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河南省安陽第三十六中學(xué)2025屆高三下學(xué)期開學(xué)回頭考數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)全集,集合,,則集合()A. B. C. D.2.設(shè),,則()A. B. C. D.3.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則4.已知直線y=k(x﹣1)與拋物線C:y2=4x交于A,B兩點(diǎn),直線y=2k(x﹣2)與拋物線D:y2=8x交于M,N兩點(diǎn),設(shè)λ=|AB|﹣2|MN|,則()A.λ<﹣16 B.λ=﹣16 C.﹣12<λ<0 D.λ=﹣125.已知斜率為k的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為,則斜率k的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為、,過的直線l交雙曲線的右支于點(diǎn)P,以雙曲線的實(shí)軸為直徑的圓與直線l相切,切點(diǎn)為H,若,則雙曲線C的離心率為()A. B. C. D.7.已知拋物線的焦點(diǎn)為,若拋物線上的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)恰好在射線上,則直線被截得的弦長(zhǎng)為()A. B. C. D.8.已知函數(shù)滿足,且,則不等式的解集為()A. B. C. D.9.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.10.某中學(xué)2019年的高考考生人數(shù)是2016年高考考生人數(shù)的1.2倍,為了更好地對(duì)比該校考生的升學(xué)情況,統(tǒng)計(jì)了該校2016年和2019年的高考情況,得到如圖柱狀圖:則下列結(jié)論正確的是().A.與2016年相比,2019年不上線的人數(shù)有所增加B.與2016年相比,2019年一本達(dá)線人數(shù)減少C.與2016年相比,2019年二本達(dá)線人數(shù)增加了0.3倍D.2016年與2019年藝體達(dá)線人數(shù)相同11.設(shè),,,則,,三數(shù)的大小關(guān)系是A. B.C. D.12.使得的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,,,則______.14.下圖是一個(gè)算法流程圖,則輸出的的值為__________.15.在棱長(zhǎng)為的正方體中,是正方形的中心,為的中點(diǎn),過的平面與直線垂直,則平面截正方體所得的截面面積為______.16.已知全集為R,集合,則___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上,且順次連接四個(gè)頂點(diǎn)恰好構(gòu)成了一個(gè)邊長(zhǎng)為且面積為的菱形.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè),過橢圓右焦點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn),若對(duì)滿足條件的任意直線,不等式恒成立,求的最小值.18.(12分)已知兩數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值點(diǎn);(2)當(dāng)時(shí),若恒成立,求的最大值.19.(12分)設(shè)的內(nèi)角、、的對(duì)邊長(zhǎng)分別為、、.設(shè)為的面積,滿足.(1)求;(2)若,求的最大值.20.(12分)已知橢圓:(),點(diǎn)是的左頂點(diǎn),點(diǎn)為上一點(diǎn),離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為(異于點(diǎn)),是否存在直線,使得以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn),若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.21.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,求m的值.22.(10分)已知函數(shù).(1)若,且,求證:;(2)若時(shí),恒有,求的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】∵集合,,∴點(diǎn)睛:本題是道易錯(cuò)題,看清所問問題求并集而不是交集.2.D【解析】
集合是一次不等式的解集,分別求出再求交集即可【詳解】,,則故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3.C【解析】
在A中,與相交或平行;在B中,或;在C中,由線面垂直的判定定理得;在D中,與平行或.【詳解】設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則:在A中,若,,則與相交或平行,故A錯(cuò)誤;在B中,若,,則或,故B錯(cuò)誤;在C中,若,,則由線面垂直的判定定理得,故C正確;在D中,若,,則與平行或,故D錯(cuò)誤.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),是中檔題.4.D【解析】
分別聯(lián)立直線與拋物線的方程,利用韋達(dá)定理,可得,,然后計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】設(shè),聯(lián)立則,因?yàn)橹本€經(jīng)過C的焦點(diǎn),所以.同理可得,所以故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查的是直線與拋物線的交點(diǎn)問題,運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)弦求參數(shù),屬基礎(chǔ)題。5.C【解析】
設(shè),,,,設(shè)直線的方程為:,與拋物線方程聯(lián)立,由△得,利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件得,,代入上式即可求出的取值范圍.【詳解】設(shè)直線的方程為:,,,,,聯(lián)立方程,消去得:,△,,且,,,線段的中點(diǎn)為,,,,,,,,把代入,得,,,故選:【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用,屬于中檔題.6.A【解析】
