高中數(shù)學：求異面直線的距離的若干方法

在解某些求異面直線距離的問題時，可從不同的角度對

題目進行分析研究，從而得到若干不同的解法，再從中

選出某些巧妙的解法，即可簡便快捷的將題目解出。

已知正方體ABCD-A30D1的棱長為1,求異面直線AP

與AC的距離。

一、直接利用定義求解

如圖1,取AD中點M,連畫1、MB分別交A】D、AC

于E、F,連BD1，由平面幾何知識，易證^MD】，

MF=；MB,阿1=岫，則BD1〃EF。

由%DJ.ADi,A1DJ.AB得A]D,平面ABD],貝ljA】DJ.BDi,同理

AC_LBD],所以，EF_LA1D,EF±AC,即EF為異面直線

A】D與AC的距離，故有EF/BDL^。

此法的關鍵是作出異面直線的公垂線段。

、轉化為線面距離求解

如圖2,連A。、c】D,則AC〃平面A0D。設AC、BD

交于O,A?、BRI交于5,連01D,作OEJ_o】D于E,

由ARiJ_平面BB31D知AG-LOE,故OEJ_平面ARR。

所以OE為異面直線A】D與AC的距離。

在Rt^OOP中,OE03=0D00i,則

不

所以異面直線AP與AC的距離為可。

此法是將線線距離問題轉化為線面距離問題來解，合

理、恰當?shù)剞D化是解決問題的關鍵。

三、轉化為面面距離求解

如圖3,連屈】、CBi、A0、DC［、BD］,易知平面

A0D〃平面ACE1,則異面直線A】D與AC的距離就是平面

A&D與平面ACB］的距離，易證BD1，平面ACB［、BD】_L平面

A&D,且BD】被平面ACB］和平面A0D三等分，又BD】=君。

B

圖3

不

所以異面直線AP與AC的距離為百。

此法是將線線距離問題轉化為面面距離問題來解，巧妙

的轉化常能收到事半功倍的奇特效果。

四、構造函數(shù)求解

如圖4,在AP上任取一點E,作EMJ_AD于M,再作

MFLAC于F,連EF,則NEMF=9O。。

設MD=X,則ME=x,AM=l-x,在RtAAMF中,

NFAM=45。，則MF邛…)

所以

1有

當且僅當時，EF取最小值百。

所以異面直線片D與AC的距離為百。

選取恰當?shù)淖宰兞繕嬙旌瘮?shù)，即可利用函數(shù)的最小值求

得異面直線間的距離。

五、利用體積變換求解

如圖5,連屈】、B】C、B】D,貝IJAP〃平面AB]C,設異面直

線AR與AC的距離為h,則D到平面抽2的距離也為

ho

易知S3耳⑻邛，SAACD=；。

由VD-AB|C=MBI-ACD,

得]S&AB|C,h=]S&ACD.B]B

173.11.73

所以]二心了尸1，則卜=丁。

所以異面直線AP與AC的距離為百。

此法是將異面直線的距離轉化為錐體的高，然后利用體

積公式求之。

六、利用向量求解

如圖6,AB為異面直線a、b的公垂線段，￡為直線AB

的方向向量，E、F分別為直線a、b上的任意一點，則

圖6

證明：顯然麗'二瓶+而+而，AEn=0,FBn=0o

n=(AE+EF+FB)n,

所以與m,

所以|麗祥近百，gp|AB||KHEFnl,

|AB|=^1

所以Inio

把上述結論作為公式來用，即可巧妙地求出某些問題中

的異面直線間的距離。

圖7

建立如圖7所示的空間直角坐標系，易知而=(。，L1),

AC=(-1,1,0),

DC=(-1,0,0)o

設異面直線A】D、AC的公垂線的方向向量為￡=(x，y，z),

[y+z=0,[z=_y,

由二nlAC,得i-x+y=0,解得[z=y.故可取

n=(h1,-1)o