微專題42利用函數性質與圖像比較大小

一、基礎知識:

(-)利用函數單調性比較大小

1、函數單調性的作用：/(x)在可單調遞增，則

Vx1?x2e[a,b],Xl<x2<=>/(x,)</(當卜在單調區間內，單調性是自變量大小關系與函數

值大小關系的橋梁)

2、導數運算法則：

⑴(/(x)g(x))=/(x)g(x)+/(x)g(x)

⑵J(x))J(x)g(2--(x)g'(x)

3、常見描述單調性的形式

(1)導數形式：/(x)>On/(x)單調遞增；/(x)<On/(x)單調遞減

(2)定義形式："*)/(占)〉0或表示函數值的差與

對應自變量的差同號，則說明函數單調遞增，若異號則說明函數單調遞減

4、技巧與方法：

(1)此類問題往往條件比較零散，不易尋找入手點。所以處理這類問題要將條件與結論結合

著分析。在草稿紙上列出條件能夠提供什么，也列出要得出結論需要什么。兩者對接通?？?/p>

以確定入手點

(2)在構造函數時要根據條件的特點進行猜想，例如出現輪流求導便猜有可能是具備乘除關

系的函數。在構造時多進行試驗與項的調整

(3)在比較大小時，通?？衫煤瘮敌再|(對稱性，周期性)將自變量放入至同一單調區間

中進行比較

(-)數形結合比較大小

1、對稱性與單調性：若已知單調性與對稱性，則可通過作出草圖觀察得到諸如“距軸越近，

函數值越……”的結論，從而只需比較自變量與坐標軸的距離，即可得到函數值的大小關系

（1）若/（%）關于％=4軸對稱，且（4,+00）單調

增，則圖像可能以下三種情況,可發現一個共同點:

自變量距離軸越近，其函數值越小

（2）若“X）關于X=4軸對稱，且（4,48）單調

減，則圖像可能以下三種情況，可發現一個共同點:

自變量距離軸越近，其函數值越大

2、函數的交點：如果所比較的自變量是一些方程的解，則可將方程的根視為兩個函數的交點。

抓住共同的函數作為突破口，將其余函數的圖像作在同一坐標系下，觀察交點的位置即可判

斷出自變量的大小

三、例題精析：

2-Y

例1：對于R上可導的任意函數/（x）,若滿足了畫《0,則必有（）

A./（1）+/（3）＜2/（2）B./（1）+/（3）＜2/（2）

C-〃1）+〃3）＞2〃2）D./（1）+/（3）＞2/（2）

2一無

思路：由可按各項符號判斷出（2—x）與/（X）異號，即x＜2時，

/（x）

/（x）＜0,x＞2時,/（x）＞0.?./（X）在（—8,2）單調遞減，在（2,+8）上單調遞增

.??/（》需=〃2）,進而〃1）＞/（2）,〃3）＞〃2）.??/（1）+./?⑶＞2〃2）

答案：C

小煉有話說：相乘因式與零比較大小時，可分別判斷每一個因式的符號，再判斷整個式子的

符號。這樣做可以簡化表達式的運算。

例2：已知定義域為R的奇函數/(x)的導函數為/'(x),當XHO時，/(x)+/(D>0,

若〃=/=-2"—2)，c=ln2/(ln2),則下列關于a,b,c的大小關系正確的是()

A.h>a>cB.a>c>bC.c>b>aD.h>c>a

思路：觀察所給不等式，左側呈現輪流求導的特點，所比較大小的的結構均為4(x)的

形式，故與不等式找到聯系。當x>0時，f(x)+>0=>xf(x)+/(x)>0,即

3(x))>0,令g(x)=M\x)，由此可得g(x)在(0,+8)上單調遞增。/(X)為奇函數，

可判定出g(x)為偶函數，關于y軸對稱。a==g(-2),c=g(ln2),作圖觀察距

離y軸近的函數值小，In2與上可作差比較大?。篿n2-L='(21n2-l)=Lln3>0

2222e

進而可得：h>c>a

答案：D

例3：函數在定義域R內可導，若/(%)=/(2—％),且當8,1)時，

(x-l)/(x)<0,設4=/(0)1=/(g),c=/(3),則仇C的大小關系是()

A.a>b>cB.h>a>cC.b>c>aD.c>a>b

思路：由/(%)=/(2—x)可判斷出/(x)關于x=1軸對稱，

再由(x—l)f(x)<0,可得x<l時，f(x)>0,所以/(x)

在(一8,1)單調遞增，由軸對稱的特點可知：/(X)在(1,+°°)

單調遞減。作出草圖可得：距離X=1越近的點，函數值越大。

所以只需比較自變量距離x=l的遠近即可判斷出。>a>c

答案：B

例4：已知“X)是周期為2的偶函數，且在區間［0,1］上是增函數，則/(—5.5)J(—1),/(0)

的大小關系是()

A./(-5.5)</(0)</(-1)B./(-1)<./,(-5.5)</(0)

