角度計算中的經典模型【舉一反三】

模型1雙垂直模型

模型2A字模型

模型3雙內角平分線模型

模型4內外角平分級模型

。沏分沂】

【模型1雙垂直模型】

【條件】ZB=ZD=ZACE=90°.

【結論】ZBAC=ZDCE,ZACB=ZCED.

【例1】（2019春?潤州區校級月考）如圖，在△ABC中，NAC8=90°,尸是AC延長線上一點，FD1AB,

垂足為。，尸。與8。相交于點￡,ZBED=55°.求NA的度數.

【變式1?1】（2019秋?涼州區校級期中）如圖,△A8C中,/B=/C,FDLBC,DE1AB,ZAFD=152°,

求NA的度數.

【變式1-2](2019春?蓮湖區期中)如圖，在△ACT?中，NAC8=90CO_LA8于。.

(1)求證：N4CO=N8：

(2)若AF平分NCA3分別交CO、BC于E、F,求證；/CEF=/CFE.

【變式如圖①，在RtAAAC,中，NAC8=9(T,CL)±AH,垂足為。，NAC1)與/〃有什么關系？

為什么？

(2)如圖②，在RlZXABC中，ZC=90°,。、E分別在AC,AB±,且NAOE=N3,判斷△AOE的形

狀是什么？為什么？

(3)如圖③，在RtAAAC和中，ZC=90°,ZE=90°,ABLBD,點C,B,E在同一直線上，

【模型2A字模型】

D

BC

【結論】ZBDE+ZCED=180°+ZA

【例2】（2019春?資中縣月考）如圖所示，ZVIBC中，ZC=75°，若沿圖中虛線截去NC,則N1+N2等

于多少度？

【變式2-1］（2019春?長沙縣校級期中）如圖，已知NA=40°,求N1+N2+N3+N4的度數.

【變式2-2］（2019春?吁胎縣期中）我們容易證明，三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內角的和，那么,

三角形的一個內角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數量關系呢？

C

（圖2）

（圖3）

I.嘗試探究：

（1）如圖1,NO8C與NEC3分別為△ABC的兩個外角，試探究NA與N33C+NEC3之間存在怎樣的數

量關系？為什么？

II.初步應用：

(2)如圖2,在△ABC紙片中剪去△CED,得到四邊形Zl=130°,則N2-NC=：

(3)小明聯想到了曾經解決的一個問題：如圖3,在△A8C中，BP、CP分別平分外角N/J8C、NECB,

NP與NA有何數量關系？請利用上面的結論直接寫出答案.

【變式2-3](2019春?鹽都區期中)(I)如圖I,已知4A8c為直角三角形，NA=90",若沿圖中虛線剪

去NA,則N1+N2等于

A90°旦135°C.2700D.3150

(2)如圖2,己知△A8C中，ZA=50a,剪去NA后成四邊形，則/1+/2=°.

(3)如圖2,根據(1)與(2)的求解過程，請你歸納猜想N1+N2與NA的關系是.

(4)如圖3,若NA沒有剪掉，而是若它折成如圖3形狀，試探究N1+N2與NA的關系并說明理由.

【模型3雙內角平分線模型】

【條件】BP、CP分別為NABC、NACB的角平分線.

t結論】ZP=90°+1ZA.

2

【例3】(2018秋?開封期中)如圖，中，

(1)若N8=70°,點P是△A4C的NBAC和N4C8的平分線的交點，求NAPC的度數.

(2)如果把(I)中N3=700這個條件去掉，試探索NAPC和N5之間有怎樣的數量關系.

B

【變式3-1](2018秋?徐聞縣期中)如圖，在△A8C中，N48C與NACB的平分線交于點O.

(1)如圖1,已知NA8C=40°,ZACB=6()a,求N8OC的度數.

(2)如圖2.已知N人=90°，求NAOC的度數.

(3)如圖1,設NA=〃/，求N80C的度數.

【變式3-2](2019春?南崗區期末)已知在△ABC中，ZA=100°,點3在8c的內部連接8Q,CD,

且NABO=NC8O,NACD=NBCD.

(1)如圖1,求N8OC的度數：

(2)如圖2,延長8。交AC于點E,延長CO交A8于點凡若/AEO?NAF7)=12°,求NA。/的度數.

