;

(3)再將4ABC繞點C按逆時針方向旋轉90。后得到△AiBiJ,則A點對應點

Ai的坐標是

9.在平面直角坐標系中，直線I過點M(3,0),且平行于y軸.

(1)如果^ABC三個頂點的坐標分別是A(-2,0),B(-1,0),C(-1,2),

△ABC關于y軸的對稱圖形是△AiBiG，△AiBiJ關于直線I的對稱圖形是△

A2B2C2,寫出AAZB2c2的三個頂點的坐標；

(2)如果點P的坐標是(-a,0),其中a>0,點P關于y軸的對稱點是Pi，

點Pi關于直線I的對稱點是P2,求PP2的長.

10.如果將點P繞定點M旋轉180。后與點Q重合，那么稱點P與點Q關于點M

對稱，定點M叫做對稱中心.此時，M是線段PQ的中點.如圖，在直角坐

標系中，/\人80的頂點A,B,O的坐標分別為(1,0),(0,1),(0,0).點

列Pi，P2,P3，…中的相鄰兩點都關于4人80的一個頂點對稱：點Pi與點P2

關于點A對稱，點P2與點P3關于點B對稱，點P3與點P4關于點O對稱，點

P4與點P5關于點A對稱，點P5與點P6關于點B對稱，點P6與點P7關于點O

對稱…對稱中心分別是A,B,O,A,B,0,…，且這些對稱中心依次循環.已

知點Pi的坐標是(1,1),試求出點P2，P7，Pioo的坐標.

11.在平面直角坐標系中，0為原點，點A(2,0),點B(0,近)，把4人80

繞點B逆時針旋轉，得△ABO，，點A,O旋轉后的對應點為A,0\記旋轉

角為a.如圖，若a=

90°,求AA的長.

12.在平面直角坐標系中，點B(m,n)在第一象限，m、n均為整數，且滿足

(1)求點B的坐標;

(2)將線段OB向下平移a個單位后得到線段OE,過點B，作BX±y軸于點C,

若3c0=29,求a的值；

(3)過點B作與y軸平行的直線BM,點D在x軸上，點E在BM上，點D從。

點出發以每秒鐘3個單位長度的速度沿x軸向右運動，同時點E從B點出發

以每秒鐘2個單位長度的速度沿BM向下運動，在點D、E運動的過程中，若

直線OE、BD相交于點G,且5<SAOGB<10,則點G的橫坐標xG的取值范圍

是.

13.在同一平面內，若一個點到一條直線的距離不大于1,則稱這個點是該直線

的“伴侶點”.

在平面直角坐標系中，已知點M(l,0),過點M作直線I平行于y軸，點A(-

1,a),點B(b,2a),點C(-工，a-1),將三角形ABC進行平移，平移后

2

點A的對應點為D,點B的對應點為E,點C的對應點為F.

(1)試判斷點A是否是直線I的“伴侶點”？請說明理由；

(2)若點F剛好落在直線I上，F的縱坐標為a+b,點E落在x軸上，且三角形

MFD的面積為工，試判斷點B是否是直線I的“伴侶點"？請說明理由.

12

14.(1)寫出點A、B的坐標.

(2)線段CD先向平移個單位長度，再向平移個

單位長度，平移后的線段與線段EG重合.

(3)已知在y軸上存在點P與G、F圍成的三角形面積為6,請寫出P的坐標.

15.如圖，在Rt^ABC中，ZB=90°,NACB=30。，其直角邊分別與坐標軸垂直,

已知頂點的坐標為A(遂，0),C(0,1).

(1)如果A關于BC對稱的點是D,則點D的坐標為；

(2)過點B作直線m〃AC,交CD連線于E,求4BCE的面積.

16.已知：△ABC與△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖.

(1)分別寫出B、B'的坐標：B；B，；

(2)若點P(a,b)是^ABC內部一點，則平移后△ABC內的對應點，的坐標

為;

(3)求4ABC的面積.

17.平面直角坐標系xOy中，有點P(a,b),實數a,b,m滿足以下兩個等式:

2a-3m+l=0,3b-2m-16=0

(1)當a=l時，點P到x軸的距離為；

(2)若點P落在x軸上，點P平移后對應點為P(a+15,b+4),求點P和，的

坐標；

(3)當aW4Vb時，求m的最小整數值.

18.如圖是一個平面直角坐標系.

(1)請在圖中描出以下6個點：A(0,2)、B(4,2)、C(3,4)

A(-4,-4)、B1(0,-4)、U(-1,-2)

(2)分別順次連接A、B、C和A、B'、C,得到三角形ABC和三角形AEU；

(3)觀察所畫的圖形，判斷三角形AEU能否由三角形ABC平移得到，如果能，

請說出三角形ABC是由三角形ABC怎樣平移得到的；如果不能，說明理由.

