2024-2025學年湖北省武漢市高二下學期3月月考數學質量檢測試卷一、單項選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1.下列等式中，不正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】利用組合數和排列數公式分別計算可判定ABC，利用組合數的性質，組合數與排列數的關系可判定D.【詳解】故A正確；,故B錯誤；,故C正確；,故D正確.故選：B.2.設等差數列數列的前項和為，若，則（）A.30 B.28 C.26 D.24【正確答案】C【分析】根據等差數列的下標和性質，結合前項和公式，即可直接求得結果.【詳解】根據等差數列的下標和性質，由可得：，故；則.故選：C3.等比數列中，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據給定條件，求出等比數列的公比，進而求出首項即可得解.【詳解】依題意，等比數列的公比，則，解得，因此，所以.故選：B4.函數有（）A.極大值為5，無極小值 B.極小值為，無極大值C.極大值為5，極小值為 D.極大值為5，極小值為【正確答案】A【分析】利用導數可求出結果.【詳解】,由，得，由，得，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以在時，取得極大值，無極小值.故選：A5.函數的最大值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】求出函數的導數，結合導數判斷函數的單調性，即可求出函數的最大值.【詳解】解：函數的定義域為，則令，解得，當時，，則函數單調遞增；當時，，則函數單調遞減，則當時，函數有最大值，為，故選:D.6.已知函數在處取得極小值1，則（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據極值定義進行求解即可.【詳解】由，因為在處取得極小值1，所以有，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以是函數的極小值點，故滿足題意，于是有.故選：C7.若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據函數的區間單調性，應用導數可得在上恒成立，構造并研究單調性即可求的取值范圍.【詳解】由，得，由在上單調遞減，得在上恒成立，即在上恒成立.令，在上，∴在上單調遞減，即，∴，故的取值范圍.故選.8.已知函數及其導函數定義域均為，且，，則關于的不等式的解集為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】設，求導確定函數的單調性，再由已知得，則不等式可轉化為，即可得解集.【詳解】設，則，所以在上單調遞減，又，原不等式可化為，即，所以，即不等式的解集為.故選：B.二、多項選擇題（共3小題，滿分18分，每小題6分）9.有4名同學報名參加三個不同的社團，則下列說法中正確的是（）．A.每名同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有種B.每名同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有種C.每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有24種D.每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有種【正確答案】AC分析】利用分步乘法計數原理可得答案.【詳解】對于AB選項，第1個同學有3種報法，第2個同學有3種報法，后面的2個同學也有3種報法，根據分步計數原理共有種結果，A正確，B錯誤；對于CD選項，每個社團限報一個人，則第1個社團有4種選擇，第2個社團有3種選擇，第3個社團有2種選擇，根據分步計數原理共有種結果，C正確，D錯誤．故選：AC.10.已知等差數列的前項和為，公差為，，若，則下列命題正確的是（）A.數列是遞增數列B.和是中的最小項C.是數列中的最小項D.滿足的的最大值為25【正確答案】AB【分析】根據等差數列下標和性質可計算出，結合可判斷ABC，寫出的表達式可判斷D.【詳解】對于選項A：因為即，所以，即，所以，所以，數列是遞增數列，所以選項A正確；對于選項B：因為，，所以當或時，取最小值，所以選項B正確；對于選項C：因為數列是遞增數列，所以最小項是首項，所以選項C錯誤；對于選項D：由不等式，可得，又因為，所以滿足的的最大值為24，所以選項D錯誤．故選：AB11.設函數，則（）A.有極大值，且有最大值B.有極小值，但無最小值C.若方程恰有一個實根，則D.若方程恰有三個實根，則【正確答案】D【分析】先求出導函數，由導數的正負確定單調性，極值，確定函數值的變化趨勢可確定最值，及方程的根的情形．