第七講函數(shù)與方程

?夯基礎(chǔ)考點(diǎn)練透

1.［2021首都師大附中聯(lián)考］已知函數(shù)f(x)=，%嘴?夕?則方程f(［x|)=a(aCR)的實(shí)根個(gè)數(shù)不可能為()

(-02)/+2(x>1),

A.1B.2C.3D.4

lx2+2x1x<0

；c'若方程f(x)=a(x+3)有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(—>0,

()

A.(y,4-2V3)B.(4-2V5,4+2同

C.(0,4-2V5］D.(0,4_2V3)

3.［2020武漢市部分學(xué)校質(zhì)量監(jiān)測(cè)］已知函數(shù)f(x)=f-a.若f(x)沒有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.［0,e)B.(0,1)C.(0,e)D.［0,1)

4.［2020江淮十校聯(lián)考］對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有e-ax-1NO成立,關(guān)于x的方程(X-a)Inx-xT=O有兩根,為

X1,X2(X〈X2),則下列結(jié)論正確的為()

A.XI+X2=2B.Xi?x2=l

C.^=2D.X2氣力

5.［2020江西紅色七校聯(lián)考］若函數(shù)f(x)=x-V7-alnx在區(qū)間(l,+8)上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(0,j)B.(1,e)

C.(0,+8)D.(1+8)

6.［2019陜西西安三模］若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),且當(dāng)Xe［T,1］時(shí),f(x)=|x1,則方程

f(x)=log31x|的根的個(gè)數(shù)是()

A.4B.5C.6D.7

7.［新角度題］函數(shù)f(x)=x2-2x-l-|x-l|的所有零點(diǎn)之和等于.

8.［2021湖北省四地七校聯(lián)考］若函數(shù)f6)=2,-景26〈0)的零點(diǎn)為x。,且xo€(a,a+1),adZ,則a=.

9.［2021貴陽市四校第二次聯(lián)考］已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=-f(x),且在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞增,若

方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間卜8,8］上有四個(gè)不同的根Xi,x2,x3,Xa,則xi+x2+x3+x4=.

10.［2021陜西百校聯(lián)考］已知函數(shù)f(x)=|lnx|-2ax恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

提能力考法實(shí)戰(zhàn)

11.［2021晉南高中聯(lián)考］已知函數(shù)f(x)=R；線則函數(shù)g(x)=2f(f(x)-l)-l的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.7B.8C.10D.11

12.[2021蓉城名校聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意的xGR都滿足f(l+x)=f(l-x),當(dāng)xWl

時(shí),小耳奧0；/1，若函數(shù)g(x)=m|x|-2與f(x)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.mWO或m=eB.0<m^!

C.|<m<eD.m>e

eX，XG[0，1)，

13.[2020合肥市調(diào)研檢測(cè)]設(shè)函數(shù)f(X)4若函數(shù)y=f(x)-k存在兩個(gè)零點(diǎn)xbxz(xKx2),則3-

[1,+00).

X”f(xi)的取值范圍為()

A.⑵e2)B.[1,e2)C.[e,e2)D.[1,e2]

14.[2020大同市高三調(diào)研]已知f(x)=言,方程f2(x)+(2a-3)f(x)+a2-3a=0有三個(gè)不等實(shí)根,則a的取值范圍為

()

A.{-e}U(3-e,+°°)B.{-e}U(0,3-e)

C.(-°°,0)D.{-e}U[3-e,+8)

15.[2021石家莊市一檢][多選題]記函數(shù)f(x)=x+lnx的零點(diǎn)為x01則關(guān)于x。的結(jié)論正確的為()

A.0<x0<iB,l<xo<l

xx

C.e°-xo=OD.e-°+xo=O

16.[條件創(chuàng)新]對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,[x]表示不大于x的最大整數(shù),則函數(shù)f(x)=x2-[x]-l的零點(diǎn)為.

答案

第七講函數(shù)與方程

目1夯基礎(chǔ):號(hào)點(diǎn)練透

1.A根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合f(|x|)與f(x)圖象的關(guān)系作出函數(shù)f(|x|)的圖象,如圖D2-7-6所

示，則y=f(|x1)的圖象與y=a的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不可能為1,

即方程f(|x|)=a(aeR)的實(shí)根個(gè)數(shù)不可能為1.

故選A.

