高一對數試卷答案及解析一、選擇題1.若\(\log_28=x\)，則\(x\)的值為：A.2B.3C.4D.5答案：B解析：根據對數的定義，\(\log_28=x\)意味著\(2^x=8\)。我們知道\(2^3=8\)，因此\(x=3\)。2.計算\(\log_39\)的值：A.1B.2C.3D.4答案：B解析：由于\(3^2=9\)，根據對數的定義，\(\log_39=2\)。3.若\(\log_ab=c\)且\(\log_ac=d\)，則\(\log_ab^d\)的值為：A.\(b^d\)B.\(c^d\)C.\(a^d\)D.\(a^c\)答案：B解析：根據對數的冪法則，\(\log_ab^d=d\cdot\log_ab\)。由于\(\log_ab=c\)，所以\(\log_ab^d=d\cdotc\)。又因為\(\log_ac=d\)，所以\(d\cdotc=c^d\)。4.計算\(\log_232+\log_28\)的值：A.7B.6C.5D.4答案：B解析：根據對數的乘法法則，\(\log_232+\log_28=\log_2(32\times8)\)。計算得\(32\times8=256\)，而\(2^8=256\)，所以\(\log_2256=8\)。因此，\(\log_232+\log_28=5+1=6\)。5.若\(\log_2x=4\)，則\(x\)的值為：A.8B.16C.32D.64答案：C解析：根據對數的定義，\(\log_2x=4\)意味著\(2^4=x\)。我們知道\(2^4=16\)，因此\(x=16\)。二、填空題1.計算\(\log_525\)的值。答案：2解析：由于\(5^2=25\)，根據對數的定義，\(\log_525=2\)。2.若\(\log_3x=-1\)，則\(x\)的值為：答案：\(\frac{1}{3}\)解析：根據對數的定義，\(\log_3x=-1\)意味著\(3^{-1}=x\)。我們知道\(3^{-1}=\frac{1}{3}\)，因此\(x=\frac{1}{3}\)。3.計算\(\log_264-\log_216\)的值。答案：2解析：根據對數的除法法則，\(\log_264-\log_216=\log_2\left(\frac{64}{16}\right)\)。計算得\(\frac{64}{16}=4\)，而\(2^2=4\)，所以\(\log_24=2\)。三、解答題1.已知\(\log_2x=3\)和\(\log_3y=2\)，求\(\log_6xy\)的值。答案：\(\frac{5}{2}\)解析：首先，根據對數的定義，\(\log_2x=3\)意味著\(2^3=x\)，所以\(x=8\)。同樣，\(\log_3y=2\)意味著\(3^2=y\)，所以\(y=9\)。然后，根據對數的乘法法則，\(\log_6xy=\log_68+\log_69\)。我們可以將\(\log_68\)和\(\log_69\)分別轉換為以2和3為底的對數，即\(\log_68=\frac{\log_28}{\log_26}=\frac{3}{\log_26}\)和\(\log_69=\frac{\log_39}{\log_36}=\frac{2}{\log_36}\)。由于\(\log_26=\log_2(2\cdot3)=\log_22+\log_23=1+\log_23\)和\(\log_36=\log_3(2\cdot3)=\log_32+\log_33=\log_32+1\)，我們可以將\(\log_68\)和\(\log_69\)進一步簡化為\(\frac{3}{1+\log_23}\)和\(\frac{2}{\log_32+1}\)。最后，將這兩個值相加，得到\(\log_6xy=\frac{3}{1+\log_23}+\frac{2}{\log_32+1}=\frac{3}{1+\frac{\log_32}{\log_33}}+\frac{2}{\frac{1}{\log_32}+1}=\frac{3}{1+\frac{1}{\log_32}}+\frac{2}{\frac{1}{\log_32}+1}=\frac{3\log_32}{\log_32+1}+\frac{2(\log_32+1)}{\log_32+1}=\frac{3\log_32+2\log_32+2}{\log_32+1}=\frac{5\log_32+2}{\log_32+1}=\frac{5}{2}\)。2.已知\(\log_ab=2\)和\(\log_ac=3\)，求\(\log_a\left(\frac{b^2}{c^3}\right)\)的值。答案：\(-\frac{1}{2}\)解析：根據對數的冪法則和除法法則，\(\log_a\left(\frac{b^2}{c^3}\right)=\log_ab^2-\log_ac^3=2\cdot\log_ab-3\cdot\log_ac\)。由于\(\log_ab=2\)和\(\log_ac=3\)，代入得