第=page11頁，共=sectionpages11頁甘肅省白銀八中2025年高考數學質檢試卷（3月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設集合A={x|?2≤x≤2}，B={x|log2x<2}，則A∩B=A.{x|?2≤x<4} B.{x|?2≤x≤2} C.{x|0<x<4} D.{x|0<x≤2}2.某小區隨機調查了10位業主2月份每戶的天然氣使用量，數據如下(單位：cm3)：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24.估計該小區業主月均用氣量的樣本數據的60%分位數為A.21 B.21.5 C.22 D.22.53.已知復數2+3ia?i是純虛數，則實數a的值為(

)A.?32 B.32 C.?4.若tan(α?β)=3，tan2α?tan2A.?12 B.?2 C.?35.設橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1A.x216+y212=1 B.6.一個圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，軸截面的面積為9，則該圓臺的體積為(

)A.2π3 B.2π C.7π3 7.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2+c2?b2=A.π12 B.5π12 C.7π128.已知函數f(x)=ax?lnx?1,x>0,?2x3?ax2+1,x≤0,A.[1,+∞) B.[1,22] C.[二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知雙曲線C：x24?y2b2=1(b>0)的右焦點為F，直線l：x+by=0是CA.C的虛軸長為22

B.C的離心率為6

C.|PF|的最小值為2

D.過點P(2,2)能作10.在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1A.過點E有且只有一條直線與直線AB和A1D1都相交

B.過點E有且只有一個平面與直線AB和A1D1所成角相等

C.過A，D1，E三點的截面把正方體分成兩部分，則該截面的周長為22+511.對于正整數n，φ(n)是小于或等于n的正整數中與n互質的數的數目(若兩個正整數的最大公因數是1，則稱這兩個正整數互質).函數φ(n)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數，例如φ(10)=4，(10與1，3，7，9均互質)則(

)A.φ(12)+φ(17)=20 B.數列{φ(2n+1)}是單調遞增數列

C.若p為質數，則數列{φ(pn)}為等比數列 D.數列{n三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(2,2)，向量b在向量a方向上的投影向量的模長為12|a|，寫出一個滿足條件的向量13.排球比賽實行“五局三勝制”(當一隊贏得三場勝利時，該隊獲勝，比賽結束)，根據此前的若干次比賽數據統計可知，在甲、乙兩隊的比賽中，每場比賽甲隊獲勝的概率為23，乙隊獲勝的概率為13，則在這場“五局三勝制”的排球比賽中甲隊獲勝的概率為______．14.已知正四棱錐M?P1P2P3P4的底面邊長與高均為2，設D是正方形P1P2P3四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

某校為了解學生數學學科核心素養發展水平，組織本校2000名學生進行針對性檢測(檢測分為初試和復試)，并隨機抽取了100名學生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．

(1)根據頻率分布直方圖，求樣本平均數的估計值；(同一組數據用該區間的中點值作代表)

(2)根據頻率分布直方圖，求樣本的80%分位數(四舍五入精確到整數)；

(3)若所有學生的初試成績X近似服從正態分布N(μ,σ2)，其中μ為樣本平均數的估計值，σ≈14.初試成績不低于90分的學生才能參加復試，試估計能參加復試的人數(四舍五入精確到整數)．

附：若隨機變量X服從正態分布N(μ,σ2)，則P(μ?σ≤X≤μ+σ)≈0.682716.(本小題12分)

已知函數f(x)=(a?x)ex，a∈R．

(Ⅰ)若a=2，求曲線y=f(x)的斜率為1的切線方程；

(Ⅱ)若不等式f(x)>1?x沒有整數解，求實數a的取值范圍．17.(本小題12分)

已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a2n=2an+1，S4=4(a3?1)，n∈N?．

(1)求{an}的通項公式；

(2)設bn=18.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，三角形PAD是正三角形，M是棱PC的中點，設平面PAD與平面PBC的交線為l．

(1)證明：l/?/平面ABCD；

(2)證明：BC⊥DM；

(3)若二面角P?AD?B為60°，求直線DM與平面PAB所成角的正弦值．19.(本小題12分)

拋物線的弦與弦的端點處的兩條切線形成的三角形稱為阿基米德三角形，由拋物線的三條切線圍成的三角形稱為拋物線的切線三角形.已知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點為F，直線l：y=2過點F，過x軸下方的一點P作C的兩條切線l1和l2，且l1，l2分別交x軸于點A，B，交l于點M，N．