【變式3-3](2019春?東阿縣期末)已知任意一個-:角形的三個內角色和是1800.如圖1,在△ABC中，

ZABC的角平分線BO與NACB的角平分線CO的交點為O

(1)若NA=70°,求/8O。的度數；

(2)若NA=m求/8OC的度數：

(3)如圖2,若80、C。分別是NAB。、NACB的三等分線，也就是/O8C=g/48C,NOCB=fNACB,

NA=a,求的度數.

OO

BB

圖1圖2

【模型4內外角平分線模型】

【結論】ZA=1ZP.

2

【例4】（2018秋?江岸區期中）如圖，△ABC中，NA8C與NAC5的外角的平分線相交于點￡

（1）己知NA=60°,求NE的度數：

【變式4-1］（2019秋?衛濱區校級期中）如圖，△A8C的外角NACO的平分線。戶與內角NABC平分線8P

交于點P，若N8PC=40°,求NCA8的度數.

【變式4-2］（2019秋?莆田校級期中）如圖所示，已知3。為aABC的角平分線，C。為aABC外角N4CE

的平分線，且與3。交于點。；

(1)若N48C=60°,ZDCE=70°,則NO=°:

(2)若N48C=70°,NA=80",則NO=°:

(3)當NA8c和NAC8在變化，而/A始終保持不變，則/。是否發生變化？為什么？由此你能得出什么

【變式4-3](2018秋?彭水縣校級月考)如圖，已知BO是△ABC的角平分線，C。是△A8C的外角乙4CE

的外角平分線，CD與BD交于點D.

(1)若NA=50°,則NO=:

(2)若NA=80°,則NO=；

(3)若NA=130°,則NO=:

(4)若NO=36°,則NA=；

(5)綜上所述，你會得到什么結論？證明你的結論的準確性.

【模型5雙外角平分線模型】

【條件】BP、CP分別為NEBC、NBCD的角平分線.

【結論】NP=90°qNA.

2

【例5】（2018秋?鄂倫春自治旗月考）如圖，人鉆。中，分別延長△ABC的邊A3、AC至U。、E,NCBD

與N3CE的平分線相交于點P,愛動腦筋的小明在寫作業的時發現如下規律：

（1）若NA=60°,則/尸='；

（2）若NA=40°,則/尸='；

（3）若NA=100°,則/尸=°；

（4）請你用數學表達式歸納NA與NP的關系.

【變式5-1］（2019秋?團風縣校級月考）BD、CZ）分別是AABC的兩人外角NC8E、NBC/的平分線,

求證：N8OC=90°--7^A.

A

【變式5-2](2019春?雨城區校級期中)如圖，BLC7分別平分△A8C的外角/DBC和NEC&

(1)若NA3C=40°,NAC8=36°,求N8/C的大小；

(2)若NA=96°,試求N8/C；

(3)根據前面問題的求解，請歸納/3/C和N4的數量關系并進行證明.

【變式5-3]如圖，在△A8C中，BD,C。是內角平分線，BP,CP是/ABC,NACZ?的外角平分線，分別

交于點。，P.

(1)若乙4=30°,求N8OC,/4PC的度數.

(2)若乙4=小°,求NBDC,/3PC的度數(直接寫出結果，不必說明理由)

(3)想一想，NA的大小變化，對NZH/尸的值是否有影響，若有影響，請說明理由，若無影響，直接求

【結論】ZA+ZB=ZD+ZE.

【例6】(2019春?輝縣市期末)圖1,線段A3、CO相交于點。，連接八。、CB,我們把形如圖1的圖形稱

之為“8字形”.如圖2,在圖1的條件下，/ZMB和N3CO的平分線AP和CP相交于點P,并且與CD、

A8分別相交于M、N.試解答下列問題：

(1)在圖1中，請直接寫出乙4、NB、NC、NO之間的數量關系：:

(2)仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數：個：

(3)圖2中，當NO=50度，NB=40度時，求NP的度數.

(4)圖2中N。和N3為任意角時，其他條件不變，試問NP與N。、N8之間存在著怎樣的數量關系.(直

接寫出結果，不必證明).

【變式6-1](2018春?新泰市期中)已知：如圖，AM,CM分別平分/區4。和N3CD

①若N8=32°,ZD=38°,求NM的度數;

②探索NM與N5、N。的關系并證明你的結論.