圖D2-7-6

2.D方程f(x)=a(x+3)有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)與y=a(x+3)的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，易知直線

y=a(x+3)恒過點(diǎn)(-3,0).作出函數(shù)f(x)的大致圖象,如圖D2-7-7所示.結(jié)合函數(shù)圖象,可知a>0且直線y=a(x+3)與

曲線y=---2x,xG［-2,0］有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),所以方程x2+(2+a)x+3a=0在［-2,0］內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,令

4=(2+a)2-12a>0,

二v-竽v。，解得0^a<4-2V3,又a>0,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,4-2⑸，

g(0)=3a>0,

{g(-2)=a>0,

故選D.

3.A因?yàn)閒(x)沒有零點(diǎn),所以關(guān)于x的方程f(x)=0,即a三無實(shí)數(shù)解.令g(x)哼h(yuǎn)(x)=a,則函數(shù)y=g(x),y=h(x)的

圖象無公共點(diǎn).g'(X)鼠￥，令g'(x)=0,則x=l.當(dāng)x<0時(shí),g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減,且g(x)〈0;當(dāng)0<x<l時(shí)，

g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>l時(shí),g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.所以函數(shù)g(x)有極小值g(l)=e,作出g(x)的

圖象，如圖D2-7-8所示,結(jié)合圖象可得OWa<e,故選A.

圖D2-7-8

4.B對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有ex-ax-l>0成立,則可得a=l,將關(guān)于x的方程(x-a)Inx-x-l=O轉(zhuǎn)化為Inxg,Xi滿足

Inx畤,則有峙蕓結(jié)合原方程的兩根為X1,X2(x1),得X2力即x.+1,故選B.

5.D解法一由題意知F(x)=l-點(diǎn)-"筆”當(dāng)X>1時(shí),令g(x)=2x-五,則g'(x)=2-泰>0,g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞

增，g(x)>l.

當(dāng)2aWl,即a0時(shí),f(x)>0,所以函數(shù)f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，又f(1)=0,所以f(x)在(1,+8)上無零點(diǎn)；

當(dāng)2a>1,即a其時(shí),存在x°C(1,+8),使得f'(Xo)=O,所以當(dāng)l〈x〈x0時(shí),f(x)<0,當(dāng)x>x。時(shí),f'(x)>0,所以函數(shù)f(x)

在(1,在上單調(diào)遞減，在(x。,+8)上單調(diào)遞增,又f(1)=0,所以f(xo)<O,當(dāng)x-+8時(shí),f(x)-+8,所以函數(shù)f(x)在區(qū)

間(1,+8)上存在零點(diǎn).

綜上,a的取值范圍為$+8).故選D.

解法二當(dāng)a=10解f(x)=x-Vx-101nx,當(dāng)x=e時(shí),f(e)<0,當(dāng)x=100時(shí)，f(100)>0,所以函數(shù)f(x)在(1,+8)上存在

零點(diǎn),所以A,B不正確；當(dāng)a苫時(shí),f(x)=x-VJ-；lnx,f'(x)=l當(dāng)X>1時(shí)，f'(x)>0恒成立,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

又f⑴=0,所以當(dāng)a=軀,f(x)在(1,+8)上無零點(diǎn),所以c不正確.選D.

6.A因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),所以函數(shù)f(x)是周期為2的函數(shù).又當(dāng)xG［T,1］時(shí),f(x)=|x］,所以函數(shù)

f(x)的圖象如圖D2-7-9所示.

再作出y=log31x|的大致圖象,如圖D2-7-9,易得兩函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn),所以方程f(x)=log31x|有4個(gè)根.故選

A.

7.2f(x)=X2-2X-1-Ix-11=|x-112-1x-11-2.令t=|x-11(t20),g(t)=t2-t-2=(t+l)(t-2).若g(t)=O,則t=2,所以

|x-l|=2,所以x=3或x=-l,故所有零點(diǎn)之和為2.

8.-3由題意可知1,因?yàn)閥=2■口y=-去x?在(-8,0)上都單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增,又

f(xo)=0,f(-2)-2--^X(-2)244>0>f(-3)=2一3-/(-3)管備0,所以xK(-3,-2),所以a=-3.

9.-8因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=-f(x),所以f(x-4)=-f(x)=f(-x),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=-

2對(duì)稱，又f(x-4)=-f(x),所以f(x)=-f(x+4)，所以f(x-4)=f(x+4),f(x)=f(x+8),所以f(x)是周期為8的周期函數(shù).

