選修1—1、1-2數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

第一部分簡單邏輯用語

1、命題：用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句.

真命題：判斷為真的語句.假命題：判斷為假的語句.

2、“若「，則夕”形式的命題中的p稱為命題的條件，g稱為命題的結(jié)論.

3、原命題：“若夕,則逆命題：“若q,則

否命題：“若「P,貝廠”逆否命題：”若「九則「P"

4、四種命題的真假性之間的關(guān)系：

(1)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

(2)兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系.

5、若pnq,則p是q的充分條件，q是p的必要條件.

若poq，則P是<7的充要條件(充分必要條件).

利用集合間的包含關(guān)系：例如：若Aq8,則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B,則A是

B的充要條件；

6、邏輯聯(lián)結(jié)詞：⑴且⑷⑷：命題形式〃△</；⑵或(or)：命題形式pvq；

⑶非(not)：命題形式「p.

P7q

Pqp「P

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假真

7、⑴全稱量詞一“所有的”、“任意一個(gè)”等，用“V”表示；

全稱命題p：VxeA/,p(x)；全稱命題p的否定-)p：3%eM,->/?(%).

⑵存在量詞——“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”等，用“三”表示；

特稱命題p：HxeM,p(x)；特稱命題p的否定「p：VxeM,-,p(x)；

第二部分圓錐曲線

1、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)片，鳥的距離之和等于常數(shù)(大于|村名|)的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓.

即：|町|+|g|=2a,(2a>|耳瑪|)。

這兩個(gè)定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為橢圓的焦距.

2、橢圓的幾何性質(zhì)：

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

r

圖形d

3O

X!\二)

2292

廠+廣_廣+廠

標(biāo)準(zhǔn)方程靛+/-l(a>/?>0)=l(4Z>/?>0)

范圍一QWxW。且一〃<yK5一。WxWZ?且一。＜＞＜。

A1(一〃,0)、A2(?,0)A】（0,—a）、A、（0,a）

頂點(diǎn)

B/0,詢、B2(O,^)B4-b，。）、B2（^,0）

軸長短軸的長=2b長軸的長=2。

焦點(diǎn)耳（-G。）、居（c,0）6(o,—c)、6(0,c)

焦距內(nèi)馬=2<?卜2=/_/)

對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱

e=—=J1-<(0<e<1)

離心率

a\a

3、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)石，巴的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于［村入|）的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線.即:

\\MFl\-\MF2\\=2a,（2a＜\FiF21）.

這兩個(gè)定點(diǎn)稱為雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為雙曲線的焦距.

雙曲線的幾何彳生質(zhì)：

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

/

圖形71V5

zT\

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程點(diǎn)一方=1（。＞。/＞。）為一a=l(a>0力>。)

范圍x<-a^x>afyG7?y<-a^y>a,xwR

頂點(diǎn)A1(—q,0)、A2(a,0)A、(0,—a)、A2(0,a)

軸長虛軸的長=2。實(shí)軸的長=2。

焦點(diǎn)6(—G。)、鳥(GO)￡(0,—c)、6(0,c)

222

焦距\F{F2\=2C(C=a+b)

對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱

e=-=J1+^T(e>1)

離心率

a\a

b

漸近線方程y=±-xy=+-x

ab

5、實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線.

6、平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)廠和一條定直線/的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線.定點(diǎn)萬'稱為拋物線的焦點(diǎn)，定直

線/稱為拋物線的準(zhǔn)線.

7、拋物線的幾何性質(zhì)：

y2=2Pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

標(biāo)準(zhǔn)方程

(0>。)(p>o)(夕>。)(0>。)

fea

圖形務(wù)

頂點(diǎn)(0,0)

對(duì)稱軸X軸y軸

焦點(diǎn)戶停。）小,一￡l

準(zhǔn)線方程X--P-x_p.y=y=

22-22

離心率e=l

范圍x>0x<0y>0y<0

8、過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對(duì)稱軸且交拋物線于A、B兩點(diǎn)的線段AB,稱為拋物線的“通徑”，即卜2P.

7.橢圓的的內(nèi)外部

2222

（1）點(diǎn)P（X。,為）在橢圓——+yv=1（。>/?>0）的內(nèi)部<=>—Y+yy<1.

ab~ab~

2222

（2）點(diǎn)P（x0,y°）在橢圓一=1（。>b>0）的外部=—Y+>1.

abab"

8.直線與圓錐曲線相交的弦長公式［43|=J（%—期）2+（弘一%）2或

|A5|=J(l+%2)(%2—3)2=1%-aIJl+tan2a=|y—必iJl+cot2a(弦端點(diǎn)人(2/1),8(%2，了2)，由

v—kx+b

方程《，一消去y得到af+8工+，=0,。為直線AB的傾斜角，上為直線的斜率).