B

M

D

【變式6-2]（2018秋?南昌期中）如圖1,已知線段48、CQ相交于點。，連接AC、BD,則我們把形如這

樣的圖形稱為“8字型”.

(1)求證：N4+NC=NB+NO；

（2）如圖2,若NC48和N8QC的平分線AP和QP相交于點P,且與C。、分別相交于點M、N.

①以線段AC為邊的“8字型”有個，以點。為交點的“8字型”有個：

②若NB=10（r,ZC=120°,求NP的度數：

@若角平分線中角的關系改為NCA”,ZCD/*=1^CDB\試探究N/＞與N。、NC之間存在

【變式6-3]（2018秋?青島期末）【問題背景】

（1）如圖1的圖形我們把它稱為“X字形”，請說理證明NA+N“=NC+/〃

【簡單應用】

（2）如圖2,AP.CP分別平分/BAD、/BCD,若NABC=20°,ZADC=26°,求NP的度數（可直接

使用問題（1）中的結論）

【問題探究】

（3）如圖3,直線AP平分/朋。的外角/用D,CP平分NBC。的外角NBCE,若NA3C=36°,ZADC

=16°,猜想NP的度數為

【拓展延伸】

（4）在圖4中，若設NC=x,NB=y,NC4P=；NC4&NCDP=；NCDB,試問N/）與NC、NB之間

的數量關系為（用小），表示NP）

（5）在圖5中，AP平分NBA。，CP平分NBCO的外角N8CE,猜想NP與N8、NZ）的關系，直接寫出

結論，

【模型7燕尾模型】

AA

【結論】ZBPC=ZA+ZB+ZC.

【例7】（2019春?冠縣期末）（1）探究：如圖I,求證：NBOC=NA+NB+NC.

（2）應用：如圖2,NA8C=100",NOE尸=130°,求N4+NC+NO+N尸的度數.

【變式7-1］（2019秋?平度市期末）材料閱讀：如圖①所示的圖形，像我們常見的學習用品-圓規.我

們不妨把這樣圖形叫做“規形圖”.

解決問題：

.4

（】）觀察“規形圖”，試探究N8QC與N4,/艮NC之間的數量關系，并說明理由：

（2）請你直接利用以上結論，解決以下兩個問題：

I.如圖②，把一塊三角尺。EF放置在△A8C上，使三角尺的兩條直角邊。￡,Q尸恰好經過點8,C,若

ZA=40°,則NA8D+NACO=°.

II.如圖③，8。平分NA8P,C。平分N4CP,若乙4=40°,ZfiPC=130°,求N8OC的度數.

【變式7-2］（2019秋?阜陽月考）在數學學習中整體思想與轉化思想是我們常用到的數學思想.如圖（I）

中，求NA+N8+NC+NQ+NE的度教等于多少時，我們可以連接CO,利用三角形的內角和則有NB+NE

=NECD+NBDC,這樣NA、NB、NC、ND、NE的和就轉化到同一個△AC。中，

即NA+N8+NC+//HNE=18（）°.

圖（2）中N4+N3+NC+NO+/E的度數等于.

圖（3）中N4+N3+NC+NO+/E的度數等于.

圖（4）中NA+N8+NC+NO+NE+NF的度數等于.

【變式7-3］（2019秋?襄城區期中）已知：點。是△A8C所在平面內一點，連接A。、CD.

（1）如圖1,若NA=28°,ZZ?=72°,ZC=11O,求N4OC；

（2）如圖2,若存在一點P,使得P5平分NA3C,同時P。平分NAOC,探究NA,NP,NC的關系并證

明；

（3）如圖3,在（2）的條件下，將點。移至NA3C的外部，其它條件不變，探究NA,NP,NC的關系

并證明.

AA

CC'

圖1圖2圖3

【模型8箏型】

【結論】ZPBD+ZPCD=Z/\+ZP

【例8】(2019春?邳州市校級月考)如圖,在折紙活動中,小明制作了一張△ABC紙片，點。、E分別在

邊AB、AC上，將△ABC沿著。E折蒞壓平，A與A'國曷合.

(1)若NA=75。,則Nl+N2=______.

(2)若NA=〃°,則Nl+/2=______.

(3)由(1)(2)探索NA與N1+N2之間的數量關系,并說明理由.

