章末檢測卷(二)

(時間：120分鐘滿分：150分)

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中只有一項符

合題目要求)

1.設曲線"在點(1,0)處的切線與直線為—砂+1=0垂直，則〃=()

A--2B2

C.-2D.2

.__?口口(Inx)r(x+1)—Inx(x+1)'~^~x,,

解析由題思仔，y'~(t+])2=-(.+])2(x>0),.??曲線在點(1,0)處

的切線與直線x—ay+l=0垂直，.「：1=_a,解得〃=一；,故選A.

答案A

2.函數>=X4-2?+5的單調減區(qū)間為()

A.(—8,-1)和(0,1)

0)和(1,+8)

c.(-i,1)

D.(—8,—1)和(1,+~)

解析y=4x3-4x=4Xx2-l),令y<0得x的范圍為(-8,-i)u(0,1),故選A.

答案A

3.函數次0=/+浸+3尤-9在*=-3時取得極值，則。等于()

A.2B.3

C.4D.5

解析了(x)=3/+26+3.由.危)在x=-3時取得極值，即/(-3)=0,即27—6〃+3=0,：.a=5.

答案D

4.若函數段)=若仁>1)有最大值一4,則實數。的值是()

A.lB.-1

C.4D.-4

解析由函數,&0=若(;01),則〃x)=2"(二0”2=晨W,要使得函數犬X)有最大

值-4,則a<0,

則當xG(l,2)時，/(x)X),函數犬x)在(1,2)上單調遞增，

當xG(2,+8)時，/(x)<0,函數_/(x)在(2,+8)上單調遞減,

所以當x=2時，函數?x)取得最大值，即_/(幻?1穌=火2)=嗔7=-4,解得。=一1,滿足題意，故

選B.

答案B

5.已知函數<x)=x+2在(-8,—1)上單調遞增，則實數4的取值范圍是()

A.[l,+°°)B.(-8,0)U(0,1J

C.(0,1]D.(-8,O)U[1,+°0)

解析由題意知/(x)=l一忘，由于犬X)在(-8,—1)上單調遞增，則/(X)》。在(一8,-1)上恒

成立，即卜%2在(-8,—1)上恒成立.當《一1時，^>1,則有卜1,解得心1或a<0.故選D.

答案D

6.函數yu)=式的部分圖象大致為()

解析7(X)=K，定義域為(-8,o)u(o,+8),人一幻=一贅，則y(—x)=—y(x),y(x)為奇函

數，圖象關于原點對稱，故排除B；川尸鏟1,故排除A；..7?=支，當x>0時，可得/(x)=

3)",當Q1時，貝x)為增函數，故排除D.故選C

答案C

7.設〃=e,6=湛藍。=湛5，則。，b,c大小關系是()

\.a<c<bB.b<c<a

C.c<b<aD.c<a<b

Y]nJC—1

解析構造函數兀0=；；,則/(x)=Q2,當X>e時，/(x)>0,則_/U)在(e,+8)上單調遞增.

in人\in/

e37t

又e<3〈兀，.\Ae)勺(3)勺(兀)，即記故亦"尻故選A.

答案A

8.方程5—卜》-2=0的根的個數為()

A.OB.1

C.2D.3

解析令_/U)=G—Inx—2(x>0),則/(》)=5_,_；=曰工2,當xG(O,4)時，/(x)<0,次x)單調

遞減；當xe(4,+8)時，/(力>0,共力單調遞增,且再4)=2—In4—2<0,1/(e6)=e3-lne6-2=e3

-8>0,y(e-2)=e-|-lne^-2=1>0,結合函數零點存在定理可知函數在區(qū)間(0,4)上存在一個

零點，在區(qū)間(4,+8)上也存在一個零點，故方程G—lnx-2=0的根的個數為2.故選C.

答案C

二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中有多項符合

題目要求，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的不得分)

9.已知函數./U)及其導函數/(X),若存在即，使得,危吟=/(即),則稱xo是_/(x)的一個“巧值點”，

則下列函數中有“巧值點”的是()

A.f(x)=x2

C.J(x)=\nxD./U)=:

解析A.jf(x):=2x,由f=2x得x=0或x=2,有“巧值點”；

B./(x)=-e-x,—er=e=無解，無“巧值點”；

C/(x)=p方程lnx=；有解，有“巧值點”；

D/a)=—%,由(=一己，得工=一1,有“巧值點”.

答案ACD

10.將y=危)和y=/(x)的圖象畫在同一個直角坐標系中，不正確的是()

解析對于A選項，由函數y=/(x)的圖象可知，/(0)=0,但函數y=/U)在x=0處的切線斜率不

存在，不合乎題意；

對于B選項，由函數y=/(x)的圖象可知，函數y=#x)存在增區(qū)間，但B選項的圖中，函數y=/(x)

沒有增區(qū)間，不合乎題意；

對于C選項，由函數y=/(x)的圖象可知，函數y=#x)在R上為增函數，合乎題意；

對于D選項，由函數y=/(x)的圖象可知，函數y=/(x)有兩個單調區(qū)間，但D選項的圖中，函數

y=#x)有三個單調區(qū)間，不合乎題意.故選：ABD.

