云南省永勝縣第二中學2025年第二學期期末統一考試（數學試題理）試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數的定義域為（）A．或 B．或C． D．2．若（是虛數單位），則的值為（）A．3 B．5 C． D．3．已知a＞b＞0，c＞1，則下列各式成立的是（）A．sina＞sinb B．ca＞cb C．ac＜bc D．4．某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體中最長的棱長為（）．A． B． C．1 D．5．設分別為雙曲線的左、右焦點，過點作圓的切線，與雙曲線的左、右兩支分別交于點，若，則雙曲線漸近線的斜率為（）A． B． C． D．6．設函數的導函數，且滿足，若在中，，則（）A． B． C． D．7．雙曲線的漸近線方程為()A． B．C． D．8．已知雙曲線的一條漸近線傾斜角為，則（）A．3 B． C． D．9．已知是球的球面上兩點,,為該球面上的動點.若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為（）A． B． C． D．10．已知函數，若，則的最小值為（）參考數據：A． B． C． D．11．中，點在邊上，平分，若，，，，則（）A． B． C． D．12．蒙特卡洛算法是以概率和統計的理論、方法為基礎的一種計算方法，將所求解的問題同一定的概率模型相聯系；用均勻投點實現統計模擬和抽樣，以獲得問題的近似解，故又稱統計模擬法或統計實驗法.現向一邊長為的正方形模型內均勻投點，落入陰影部分的概率為，則圓周率（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設隨機變量服從正態分布,若，則的值是______．14．在中，角，，的對邊分別為，，.若；且，則周長的范圍為__________.15．在正方體中，已知點在直線上運動，則下列四個命題中：①三棱錐的體積不變；②；③當為中點時，二面角的余弦值為；④若正方體的棱長為2，則的最小值為；其中說法正確的是____________（寫出所有說法正確的編號）16．在疫情防控過程中，某醫院一次性收治患者127人.在醫護人員的精心治療下，第15天開始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果從第16天開始，每天出院的人數是前一天出院人數的2倍，那么第19天治愈出院患者的人數為_______________，第_______________天該醫院本次收治的所有患者能全部治愈出院.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數．（1）解不等式；（2）若函數存在零點，求的求值范圍．18．（12分）如圖，在四棱錐中，是邊長為的正方形的中心，平面，為的中點.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.19．（12分）設函數．（1）當時，解不等式；（2）若的解集為，，求證：．20．（12分）已知等差數列an,和等比數列b(I)求數列{an}(II)求數列n2an?a21．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線l的參數方程為（為參數），以原點O為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為4sin.（1）求曲線C的普通方程；（2）求曲線l和曲線C的公共點的極坐標.22．（10分）如圖，在四棱柱中，平面，底面ABCD滿足∥BC，且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據偶次根式被開方數非負可得出關于的不等式，即可解得函數的定義域.【詳解】由題意可得，解得或.因此，函數的定義域為或.故選：A.【點睛】本題考查具體函數定義域的求解，考查計算能力，屬于基礎題.2、D【解析】

直接利用復數的模的求法的運算法則求解即可.【詳解】（是虛數單位）可得解得本題正確選項：【點睛】本題考查復數的模的運算法則的應用，復數的模的求法，考查計算能力.3、B【解析】

根據函數單調性逐項判斷即可【詳解】對A,由正弦函數的單調性知sina與sinb大小不確定，故錯誤；對B,因為y＝cx為增函數，且a＞b，所以ca＞cb，正確對C,因為y＝xc為增函數,故，錯誤；對D,因為在為減函數，故，錯誤故選B．【點睛】本題考查了不等式的基本性質以及指數函數的單調性，屬基礎題．4、B【解析】

首先由三視圖還原幾何體，進一步求出幾何體的棱長．【詳解】解：根據三視圖還原幾何體如圖所示，所以，該四棱錐體的最長的棱長為．故選：B．【點睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體，考查運算能力和推理能力，屬于基礎題．5、C【解析】