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)若△PMN為阿基米德三角形，求∠MPN；

答案解析1.【答案】D

【解析】解：由log2x<2得0<x<4，故B={x|0<x<4}，

∵A={x|?2≤x≤2}，∴A∩B={x|0<x≤2}．

故選：D．

由對數函數的單調性解不等式化簡集合B，根據集合的交集運算可得結果．2.【答案】B

【解析】解：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24，

則樣本數據的60%分位數為10×60%=6，故樣本數據的60%分位數為21+222=21.5．

故選：B．

根據百分位數的計算公式即可得到答案．3.【答案】B

【解析】解：2+3ia?i=(2+3i)(a+i)(a?i)(a+i)=(2a?3)+(3a+2)ia2+1=2a?3a2+1+4.【答案】D

【解析】解：因為tan(α?β)=3，所以tan(α+β)tan(α?β)=3tan(α+β)，

tan2α?tan2β1?tan2αtan2β=tanα+tanβ1?tanαtanβ?tanα?tanβ1+tan5.【答案】A

【解析】解：由|BF2|=|F1F2|=4，得a=2c=4，即a=4，c=2，

則b2=a2?c2=16?4=12．

∴橢圓的方程為6.【答案】D

【解析】解：設圓臺的高為?，

因為圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，

所以圓臺的軸截面的面積為12×(2+4)?=9，解得?=3，

所以臺的體積為V=13π(12+27.【答案】B

【解析】解：在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

因為a2+c2?b2=3ac，由余弦定理得2accosB=3ac，

所以cosB=32，又B∈(0,π)，所以B=π6，

因為1+2sinA1?2cosA=sin2C1+cos2C=2sinCcosC2cos2C=sinCcosC，

所以cosC+2sinAcosC=sinC?2cosAsinC，8.【答案】D

【解析】解：因為x∈(0,+∞)，所以?x∈(?∞,0)，

當a<0時，那么函數f(?x)=?2(?x)3?a(?x)2+1=2x3?ax2+1>0恒成立，

函數f(x)=ax?lnx?1在(0,+∞)上單調遞減，

根據y=ax?1與y=lnx一定存在交點可知f(x)存在零點，

所以存在x0，使得x∈(x0,+∞)時，f(x)<0，x∈(0,x0)時，函數f(x)>0，

不符合題意，舍去．

當a>0時，

設y=ax?1為y=lnx切線，設切點為(x1,lnx1)

那么a=1x1，所以lnx1=1x1×x1?1=0，那么x1=1，a=1，

①當0<a<1時，f(x)=ax?lnx?1存在兩個零點，

令函數g(x)=f(?x)=2x3?ax2+1，那么導函數g′(x)=6x2?2ax=2x(3x?a)，

所以當x∈(a3,+∞)時，g′(x)>0，g(x)單調遞增；

當x∈(0,a3)時，g′(x)<0，g(x)單調遞減，

故f(?x)=g(x)≥g(a3)=27?a327，∵x∈(0,a3)，

所以f(?x)=g(x)≥g(a3)=27?a327>0，即f(?x)>0恒成立．

此時無法滿足題意，舍去；

②當a=1時，由①可知f(x)≥0，f(?x)>0，滿足f(x)f(?x)≥0，

③當a>1時，f(x)>0恒成立，要使得f(x)f(?x)≥0恒成立，則需要f(?x)≥0恒成立，

由①得1?a39.【答案】ACD

【解析】解：已知雙曲線C：x24?y2b2=1(b>0)的右焦點為F，直線l：x+by=0是C的一條漸近線，P是l上一點，

又雙曲線C：x24?y2b2=1的漸近線方程為bx±2y=0，

則?1b=?b2，

解得b=2，

所以雙曲線C：x24?y22=1，

對于A，C的虛軸長2b=22，

A正確；

對于B，a=2，b=2，c=6，

則C的離心率e=ca=62，

B錯誤；

對于C，點F(6,0)到直線l：x+2y=0的距離為612+(2)2=2，

即|PF|的最小值為2，

C正確；

對于D，過點P(2,2)垂直于x軸的直線為x=2，此直線與雙曲線C：x210.【答案】AD

【解析】解：如圖，

對于A，點E?直線A1D1，點E?直線AB，點E與直線A1D1確定平面α，

點E與直線AB確定平面β，平面α與β相交，該交線過點E且與直線AB和A1D1都相交，A正確；

對于B，由正方體的結構特征知，直線AB和A1D1都平行于過E與直線CC1垂直的平面，該平面與直線AB和A1D1所成角相等；A1D1，AB與平面BDD1B1都成45°角，則過E與平面BDD1B1

平行的平面與直線AB和A1D1所成角相等，故B錯誤；

對于C，如圖，

取BC中點F，連接EF，AF，由E是棱CC1的中點，得EF//BC1//AD1，

四邊形AFED1是過A，D1，E三點的正方體截面，周長為2+22+52+52=322+5，C錯誤；

對于D，連接B1C，A1C，由A1B111.【答案】AC

【解析】解：對于選項A：由題意可知，1，5，7，11均與12互質，則φ(12)=4，

1，2，3，4，5，…，13，14，15，16均與17互質，則以φ(17)=16，

故φ(12)+φ(17)=20，故A正確；

對于選項B：7與1，2，3，4，5，6互質，則φ(7)=6，

9與1，2，4，5，7，8互質，則φ(9)=6，可得φ(7)=φ(9)，

可得數列{φ(2n+1)}不是單調遞增數列，故B錯誤；

對于選項C：設p為質數，則小于等于pn的正整數中與pn互質的數為1，…，p?1，p+1，…，2p?1，2p+1，…，pn?1，

即每p個數當中就有一個與pn不互質，所以互質的數的數目為pn?pnp=pn?pn?1，

故φ(pn)=(p?1)pn?1，所以φ(pn)?(pn?1)=(p?1)pn?1(p?1)pn?2=p為常數，

所以數列{φ(pn)}12.【答案】(1,1)(答案不唯一)

