2023-2024學(xué)年廣東省深圳市明德實(shí)驗(yàn)學(xué)校（集團(tuán)）八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列幾種著名的數(shù)學(xué)曲線中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是(

)A.(笛卡爾愛心曲線) B.(蝴蝶曲線)

C.(費(fèi)馬螺線曲線) D.(科赫曲線)2.下列各式從左到右的變形，是因式分解的是(

)A.x2-9+6x=(x+3)(x-3)+6x B.(x+5)(x-2)=x2+3x-10

3.下列敘述正確的是(

)A.若a>b，則ac2>bc2 B.若-x3<0，則x>-3

C.若a>b4.如圖，已知A，B的坐標(biāo)分別為(1,2)，(3,0)，將△OAB沿x軸正方向平移，使B平移到點(diǎn)E，得到△DCE，若OE=4，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(

)A.(2,2)

B.(3,2)

C.(1,3)

D.(1,4)5.小明同學(xué)只用兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺就可以作出一個(gè)角的平分線.如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點(diǎn)P，小明說：“射線OP就是∠BOA的角平分線.”他這樣做的依據(jù)是(

)A.在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上

B.角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等

C.三角形的三條高交于一點(diǎn)

D.三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)6.已知點(diǎn)P(2a+1,1-a)在第二象限，則a的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是(

)A. B. C. D.7.下列命題中，是真命題的是(

)A.一個(gè)圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行

B.三角形的三條角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊距離相等

C.三角形的高線將三角形分成面積相等的兩部分

D.點(diǎn)P到線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，則過點(diǎn)P的直線是線段AB的垂直平分線8.在△ACB中，∠ACB=90°，尺規(guī)作圖的痕跡如圖所示.若AC=2，AB=5，則線段CD的長(zhǎng)為(

)A.43

B.65

C.219.若關(guān)于x的不等式組3x-2<1m-x<1恰有兩個(gè)整數(shù)解，則m的取值范圍是(

)A.-1<m≤0 B.-1≤m<0 C.-1<m<0 D.-1<m≤110.如圖，△ABC中，AC=DC=3，BD垂直∠BAC的角平分線于D，E為AC的中點(diǎn)，則圖中兩個(gè)陰影部分面積之差的最大值為

(

)

A.

1.5 B.

3 C.

4.5 D.

9二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.若分式3xx+5有意義，則x的取值范圍是______．12.等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為8cm和4cm，則它的周長(zhǎng)是______cm．13.如圖，函數(shù)y1=-2x與y2=ax+3的圖象相交于點(diǎn)A(-1,2)，則關(guān)于x的不等式ax+3>-2x>0

14.如圖，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACQ，點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，連接DQ，則DQ的最小值是______．

15.如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在BC上，連接AE、CD、DE，若AE=AC=CD，CE=63，則BD的長(zhǎng)為______．

三、計(jì)算題：本大題共1小題，共6分。16.化簡(jiǎn)式子(a2-2aa2-4a+4+1)÷a2-1a2+a，并在-2四、解答題：本題共6小題，共49分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題8分)

計(jì)算：

(1)因式分解：4a2(a-b)-(a-b)；

(2)解分式方程：x18.(本小題5分)

解不等式組4x-2≤3(x+1)1-x-1219.(本小題10分)

如圖在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-3,3)，B(-2,4)，C(-1,1)．

(1)將△ABC先向右平移2個(gè)單位再向下平移6個(gè)單位得到圖形△A1B1C1，畫出圖形△A1B1C1，并直接寫出A1的坐標(biāo)______；

(2)畫出△ABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△A20.(本小題8分)

某企業(yè)購(gòu)買了一批A、B型國(guó)產(chǎn)芯片，其中A型芯片的單價(jià)比B型芯片的單價(jià)少9元，已知該企業(yè)用3120元購(gòu)買A型芯片的數(shù)量與用4200元購(gòu)買B型芯片的數(shù)量相等．

(1)求該企業(yè)購(gòu)買的A、B型芯片的單價(jià)各是多少元？

(2)若兩種芯片共購(gòu)買了200枚，且購(gòu)買A型芯片的數(shù)量不超過B型芯片數(shù)量的13，不小于B型芯片數(shù)量的14，求如何購(gòu)買，才能使購(gòu)買總費(fèi)用最低？最低費(fèi)用是多少元？21.(本小題8分)