19.如圖，已知^ABC經過平移后得到△AiBiJ,點A與Ai，點B與Bi，點C

與G分別是對應點，觀察各對應點坐標之間的關系，解答下列問題：

(1)分別寫出點A與Ai，點B與Bi，點C與G的坐標；

（2）若點P（x,y）通過上述的平移規律平移得到的對應點為Q（3,5）,求p

20.在平面直角坐標系xOy中，點M的坐標為（3,-2）,線段AB的位置如圖

所示，其中點A的坐標為（7,3）,點B的坐標為（1,4）.

（1）將線段AB平移可以得到線段MN,其中點A的對應點為M（3,-2）,點

B的對應點為N,則點N的坐標為.

（2）在（1）的條件下，若點C的坐標為（4,0）,請在圖中描出點N并順次連

接BC,CM,MN,NB,然后求出四邊形BCMN的面積S.

L-I-----1--I-44

-I-----1—1—1—I------------k

T5Td-2“1

i—i—I-?--——+

21.如圖，三架飛機P、Q、R保持編隊飛行，30秒后飛機P飛到Pi的位置，飛

機Q、R飛到了新位置Qi、Ri,在直角坐標系中標出Qi、％,并寫出坐標.

22.如圖，已知在平面直角坐標系中，點P從原點0以每秒1個單位速度沿x

軸正方向運動，運動時間為t秒，作點P關于直線y=tx的對稱點Q,過點Q

作x軸的垂線，垂足為點A.

(1)當t=2時，求A0的長.

(2)當t=3時，求AQ的長.

(3)在點P的運動過程中，用含t的代數式表示線段AP的長.

23.已知點A(a,b)滿足心W+|b-2|=0,將點A向下平移3個單位長度得到

點B.

(1)求A、B的坐標；

(2)若點C(m,-3),SAABC=6,求C點的坐標.

24.在平面直角坐標系中，四邊形ABCD的頂點坐標分別為A(l,0)、B(5,0)、

C(3,3),D(2,4).

(1)求：四邊形ABCD的面積.

(2)如果把四邊形ABCD先向左平移3個單位，再向下平移1個單位得四邊形

A'BVD',求A1,B\C,D，點坐標.

25.如圖是由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格，線段AB的端點在格

點上.

(1)請建立適當的平面直角坐標系xOy,使得A點的坐標為(-3,-1),在此

坐標系下，寫出B點的坐標；

(2)在(1)的坐標系下將線段BA向右平移3個單位，再向上平移2個單位得

線段CD,使得C點與點B對應，點D與點A對應.寫出點C,D的坐標，并

直接判斷線段AB與CD之間關系？

且Ai(5,b)、Bi(a,3).

(1)將線段AiBi繞點Ai順時針旋轉60。得線段AIB2,連接B1B2得△A1B1B2，判

斷的形狀，并說明理由；

(2)求線段AB平移到A6】的距離是多少？

心

A

X

27.在平面直角坐標系中，已知點A的坐標為(-2,0),點B在y軸的正半軸

上，且OB=2OA,將線段AB繞著A點順時針旋轉90。，點B落在點C處.

(1)分別求出點B、點C的坐標.

(2)在x軸上有一點D,使得4ACD的面積為3,求：點D的坐標.

28.如圖，點。為平面直角坐標系的原點，點A在x軸上，△AOC是邊長為2

的等邊三角形.

(1)寫出△AOC的頂點C的坐標：.

(2)將△AOC沿x軸向右平移得到AOBD,則平移的距離是

(3)將△AOC繞原點。順時針旋轉得到△OBD,則旋轉角可以是度

(4)連接AD,交OC于點E,求NAEO的度數.

29.在平面直角坐標系中，線段AB的兩端點的坐標分別為A(-1,3),B(-3,

1),將線段AB向下平移2個單位，再向右平移4個單位得線段CD(A與D

對應，B與C對應).

(1)畫出線段AB與線段CD,并求點C、點D的坐標.

(2)求四邊形ABCD的面積

30.如圖，在平面直角坐標系中，已知^ABC的三個頂點的坐標分別為A(-3,

5),B(-2,1),C(-1,3)

(1)若^ABC經過平移后得到的△AiBiCi，已知點J的坐標為(4,0),寫出頂

點Ai，Bi的坐標；

(2)若4ABC和AAZB2c2關于原點O成中心對稱圖形，寫出4A2B2c2的各頂點

的坐標；

(3)將^ABC繞著點。按順時針方向旋轉90。得到4A3B3c3，寫出4A3B3c3的各

頂點的坐標.