【詳解】由題意，∴當或時，，當時，，在和上遞增，在上遞減．極大值＝，極小值＝，或時，，時，，時，，∴也是最小值．無最大值．作出的圖象，和直線，如圖，當或時，有一個根，當時，有三個根．故選：D．本題考查用導數研究函數的極值和最值，研究方程根的個數問題，掌握極值與最值的定義是解題基礎．方程根的個數常常轉化為函數圖象交點個數，由數形結合思想易求解．三、填空題（共3小題，滿分15分，每小題5分）12.有兩排座位，前排10個座位，后排10個座位，現安排2人就座，規定前排中間的兩個座位不能坐，并且這兩人不左右相鄰，那么不同的坐法的種數是___________【正確答案】276分析】分情況討論，結合分類計數原理可得答案.【詳解】分為下列三類情況：第一類：兩人分別坐前后兩排，共有種；第二類：兩人都坐后排，共有種；第三類：兩人都坐前排，共有三種情況，分坐左右4個座位有32種；都坐左邊4個座位有6種；都坐右邊4個座位也有6種；共有種；由分類加法計數原理可得，共有種.故27613.某學校高二（1）班上午安排語文、數學、英語、體育、物理門課，要求第一節不安排體育，語文和數學必須相鄰，則不同的排課方法共有____種．【正確答案】【分析】先考慮第一節安排體育課，語文和數學必須相鄰的排法種數，接下來考慮語文和數學必須相鄰的情形，求出兩種情況下不同的排課方法種數，結合間接法可得結果.【詳解】先考慮第一節安排體育課，語文和數學必須相鄰，則將數學與語文捆綁，形成一個大元素，共有種排法；接下來只考慮語文和數學必須相鄰的情形，只需將數學與語文捆綁，形成一個大元素，共有種排法.由間接法可知，不同的排法種數為種.故答案為.14.將數據，，，…排成如圖的三角形數陣，（第一行一個，第二行兩個，?，最下面一行有個，）則數陣中所有數據的和為________.【正確答案】【分析】寫出數陣中所有數據的和，利用錯位相減法求解即可.【詳解】由題意，設數陣中所有數據的和為，則①，②，由①-②得：，所以.故方法點睛：解決此類探究性問題，關鍵在觀察、分析已知數據、尋找它們之間的相互聯系，利用常見數列的通項公式和求和知識求解.四、解答題（共5小題，滿分77分）15.已知函數.（1）求的解析式；（2）判斷在上的單調性.【正確答案】（1）（2）在上的單調遞減.【分析】（1）先對求導，再將代入到函數可求出，進而求出的解析式；（2）先對求導，當時，，，所以恒成立，即可得出答案.【小問1詳解】因為，所以，則，所以，所以.【小問2詳解】，當時，，，所以恒成立，所以在上的單調遞減.16.已知函數的圖象在點處的切線與直線垂直.（1）求值;（2）已知在區間上的最小值為，求在區間上的最大值.【正確答案】（1）（2）1.【分析】（1）根據導數的幾何意義求解；（2）利用導數判斷的單調性，結合的最小值為，求出，并求出最大值.【小問1詳解】由已知，得，由題知，解得.【小問2詳解】由（1）可知，，，的變化情況如表所示：12+0-0+極大值極小值，，，即在區間上的最大值為1.17.設數列的前n項和為，滿足.（1）求數列的通項公式；（2）記，求數列的前n項和.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據與的關系即可求出數列的通項公式（2），利用裂項相消法即可求出數列的和.【小問1詳解】當時，，解得，當時，，，即，即，所以數列是首項為2，公比為2的等比數列，所以.【小問2詳解】由（1）知，，所以.18.名男生和名女生站成一排．（1）甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？（2）甲、乙兩人必須站在兩端的站法有多少種？（3）男、女分別排在一起的站法有多少種？（4）男、女相間的站法有多少種？（5）甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？【正確答案】（1）種（2）種（3）種（4）種（5）種【分析】（1）按有特殊位置元素的排列方法求解；（2）按有特殊位置元素的排列方法求解；（3）按捆綁法排列即可；（4）按插空法排列即可；（5）按部分均勻的排列方法求解即可.【小問1詳解】先排甲有種，其余有種，共有種排法.【小問2詳解】先排甲、乙，再排其余人，共有種排法.【小問3詳解】把男生和女生分別看成一個元素，男生和女生內部還有一個全排列，共種.【小問4詳解】先排名男生有種方法，再將名女生插在男生形成的個空上有種方法，

故共有種排法.【小問5詳解】人共有種排法，其中甲、乙、丙三人有種排法，因而在種排法中每種對應一種符合條件的排法，

故共有種排法．19已知函數，.（1）討論的單調性并求極值.（2）設函數（為的導函數），若函數在內有兩個不同的零點，求實數的取值范圍.【正確答案】（1）在上單調遞減，在上單調遞增，的極小值為，無極大值；（2）.【分析】（1）求出，然后可得單調性和極值；（2），然后求出當時的單調性，要使函數在內有兩個不同的零點，則有，解出，