閱讀下列材料：數(shù)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項(xiàng)式只用上述方法無法分解，如：“m2-mn+2m-2n”，細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以提取公因式，后兩項(xiàng)也可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個(gè)式子的因式分解了，過程為m2-mn+2m-2n=(m2-mn)+(2m-2n)=m(m-n)+2(m-n)=(m-n)(m+2).此種因式分解的方法叫做“分組分解法”，請(qǐng)?jiān)谶@種方法的啟發(fā)下，解決以下問題：

(1)因式分解：a3-3a2+6a-18；

(2)已知m+n=5，m-n=1，求m2-n222.(本小題10分)

在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，將直角邊AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AP，旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<180°)，連接CP，PB．

(1)如圖1，當(dāng)a=45°時(shí)，求BP的長(zhǎng)；

(2)如圖2，若∠CPB=135°，且D為AB中點(diǎn)，連接PD，猜想CP和DP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)CP=BP時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．

答案1.【答案】D

【解析】解：A.該圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

B.該圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

C.該圖形是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

D.該圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意．

故選：D．2.【答案】C

【解析】解：A、(x+3)(x-3)+6x不是幾個(gè)整式的積的形式，故不是因式分解，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、x2+3x-10不是幾個(gè)整式的積的形式，故不是因式分解，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、等式右邊是幾個(gè)整式的積的形式，故是因式分解，故本選項(xiàng)正確；

D、等式右邊是分式的積的形式，故不是因式分解，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選：C．

3.【答案】【解析】解：A.若a>b，當(dāng)c=0時(shí)，ac2=bc2，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.若-x3<0，則x>0，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.若a>b，則a-c>b-c，故本選項(xiàng)符合題意；

D.若a>b，則-3a<-3b，故本選項(xiàng)不符合題意．【解析】解：∵B(3,0)，

∴OB=3，

∵OE=4，

∴BE=OE-OB=1，

∴將△OAB沿x軸正方向平移1個(gè)單位得到△DCE，

∴點(diǎn)C是將A向右平移1個(gè)單位得到的，

∴點(diǎn)C是的坐標(biāo)是(1+1,2)，即(2,2)．

故選：A．5.【答案】A

【解析】解：由題意可知，點(diǎn)P到射線OB的距離是直尺的寬度，點(diǎn)P到射線OA的距離也是直尺的寬度，

∴點(diǎn)P到射線OB，OA的距離相等，

∴點(diǎn)P在∠BOA的平分線上(在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上)．

故選：A．

6.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，得：2a+1<0①1-a>0②，

解不等式①，得：a<-12，

解不等式②，得：a<1，

在數(shù)軸上表示為：，

∴該不等式組的解集為：a<-12

故選：A．

【解析】解：A、一個(gè)圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行或在一條直線上，故A是假命題，不符合題意；

B、三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，故B是真命題，符合題意；

C、三角形的高線將三角形分成的兩部分面積不一一定相等，故C是假命題，不符合題意；

D、點(diǎn)P到線段AB的兩端點(diǎn)距離相等，過點(diǎn)P的直線不一定是線段AB的垂直平分線，故D是假命題，不符合題意；

故選：B．

8.【答案】D

【解析】解：由作法得：AD平分∠BAC，DE⊥AB，

∵∠ACB=90°，即CD⊥AC，

∴CD=DE，

在Rt△ADE和Rt△ADC中，

AD=ADDE=DC,

∴Rt△ADE△Rt△ADC(HL)，

∴AE=AC=2，

∴BE=AB-AC=3，

在Rt△ACB中，AC=2，AB=5，BC=AB2-AC2=21，

設(shè)CD=x，則DE=x,BD=21-x，

在Rt△BED中，BD2【解析】解：解不等式3x-2<1，得x<1，

解不等式m-x<1，得x>m-1，

∴原不等式組的解集為：m-1<x<1，

∵不等式組恰有兩個(gè)整數(shù)解，

∴-2≤m-1<-1，

解得：-1≤m<0．

故選：B．

10.【答案】C

【解析】解：延長(zhǎng)BD交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.設(shè)AD交BE于點(diǎn)O．

