第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年江蘇省南京市江浦高級中學文昌校區(qū)高二（下）段考數(shù)學試卷（3月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)=sinx，則f′(π4)=A.?22 B.12 C.2.若向量a=(2,2,3)，b=(?1,2,1)，c=(0,1,1)，則aA.5 B.8 C.10 D.123.如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且MN=12ON，AP=34AN，用向量OA，OB，OC表示OPA.14OA+14OB+144.已知a=(2,?1,3)，b=(?1,4,?2)，c=(7,5,λ)，若{a,bA.0 B.357 C.9 D.5.若函數(shù)f(x)=x3+ax2+xA.(?3,3) B.[?6.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別為棱BC、DA.255 B.215 C.7.已知函數(shù)f(x)=?x?1,x≤0|lnx|,x>0，若g(x)=f(x)?ax至少有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(0,e) B.(0,e] C.(0,1e)8.設1<x<2，則a=exx，b=(exxA.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列函數(shù)的求導運算正確的是(

)A.(x3+x)′=3x2+1 B.[10.若函數(shù)f(x)=12x2?9lnx在區(qū)間[m?1,m+1]上單調(diào)，則實數(shù)A.m≥4 B.m≤2 C.1<m≤2 D.0<m≤311.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為棱BB1的中點，Q為正方形A.三棱錐D?A1D1Q的體積為定值

B.若D1Q//平面A1PD，則動點Q的軌跡是一條線段

C.存在Q點，使得D1Q⊥平面A1PD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(λ+1,0,2λ),b=(6,μ?1,2)，若a//b13.若直線l的方向向量為a=(2,?3,3)，向量n=(1,0,0)是平面α的一個法向量，則直線l14.若過點(2,m)有三條直線與函數(shù)f(x)=(x?1)3?3x+1的圖象相切，則實數(shù)m四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=x3?92x2+6x?a．

(1)若a=0，求y=f(x)在(1,f(1))16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=ex?ax+1(a∈R)．

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性與極值；

(2)若對任意x>0，f(x)≥?x17.(本小題15分)

如圖，已知ABCD?A1B1C1D1是底面邊長為2的正四棱柱，O1為A1C1與B1D1的交點，O為AC與BD的交點．

(1)證明：C18.(本小題17分)

如圖1，等腰直角△ABC的斜邊BC=4，D為BC的中點，沿BC上的高AD折疊，使得二面角B?AD?C為60°，如圖2，M為CD的中點．

(1)證明：BM⊥AC．

(2)求二面角M?AB?D的余弦值．

(3)試問在線段AC上是否存在點Q，使得直線MQ與平面ABM所成角的正弦值為210？若存在，求出線段AQ的長度；若不存在，請說明理由．19.(本小題17分)

如圖，AB是半圓ACB的直徑，O為AB中點，OC⊥AB，|AB|=2，直線BD⊥AB，點P為BC上一動點(包括B，C兩點)，Q與P關于直線OC對稱，記∠POB=θ，PF⊥BD，F(xiàn)為垂足，PE⊥AB，E為垂足．

(1)記CP的長度為l1，線段PF長度為l2，試將L=l1+l2表示為θ的函數(shù)，并判斷其單調(diào)性；

(2)記扇形POQ的面積為S1，四邊形PEBF

參考答案1.C

2.C

3.A

4.D

5.B

6.D

7.D

8.B

9.AC

10.AC

11.ABD

12.6513.π614.(?5,?4)

15.解：(1)當a=0時，f(x)=x3?92x2+6x，∴f′(x)=3x2?9x+6，

∴切線的斜率為f′(1)=3×12?9×1+6=0，又f(1)=13?92×12+6×1=52，

∴y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為y?52=0×(x?1)，即y=52．

(2)若方程f(x)=0有且僅有一個實數(shù)根，即x3?92x2+6x?a=0有一根，

即?(x)=x3?92x2+6x,g(x)=a兩個函數(shù)圖像只有一個交點，

∵?′(x)=3x2?9x+6，令?′(x)>0，可得3x2?9x+6>0，∴x>2或x<1，16.解：(1)∵f(x)=ex?ax+1，∴對函數(shù)求導可得f′(x)=ex?a．

①當a≤0時，f′(x)=ex?a>0恒成立，

∴f(x)在R上單調(diào)遞增，無極大值也無極小值；

②當a>0，x∈(?∞,lna)時，f′(x)<0，x∈(lna,+∞)時，f′(x)>0，

∴f(x)在(?∞,lna)上單調(diào)遞減，在(lna,+∞)單調(diào)遞增．

∴函數(shù)f(x)有極小值為f(lna)=elna?alna+1=a?alna+1，無極大值．

(2)若對任意x>0，f(x)≥?x2?x恒成立，

則利用分離參數(shù)法可得a≤ex+x2+x+1x恒成立，即a≤(ex+x2+x+1x)min(x>0)．

設g(x)=ex+x2+x+1x(x>0)，則對函數(shù)求導可得g′(x)=(x?1)(ex17.18.解：(1)證明：在圖1的等腰直角△ABC中，D為BC的中點，則AD⊥BC，

所以在圖2中，有AD⊥BD，AD⊥CD，又BD∩CD=D，

所以AD⊥平面BCD，又BM?平面BCD，

所以AD⊥BM，

因為AD⊥平面BCD，所以∠BDC是二面角B?AD?C的平面角，即∠BDC=60°，

所以△BCD為正三角形，因為M為CD的中點，

所以CD⊥BM，由AD∩CD=D，AD，CD?平面ACD，

所以BM⊥平面ACD，又AC?平面ACD，

所以BM⊥AC；

(2)以D為原點，垂直于DC的直線為x軸，DC，DA所在直線分別為y，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

易知A(0,0,2)，B(3,1,0)，C(0,2,0)，M(0,1,0)，

所以AB=(3,1,?2)，BM=(?3,0,0)，DA=(0,0,2)，

設平面ABM的法向量為n1=(x,y,z)，

則AB?n1=0BM?n1=0，即3x+y?2z=0?3x=0，令z=1，則y=2，x=1，

所以平面ABM的一個法向量為n1=(0,2,1)，

設平面ABD的法向量為n2=(a,b,c)，

則AB?n2=0DA?n2=0，即3a+b?2c=02c=0，令a=?1，則b=3，c=0，

所以平面ABD的一個法向量為n2=(?1,3,0)，

設二面角M?AB?D的平面角為θ，由圖可知，θ為銳角，

所以cosθ=|cos<n1,n2|>=19.解：(1)因∠POB=θ，則由題意知θ∈[0,π2]，

由題意可得，∠COP=π2?θ，圓半徑為1，所以l1=π2?θ，

又