在中,由余弦定理,得到,再利用即可建立的方程.【詳解】由已知,,在中,由余弦定理,得,又,,所以,,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的計(jì)算問題,處理雙曲線離心率問題的關(guān)鍵是建立三者間的關(guān)系,本題是一道中檔題.7.B【解析】
由焦點(diǎn)得拋物線方程,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)對(duì)稱可求出點(diǎn)的坐標(biāo),寫出直線方程,聯(lián)立拋物線求交點(diǎn),計(jì)算弦長(zhǎng)即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為,則,即,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,如圖:∴,解得,或(舍去),∴∴直線的方程為,設(shè)直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為,由,解得或,∴,∴,故直線被截得的弦長(zhǎng)為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,屬于中檔題.8.B【解析】
構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè),則函數(shù)的導(dǎo)數(shù),,,即函數(shù)為減函數(shù),,,則不等式等價(jià)為,則不等式的解集為,即的解為,,由得或,解得或,故不等式的解集為.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力,是難題.9.A【解析】
用偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱排除,用排除,用排除.故只能選.【詳解】因?yàn)?所以函數(shù)為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對(duì)稱,故可以排除;因?yàn)?故排除,因?yàn)橛蓤D象知,排除.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),辨析函數(shù)的圖像,排除法,屬于中檔題.10.A【解析】
設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x,則2019年高考人數(shù)為,通過簡(jiǎn)單的計(jì)算逐一驗(yàn)證選項(xiàng)A、B、C、D.【詳解】設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x,則2019年高考人數(shù)為,2016年高考不上線人數(shù)為,2019年不上線人數(shù)為,故A正確;2016年高考一本人數(shù),2019年高考一本人數(shù),故B錯(cuò)誤;2019年二本達(dá)線人數(shù),2016年二本達(dá)線人數(shù),增加了倍,故C錯(cuò)誤;2016年藝體達(dá)線人數(shù),2019年藝體達(dá)線人數(shù),故D錯(cuò)誤.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查柱狀圖的應(yīng)用,考查學(xué)生識(shí)圖的能力,是一道較為簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)類的題目.11.C【解析】
利用對(duì)數(shù)函數(shù),指數(shù)函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算公式,將a,b,c與,比較即可.【詳解】由,,,所以有.選C.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)值,指數(shù)值和正弦值大小的比較,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)選擇合適的中間值比較是關(guān)鍵,注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.12.B【解析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為,若展開式中有常數(shù)項(xiàng),則,解得,當(dāng)r取2時(shí),n的最小值為5,故選B【考點(diǎn)定位】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
由已知利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求得,的值,由兩角差的正弦公式即可計(jì)算得的值.【詳解】,,,,,,,,.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的正弦公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.14.3【解析】
分析程序中各變量、各語句的作用,根據(jù)流程圖所示的順序,即可得出結(jié)論.【詳解】解:初始,第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):;經(jīng)判斷,此時(shí)跳出循環(huán),輸出.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題,解題的關(guān)鍵是對(duì)算法語句的理解,屬基礎(chǔ)題.15.【解析】
確定平面即為平面,四邊形是菱形,計(jì)算面積得到答案.【詳解】如圖,在正方體中,記的中點(diǎn)為,連接,則平面即為平面.證明如下:由正方體的性質(zhì)可知,,則,四點(diǎn)共面,記的中點(diǎn)為,連接,易證.連接,則,所以平面,則.同理可證,,,則平面,所以平面即平面,且四邊形即平面截正方體所得的截面.因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為,易知四邊形是菱形,其對(duì)角線,,所以其面積.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的截面面積,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.16.【解析】
先化簡(jiǎn)集合A,再求A∪B得解.【詳解】由題得A={0,1},所以A∪B={-1,0,1}.故答案為{-1,0,1}【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的化簡(jiǎn)和并集運(yùn)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】