答案ABD

11.定義在區(qū)間[一/4上的函數力0的導函數/(X)圖象如圖所示，則下列結論正確的是()

A.函數,/(X)在區(qū)間(0,4)單調遞增

B.函數段)在區(qū)間(一；，0)單調遞減

C.函數兀t)在x=l處取得極大值

D.函數兀r)在x=0處取得極小值

解析根據導函數圖象可知，段)在區(qū)間(一/0)上，f(x)<0,段)單調遞減，在區(qū)間(0,4)±,

/(x)>0,7U)單調遞增.所以y(x)在x=0處取得極小值，沒有極大值.所以A,B,D選項正確，C選

項錯誤.故選ABD.

答案ABD

12.定義在(0,+8)上的函數1x)的導函數為了(x),且5+1?a)一兀0<彥+2￥對xd(0,+8)恒成

立.下列結論正確的是()

A.現(xiàn)2)一沫1)>5

B.若負1)=2,x>l,則/0)>/+5+^

C/3)-2/(l)<7

D.若#1)=2,0<r<l,則/0')>/+5+]

解析設函數雙*)=與/，

[ff(x)—2x](x+1)—(/(x)—x2)(x+1)f(x)—f(x)—(x2+2x)

則nl---------(x+l)2-----------=-------1一品廣-------------

因為(x+l)f(x)—J(x)<x2+2x,所以g'(x)<0,

故g(x)在(0,+8)上單調遞減，從而g(l)>g(2)>g(3),整理得加2)一浜1)<5,

13)一41)<7,故A錯誤，C正確.

當0<x<l時，若41）=2,因為ga）在（0,+8）上單調遞減，所以g（x）>g（i）=5|，艮兇-f-（-XI）,---Y->71,

乙XI1乙

即火工）>爐+/+/.故D正確，從而B不正確.

即結論正確的是CD,故選CD.

答案CD

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上）

13.已知函數/）=Dosx+sinx,則_/（；）的值為.

因為了（幻=一了。）

解析sinx+cosx,

所以暗）=—/（；）sinJ+cosJ

整理，得了（9=1一1.

故由信）=暗｝。$：+sin解得痣）=1.

答案1

14.某公司租地建倉庫，每月土地占用費%（單位：萬元）與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存

貨物的運費以單位：萬元）與倉庫到車站的距離成正比.如果在距離車站10km處建倉庫，9和），2

分別為2萬元和8萬元，那么當倉庫建在離車站km處時，兩項費用之和最小，最小費

用為萬元.（本題第一空3分，第二空2分）

解析依題意，可設每月土地占用費每月庫存貨物的運費丫2=4加，其中x是倉庫到車站

的距離，%,七是比例系數，

L.4

于是由2=記，得%］=20；由8=1022,得22=亍

因此，兩項費用之和為、=7+亍。>0）,

4

-

y--270

廠+-5

令y'=0,得x=5或x=—5（舍去）.

當o<x<5時，y<o；當x>5時，y>o,

因此，當x=5時，y取得極小值，也是最小值，其值為8.

答案58

15.當2］時，x3—x2-x<機恒成立，則實數機的取值范圍是.

解析記“^二%3—X2—X,

所以/（x）=3f—2X-1.

令［（x）=0,得x=-§或x=1.

又因為犬2)=2,犬—1)=-1,X1)=-1,

所以當xG［-l,2］時，<X)max=2,所以m>2.

答案(2,+8)

16.法國數學家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數論》中給出一個定理：如果函數y=4x)滿

足條件：

(1)在閉區(qū)間［。，加上是連續(xù)不斷的；

(2)在區(qū)間(小加上都有導數.

則在區(qū)間(a,b)上至少存在一個實數/,使得犬，)一人。)=/。)(6—。)，其中f稱為“拉格朗日中值”.

函數8。)=爐在區(qū)間［0,1］上的“拉格朗日中值"f=.

解析因為g(x)=(,所以g")=2x,結合“拉格朗日中值”定義可得g'(t)=^o——(1)f—Q——(0)=

1,所以It—1,即￡=；.

答案2

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)設函數,火方=9+加+5。611),已知g(x)=/(x)-/(x)是奇函數.

(1)求從c的值；

(2)求g(x)的單調區(qū)間.

解(1)因為yOOnV+bf+cX,

所以/(x)=3x2+2hx+c.