【解析】解：根據題意，設b=(m,n)，

若向量b在向量a方向上的投影向量的模長為12|a|，

則有2=12|a|=|a?b||a|=|2m+2n|2213.【答案】6481【解析】解：命題可以轉化為：即使某一隊獲勝三場，也照常進行后續的場次，直至五場全部結束，

最后獲勝場次數多的隊獲勝．

此時，甲隊獲勝的概率即為甲隊獲勝場數不小于3的概率，即(23)5+C54×(14.【答案】2

【解析】解：如圖，在正方形P1P2P3P4內，DA，AB，BC，CD分別是P0P1，P0P2，P0P3，P0P4的中垂線在正方形P1P2P3P4內部分，

由|P0P|≤|PP1|，則點P在五邊形DAP2P3P4及其內部，

同理，|P0P|≤|PP2|，|P0P|≤|PP3|，|P0P|≤|PP4|點P在相應的五邊形及其內部，

綜上，點P在正方形ABCD及其內部，

15.【答案】62；

73；

46．

【解析】解：(1)設樣本平均數的估計值為x?，

則x?=10(40×0.01+50×0.02+60×0.03+70×0.024+80×0.012+90×0.004)=62．

(2)因為前幾組的頻率依次為0.1，0.2，0.3，0.24，

所以樣本的80%分位數為65+0.8?0.60.24×10=65+253≈73．

(3)由(1)可知樣本平均數的估計值μ=62，σ≈14，

所以90=μ+2σ，

則P(X≥90)=P(X≥μ+2σ)=12(1?0.9545)=0.02275．

所以估計能參加復試的人數為2000×0.02275≈46．

(1)根據平均數的求法計算即可；16.【答案】y=x+2；

(?∞,1]．

【解析】解：(1)當a=2時，f(x)=(2?x)ex，

令f′(x)=(1?x)ex=1，即1?x=e?x，

令φ(x)=e?x+x?1，

則φ′(x)=?e?x+1=ex?1ex，

令φ′(x)<0，得x<0，令φ′(x)>0，得x>0，

則φ(x)在(?∞,0)上單調遞減，在(0,+∞)上單調遞增，

所以φmin(x)=φ(0)=0，

故有且僅有x=0，f′(0)=1，

此時f(0)=2，

所以所求切線方程為y=x+2．

(2)由f(x)=(a?x)ex>1?x得aex>xex?x+1，即a>x?x?1ex，

所以a>x?x?1ex沒有整數解，

設?(x)=x?x?1ex，?′(x)=1?2?xex=ex+x?2ex，

設t(x)=ex+x?2，t′(x)=ex+1>0，所以t(x)單調遞增，

且t(0)=?1<0，t(1)=e?2>0，

所以存在唯一的x0∈(0,1)，使t(x0)=ex0+x0?2=0，即?′(x0)=0，

當x∈(?∞,x0)時，?′(x)<017.【答案】an=2n?1；

(i)b1=1，b2=2【解析】解：(1)由等差數列{an}的前n項和為Sn，且a2n=2an+1，S4=4(a3?1)，n∈N?，

由等差數列的通項公式與求和公式，可得a1+(2n?1)d=2a1+2(n?1)d+14a1+6d=4(a1+2d?1)，解得a1=1d=2，

∴{an}的通項公式為an18.【答案】證明見解析；

證明見解析；

213【解析】解：(1)證明：四邊形ABCD是菱形，所以AD//BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC，

所以AD/?/平面PBC，

又因為AD?平面PAD，平面PAD∩平面PBC=l，

所以AD/?/l，

又因為AD?平面ABCD，l?平面ABCD，

所以l/?/平面ABCD．

(2)證明：取AD與PB中點O，N，連接PO，OB，ON，MN，

則運用中位線性質知NM//12BC，NM=12BC且OD//12BC,OD=12BC，

則OD/?/MN，OD=MN，

則四邊形ODMN是平行四邊形，

△PAD是正三角形，易知，AD⊥OP，

底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，則△BAD是正三角形，則AD⊥OB，

OP∩OB=O，OP，OB?平面POB，所以AD⊥平面POB，

因為ON?平面POB，所以AD⊥ON，

由于四邊形ABCD