第=page11頁，共=sectionpages11頁湖南省2025屆高考普通高中名校聯考第一次模擬考試數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若集合M=x∣x2?4x?5≤0,N=A.?4,5 B.?1,3 C.?4,2 D.?1,22.若復數z=1+i3?i，則1z的虛部為A.?2i B.2i C.2 D.?23.甲同學每次投籃命中的概率為p，在投籃6次的實驗中，命中次數X的均值為2.4，則X的方差為(

)A.1.24 B.1.44 C.1.2 D.0.964.若函數fx=emx?m在區間2,+∞上單調遞增，則實數A.?2,0 B.?∞,?2 C.?∞,0 D.2,+∞5.已知橢圓M:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F1，F2，點P在M上，Q為A.33 B.13 C.16.已知正四面體的高等于球O的直徑，則正四面體的體積與球O的體積之比為(

)A.334π B.322π7.在△ABC中，sin(A?C)+sin?C=sin?B，且BC邊上的高為A.△ABC的面積有最大值，且最大值為32

B.△ABC的面積有最大值，且最大值為34

C.△ABC的面積有最小值，且最小值為38.已知函數fx的定義域為R，函數Fx=f1+x?1+xA.函數fx的一個對稱中心為2,1 B.f0=?1

C.函數fx為周期函數，且一個周期為二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.設公比為q的等比數列an的前n項和為Sn，若數列an滿足a1=?1，且?n∈NA.a2>0 B.0<q<1 C.an+110.將函數f(x)=2sinx+π6圖象的橫坐標縮短為原來的12，縱坐標不變，得到函數A.fx+π3為偶函數

B.g(x)的最小正周期為4π

C.f(x)與g(x)在π3,2π3上均單調遞減

D.11.若函數f(x)=x3+axA.f(x)可能只有1個極值點

B.當f(x)有極值點時，a2>3b

C.存在a，使得點(0,f(0))為曲線y=f(x)的對稱中心

D.當不等式f(x)<0的解集為(?∞,1)∪(1,2)時，f(x)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知{an+3}是等比數列，a1=?2，a2=?1，則數列{13.甲、乙玩一個游戲，游戲規則如下：一個盒子中裝有標號為1，2，3，4，5，6的6個大小質地完全相同的小球，甲先從盒子中不放回地隨機取一個球，乙緊接著從盒子中不放回地隨機取一個球，比較小球上的數字，數字更大者得1分，數字更小者得0分，以此規律，直至小球全部取完，總分更多者獲勝．甲獲得3分的概率為

．14.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，若在該正方體的棱上恰有4個點M，滿足四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分為了研究學生的性別和是否喜歡跳繩的關聯性，隨機調查了某中學的100名學生，整理得到如下列聯表：男學生女學生合計喜歡跳繩353570不喜歡跳繩102030合計4555100(1)依據α=0.1的獨立性檢驗，能否認為學生的性別和是否喜歡運動有關聯？(2)已知該校學生每分鐘的跳繩個數X～N(170,100)，該校學生經過訓練后，跳繩個數都有明顯進步．假設經過訓練后每人每分鐘的跳繩個數都增加10，該校有1000名學生，預估經過訓練后該校每分鐘的跳繩個數在[170,200]內的人數(結果精確到整數)．附：χ2=n(ad?bcα0.10.050.01x2.7063.8416.635若X～N(μ,σ2)，則P(μ?σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ?2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，16.(本小題15分如圖，在三棱錐A?BCD中，平面ABC⊥平面BCD，∠BCD=∠BDC=π6，P為棱AC的中點，點Q在棱CD上，PQ⊥BC，且(1)證明：AB⊥平面BCD；(2)若AB=BD，求平面CPQ與平面ABD的夾角的余弦值．17.(本小題15分已知函數f(x)=e2x?(a+b)x+2，且曲線y=f(x)在點(0,f(0))(1)比較a和b的大小；(2)討論f(x)的單調性；(3)若f(x)有最小值，且最小值為g(a)，求g(a)的最大值．18.(本小題17分)已知雙曲線Γ：x2?y24=1與直線l：y=x+1交于A、B兩點(A在B左側)，過點A的兩條關于l對稱的直線l1、l2分別交雙曲線Γ于C、(1)設直線l1的斜率為k1，直線l2的斜率為k(2)若直線CD與雙曲線Γ在點B處的切線交于點P，求△ABP的面積．19.(本小題17分若數列{an}滿足an+12(1)若數列m，m，2為“穩定數列”，求m的取值范圍；(2)若數列{bn}的前n項和S(3)若無窮數列{cn}為“穩定數列”，且{cn}的前n項和為Tn參考答案1.A

2.D

3.B

4.C

5.C

6.A

7.D

8.C

9.BC

10.ACD

11.BCD

12.2n13.1814.2,15.解：（1）零假設為H0：學生的性別和是否喜歡運動無關.