∵AD⊥BH，

∴∠ADB=∠ADH=90°，

∴∠ABD+∠BAD=90°，∠H+∠HAD=90°，

∵∠BAD=∠HAD，

∴∠ABD=∠H，

∴AB=AH，

∵AD⊥BH，

∴BD=DH，

∵DC=CA，

∴∠CDA=∠CAD，

∵∠CAD+∠H=90°，∠CDA+∠CDH=90°，

∴∠CDH=∠H，

∴CD=CH=AC，

∵AE=EC，

∴AE=14AH，

∴S△ABE=14S△ABH，

∵CH=AC，BD=DH，

∴S△CDH=12S△ADH=14S△ABH，

∴S△ABE=S△CDH，

∵【解析】解：由題可知，

x+5≠0，

解得x≠-5．

故答案為：x≠-5．

12.【答案】20

【解析】解：∵等腰三角形的兩邊分別是4cm和8cm，

∴應(yīng)分為兩種情況：①8為底，4為腰，則4+4=8；不可以構(gòu)成三角形；

②4為底，8為腰，則8+8+4=20(cm)；

∴它的周長(zhǎng)是20(cm)．

故答案為：20．

13.【答案】0>x>-1

【解析】解：∵函數(shù)y1=-2x與y2=ax+3的圖象相交于點(diǎn)A(-1,2)，

∴關(guān)于x的不等式ax+3>-2x>0的解集是：0>x>-1．

故答案為：0>x>-1．

【解析】解：由等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACQ，點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，

得∠ACQ=∠B=60°為定角，

故當(dāng)DQ⊥CQ時(shí)DQ取最小值=CD÷2×3=4÷2×3=23．【解析】解：如圖所示，過D作DF⊥BC于F，過A作AG⊥BC于G，則∠AGC=∠CFD=90°，

又∵∠B=45°，

∴∠BDF=∠BAG=45°，DF=BF，

∵CA=CD，

∴∠CAD=∠CDA，

∴∠CAD-∠BAG=∠CDA-∠B，即∠CAG=∠DCF，

又∵CD=CA，

∴△CAG≌△DCF(AAS)，

∴CG=DF，

∵CA=EA，AG⊥CE，

∴CG=12CE=12×63=33，

∴DF=33=BF，

在Rt△BDF中，BD=(33)=(a-b)(4a2-1)

=(a-b)(2a+1)(2a-1)；

(2)xx-2-2x2-4=1，

方程兩邊都乘以(x+2)(x-2)，得x(x+2)-2=x2-4，

解得18.【答案】解：解不等式4x-2≤3(x+1)，得x≤5，

解不等式1-x-12<x4，得x>2，

∴不等式組的解集為2<x≤5，

∴解不等式組4x-2≤3(x+1)1-x-1219.【答案】(-1,-3)

22π【解析】解：(1)如圖，△A1B1C1即為所求．

點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(-1,-3)．

故答案為：(-1,-3)．

(2)如圖，△A2B2C2即為所求．

由勾股定理得，AC=12+12=2，

∴在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到C3的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為90π×2180=22π.

故答案為：22π；

(3)如圖，連接B120.【答案】解：(1)設(shè)該企業(yè)購(gòu)買的B型芯片的單價(jià)為x元，則A型芯片的單價(jià)為(x-9)元，

依題意得：3120x-9=4200x，

解得：x=35，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=35是原方程的解，且符合題意．

∴x-9=26．

答：該企業(yè)購(gòu)買的A型芯片的單價(jià)為26元，B型芯片的單價(jià)為35元．

(2)設(shè)購(gòu)買a枚A型芯片，則購(gòu)買(200-a)枚B型芯片，

依題意得：14(200-a)≤a≤13(200-a)，

解得：40≤a≤50，

設(shè)總費(fèi)用為y元，

則y=26a+35(200-a)=-9a+7000，

∵-9<0，

∴y隨x的增大而減小，

∴當(dāng)a=50時(shí)，y的最小值=-9×50+7000=6550(元)，

此時(shí)200-a=200-50=150．

答：當(dāng)購(gòu)買A型芯片21.【答案】解：(1)a3-3a2+6a-18

=a2(a-3)+6(a-3)

=(a-3)(a2+6)．

(2)m2-n2+2m-2n

=(m+n)(m-n)+2(m-n)

=(m-n)(m+n+2)

將m+n=5，m-n=1，代入(m-n)(m+n+2)=1×(5+2)=7．

(3)△ABC是等腰三角形，理由如下：

∵22.【答案】解：(1)α=45°時(shí)，點(diǎn)P落在AB上，

在等腰直角△ABC中，AC=2，

∴AB=AC2+BC2=2AC，

∴BP=AB-AP=AB-AC=2-2．

(2)如圖，延長(zhǎng)PD到點(diǎn)F，使得PD=DF，連接AF，

∵AD=BD，∠ADF=∠BDP，

∴△ADF≌△BDP(SAS)，

∴AF=BP，∠DAF=∠DBP，

∵AP=AC