高中數(shù)學(xué)橢圓知識(shí)點(diǎn)

1.定義：悶1+颶|=2a>2c=|瓦居I（其中P為橢圓上一點(diǎn)，足遙

隹占）

x2y2_

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：/+后=&>方>°）

3.橢圓的性質(zhì)

/+%=?>">°）

（I）l—，M會(huì)

（2）X，軸為橢圓對(duì)稱軸，原點(diǎn)為對(duì)稱中心

（3）頂點(diǎn)（±。，0）（0,功）

（4）離心率"""’一2

4.直線與橢圓的位置關(guān)系

I:Ax+By+C=0

x2y1_

橢圓M：滔'+廬=

代入:B2

研究※式的判別式A

（1）A<0無交點(diǎn)

（2）A=0一個(gè)交點(diǎn)（相切）

（3）A>0兩個(gè)不同的交點(diǎn)

弦長(zhǎng)=7i壽人-町|（化為『的斜率，々町為※式的根）

2Ix=acosff

五Iy_1<

5.橢圓二廬一的參數(shù)方程（e為參數(shù)）

6.橢圓的第二定義

到F（c，0）的距離和到直線一下的距離之比為常數(shù)

22

c,Axy

￡（a>c>。）的點(diǎn)的軌跡為茄+形=1。

22

土+二=1

7.焦半徑P（X。，。）在橢圓名7一上，3,0）、7&0）為焦點(diǎn)

PF、=以+啊

《

PF2=a-

【典型例題】

［例1］求滿足下面條件的橢圓的方程。

（1）求焦點(diǎn)為（3，。），（-3,0）,離心率”5的橢圓。

22

_x__|_'y_I

解：c=3a=9b=6^28172

（2）求中心在原點(diǎn)，兩準(zhǔn)線間距離為5,焦距為4的橢圓方

程。

24=5

解：cc=2；.a=乖b=\

22

—+y=12L+z=1

..5或5

（3）求中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸，橢圓上點(diǎn)M（8,12）到左焦點(diǎn)

距離為20的橢圓方程。

解：（8+?+122=202（8+4=162-8

（8-8）2+122=122

二2a=20+12=32a=16

22

二+匕=1

256192

(4)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸，直線T=x+1與橢圓

交于M、N若且必［乎求橢圓方程。

解：設(shè)橢圓的2+"=1當(dāng)h=X+l交腸(々J1)曾(町，乃)

mx+ny=1，<、2

<=mx2+甩(x+1)=1

§P.（陽+加）/+2nx+n-\=0

-2n

X］+叼=---

m+n

.A.X?=

??Ifn+n

OMLON

...x/2+>必=0xrx2+（xl+1）（X2+1）=0①

WM=ji+i.卜1-引=②

,3ri

=>J2\21+匕=1

1322

n=—/人、n=——

由①②I2（舍）I23

22

_x__1_7__一1?

［例2］直線y=x+演與橢圓169~的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并求最大

弦長(zhǎng)。

（x2y2<

,169

解：1y=工+活25—+32演x+16（掰？-9）=0

A=64-9(25-w2)

(1)加=±5時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)

(2)第e(-oo,-5)U(5,+8)沒有交點(diǎn)

(3)附e(-5,5時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)A、B

\AB\=&々一叼)2+31-y24=V2-忒門+犯尸一4勺弓

=.（羽2_64（加-9）=尬￡.9（25一局

V25，25a25尸（m=0）時(shí)

22

工+匕=1

［例3］已知橢圓164一M。」)在橢圓內(nèi)求M為中點(diǎn)的橢圓

的弦AB的直線方程。

X]+4=2

，[必+為=2

解：設(shè)以々，為)，B(X2,y2)

2222

.紅+巫=1紅+紅=1

..164164

限-引@+叼)+3「加優(yōu)+川=0

相減164

x.-x2,、為一打_1

4A=一（乃一當(dāng)）?.?勺x-入x2~43

??力：4

x+4y-5=0

22

工+匕=1

［例4］P橢圓//一一點(diǎn)（不在X軸上）FlF2為焦點(diǎn)

N尸i尸瑪=a,求S調(diào)藥。

解：咫產(chǎn)母+2尸網(wǎng)?%=4。2

戶呼+尸馬2-2M.產(chǎn)瑪-cosa=4c2

相減2咫尸乙(l+cosa)=4/

.PF.-PF=

?.21+cosa

S調(diào)理=]FF\?宣2,sma="-tan—

。匕=1

［例5］橢圓//-（a>8>0）的長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)為A、B。若橢

圓上存在一點(diǎn)P使乙4兩=120。，求橢圓離心率e的取值范圍。

解：在短軸頂點(diǎn)取得最大值

尸&,九）為橢圓上一點(diǎn)

-0%

tanZAPB="理二玄型-=_x°-+t7.=2砒

1+GB玄觸i,只x；+y；■

只。嘖）

21

2ay0bab1

—?一一"?''"*'一一”?—

-/y；W為

只研究第一象限為e（0㈤，隨為變大，tan乙4所為負(fù)且變

大,乙4兩變大

xy八

［例6］橢圓/+廬=1">">°）上任意一條不垂直對(duì)稱軸的弦

A、B,D為AB中點(diǎn)，求證心Ko為定值。

設(shè)小演，乃）8（町，乃）3（近，為）

々+町=2x。乃一g=b至

必+為=2yo

...JM3=一/?為定值

22

二+匕一1

［例7］已知P為橢圓a?V（a>b>0）上異于頂點(diǎn)的任一

點(diǎn)，為%為短軸端點(diǎn)，B、P,8產(chǎn)交x軸于M、N,求證

|。閭.|刈為定值。

設(shè)尸（而，為）加>,0）N（n,0）8］（0,一切為（。，8）

—4*=---------

尸，M4三點(diǎn)共線y.-b

*=旦

尸，腸，馬三點(diǎn)共線為+占

.止

A2［

［例8］過橢圓萬+'的右焦點(diǎn)F作直線/交橢圓于A、B,O

為原點(diǎn)，求SMQB的最大值及相應(yīng)/的方程。

S*

（1），_Lx軸"皿2I:x=l

(2)小工軸I：y=k(x-V

A=QT)

*「

/2+y一1n(l+2好)1/+2劃一/=0

凡=g|。?|例-為|=g【J"i+>)2-4yLy2

-15一2

2寸(2/+產(chǎn)2.?./：x=l

_4-^_=I

［例9］已知橢圓4010內(nèi)部一點(diǎn)A(4,-1)過A作弦

PQ,使A恰為PQ中點(diǎn)，M為橢圓上任一點(diǎn)，求S.的最大

值。

/解tr?r?

f22

土+匕=1

(40而一n闋=4應(yīng)

中點(diǎn)弦公式:x-y-5=0［x-^-5=0

設(shè)M(-T4Ocosa,V10sinor)

d(MJ)=|A/40cosa-7i0sina-5|/V2=Y1^sin(a+^-5l

sin(a+蚣=-1"詠一^+萬場(chǎng)

.=--472-(5+-A/2)=10(72+1)

??**22

22

_x____1_/y1.______9_

［例10］橢圓行T-上有不同三點(diǎn)A(公，乃)B(4,5)C

(孫，乃)與焦點(diǎn)F(4,0)的距離成等差數(shù)列。

(1)求證：勺+町=8

（2）若AC的垂直平分線與x軸交于