C

【變式8-1](2018春?遷安市期末)動手操作：

一個三角形的紙片ABC沿OE折疊，使點A落在點人'處.

觀察猜想

（1）如圖1,若NA=40°,則Nl+/2=°：

若NA=55°,則Nl+N2=°：

若NA=〃°,則Nl+N2=°.

探索證明：

（2）利用圖I,探索N1、/2與NA有怎樣的關系？請說明理由.

拓展應用：

（3）如圖2,把△人/?（?折疊后，HA'平分NAAC,CA'平分N4。,若Nl+N2=10g",利用（2）中結

論求NZM'C的度數.

【變式8-2］（2019春?宿城區校級月考）RlaABC中，NC=90°,點D、E分別是△ABC邊人C、BC卜.的

點,點尸是一動點.令NPDA=/1,NPEB=N2,ZDPE=Za.

（1）若點尸在線段八8上，如圖（1）所示，且Na=50°,求N1+N2的度數：

（2）若點尸在邊AB上運動，如圖（2）所示，則Na、Nl、N2之間有何關系？猜想并說明理由：

（3）若點P運動到邊AB的延長線上，如圖（3）所示，直接寫出Na、Nl、N2之間關系為：.（不

需說明理由）.

cc

圖1圖2

圖3

【變式8-3](2019秋?南漳縣校級月考)如圖(I),在折紙活動中，小明制作了一張△ABC的紙片，點Z)、

E分別在A3、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與4,重合，若/A=70°,則NI+/2=；

如圖(2),當點A落在AAAC.外部時，那么/2-/1=.

圖1圖2

專題02角度計算中的經典模型【舉一反三】

模型1雙垂直模型

模型2A字模型

模型3雙內角平分線模型

模型4內外角平分線模型

K典豳加I

【模型1雙垂直模型】

【條件】NR=ND=NACE=90。.

【結論】ZBAC=ZI)CE,ZACB=ZCEI).

【例1】(2019春?潤州區校級月考)如圖，在△ABC中,NACB=90°,戶是AC延長線上一點,FDJ.AB,

垂足為。，與相交于點E,NBED=55°.求NA的度數.

【分析】首先由FOL4B于。，根據直角三角形兩銳角互余得出N8￡O+N3=90°,同理，由NACB=

90°,得出NA+N8=90°,然后根據同角的余角相等得出NA=N8￡7J=55°.

【答案】解：；FO_LA8于。，

:.NBED+NB=90",

VZACB=909,

.?.NA+NB=900,

??.NA=N8￡O=55°.

【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質以及余角的性質，比較符單.

【變式1-1］（2019秋?涼州區校級期中）如圖,ZkABC中，NB=NC,FDLBC,DE工AB,ZAFD=\52°,

【分析】利用外角性質可求得NC,在△ABC中利用三角形內角和定理可求得NA.

【答案】解：

AZroC=90°,

VZAFD=152Q,

：.ZC=ZAFD-ZFDC=152°-90°=62°,

":/B=/C,

??.NA=180°-ZZ?-ZC=180°-62°-62°=56°.

【點睛】本題主要考查三角形內角和定理，掌握三角形三個內角和為180°是解題的關鍵.

【變式1-2］（2019春?蓮湖區期中）如圖，在aACB中，NAC8=90CO_LA3于。.

（1）求證：NACO=N3：

（2）若4/平分NC44分別交C。、8C于E、F,求證：/CEF=/CFE.

【分析】（1）由于NAC。與都是/3C。的余角，根據同角的余角相等即可得證;

（2）根據直角三角形兩銳角互余得出NCM=90'-ZCAF,NA占0=90°-NOAE,再根據角平分線

的定義得出NCAF=ND4￡,然后由對頂角相等的性質，等量代換即可證明NCE"=NCFE.

【答案】證明：（1）???/AC8=90°,CDLAB于Q,

AZACD+ZBCD=9（）°,NB+N8CD=90°,

：.NACD=NB；

（2）在RtZXAFC中，ZCM=900-ZCAF,

同理在RtZkAEQ中，ZAED=9（）°-ADAE.

又："平分NC4B,

:.NCAF=NDAE,

二ZAED=/CFE,

又,：，CEF=ZAED,

：.NCEF=NCFE.