(2)△ABC由△AEC，經過怎樣的平移得到？答：.

(3)若點P(x,y)是△ABC內部一點，則△ABC內部的對應點P1的坐標為

(1)請直接寫出B點、C點、P點的對應點瓦、Ci、Pi的坐標;

33.三角形ABC與三角形AEU在平面直角經標系中的位置如圖所示,三角形AEU

是由三角形ABC平移得到的.

（1）分別寫出點ABC的坐標；

（2）說明三角形ABC是由三角形ABC經過怎樣的平移得到的？

（3）若點F（a,b）是三角形ABC內的一點，則平移后三角形AEC內的對應點

為P，，寫出點P，的坐標.

34.如圖，△AEU是4ABC經過平移得到的，^ABC三個頂點的坐標分別為A

（-4,-1）,B（-5,-4）,C（-1,-3）,AABC中任意一點P（X1，正）

平移后的對應點為P'（xi+6,yi+4）

（1）請寫出三角形ABC平移的過程；

（2）寫出點A,C的坐標；

35.在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0,4）,線段MN的位置如圖所

示，其中點M的坐標為（-3,-1）,點N的坐標為（3,-2）.

（1）將線段MN平移得到線段AB,其中點M的對應點為A,點N的對稱點為B.

①點M平移到點A的過程可以是：先向平移個單位長度，再向

平移個單位長度；

-a),線段EF兩端點坐標為(-m,a+1),F(-m,1),(2a>m>a)；直線

軸交x軸于P(a,0),且線段EF與CD關于y軸對稱，線段CD與NM關

于直線I對稱.

(1)求點N、M的坐標(用含m、a的代數式表示)；

(2)AABO與AMFE通過平移能重合嗎？能與不能都要說明其理由，若能請你

說出一個平移方案(平移的單位數用m、a表示)

37.(1)在如圖所示的平面直角坐標系中表示下面各點：

A(0,3)；B(5,0)；C(3,-5)；D(-3,-5)；E(3,5)；

(2)A點到原點的距離是

(3)將點C向x軸的負方向平移6個單位，它與點重合.

(4)連接CE,則直線CE與y軸是什么位置關系？

(5)點D分別到x、y軸的距離是多少？

38.如圖，直角坐標系中，△ABC的頂點都在網格點上，其中，(:點坐標為(1,

2).

(1)填空：點A的坐標是，點B的坐標是;

(2)將AABC先向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到△

AEU.請寫出△AEC的三個頂點坐標；

(3)求4ABC的面積.

39.將△ABC向右平移4個單位長度，再向下平移5個單位長度,

(1)作出平移后的△AEC.

(2)求出△AEC的面積.

_l.ftl_________

40.在直角坐標平面內，已點A(3,0)、B(-5,3),將點A向左平移6個單

位到達C點，將點B向下平移6個單位到達D點.

(1)寫出C點、D點的坐標：C,D；

(2)把這些點按A-B-C-D-A順次連接起來，這個圖形的面積是

41.如圖，長方形OABC中，O為平面直角坐標系的原點，A點的坐標為(4,0),

C點的坐標為(0,6),點B在第一象限內，點P從原點出發，以每秒2個單

位長度的速度沿著O-A-B-C-O的路線移動(即：沿著長方形移動一周).

(1)寫出點B的坐標().

(2)當點P移動了4秒時，描出此時P點的位置，并求出點P的坐標.

(3)在移動過程中，當點P到x軸距離為5個單位長度時，求點P移動的時間.

42.如圖，已知單位長度為1的方格中有個^ABC.

(1)請畫出^ABC向上平移3格再向右平移2格所得△AEU.

(2)請以點A為坐標原點建立平面直角坐標系(在圖中畫出)，

然后寫出點B、點口的坐標：B(，)；B，(，)

43.已知點P(2a-12,1-a)位于第三象限，點Q(x,y)位于第二象限且是

由點P向上平移一定單位長度得到的.

(1)若點P的縱坐標為-3,試求出a的值；

(2)在(1)題的條件下，試求出符合條件的一個點Q的坐標；

(3)若點P的橫、縱坐標都是整數，試求出a的值以及線段PQ長度的取值范

圍.

I

?Ox

1

■

?---------

P(2a-12.1-a)

44.如圖，在平面直角坐標系中，A(-1,4)、B(-3,1).

(1)連接AO、B0,求三角形AOB的面積SMOB；

(2)直線AB交x軸于C點，求C點的坐標；

(3)平移線段AB,使點A、B的對應點A、B，都落在坐標軸上，直接寫出A點

繞點B順時針旋轉90。得到PiB.

(I)求PPi的長;

46.已知，^ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示.

(1)寫出A、B、C三點的坐標.