(1)由已知條件列出關(guān)于和的方程,并計(jì)算出和的值,jike得到橢圓的方程.(2)設(shè)出點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo),運(yùn)用點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算出,分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況,求解出的最小值.【詳解】(1)由己知得:,解得,所以,橢圓的方程(2)設(shè),.當(dāng)直線垂直于軸時(shí),,且此時(shí),,當(dāng)直線不垂直于軸時(shí),設(shè)直線由,得.,.要使恒成立,只需,即最小值為【點(diǎn)睛】本題考查了求解橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系,求解過程中需要分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況,并運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為只含一個(gè)變量的表達(dá)式進(jìn)行求解,需要掌握解題方法,并且有一定的計(jì)算量.18.(1)唯一的極大值點(diǎn)1,無極小值點(diǎn).(2)1【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),求得的解,確定此解兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù),確定極值點(diǎn);(2)問題可變形為恒成立,由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值,時(shí),無最小值,因此只有,從而得出的不等關(guān)系,得出所求最大值.【詳解】解:(1)定義域?yàn)?,?dāng)時(shí),,令得,當(dāng)所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以有唯一的極大值點(diǎn),無極小值點(diǎn).(2)當(dāng)時(shí),.若恒成立,則恒成立,所以恒成立,令,則,由題意,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,所以所以,所以,故的最大值為1.【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值,研究不等式恒成立問題.在求極值時(shí),由確定的不一定是極值點(diǎn),還需滿足在兩側(cè)的符號(hào)相反.不等式恒成立深深轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,這里分離參數(shù)法起關(guān)鍵作用.19.(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)條件形式選擇,然后利用余弦定理和正弦定理化簡(jiǎn),即可求出;(2)由(1)求出角,利用正弦定理和消元思想,可分別用角的三角函數(shù)值表示出,即可得到,再利用三角恒等變換,化簡(jiǎn)為,即可求出最大值.【詳解】(1)∵,即,∴變形得:,整理得:,又,∴;(2)∵,∴,由正弦定理知,,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值.故的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理,余弦定理,三角形面積公式的應(yīng)用,以及利用三角恒等變換求函數(shù)的最值,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題20.(1);(2)存在,【解析】
(1)把點(diǎn)代入橢圓C的方程,再結(jié)合離心率,可得a,b,c的關(guān)系,可得橢圓的方程;(2)設(shè)出直線的方程,代入橢圓,運(yùn)用韋達(dá)定理可求得點(diǎn)的坐標(biāo),再由,可求得直線的方程,要注意檢驗(yàn)直線是否和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn).【詳解】(1)由題可得∴,所以橢圓的方程(2)由題知,設(shè),直線的斜率存在設(shè)為,則與橢圓聯(lián)立得,,∴,,∴若以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn),則,∴,化簡(jiǎn)得,∴,解得或因?yàn)榕c不重合,所以舍.所以直線的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)用,屬于中檔題.21.(1)見解析(2)【解析】
(1)先求導(dǎo),再對(duì)m分類討論,求出的單調(diào)性;(2)對(duì)m分三種情況討論求函數(shù)在區(qū)間上的最小值即得解.【詳解】(1)若,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí).,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減若.在R上單調(diào)遞增若,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí).,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減(2)由(1)可知,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,則.則不合題意當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.則,即又因?yàn)閱握{(diào)遞增,且,故綜上,【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.22.(1)見解析;(2).【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,并設(shè),則,,將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,通過推導(dǎo)出來證得結(jié)論;(2)構(gòu)造函數(shù),對(duì)實(shí)數(shù)分、、,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最小值,再通過構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值,可得出的最大值.【詳解】(1),,所以,函數(shù)單調(diào)遞增,所以,當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞
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