根據列聯表中的數據，計算得到χ?2=100×(35×20?35×10)270×30×45×55=700297≈2.357<2.706,

根據小概率值α=0.1的χ?2???????獨立性檢驗，沒有充分的證據推斷H0不成立，

因此可以認為H0成立，即學生的性別和是否喜歡跳繩無關.

（2）設經過訓練后，該校學生每分鐘的跳繩個數為Y，

則Y~N(180,100),μ=180,σ=10；

由題意得P(170≤Y<180)=P(180-σ≤Y<μ)=P(μ?σ≤Y≤μ+σ)2,

P(180≤Y≤200)=P(μ≤Y≤μ+2σ)=P(μ?2σ?Y?μ+2σ)2,

則P(170≤Y≤200)=P(μ?σ?Y?μ+σ)+P(μ?2σ?Y?μ+2σ)16.(1)如圖，取棱CD靠近D的三等分點R，連結AR,BR，則Q是CR的中點，因為P為棱AC的中點，所以PQ是?ACR的中位線，所以PQ//AR，因為PQ⊥BC，所以BC⊥AR，設BC=3a所以BD=3a，作BH⊥CD則CD=2BCcos∠BCD=3a，因為DQ=2QC，所以在△BCR中，由余弦定理得BR=∴BR又∵AR∩BR=R,AR,BR?面ABR，∴BC⊥平面ABR，因為AB?面ABR，所以BC⊥AB．又由平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，∴AB⊥平面BCD得證．(2)由(1)知，AB⊥BC,AB⊥BR.以B為原點，BC的方向為x軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系B?xyz．令AB=BD=設平面CPQ的法向量為n1則n1?AC=0,n1?連接BQ，此時BD=3，QD=2，由余弦定理得所以BQ2+B因為AB⊥平面BCD，所以BQ⊥AB，因為AB,BD?面ABD，AB∩BD=B，所以BQ⊥面ABD，故平面ABD的一個法向量為BQ=設平面CPQ和平面ABD的夾角為θ，則cosθ=∴平面CPQ和平面ABD夾角的余弦值為15

17.解：(1)由題意得f′(x)=2e2x?(a+b)，

則f′(0)=2?(a+b)=2?2a，得a=b；

(2)由題意得f(x)的定義域為R，f′(x)=2e2x?2a，

當a≤0時，f′(x)>0，則f(x)在R上單調遞增，

當a>0時，令f′(x)>0，得x>12lna，令f′(x)<0，得x<12lna，

則f(x)在(?∞,12lna)上單調遞減，在(12lna,+∞)上單調遞增；

(3)由(2)可知當a≤0時，f(x)沒有最小值，

則a>0，g(a)=f(x)min=f(118.解：(1)設Cx0,y0關于直線l：y=x+1對稱的點為C′x1,y1，

則y0?y1x0?x1=?1y0+y12=x0+x12+1，可得x1=y0?1y1=x0+1，即C′y0?1,x0+1．

聯立y=x+1x2?y24=1,

可得3x2?2x?5=0，解得x=?1或x=53，

所以A?1,0，

所以k1k2=kAC·kAD=kAC·kAC′

=y0x0+1·x0+1y0=1，

(2)由(1)得B53,83，

由x2?y24=1，可得y=2x2?1y?0，

故y′=2x2?112′=2×12x2?1?12·2x=2xx2?1，

故在點B處的切線斜率為y′|x=53=2×53519.解：(1)由題意得m2+2m≤m+2，得?2≤m≤1，

因為an>0，所以m>0，所以m的取值范圍為(0,1]；

(2)數列{bn}不是“穩定數列”，理由如下：

當n=1時，b1=