C./(0)</(-5.5)</(-l)D./(-l)</(0)</(-5.5)

思路：/(x)的周期為2,所以可利用周期性將自變量放置同一個

周期內：/(—5.5)=/(0.5),而由/(x)偶函數及［0』單調遞增，

作圖可知在區間［-1,1］中，距離y軸近的函數值小，所以有

/(0)</(0.5)=/(-5.5)</(-1)

答案：C

小煉有話說：周期性的一大應用就是可在已知區間中找到與所給自變量相同函數值的點。從

而代替原來的自變量。

例5：己知函數/'(x+1)為偶函數，當xe(l,+oo)時，函數/(x)=sinx—x,

b=/（3）,c=/（0）,則的大小關系為（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

思路：本題依然是利用對稱性與單調性比較函數值大小，先分析了(x)的性質，由/(x+1)為

偶函數可得：/(—x+l)=/(x+l),從而/(X)關于X=1軸對稱，

當XG(1,4-00)，可計算/(x)=cosx—1W0,所以)(x)在(L+00)

單調遞減，結合對稱性可得距離對稱軸X=1越近，函數值越大，所

以〃3)</卜￡|</(0)

答案：D

小煉有話說：本題的關鍵在于確定入手點是用函數的對稱性單調性比較大小，從而對

/(x)=sinx—x的處理才會想到選出單調性而不是將自變量代入解析式。所以說題目中有的

條件可以有多種用途，要根據所求及其他條件來選擇一個比較正確的方向。

例6：已知函數/(x)是定義在R上的偶函數，且在區間(0,+o。)上是增函數，令

a=/(sin.,b=/fcos-^-,c=/(tan^^

，則凡加c大小關系為—

思路：由/(X)為偶函數且在(0,48)單調遞增可得距離y軸越近，函數值越小。所以需比較

cos斗人生|2萬5/r\I2乃2萬

a,b,c自變量與y軸距離：二cos——,tan——=tan——二tan——，則需比

7||7I77|I77

2427r27r27r242乃24

較sin——,cos——,tan——的大小，因為——>-,所以tan——>1>sin——>cos——,所以

77774777

c>a>h

答案：c>a>h

小煉有話說：本題實質上是一道三角函數大小關系和函數性質比較大小的綜合題，只需分解

成這兩步分別處理即可。在比較三角函數時，本題有這樣兩個亮點：一是“求同存異”發現

涉及的角存在互補關系，進而利用誘導公式和絕對值運算將角統一，以便于比較；二是利用

jr

好“橋梁”，比較的關鍵之處在與一這個角的選擇，這個角是兩條分界線，一條是正切值與1

4

2乃

大小的分界線，而正余弦不大于1,所以一的正切值最大：另一條是正余弦大小的分界線，

7

7171

a卜寸，sinaccosa；而aw“5時，sin。>cos。。

例7：已知函數y=Iog(x+1),且a>b>c>0,則，Z，的大小關系是

2abc

()

/(嘰/(叭/(c)R/(，)>/(叭/⑷

A.D.-------->--------->--------

abba

n."嘰/(c)J的

C.U.-------->-------->--------

bab

f(x\logjx+l)

思路：本題具備同構特點y=±3=———人,但導數

xx

71-------log,(X+1)

(x+l)ln2'V7/、/

y=-^——』----；------------難于分析/(x)單調性，故無法

X-

f(a\f(b)f(c]/、

比較的大小。換一個角度，可發現了(X)的圖像可作，且具備幾何

abcx

含義,,即(x,/(x))與原點連線的斜率。所以作出/(X)的圖像，可觀

x-x-Q

察到圖像上的點橫坐標越大，與原點連線的斜率越小，所以由a>b>c>0可得：

/(c)、/㈤、/(?)

-----〉------〉------

cba

答案：B

例8：已知函數/(x)在E上可導，其導函數為/(X),若/(x)滿足：

(%-1)[/'(%)-/(%)]>0,/(2-x)=/(x)e2-2",則下列判斷一定正確的是()

A./(1)</(0)B./(2)>ef(0)C.〃3)>/〃0)D./(4)<e7(0)

思路：聯系選項分析條件(x)—/(x)]>0：當x>l時，/'(x)-/(x)>0,

e/(無J；：/(X)〉0即?!)〉()令尸(9=羋立.?.F(x)在(l,+oo)單調遞增，而

選項中/(1),〃0)均不在單增區間中，考慮利用〃2—月=〃%)022進行轉換。首先要讀

懂7(2—x)=/(x)e2-2x說的是〃2—力與“X)的關系，而2—X與X剛好在x=1的兩側,

所以達到一個將x=1左側的點轉到右側的作用。在/(2—力=/(x)e2-2v中令x=2可得：

/(0)=/(2)"2=/承，可代入B,C選項進行比較，C正確。而A,D兩個選項也可以代入

e~

進行驗證。

答案：C

小煉有話說：由于卜*)=",所以在求導時此項不發生變化，有可能在化簡時隱藏起來。所

以對于形如/(x)-/'(x)>0,/(%)+/(X)>0等輪流求導的式子可猜想隱含e'項，進而結

合選項進行變形

例9：定義在(o，m上的函數“X),/'(X)為它的導函數，且恒有/(%)</(%)311%成立,

則()