從而g(x)=J(x)—f(x)

=xi+bx1+cx~(3x2+2bx+c)

=/+(b—3)f+(c-2b)x—c.

因為g(x)是一個奇函數，且x￡R,

所以g(0)=0,得c=0.

由奇函數的定義，得匕=3.

(2)由⑴,知g(x)=——6x,

從而g'(x)=3/—6.

令g'(x)>。，得/或x<—^2;

令g，(x)<0,得小.

所以(一8,一也)和",+8)是函數g(x)的單調遞增區(qū)間，(f,a)是函數g(X)的單調遞減

區(qū)間.

HY---V------1

18.(本小題滿分12分)己知函數?x)=-—?

(1)求曲線y=_/U)在點(0,—1)處的切線方程;

(2)證明:當a正1時，/)+ee0.

5-ax2+(2a-1)x+2

(1)解/(%)=--------------------,7(0)=2.

因此曲線y=/(x)在(0,-1)處的切線方程是

2x—y—1=0.

(2)證明當時，./(x)+e》(/+x—1+e*")e*.

令8。)=/+x—1+0'"|,則g'(x)=2x+1+^+1.

當x<-l時，g'(x)<0,g(x)單調遞減；當心>一1時，

g，a)>o,g(x)單調遞增；所以g(X)4g(—i)=o.

因此/(x)+e》0.

19.(本小題滿分12分)設函數Kr)=a(x-5)2+61nx,其中aGR,?v)的圖象在點(1,犬1))處的切線

與y軸相交于點(0,6).

(1)求a的值；

(2)求函數兀r)的單調區(qū)間與極值.

解(1),,?/x)=a(x-5)2+61nx(x>0),

?'?/(x)=2a(x-5)+&x>0).

令x=l,得川)=16“，/⑴=6—8小

的圖象在點(1，7U))處的切線方程為y-16a=(6-8a)(x-l).

?.?切線與)，軸相交于點(0,6),

A6—16a=8a—6,

(2)由(1)知，y(x)=|(x-5)2+61nXx>0),

6(x—2)(x—3)

f(x)=(x-5)+-=----------------(工>0).

令f(x)=0,得x=2或x=3.

當04<2或心>3時，/。)>0,人工)在區(qū)間(0,2),(3,+8)上為增函數；

當2a<3時，/?<0,人元)在區(qū)間(2,3)上為減函數.所以y(x)的單調遞增區(qū)間為(0,2),(3,+

8),單調遞減區(qū)間為(2,3).

9

故火工)在x=2處取得極大值>(2)=]+61n2,

在x=3處取得極小值/(3)=2+61n3.

20.(本小題滿分12分)已知函數次的二次1—%—ar2.

(1)當〃=3時，求式幻的單調區(qū)間；

⑵當兀20時，yu)eo,求實數。的取值范圍.

解(1)當〃=3時，y(x)=x(ev—1)—1x2,

令/(x)=0,則x=-1或0,

當xG(-8,-l)U(0,+8)時，/(x)>0；

當xW(—l,0)時，

故人X)的單調遞增區(qū)間為(一8,-1),(0,+~),單調遞減區(qū)間為(一1,0).

(2yU)=x(e，T-ax).

令8(功=d—1—ax,則g'(x)=e，-a.

若aWl,則當xd(0,+8)時，g，(x)>0,g(x)為增函數，

而g(0)=0,從而當x》0時，g(x)》0,即1x)》0.

若Q1,則當xG(0,Ina)時，g'(x)<0,g(x)為減函數，而g(0)=0,

從而當xd(0,Ina)時，g(x)<0,即/)<0,不符合題意.

綜上，實數a的取值范圍為(-8,1].

21.(本小題滿分12分)某汽車生產企業(yè)上年度生產一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為

13萬元/輛.本年度為適應市場需求，計劃提高產品檔次，適當增加投入成本，若每輛車的投入成

本增加的比例為x(0<x<l),則出廠價相應提高的比例為0.7x,年銷售量也相應增加，年銷售量〉

關于x的函數為y=3240(T+2X+1),則當x為何值時，本年度的年利潤最大？最大利潤為多

少？(年利潤=(每輛車的出廠價一每輛車的投入成本)X年銷售量)

解由題意得，本年度每輛車的投入成本為10(l+x),每輛車的出廠價為13(l+0.7x),年利潤為

Xx)=[13(l+0.7x)-10(l+x)j-y

=(3-0.9x)X3240X(一始+2工+§

=3240(0.9X3-4.8X2+4.5X+5),

則〃x)=3240(2.7/-9.6x+4.5)

=972(9x-5)(x-3),

由，(x)=0,解得或x=3(舍去)，

當xG(0,D時，/(x)>0,段)是增函數；

當xC6，1)時，/(x)<0,./U)是減函數.

所以當x=5時，y(x)取極大值，.(5)=20