(2)AABC中任意一點P(xo，y0)經平移后對應點為Pi(Xo+4,y0-3),先將

△ABC作同樣的平移得到△AiBiJ,并寫出Bi、J的坐標.

(3)求4ABC的面積.

47.如圖所示，△AEC是△ABC經過平移得到的,4ABC中任意一點P（x°yQ

平移后的對應點為P'（xi+6,力+4）.

（1）分別寫出點A，，U的坐標.

48.如圖，在直角坐標系中，三角形ABC的三個頂點在網格點上，其中，C點的

坐標是（1,2）.

（1）將三角形ABC先向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到

三角形，則點A的坐標為（,）,則點B，的坐標

（,）.

（2）三角形ABC的面積是.

49.如圖，A、B兩點的坐標分別為（2,3）,（4,1）.

(1)求△ABO的面積.

(2)把4人80先向下平移3個單位長度，再向左平移2個單位長度后得到△ABO,

直接寫出△AEO,的3個頂點的坐標.

50.(1)已知點A(4-a,-2a-3)和點B(-2,5),且AB平行于x軸，試

求點A的坐標；

(2)把點P(m+1,n-2m)先向右平移4個單位，再向下平移6個單位后得到

的點P'的坐標為(3,-2),試求m,n的值.

51.如圖，ZkAOB為等腰三角形，頂點A的坐標(2,遂)，底邊OB在x軸上.將

△AOB繞點B按順時針方向旋轉一定角度后得△AO，B,點A的對應點A在x

5),B(-2,1),C(-1,3).

(1)4ABC的面積是；

(2)若^ABC經過平移后得到△AiBEi，已知點J的坐標為(4,0),寫出頂點

Ai的坐標；

(3)將4ABC繞著點0按順時針方向旋轉90。得到2c2，寫出C2的坐

標

A

53.如圖所示，三角形ABC三個頂點A,B,C的坐標分別為A(1,2),B(4,

3),C(3,1).

(1)三角形AiBiJ向右平移4個單位長度，再向下平移3個單位長度，恰好得

到三角形ABC,試寫出三角形AiBiJ三個頂點的坐標.

(2)求4ABC的面積.

54.在坐標系中有三點A(-4,2)、B(2,4)、C(-2,-3)

(1)求^ABC的面積；

(2)若D(m,n)是線段AB上任一點，線段AB平移后A的對應點A1坐標是

(-1,0),點D隨AB一起平移，平移后D點對應點Di的坐標是.

55.如圖所示，三角形ABC中，任意一點P(a,b)經平移后對應點Pi(a-2,

b+3),將^ABC作同樣的平移得到△AiBiJ.求人,B1，J的坐標及面積.

56.如圖，在平面直角坐標系中，A(a,0),D(6,4),將線段AD平移得到

BC,使B(0,b),且a、b滿足|a-2|+后轉0,延長BC交x軸于點E.

(1)填空：點A(,),點B(,),ZDAE=°；

(2)求點C和點E的坐標；

(3)設點P是x軸上的一動點(不與點A、E重合)，且PA>AE,探究NAPC與

NPCB的數量關系？寫出你的結論并證明.

57.在平面直角坐標系中，有點A(a,1)，點B(-2,b)

(1)當A、B兩點關于直線x=1對稱時，求^AOB的面積；

(2)當線段AB〃y軸，且AB=3時，求a-b的值.

58.在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(1,0),點B的坐標為(3,2),

將點A向左平移兩個單位，再向上平移4個單位得到點C.

(1)寫出點C的坐標；

(2)求三角形ABC的面積.

J'A

59.把^ABC經過平移后得到△AEC,已知A(4,3),B(3,1),B'(1,-1),

C(2,0).

(1)求A與C的坐標.

(2)求^ABC的面積.

60.如圖所示AABC在邊長為1個單位的網格中，請根據下列提示填空：

(1)為了把AABC平移得到△AEU,可以先將AABC向平移格,

再向平移格?

(2)求出△AEC的面積.

北師大新版八年級上學期＜3.3軸對稱與坐標變化》

同步練習卷

參考答案與試題解析

一.解答題（共60小題）

1.如圖，在平面直角坐標系中，已知4ABC的三個頂點的坐標分別為A（-3,

5）,B（-2,1）,C（-1,3）.

（1）若^ABC經過平移后得到△AiBiCi，已知點G的坐標為（4,0）,寫出頂點

A。Bi的坐標；

（2）若4ABC和AAzB2c2關于原點O成中心對稱圖形，寫出^AzB2c2的各頂點

的坐標；

（3）將^ABC繞著點。按順時針方向旋轉90。得到4A3B3c3，寫出4A3B3c3的各

頂點的坐標.