【點睛】本題考查了直角三角形的性質，三角形角平分線的定義，對頂角的性質，余角的性質，難度適

中.

【變式如圖①，在RLM8C中，N4c8=90°,CDA.AB,垂足為。，NACO與N8有什么關系？

為什么？

（2）如圖②，在RtZ\48C中，/C=90°,。、E分別在AC,AB上,且NAOE=N-判斷△/1/用的形

狀是什么？為什么？

（3）如圖③，在RtZ\A8c和RtAOBE中，ZC=90°,ZE=90°,ABA.BD,點C,B,E在同一直線上,

【分析】（1）根據直角三角形的性質得出/4。開/A=/8+/。。8=90°,再解答即可；

（2）根據直角三角形的性質得出/AOE+NA=NA+N8=90",再解答即可；

（3）根據直角三角形的性質得出入4&:+/4=/48。+/。/^=//用/懺/￡>=90°,再解答即可.

【答案】解：（I）ZACD=ZB,理由如下：

??,在RtaABC中，/AC8=90°,CDA.AB,

.?./48+/4=/8+/。。8=90°,

:.NACD=NB：

（2）△?1￡）￡是直角三角形.

???在RtaABC中，ZC=90°,。、E分別在AC,48上，且NAQ￡=N8,NA為公共角,

AZAED=ZACB=9（）a,

.?.△AQE是直角三角新；

（3）Z4+ZD=90°.

二,在和Rt2\/J8￡中，NC=90°,N￡=90°,AHA.HD,

：.ZABC+ZA=ZABC+ZDBE=NDBE+ND=90",

：.ZA+ZD=9（）°.

【點睛】此題考查直角三角形的性質，關鍵是根據直角三角形的性質得出兩銳角互余.

【模型2A字模型】

【結論】ZBDE+ZCED=180°+ZA

【例2】（2019春?資中縣月考）如圖所示，AABC中，ZC=75°,若沿圖中虛線截去NC,則N1+N2等

于多少度？

【分析】根據三角形內角和定理求出N/UN從根據多邊形的內角和公式求出即可.

【答案】解：VZA+ZB+ZC=180°,

AZA+ZB=1800-ZC,

VZC=75°,

AZA+ZB=180°-75°=105°，

VZl+Z2+ZA+ZZJ=360°,

.?.Nl+/2=360°-(/A+N8),

?,.Nl+N2=360°-105°=255°.

【點睛】本題考查了三角形的內角和定理和多邊形的內角和公式，能熟記定理是解此題的關鍵.

【變式2-1](2019春?長沙縣校級期中)如圖，已知/八=40°,求N1+N2+N3+N4的度數.

【分析】根據三角形的內角和定理分別求得N1+/2,Z3+Z4,就可求得最后結果.

【答案】解：???N4=40°,

.,.Zl+Z2=Z3+Z4=180°-ZX=140a.

.,.Zl+Z2+Z3+Z4=280°.

【點睛】此題主要是三角形內角和定理的運用.

【變式2-2](2019春?吁胎縣期中)我們容易證明，三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內角的和，那么,

三角形的一個內角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數量關系呢？

（圖1）（圖2）

（圖3）

I.嘗試探究:

(1)如圖1,NO8C與NEC8分別為△ABC的兩個外角，試探究/人與ND8C+NEC8之間存在怎樣的數

量關系？為什么？

II.初步應用:

(2)如圖2,在△ABC紙片中剪去△(?￡：?得到四邊形A8DE,Zl=130°,則N2-NC=

(3)小明聯想到了曾經解決的一個問題：如圖3,在△A8C中，BP、CP分別平分外角ND8C、/ECB,

NP與NA有何數量關系？請利用上面的結論直接寫出答案

【分析1（1）根據三角形的一個外帶等于與它不相鄰的兩個內角的和表示出NQ8C+NEC8,再利用三角

形內角和定理整理即可得解：

（2）根據（1）的結論整理計算即可得解：

（3）表示出NO8C+NEC8,再根據角平分線的定義求出N〃BC+N/>C8,然后利用三角形內角和定理列

式整理即可得解：

【答案】解：（1）NDBC+NECB

=180°-N4Adi800-ZACH

=360°-（NABC+NAC8）

=360°-（180°-NA）

=180°+NA；

（2）VZ1+Z2=Z18O0+ZC,

.?.130°+Z2=180;，+NC,

AZ2-ZC=50a：

（3）N/?C+NEC8=180"+ZA,

?；BP、”分別平分外角ND8C、/ECB,

:"PBC+/PCB=LQDBC+/ECB）=工（180。+ZA）

22

在8c中，/尸=180°■工（1X0°+/A）=90°?工/4

22

即NP=90°-工/4：

2

故答案為：50°,/k=9。°-

2

【點睛】本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，三角形的內角和定理，

角平分線的定義，熟記性質并讀懂題目信息是解題的關鍵.