如圖所示：切點為，連接，作軸于，計算，，，，根據勾股定理計算得到答案.【詳解】如圖所示：切點為，連接，作軸于，，故，在中，，故，故，，根據勾股定理：，解得.故選：.【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線斜率，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.6、D【解析】

根據的結構形式，設，求導，則，在上是增函數，再根據在中，，得到，，利用余弦函數的單調性，得到，再利用的單調性求解.【詳解】設，所以，因為當時，，即，所以，在上是增函數，在中，因為，所以，，因為，且，所以，即，所以，即故選：D【點睛】本題主要考查導數與函數的單調性，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.7、A【解析】

將雙曲線方程化為標準方程為，其漸近線方程為，化簡整理即得漸近線方程.【詳解】雙曲線得，則其漸近線方程為，整理得.故選：A【點睛】本題主要考查了雙曲線的標準方程，雙曲線的簡單性質的應用.8、D【解析】

由雙曲線方程可得漸近線方程，根據傾斜角可得漸近線斜率，由此構造方程求得結果.【詳解】由雙曲線方程可知：，漸近線方程為：，一條漸近線的傾斜角為，，解得：.故選：.【點睛】本題考查根據雙曲線漸近線傾斜角求解參數值的問題，關鍵是明確直線傾斜角與斜率的關系；易錯點是忽略方程表示雙曲線對于的范圍的要求.9、C【解析】

如圖所示，當點C位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設球的半徑為，此時，故，則球的表面積為，故選C．考點：外接球表面積和椎體的體積．10、A【解析】

首先的單調性，由此判斷出，由求得的關系式.利用導數求得的最小值，由此求得的最小值.【詳解】由于函數，所以在上遞減，在上遞增.由于，，令，解得，所以，且，化簡得，所以，構造函數，.構造函數，，所以在區間上遞減，而，，所以存在，使.所以在上大于零，在上小于零.所以在區間上遞增，在區間上遞減.而，所以在區間上的最小值為，也即的最小值為，所以的最小值為.故選：A【點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的最值，考查分段函數的圖像與性質，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于難題.11、B【解析】

由平分，根據三角形內角平分線定理可得，再根據平面向量的加減法運算即得答案.【詳解】平分，根據三角形內角平分線定理可得，又，，，，..故選：.【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算，屬于基礎題.12、A【解析】

計算出黑色部分的面積與總面積的比，即可得解.【詳解】由，∴.故選：A【點睛】本題考查了面積型幾何概型的概率的計算，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

由題得，解不等式得解.【詳解】因為，所以，所以c=1.故答案為1【點睛】本題主要考查正態分布的圖像和性質，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.14、【解析】

先求角，再用余弦定理找到邊的關系，再用基本不等式求的范圍即可.【詳解】解：所以三角形周長故答案為：【點睛】考查正余弦定理、基本不等式的應用以及三條線段構成三角形的條件；基礎題.15、①②④【解析】

①∵，∴平面

，得出上任意一點到平面的距離相等，所以判斷命題①；②由已知得出點P在面上的射影在上，根據線面垂直的判定和性質或三垂線定理，可判斷命題②；③當為中點時，以點D為坐標原點，建立空間直角系，如下圖所示，運用二面角的空間向量求解方法可求得二面角的余弦值，可判斷命題③；④過作平面交于點，做點關于面對稱的點，使得點在平面內，根據對稱性和兩點之間線段最短，可求得當點在點時，在一條直線上，取得最小值.可判斷命題④.【詳解】①∵，∴平面

，所以上任意一點到平面的距離相等，所以三棱錐的體積不變，所以①正確；

②在直線上運動時，點P在面上的射影在上，所以DP在面上的射影在上，又，所以，所以②正確；③當為中點時，以點D為坐標原點，建立空間直角系，如下圖所示，設正方體的棱長為2.則:，，所以，設面的法向量為，則，即，令，則，設面的法向量為，，即，，由圖示可知，二面角是銳二面角，所以二面角的余弦值為，所以③不正確；④過作平面交于點，做點關于面對稱的點，使得點在平面內，則，所以，當點在點時，在一條直線上，取得最小值.因為正方體的棱長為2，所以設點的坐標為，，，所以，所以，又所以，所以，，，故④正確.