A.何仔)>何閨B./(l)<2/^sinl

C研伊，圖

思路：盡管發現/（x）</'（x>tanx存在輪流求導很難直接發現乘除關系?？催x項不難發現

規律:

川）<2尼卜n』喏等，不等號兩側均為y=23的形式,

其導函數為

siisinx

6

f(x)sinx-cosxf{x}

于是考慮構造條件中的不等式：

(sinx)2

小）</3—?。次璋藊）/.sin/(^)-008%/(^)>0

/Q)sinx-cosV(x))°即1](明>0,y=4CD在（0,工]上單調遞增，根據單調性

2

(sinx)1sinxjsinxI2）

即可判斷四個選項是否正確

答案：D

例10:設%,%2，%3均為實數，且(g)=l°g2(X|+l)，(g)=lOg3X2,^|=lOg2X3,則

%,12，七的大小關系為（）

A.x,<x3<x2B.x3<x2<X]C.x3<x,<x2D.x2<x,<x3

思路：本題單從指對數方面，不便于比較西,馬,當大小。進一

步可發現Xi，/，/均可視為兩個函數的交點，且每一個等式的

左側為同一個函數y=|-,而右側也都可作圖，所以考慮

在同一個坐標系下作圖，并觀察交點的位置，進而判斷出西,々,*3的大小

答案：A

三、歷年好題精選

1、(2016,內江四模)設函數/(x)在R上存在導數/'(X),在(0,+8)上/'(x)<sin2x,

且VxeR,W/(-x)+/(x)=2sin2x,則以下大小關系一定正確的是()

B./周<〃乃)

D.</(一萬)

2、(2015,福建)若定義在H上的函數/(x)滿足/(O)=—1,其導函數/(x)滿足

f(x)>Z>l,則下列結論中一定錯誤的是()

3、(2015,陜西文)

設/(x)=lnx,0<a<Z?.若p==區=+/(/?)],則下列關

系式中正確的是()

A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q

4、(2015,天津)已知定義在尺上的函數/(尤)=/叫一l(weR)為偶函數，記

a=/(^053),/?=/(log25),c=/(2m),則a,。,c的大小關系為()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<hD.c<b<a

5、(2014,山東)己知實數滿足優</(O<a<l),則下列關系式恒成立的是()

A，”>了\B.ln(x2+l)>ln(y2+l)

C.sinx>sinyD.x3>y3

6^已知/(x)=log“>1)的導函數是/(x),記A=/=f(a+1)—

,C=f(a+1),則()

A.A>B>CB.A>C>BC.B>A>CD.C>B>A

7、定義在R上的可導函數/(x),當X€(l,+8)時，+f(x)<"(x)恒成立,

a=〃2)為="⑶,c=(五+1”⑷,則a,0,c的大小關系為()

A.c<a<bB.b<c<aC.a<c<bD.c<b<a

8、(2014陜西省五校聯考

10)已知/(x)為R上的可導函數，且VxeR,均有/(x)>/'(x),則有()

A.?017(-2013)</(O),/(2O13)>e2017(0)

B.e2O13/(-2O13)</(O),/(2O13)<e2OI3/(O)

C./3/(—2013)>/(O),/(2O13)>e2,>13/(0)

D.e2OI3/(-2O13)>/(O),/(2O13)<e2013/(0)

習題答案：

1、答案：C

解析：由./1'(%)<sin2x可得：/'(x)-sin2x<0=>［/(x)+gcos2x<0

設g(x)=〃x)+；cos2x,則g(x)在(0,+oo)單調遞減

r.g(x)+g(—x)=/(x)+f(—x)+cos2JC=2sin2x+cos2x=1

g(x)=l-g(-x),可得g(x)關于中心對稱

g(x)在R上單調遞減且/(x)=g(x)-；cos2尤

分別比較四個選項，可知在C選項中：

_.(4(5TT］5K.4K.

再由g［一_-l>__：J可知/(一~—)</(——)

2、答案：C

解析：構造函數g(x)=/(x)-Ax,WJg(x)=/(x)-A:>0>即g(x)在H上為增函數,

因為人>1,所以」一>0,g［」一)>g(O)=/(」一］一——>-1,所以可得:

k-1\k-l)Jk-\

/I」一]〉」一，c錯誤。其它選項則無法判斷對錯

U-k-\

3,答案：C

解析：p=f{4ab^^\nyjab,q=f^-^^-\n^-^-,r--^\na+^\nb=lny[ab,所以

p=r,由Z?>a>0可得<“*,,從而p=r<q

4、答案：C

解析：通過數形結合可知/(6=2卜時—1為偶函數時加=0,即/(%)=2國一1,作圖可知

距離y軸越近的點，其函數值越小。考慮0<|log