【變式2-3］（2019春?鹽都區期中）（1）如圖1,已知aABC為直角三角形，ZA=90°,若沿圖中虛線剪

去NA,則N1+N2等于

人90°A1350C.270°0.315°

B

（2）如圖2,已知△ABC中，NA=50°,剪去/人后成四邊形，則Nl+N2=

（3）如圖2,根據（1）與（2）的求解過程,請你歸納猜想N1+N2與NA的關系是.

（4）如圖3,若/A沒有剪掉，而是?C它折成如圖3形狀，試探究/1+N2與NA的關系并說明理由.

【分析】（1）利用了四邊形內角和為360°和直角三角形的性質求解；

（2）根據三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和求解；

（3）根據（1）（2）可以直接寫出結果：

（4）根據折疊的性質，對應角相等，以及鄰補角的性質即可求解.

【答案】解：（1）??,四邊形的內角和為360°,直角三角形中兩個銳角和為90°

.,.Zl+Z2=360°-（NA+N8）=360°-90°=270°.

JN1+N2等于270°.

故選C：

（2）Zl+Z2=180°+50°=230°.

故答案是：230；

（3）N1+N2與NA的關系是:Zl+Z2=180°+ZA：

故答案是：Zl+Z2=180°+NA：

（4）?.?△EEP是由外折祿得到的，

:"AFE=NPFE,NAEF=/PEF

.,.Zl=180a-2NAFE,Z2=180°-2ZAEF

.,.Zl+Z2=360°-2（NAFE+NAEF）

又YNA產E+NAE尸=180°-NA,

...N1+N2=36O°-2（180°-NA）=2NA,

即N1+N2=2NA.

【點睛】主要考查了三角形的內角和外角之間的關系.

（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和.

（2）三角形的內角和是180度.求角的度數常常要用到“三角形的內角和是180°”這一隱含的條件.

【模型3雙內角平分線模型】

【條件】BP、CP分別為NABC、NACB的角平分線.

【結論】NP=90°+-J-ZA.

2

【例3】（2018秋?開封期中）如圖，△ABC中，

（1）若N8=70°,點P是AABC的NBAC和NACB的平分線的交點，求NAPC的度數.

（2）如果把（1）中N8=70°這個條件去掉，試探索NAPC和N8之間有怎樣的數量關系.

【分析】（1）依據點P是△A8C的/8AC和/4C8的平分線的交點，即可得到/%C=L/E4C,ZPCA

2

=IZZ;CA,再根據三角形內角和定理，即可得到NAPC的度數.

2

（2）依據點P是aABC的/BAC和/ACB的平分線的交點，即可得到/用C=LNBAC,NPCA==/

22

BCA,進而得出/出C+/PCA=L（/以C+NPCA）,再根據/P=180°-（/以C+/PCA）進行計算

2

即可.

【答案】解：（1）VZB=70°,

??.NBAC+N3CA=110°,

,??點P是aABC的N3AC和ZACB的平分線的交點，

N/XC=L/8AC,ZPCA=—ZHCA,

22

??.NB4C+NPCA=L(/以C+NPCA)=^X1IO°=55°,

22

AZP=180°-55°=125°：

(2)???點P是△ABC的/孫C和/ACB的平分線的交點,

?，./出C=L/8AC,/尸CA=L/BC4,

22

：.^PAC+ZPCA=1-(ZBAC+ZPCA),

2

AZP=180°-(.ZPAC^ZPCAy

=180°-L(N8AC+N5c4)

2

=180°(180°?/8)

2

=90。+-kzB.

2

【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理以及角平分線的定義，解決問題的關鍵是掌握三角形內角和

定理：三角形內角和是1800.

【變式3-1](2018秋?徐聞縣期中)如圖，在△48。中，/A8c與NACB的平分線交于點。.