【分析】（1）利用點C和點G的坐標變化得到平移的方向與距離，然后利用此

平移規律寫出頂點上,Bi的坐標；

（2）根據關于原點對稱的點的坐標特征求解；

（3）利用網格和旋轉的性質畫出3c3，然后寫出4A2B3c3的各頂點的坐標.

【解答】解：（1）如圖，△A1B1J為所作，

因為點C（-1,3）平移后的對應點J的坐標為（4,0）,

所以4ABC先向右平移5個單位，再向下平移3個單位得到△AiBiG，

所以點Ai的坐標為（2,2）,Bi點的坐標為（3,-2）；

(2)因為^ABC和^AiB2c2關于原點。成中心對稱圖形，

所以

A2(3,-5),B2(2,-1),C2(1,-3)；

如圖，為所作,

(3)3c3A3(5,3),B3(1,2),C3(3,1)；

【點評】本題考查了坐標與圖形變化-旋轉：圖形或點旋轉之后要結合旋轉的角

度和圖形的特殊性質來求出旋轉后的點的坐標.常見的是旋轉特殊角度如：

30°,45°,60°,90°,180°.

2.在直角坐標系中，C(2,3),C(-4,3),C"(2,1),D(-4,1),A(0,

a),B(a,O)(a>0).

(1)結合坐標系用坐標填空.

點C與C關于點(-1,3)對稱;點C與C”關于點(2,2)對稱;點

C與D關于點(-1,2)對稱;

(2)設點C關于點(4,2)的對稱點是點P,若4PAB的面積等于5,求a值.

【分析】(1)根據對稱的性質，分別找出兩對稱點連線的中點即可;

(2)先求出點P的坐標，再根據a的大小分類討論.當0<aW6時，根據SAPAB=S

梯形APP'O"SAAOB-S4BPP，求得a；當當6<a<7時，根.據SAPAB=S梯形APP'O+S^BPP'-S

△AOB求得a；當a>7時，SAPAB=SAAOB_S梯形APP'O一SABPP求得a.

【解答】解：(1)由圖可知，點C與U關于點(-1,3)對稱；點C與C"關于

點(2,2)對稱；點C與D關于點(-1,2)對稱；

故答案為：(-1,3),(2,2),(-1,2)；

(2)點C關于點(4,2)的對稱點P(6,1),過P作x軸垂線交x軸于點P"

(i)如圖1,當0<aW6時，則SAPAB=S梯形APP'O-SAAOB-SABPP^

5=1X(1+a)X6-la2-lx(6-a)XI,

222

解得ai=2,32=5.

(ii)如圖2,當6VaV7時,S^PAB二S梯形APP,O+S^BP,一SZIAOB，

5-x(l+a)X6+yx(a-6)XI-la2,

解得ai=2(舍)，32=5(舍)，

(iii)如圖3,當a>7時，SAPAB=SAAOB-S梯形APP'O-S/XBPP'，

5=la2-lx(1+a)X6-lx(a-6)XI,

222

解得畫或上迤(舍).

22_

綜合(i)(ii)(iii)可得，a的值為2或5或電甌.

2

【點評】本題考查了坐標與圖形的變化-對稱，以及坐標與圖形的性質，明確兩

點關于這兩點連線的中點對稱是解題的關鍵，(2)中4PAB的面積用所在梯

形的面積與兩個直角三角形的面積的關系表示是解題的關鍵.

3.在平面直角坐標系中，^ABC的三個頂點的坐標是A(-2,3),B(-4,

1),C(2,0),將4ABC平移至△AIBIJ的位置,點ABC的對應點分別是AiBiJ,

若點A1的坐標為(3,1).則點G的坐標為(7,-2).

【分析】首先根據A點平移后的坐標變化，確定三角形的平移方法，點A橫坐

標加5,縱坐標減2,那么讓點C的橫坐標加5,縱坐標-2即為點J的坐標.

【解答】解：由A(-2,3)平移后點Ai的坐標為(3,1),可得A點橫坐標加

5,縱坐標減2,

則點C的坐標變化與A點的變化相同，故J(2+5,0-2),即(7,-2).

故答案為：(7,-2).

【點評】本題主要考查圖形的平移變換，解決本題的關鍵是根據已知對應點找到

所求對應點之間的變化規律.

4.(1)在平面直角坐標系中，將點A(-3,4)向右平移5個單位到點Ai，再

將點A1繞坐標原點順時針旋轉90。到點A2.直接寫出點A。A2的坐標；

(2)在平面直角坐標系中，將第二象限內的點B(a,b)向右平移m個單位到

第一象限點B],再將點Bi繞坐標原點順時針旋轉90。到點B2,直接寫出點B],

B2的坐標；

(3)在平面直角坐標系中.將點P(c,d)沿水平方向平移n個單位到點Pi，

再將點％繞坐標原點順時針旋轉。到點直接寫出點的坐標.