因?yàn)槠婧瘮?shù)f(x)在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間12,2］上單調(diào)遞增,在區(qū)間16「2］上單調(diào)遞減，畫出

f(x)的可能圖象如圖D2-7-10所示.作出直線y=m(m>0).不妨設(shè)XI<X2<X3<XI,由對(duì)稱性可知Xi+xz=T2,X3+x‘=4,所以

XI+X2+X3+X4=-8.

10.(0,i)由|lnx|-2ax=0(x>0),得2a岑，所以函數(shù)f(x)=|lnx1-2ax恰有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于y=2a與函數(shù)

g(x)且詈的圖象有三個(gè)交點(diǎn).當(dāng)0<x<1時(shí),g(x)=卷,g'(x)挈〈0,所以函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;當(dāng)xK

時(shí),g(x)=竽,g'(X)總要,由g'(x)>0,得lWx<e,由g'(x)<0,得x>e,所以函數(shù)g(x)在［1,e)上單調(diào)遞增,在(e,+8)上

單調(diào)遞減,所以x=e為函數(shù)g(x)的極大值點(diǎn),且g(l)=0,g(e)=1,當(dāng)xf+8時(shí),g(x)f0.在同一平面直角坐標(biāo)系中作

出y=2a與函數(shù)y=g(x)的圖象,如圖D2-7-11所示,由圖可知，當(dāng)y=2a與函數(shù)y=g(x)的圖象存在三個(gè)交點(diǎn)

圖D2-7-11

勉I提能力?考法實(shí)戰(zhàn)

11.B記t=f(x)-l,則2f(t)T=O的解為t尸五,tz=T-冬t3=T+￥，5-1-冬t=f(x)-l的根等價(jià)于直線y=t+l與

y=f(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),畫出f(x)的圖象,如圖D2-7-12,數(shù)形結(jié)合知有8個(gè)交點(diǎn),即g(x)=2f(f(x)-l)-l有8個(gè)

零點(diǎn).

12.A由題意知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱,結(jié)合xWl時(shí)f(x)的解析式作出函數(shù)f(x)的圖象,如圖D2-7-

13所示,函數(shù)g(x)=m|x|-2的圖象是過定點(diǎn)(0,-2)的折線,當(dāng)m>0時(shí)，函數(shù)g(x)=m|x|-2的圖象是過定點(diǎn)(0,-2)且

“開口向上”的折線,只有當(dāng)直線y=mx-2與y=lnx在(0,1］上的圖象相切時(shí),函數(shù)f(x)與g(x)=m|x|-2的圖象恰有

兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)設(shè)切點(diǎn)為(a,Ina),根據(jù)y'La=(lnx)'匕吟有端也;=皿a=T=a］,所以m=e.

當(dāng)m<0時(shí)，函數(shù)g(x)=m|x|-2的圖象是過定點(diǎn)(0,-2)“開口向下”的折線，則恒與函數(shù)f(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)g(x)=m|x|-2=-2,則其圖象恒與函數(shù)f(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

綜上,若函數(shù)g(x)與f(x)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則mWO或m=e,故選A.

13.A因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)-k存在兩個(gè)零點(diǎn),所以方程f(x)-k=O即方程f(x)=k存在兩個(gè)不相等的實(shí)根,所以函數(shù)

y=f(x)的圖象與直線y=k存在兩個(gè)交點(diǎn).畫出函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=k,如圖D2-7-14所示，由圖易知lWk<e.

因?yàn)閑*i=X2-l=k,所以xi=lnk,X2=k+1.令g(k)=(x2-xjf(xi),則g(k)=(k+lTnk)k=k2+k-klnk,所以g'(k)=2k+lTn

k-l=2k-lnk,當(dāng)lWk〈e時(shí)，由函數(shù)y=2k與y=lnk的圖象知2k>lnk,則g'(k)>0,所以函數(shù)g(k)在［1,e)上單調(diào)遞

22

增,所以當(dāng)1Wk<e時(shí),g⑴Wg(k)〈g(e),即2Wg(k)<e,所以(x2-x.)f(x,)的取值范圍是［2,e),故選A.

圖D2-7-14

圖D2-7-15

14.B由題意知f，(x)端(x>0且xWl),令f'(x)=O/^x=e,所以當(dāng)xd(O,l)U(l,e)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)

1

xe(e,+8)時(shí),f(x)>0.所以函數(shù)f(x)在(0,1),(1,e)上單調(diào)遞減，在(e,+8)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=e時(shí),f(x)有極

小值，且極小值為e,則