(1)如圖1,己知NA8C=40°,ZACZJ=60°,求N8OC的度數.

(2)如圖2,已知乙4=90",求NBOC的度數.

(3)如圖1,設乙4=m°,求/80C的度數.

【分析】根據三角形內角和定理以及角平分線的定義求解即可:

【答案】解：⑴???8C平分NA8C,NABC=40°,

：.ZOBC=^-ZABC=20°,

2

,；CO平分NACB,ZACB=60a,

：.ZOCB=1-ZACB=W，

2

AZBOC=180°-20°-30°=130°.

(2)VZA=90°,

AZABC+ZACB=180°-90°=90°,

乂??,/O8C=L/A8C,/OC8=L/AC8,

22

：.NOBC+NOCB=45°,

??.N3OC=180°-45°=135°.

(3)VZA=m°

??.NA3C+/4C8=I8O°-m°，

又,.,NO8C=LNA8C,ZOCB=kzACB,

22

："OBC+/OCB=90°-L?。，

2

AZBOC=90°+L/

2

【點睛】本題考查三角形內角和定理，角平分線的定義等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問

題,屬于中考常考題型.

【變式3-2］（2019春?南崗區期末）已知在△A3C中，NA=100°,點。在AABC的內部連接8D,CD,

且NA3O=NC8。，NACD=/BCD.

（1）如圖1,求N8OC的度數;

（2）如圖2,延長8。交AC于點E,延長C。交A3于點凡若N4ED-NA"O=12°,求/ACT的度數.

(圖1)(圖2)

【分析】（1）依據三角形內角和定理以及角平分線的定義，即可得到NBDC的度數;

（2）設NAC”=a,則/BCO=a,ZCBD=40°-a=ZABD,依據三角形外角性質，即可得到N4E。

=NAC”+NC。凡NA/7）=NABE+/3。凡再根據/AE。-NA/D=12°,即可得到a的值.

【答案】解：（1）???NA=100°,

.?.NA8C+NAC8=80”,

又,：NABD=NCBD,NACD=NBCD,

：.ZCBD=1-ZABC,NBCD=L〃CB,

22

??./CB/)+/8CO=L(/A8C+/ACB)=40。,

2

??.N80C=I80°-40°=140°；

(2)設/AC”=a,則N3CO=a,

VZ/?DC=I4O°,

.,.ZC5D=40°-a=ZABD,

VZAED是△OCE的外角，ZAFD是尸的外角，

:.ZAED=^ACF+ZCDF,ZAFD=NABE+NBDF,

：.^AED-ZAFD=ZACF+^CDF-ZABE-^BDE=a-<400-a)=12°,

解得a=26°,

AZACF=26°.

【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理以及三角形外角性質的運用，解題時注意：三角形內角和是

180°.

【變式3?3】(2019春?東阿縣期末)已知任意一個三角形的三個內角的和是180°.如圖1,在△ABC中,

NA8C的角平分線8。與NAC3的角平分線CO的交點為O

(1)若NA=70°,求N30。的度數;

(2)若NA=a,求N8O。的度數；

(3)如圖2,若BO、CO分別是/ABC、NAC8的三等分線，也就是/04C=gNA4C,ZOCZ?=|ZACB,

NA=a,求NBOC的度數.

【分析】(1)根據三角形的內角和定理求出N/1BC+N/ICB,根據角平分線的定義求出/O8C+NOCB,

根據三角形內角和定理求出即可：

⑵根據三角形的內知和定理求出/A8C+N4C8,根據角平分線的定義求出NO8C+NOC8,根據三角

形內角和定理求出即可：

(3)根據三角形的內角和定理求出N48C+NAC8,求出NO8C+N0C8,根據三角形內角和定理求出即

可.