[F(x,y)=O

9.雙曲線的內(nèi)外部

2222

(1)點(diǎn)尸(X。,為)在雙曲線一x—七~=1(。>0,Z?>0)的內(nèi)部—學(xué)->1.

ab~a~b-

2222

(2)點(diǎn)PS。,％)在雙曲線[一1=1(4>0，8>0)的外部=烏一冬<1?

a~b~a~b~

10.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系

2222

(1)若雙曲線方程為「一二=10漸近線方程：「―[=0。y=±?x.

aba-b-a

2222

(2)若雙曲線與二?-5=1有公共漸近線，可設(shè)為二-4=入(入〉0,焦點(diǎn)在x軸上，入<0,焦點(diǎn)在

a2b2a2b2

y軸上).

9、焦半徑公式：

若點(diǎn)P伍,為)在拋物線y=2px(p>。)上，焦點(diǎn)為F，則.習(xí)=%+日:

若點(diǎn)P(M，yo)在拋物線f=2py(p>0)上，焦點(diǎn)為F,則|PF|=%+日;

第三部分導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1、函數(shù)/(x)從占到毛的平均變化率：/3)一/(為)

馬—%

2、導(dǎo)數(shù)定義：/(x)在點(diǎn)/處的導(dǎo)數(shù)記作y|=/,(x。)=1加=%+口一八%)；。

'XBX°As。Ax

3、函數(shù)y=〃x)在點(diǎn)不處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線>="”在點(diǎn)0&'/■))處的切線的斜率-

4、常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

①C=0；②(%")=〃②t；③(sinx)=cosx；@(cosx)=-sinx；

⑤(優(yōu))=a"lna；@(eA)=ex；⑦(log.%)=--—；⑧(Inx)

x\nax

5、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：

(1)[/(X)土g(x)]'=f'(x)±g'(x).

?

(2)[/(x>g(x)J=r(x)g(x)+/(x)g'(x).

?

/(X)_/'(x)g(x)—/(x)g'(x)

(g(x)=0)

(3)|_g(x)_[g(x)了

6、在某個(gè)區(qū)間(a,。)內(nèi)，若/'(x)>0,則函數(shù)y=〃x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;

若/'(x)<0,則函數(shù)y=/(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

7、求函數(shù)y=/(x)的極值的方法是：解方程r(x)=O.當(dāng)/'(%)=0時(shí)：

⑴如果在飛附近的左側(cè)r(x)>o,右側(cè)r(x)<o,那么/(不)是極大值；

(2)如果在不附近的左側(cè)/'(x)<0,右側(cè)r(x)>0,那么/(毛)是極小值.

8、求函數(shù)y=/(x)在［a,b］上的最大值與最小值的步驟是：

(1)求函數(shù)y=/(x)在(。㈤內(nèi)的極值；

(2)將函數(shù)y=/(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值/(。)，/僅)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是

最小值.

9、導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用：最優(yōu)化問題。

第四部分復(fù)數(shù)

1.概念：

(1)z=a+bi￡R=b=0(a,bGR)Oz=z<=>z2>0；

⑵z=a+bi是虛數(shù)O厚0(a力GR)；

(3)2=。+句是純虛數(shù)0。=0且厚0(2002+2=0(z#))oz2<0；

⑷a+bi=c+di<=>a=c且c=d(a,b,c,dGR)；

2.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其運(yùn)算：設(shè)zi=a+0i,Z2=c+di(a,4c,dGR),則：

⑴zi土Z2=(a+加土(c+J)i；

(2)z\.zz=(a+bi),(c+di)=Cac-bd)+(ad+bc)i；

(a+bi)(c-di)

(3)Z1.Z2ac+bd+賓，30)；

(c+di)(c-di)c2+d2

3.幾個(gè)重要的結(jié)論：

(1)(1±02=±2z；(4)_=,；-=-/-；

\-i1+z

(2)i性質(zhì)：T=4；i4n=l,z4n+l=i,i4n+2=-l,z4n+3=-i；i4n+i4n+'+iM+i4n+3=(y,

-1

(3)|z|=1<=>zz=loz=-Q

4.運(yùn)算律：(1)Z"'?Z〃=ZEX2)(Z〃T=Z"N3XZ|?Z2)〃'=Z/Z2'"(〃，，〃GN);

5.共施的性質(zhì):(1)(2,±z2)=Zj±z2；(2)Zjz2=Zj-z2；(3)(—)==；(4)z=z0

z?z?