90P2,P2

【分析】(1)如圖，由于將點A(-3,4)向右平移5個單位到點A]，根據平移

規律可以得到Ai的坐標，又將點Ai繞坐標原點順時針旋轉90。到點A2,根據

旋轉得到之由此就可以確定的坐標；

△OMA]△OM1A2，A2

(2)可以利用(1)中的規律依次分別得到Bi的坐標，B2的坐標；

(3)分兩種情況：①當把點P(c,d)沿水平方向右平移n個單位到點匕，此

時可以利用(2)的規律求出Pi和P2的坐標；②當把點P(c,d)沿水平方向

左平移n個單位到點匕，那么％的橫坐標和前面的計算方法恰好相反，用減

法，然后將點匕繞坐標原點順時針旋轉90。到點P2的坐標的規律也恰好相反，

由此可以直接得到P2的坐標.

【解答】解：(1)如圖，?.?將點A(-3,4)向右平移5個單位到點A。

，Ai的坐標為(2,4),

???又將點繞坐標原點順時針旋轉。到點

Ai90A2,

II

.,.△OMA^AOMA2,

，A2的坐標（4,-2）.

（2）根據（1）中的規律得：

Bi的坐標為（a+m,b）,B2的坐標為（b,-a-m）.

（3）分兩種情況：

①當把點P（c,d）沿水平方向右平移n個單位到點Pi，

Pi的坐標為（c+n,d）,

則P2的坐標為（d,-c-n）；

②當把點P（c,d）沿水平方向左平移n個單位到點%,

的坐標為（c-n,d）,

然后將點繞坐標原點順時針旋轉。到點

Pi90P2,

，P2的坐標（d,-c+n）.

【點評】此題比較復雜，首先要根據具體圖形找到圖形各點的坐標移動規律，若

原來的坐標為（a,b）,繞原點順時針旋轉90。后的坐標為（b,-a）,然后利

用規律就可以求出后面問題的結果.

5.在平面直角坐標系中，點M的坐標為（a,-2a）.

（1）當a=-l時，點M在坐標系的第二象限;（直接填寫答案）

（2）將點M向左平移2個單位，再向上平移1個單位后得到點N,當點N在第

三象限時，求a的取值范圍.

【分析】（1）當a=-1時點M的坐標為（-1,2）,所以M在第二象限；

(2)根據平移方法，可得到N點坐標，N在第三象限，所以橫坐標小于0,縱

坐標小于0解不等式組可得a的取值范圍.

【解答】解：(1)當a=-1時點M的坐標為(-1,2),所以M在第二象限.

故答案為：二

(2)將點M向左平移2個單位，再向上平移1個單位后得到點N,點M的坐

標為(a,-2a),所以N點坐標為(a-2,-2a+l),因為N點在第三象限，

所以',解得L<a<2,所以a的取值范圍為L〈a<2.

-2a+l<022

【點評】本題考查圖形的平移變換.關鍵是要懂得左右平移點的縱坐標不變，而

上下平移時點的橫坐標不變.

6.如圖，在平面直角坐標系xOy中，AABC三個頂點的坐標分別為A(-6,0),

B(6,0),C(0,4正)，延長AC到點D,使CD=1AC,過點D作DE〃AB交

BC的延長線于點E.

(1)求D點的坐標；

(2)作C點關于直線DE的對稱點F,分別連接DF、EF,若過B點的直線y=kx+b

將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式；

(3)在第二問的條件下，設G為y軸上一點，點P從直線y=kx+b與y軸的交點

出發，先沿y軸到達G點，再沿GA到達A點，若P點在y軸上運動的速度

是它在直線GA上運動速度的2倍，試確定G點的位置，使P點按照上述要

求到達A點所用的時間最短.(要求：簡述確定G點位置的方法，但不要求證

明)

【分析】（1）借助△DMCs^AOC,根據相似三角形的性質得點D的坐標；

（2）先說明四邊形CDFE是菱形，且其對稱中心為對角線的交點M,則點B與

這一點的連線即為所求的直線，再結合全等三角形性質說明即可，由點B、M

的坐標求得直線BM的解析式；

（3）過點A作MB的垂線，該垂線與y軸的交點即為所求的點G,再結合由OB、

OM的長設法求出NBAH,借助三角函數求出點G的坐標.

【解答】解：（1）VA（-6,0）,C（0,4?）

.\OA=6,OC=4?