【答案】解：(1)???NA=70°,

.?.48dNACB=180°-Z4=1IO°,

:在△ABC中，ZABC的角平分線B。與N4C8的角平分線C。的交點為。，

.\ZOBC=^ZABC,ZOCB=^/ACB,

220

:.NOBC+NOCB=L(NABC+NACB)=55°，

2

??.N30C=I80°-(N03C+/0C8)=125°；

(2)??NA=a,

??.NA3C+/AC8=I8O°-ZA=I3O0-a,

??,在△ABC中，ZABC的角平分線BO與/ACB的角平分線CO的交點為O,

：.ZOBC=^ZABC,ZOCB=^./ACB,

22

.,.NOBC+NOC”工(NA8C+NACB)=-^(180°-a)=90°--^a，

222

??,/8OC=180°-(NORC+NOCB)=180°-(90°-^a)=90°+—a-

22

(3)???NA=a,

r.ZABC+ZACB=1800-NA=IS00-a,

VZOBC=—ZABC,ZOCB=^ACB,

33

...NOBC+NOC8=L(NA8C+NACB)=-^(180°-a)=60°--^a，

333

???/6OC-180。-(/OBC+JOCB)-180°-(60°-1a.)-1200Q.

33

【點睛】本題考查了三角形的內角和定理和角平分線的定義，能求出/O8C+NOC3是解此題的關鍵,

求解過程類似.

【模型4內外角平分線模型】

【條件】BP、CP分別為NABC、NACD的角平分線.

【結論】ZA=1ZR

【例4】（2018秋?江岸區期中）如圖，AABC中，N48c與N4C8的外角的平分線相交于點￡

（1）己知N4=60°,求NE的度數;

【分析】（1）根據角平分線的定義得到NECO=L/ACDNEBC=LNABC,根據三角形的外角的性質

22

計算：

（2）仿照（1）的計算過程證明.

【答案】解：（1）VCE.BE分別平分NACD、/ABC,

;.NECD=LNACD,NEBC=L/ABC,

22

AZE=AECD-ZEBD=1-（ZACD-ZABC）=L/A=30°；

22

（2）由（1）得，NE=L/A,

2

I.NA=2NE

故答案為：ZA=2ZE.

【點睛】本題考查的是角平分線的定義，三角形的外角的性質，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰

的兩個內角的和是解題的關鍵.

【變式4-1］（2019秋?衛濱區校級期中）如圖，△八8。的外角NACO的平分線CP與內角NABC平分線3P

交于點P.若NBPC=40°,求NC48的度數.

【分析】根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得NACO=N&IC+N/3CNPCD=

/P+/〃CB,根據角平分線的定義可得/PC/）=L/AC。，NPBC=LNABC,然后整理得到/PCQ=

22

400+L/A8C,再代入數據計算即可得解.

2

【答案】解：在△A8C中，ZACD=ZBAC+ZABC,

在APBC中，NPCD=NBPC+NPBC,

?；PB、PC分別是NA8C和NA。。的平分線，

.,.ZPCD=A.ZACD,NPBC=L/ABC,

22

二ZPCD=NRPC+/PRC=4U°+^ZABC,

2

.」NACO=L/"C+4（r,

22

...NACO-NA8C=80°,

：.ZBAC=ZACD-ZABC=^，

即NCA8=80。.

【點睛】本題考查了三角形內角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，角

平分線的定義，熟記定理與性質并求出/產（曾=4。°+L/Azyc是解題的關鍵.

2

【變式4-2］（2019秋?莆111校級期中）如圖所示，已知8。為△A8C的角平分線，CO為△ABC外角N4CE

的平分線，且與8。交于點。：

（1）若NA8C=60°,NOC￡=70°,則ND=°：

（2）若NA8C=70°,ZA=80°,則NO=°:

（3）當NABC和/人CB在變化，而/人始終保持不變，則/。是否發生變化？為什么？由此你能得出什么

結論？（用含N/\的式子表示ND）

B

【分析】(1)根據三角形內角和定理和三角形外角的性質即可求得；

(2)根據三角形內角和定理和三角形外角的性質即可求得；

(3)根據三角形內角和定理以及角平分線性質，先求出N。、NA的等式，推出即可求得

2

結論.

【答案】解：(I):8。為△ABC的角平分線，N4BC=60°,

??.NOBC=30°,

VZDCE=70°,

:./D=/DCE-/DBC=：O0-30°=40°：

(2)VZABC=70°,NA=80°,

?IZACE=150°

,：BD為△ABC的角平分線，CD為△ABC外角/ACE的平分線，

AZD?C=1Z4^C=35°,ZDCE=lzACE=750,

22

：,ZD=ZDCE-^DBC=75°-35°=40°；

(3)不變化,

理由；?:/DCE=NDBC+/D,

：.ZD=^