故答案為：①②④.【點睛】本題考查空間里的線線，線面，面面關系，幾何體的體積，在求解空間里的兩線段的和的最小值，仍可以運用對稱的思想，兩點之間線段最短進行求解，屬于難度題.16、161【解析】

由題意可知出院人數構成一個首項為1，公比為2的等比數列，由此可求結果．【詳解】某醫院一次性收治患者127人．第15天開始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．且從第16天開始，每天出院的人數是前一天出院人數的2倍，從第15天開始，每天出院人數構成以1為首項，2為公比的等比數列，則第19天治愈出院患者的人數為，，解得，第天該醫院本次收治的所有患者能全部治愈出院．故答案為：16，1．【點睛】本題主要考查了等比數列在實際問題中的應用，考查等比數列的性質等基礎知識，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）．【解析】

（1）通過討論的范圍，將絕對值符號去掉，轉化為求不等式組的解集，之后取并集，得到原不等式的解集；（2）將函數零點問題轉化為曲線交點問題解決，數形結合得到結果.【詳解】（1）有題不等式可化為，當時，原不等式可化為，解得；當時，原不等式可化為，解得，不滿足，舍去；當時，原不等式可化為，解得，所以不等式的解集為．（2）因為，所以若函數存在零點則可轉化為函數與的圖像存在交點，函數在上單調增，在上單調遞減，且.數形結合可知．【點睛】該題考查的是有關不等式的問題，涉及到的知識點有分類討論求絕對值不等式的解集，將零點問題轉化為曲線交點的問題來解決，數形結合思想的應用，屬于簡單題目.18、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由正方形的性質得出，由平面得出，進而可推導出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結論；（Ⅱ）取的中點，連接、，以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】（Ⅰ）是正方形，，平面，平面，、平面，且，平面，又平面，平面平面；（Ⅱ）取的中點，連接、，是正方形，易知、、兩兩垂直，以點為坐標原點，以、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，在中，，，，、、、，設平面的一個法向量，，，由，得，令，則，，.設平面的一個法向量，，，由，得，取，得，，得.，二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的證明，同時也考查了利用空間向量法求解二面角，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.19、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）當時，將所求不等式變形為，然后分、、三段解不等式，綜合可得出原不等式的解集；（2）先由不等式的解集求得實數，可得出，將代數式變形為，將與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值，進而可證得結論.【詳解】（1）當時，不等式為，且.當時，由得，解得，此時；當時，由得，該不等式不成立，此時；當時，由得，解得，此時.綜上所述，不等式的解集為；（2）由，得，即或，不等式的解集為，故，解得，，，，，當且僅當，時取等號，．【點睛】本題考查含絕對值不等式的求解，同時也考查了利用基本不等式證明不等式，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.20、(I)an=2n-1，bn=【解析】

(I)直接利用等差數列，等比數列公式聯立方程計算得到答案.(II)n2【詳解】(I)a1=b解得d=2q=3，故an=2n-1(II)n=14+【點睛】本題考查了等差數列，等比數列，裂項求和，意在考查學生對于數列公式方法的綜合應用.21、（1）（2）(2，)．【解析】

（1）利用極坐標和直角坐標的轉化公式求解.（2）先把兩個方程均化為普通方程，求解公共點的直角坐標，然后化為極坐標即可.【詳解】（1）∵曲線C的極坐標方程為，∴，則,即.（2），∴，聯立可得，（舍）或，公共點(，3)，化為極坐標(2，)．【點睛】