設DE與y軸交于點M

由DE/7AB可得△DMCs^AOC,

XVCD=1AC

2

???M--D---C--M---C--D---1-

OA-CO-CA2

.?.CM=2近，MD=3

同理可得EM=3

.*.OM=6V3

，D點的坐標為（3,6?）；

（2）由（1）可得點M的坐標為（0,673）

由DE〃AB,EM=MD

可得y軸所在直線是線段ED的垂直平分線

點C關于直線DE的對稱點F在y軸上

AED與CF互相垂直平分

.*.CD=DF=FE=EC

???四邊形CDFE為菱形，且點M為其對稱中心

作直線BM,設BM與CD、EF分別交于點S、點T,

可證△FTM之ZXCSM

AFT=CS,

VFE=CD,

；.TE=SD,

EC=DF,

.?.TE+EC+CS+ST=SD+DF+FT+TS,

直線BM將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，

由點B(6,0),點M(0,673)在直線y=kx+b上，可得直線BM的解析式為

y=-加+x6

(3)設點P在AG上的運動速度為X,點P在y軸上的運動速度為2x,

則點P到達點A的時間為t=照+竺,(蛇+GA)

2xxx2

過點G作GHXBM于點H,

可證得△MGHs^MBO,

制MG_MB'(6^產+62

GH=6"〃

.-.M=GH,

2

...t=L(螞+GA)=1(GH+GA),

x2x

要使t最小，貝UGH+GA最小，即當點G、A、H三點一線時，t有最小值，

確定G點位置的方法：過A點作AHLBM于點H,則AH與y軸的交點為所求的

G點

由OB=6,OM=6?,

可得NOBM=60°,

NBAH=30°,

在Rt^OAG中，OG=AO?tanNBAH=2、/^,

???G點的坐標為(0,2炳).(或G點的位置為線段OM的靠近O點的三等分點)

【點評】本題綜合考查了圖形的性質和坐標的確定，是綜合性較強，難度較大的

綜合題，其中本題第三問是難點，學生主要不會確定點G的位置.

7.如圖，在直角坐標系中，Rt^AOB的兩條直角邊OA,0B分別在x軸的負半

軸，y軸的負半軸上，且0A=2,OB=1.將Rt^AOB繞點。按順時針方向旋轉

90°,再把所得的像沿x軸正方向平移1個單位，得△CDO.

（1）寫出點A,C的坐標；

（2）求點A和點C之間的距離.

【分析】（1）根據平移中點的變化規律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移

力口，下移減：可得A、C點的坐標；

（2）根據點的坐標，在Rt^ACD中，AD=OA+OD=3,CD=2,借助勾股定理可求

得AC的長.

【解答】解：（1）點A的坐標是（-2,0）,點C的坐標是（1,2）.

(2)連接AC,在RQACD中，AD=OA+OD=3,CD=2,

AC2=CD2+AD2=22+32=13,

?,AC=5/13?

【點評】此題主要考查圖形的平移及平移特征.在平面直角坐標系中，圖形的平

移與圖形上某點的平移規律相同.

平移中點的變化規律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減.

8.如圖，圖形中每一小格正方形的邊長為1,已知aABC.

（1）AC的長等于—近_；

（2）先將4ABC向右平移2個單位得到△AEC,則A點的對應點A的坐標是（1,

2）；

（3）再將4ABC繞點C按逆時針方向旋轉90。后得到△AiBiG，則A點對應點

Ai的坐標是（-3,-2）.

AC的長；

（2）根據圖形，可得出ABC的坐標，向右平移2個單位可得A'的坐標；

（3）根據旋轉的規律，把△OAB的繞點0按逆時針方向旋轉90°,就是把它上

面的各個點按逆時針方向旋轉90。，可得Ai的坐標.

【解答】解：（1）根據圖形，可得出A的坐標為（-1,2）,C的坐標為（0,-

1）,故AC的長等于亞強阮；

（2）根據圖形，可得出A的坐標為（-1,2）,B的坐標為（3,1）,

C的坐標為（0,-1）,將△ABC向右平移2個單位得到△ABC,則A點的對應

點A的坐標是（1,2）；

（3）根據旋轉的規律，把^OAB的繞點。按逆時針方向旋轉90。，就是把它上

面的各個點按逆時針方向旋轉90。，

【點評】此題主要考查圖形的平移及平移特征——在平面直角坐標系中，圖形

的平移與圖形上某點的平移規律相同.

平移中點的變化規律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減.

9.在平面直角坐標系中，直線I過點M（3,0）,且平行于y軸.