7I7I

6.模的性質(zhì)：（Dllzj-|zIISz,±z國zJ+ZI；⑵|宇21=1z,IIZh⑶⑷|z"|=|z|"；

222Z

z2I2I

第五部分統(tǒng)計(jì)案例

1.線性回歸方程

①變量之間的兩類關(guān)系：函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系；

②制作散點(diǎn)圖，判斷線性相關(guān)關(guān)系

③線性回歸方程：;=以+〃（最小二乘法）

一〃___

-nxy

b=-^------__

{V2_注意：線性回歸直線經(jīng)過定點(diǎn)（x,y）。

/=1

a-y-bx

_

Z（Xj-x）（y,.-y）

2.相關(guān)系數(shù)（判定兩個(gè)變量線性相關(guān)性）：r=「“.

仕區(qū)—x）2￡（y—?

Vi=li=l

注：⑴r>0時(shí)，變量x,y正相關(guān)；r<0時(shí)，變量x,y負(fù)相關(guān)；

⑵①|(zhì)川越接近于1,兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；②接近于。時(shí)，兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相

關(guān)關(guān)系。

3.回歸分析中回歸效果的判定：

〃-AA〃A

⑴總偏差平方和：Z（y,-y）2⑵殘差：e,=y.一%；⑶殘差平方和：；⑷回歸平方和：

i=l/=1

一〃A

Z（%-y）2-X（w-w）2；⑸相關(guān)指數(shù)RI。

t*2=-之T—（％-萬:

/=1

注：①卡得知越大，說明殘差平方和越小，則模型擬合效果越好；

②玄越接近于1,,則回歸效果越好。

4.獨(dú)立性檢驗(yàn)（分類變量關(guān)系）：

隨機(jī)變量K2越大，說明兩個(gè)分類變量，關(guān)系越強(qiáng)，反之，越弱。

第六部分推理與證明

一.推理:

⑴合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有事實(shí),經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，在進(jìn)行歸納、類比，然后

提出猜想的推理，我們把它們稱為合情推理。

①歸納推理:由某類食物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者有個(gè)

別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理，簡稱歸納。

注：歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理。

②類比推理：由兩類對(duì)象具有類似和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，稱

為類比推理，簡稱類比。

注：類比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演繹推理：從一般的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，這種推理叫演繹推理。

注：演繹推理是由一般到特殊的推理。

“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：⑴大前提-----已知的一般結(jié)論；⑵小前提------所研究的特殊情況;

⑶結(jié)論------根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況得出的判斷。

二.證明

1.直接證明

⑴綜合法

一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成

立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法或由因?qū)Чā?/p>

⑵分析法

一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯

成立的條件（已知條件、定義、定理、公理等），這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法.

2.間接證明---反證法

一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原命題成立，這種

證明方法叫反證法。

選修4-4數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

一、選考內(nèi)容《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》高考考試大綱要求：

1.坐標(biāo)系：

①理解坐標(biāo)系的作用.

②了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.

③能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行

極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.

④能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形（如過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓）的方程.通過比較這些圖形在

極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，理解用方程表示平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義.

2.參數(shù)方程：①了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.

②能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程.

二'知識(shí)歸納總結(jié)：

1.伸縮變換：設(shè)點(diǎn)P（x,y）是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換°:J：='r'C＞（）），的作用下，點(diǎn)P（x,y）

,y=〃?y,（〃＞。）.

對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P'（x',y'）,稱9為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換。

2.極坐標(biāo)系的概念：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)。，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)。引一條射線Ox叫做極軸；再選定一個(gè)長度單

位、一個(gè)角度單位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆時(shí)針方向），這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.

3.點(diǎn)M的極坐標(biāo)：設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)。與點(diǎn)M的距離10Ml叫做點(diǎn)朋的極徑，記為°；以極軸Ox

為始邊，射線0M為終邊的“M叫做點(diǎn)M的極角，記為6。有序數(shù)對(duì)（0,6）叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記為

⑼.

極坐標(biāo)（0,。）與（pf+2k哈*eZ）表示同一個(gè)點(diǎn)。極點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,6）（。eR）.

4.若夕＜o(jì),則—0＞o,規(guī)定點(diǎn)(―Q,e)與點(diǎn)(夕,0)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱,即(-p,0)與(夕,%+0)表示同一點(diǎn)。

如果規(guī)定p＞O,O＜0＜27r,那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)3。)表示；同時(shí)，極坐標(biāo)

表示的點(diǎn)也是唯一確定的。

5.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化：p-=x2+y2,x=pcosO,

y

y=psinO,tan6=—