（1）如果^ABC三個頂點的坐標分別是A（-2,0）,B（-1,0）,C（-1,2）,

△ABC關于y軸的對稱圖形是△AiBiJ,關于直線I的對稱圖形是△

A2B2C2,寫出AAZB2c2的三個頂點的坐標；

（2）如果點P的坐標是（-a,0）,其中a>0,點P關于y軸的對稱點是Pi，

點Pi關于直線I的對稱點是P2,求PP2的長.

【分析】(1)根據關于y軸對稱點的坐標特點是橫坐標互為相反數，縱坐標相同

可以得到△A1B1G各點坐標，又關于直線I的對稱圖形點的坐標特點是縱坐標

相同，橫坐標之和等于3的二倍，由此求出4A2B2cl的三個頂點的坐標；

(2)P與匕關于y軸對稱，利用關于y軸對稱點的特點：縱坐標不變，橫坐標

變為相反數，求出％的坐標，再由直線I的方程為直線x=3,利用對稱的性質

求出P2的坐標，即可PP2的長.

【解答】解：(1)AA2B2c2的三個頂點的坐標分別是A2(4,0),B2(5,0),C2

(5,2)；

(2)如圖1,當0<aW3時，與Pi關于y軸對稱，P(-a,0),

APi(a,0),

又與P2關于I：直線x=3對稱,

設P2(X,0),可得：也=3,即x=6-a,

2

AP2(6-a,0),

則PP2=6-a-(-a)=6-a+a=6.

如圖2,當a>3時，

?；P與Pi關于y軸對稱，p(-a,0),

APi(a,0),

又與P2關于I：直線X=3對稱,

設P2(X,0),可得:也=3,即x=6-a,

2

AP2(6-a,0),

則PP2=6-a-(-a)=6-a+a=6.

圖1

【點評】本題考查學生"軸對稱"與坐標的相關知識的試題，尤其是第（2）小題

設置的問題既具有一定的開放性又重點考查了分類的數學思想，使試題的考

查有較高的效度.

10.如果將點P繞定點M旋轉180。后與點Q重合，那么稱點P與點Q關于點M

對稱，定點M叫做對稱中心.此時，M是線段PQ的中點.如圖，在直角坐

標系中，4人80的頂點A,B,O的坐標分別為（1,0）,（0,1）,（0,0）.點

列Pi，P2,P3,…中的相鄰兩點都關于4人80的一個頂點對稱：點Pi與點P2

關于點A對稱，點P2與點P3關于點B對稱，點P3與點P4關于點O對稱，點

P4與點P5關于點A對稱，點P5與點P6關于點B對稱，點P6與點P7關于點O

對稱…對稱中心分別是A,B,0,A,B,0,…，且這些對稱中心依次循環.已

知點Pi的坐標是（1,1）,試求出點P2，P7，Pioo的坐標.

【分析】通過作圖可知6個點一個循環，那么P7的坐標和P1的坐標相同，P100

的坐標與P4的坐標一樣，通過圖中的點可很快求出.

【解答】解：P2的坐標是（1，-1），P7的坐標是（1，1），P100的坐標是（L

-3）.

理由：作P1關于A點的對稱點，即可得到P2（l，-1），分析題意，知6個點一

個循環，

故P7的坐標與P1的坐標一樣，P100的坐標與P4的坐標一樣，

所以P7的坐標等同于P1的坐標為（1，1）（P100的坐標等同于P4的坐標為（1，

【點評】解決本題的關鍵是讀懂題意，畫出圖形，仔細觀察，分析，得到相應的

規律.

11.在平面直角坐標系中，0為原點，點A（2,0）,點B（0,5），把4人80

繞點B逆時針旋轉，得△ABO，，點A,O旋轉后的對應點為N,0\記旋轉

角為a.如圖，若a=

90°,求AA的長.

【分析】根據勾股定理得AB=JV，由旋轉性質可得NABA=90。，A,B=AB=V7.繼

而得出AA^A/14.

【解答】解：：點A（2,0）,點B（0,炳）,

AOA=2,OB=V3.

在RtAABO中，由勾股定理得AB=V7.

根據題意，△\80，是4人80繞點B逆時針旋轉90°得到的,

由旋轉是性質可得：ZA/BA=90°,A,B=AB=V7-

AA，=VA7B2+AB2=^,

【點評】本題主要考查旋轉的性質及勾股定理，熟練掌握旋轉的性質是解題的關

鍵.

12.在平面直角坐標系中，點B（m,n）在第一象限，m、n均為整數，且滿足

n=yym-173-IT,

(1)求點B的坐標;

⑵將線段OB向下平移a個單位后得到線段OE,過點B作BX±y軸于點C,

若3c0=2C0',求a的值;

（3）過點B作與y軸平行的直線BM,點D在x軸上，點E在BM上，點D從。

點出發以每秒鐘3個單位長度的速度沿x軸向右運動，同時點E從B點出發