2025年統計學專業期末考試：數據分析計算題庫重點解析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、描述性統計量計算要求：根據所給數據，計算均值、中位數、眾數、極差、方差和標準差。1.已知一組數據：2,4,6,8,10,12,14,16,18,20。（1）計算這組數據的均值。（2）計算這組數據的中位數。（3）計算這組數據的眾數。（4）計算這組數據的極差。（5）計算這組數據的方差。（6）計算這組數據的標準差。2.已知一組數據：5,7,9,11,13,15,17,19,21,23。（1）計算這組數據的均值。（2）計算這組數據的中位數。（3）計算這組數據的眾數。（4）計算這組數據的極差。（5）計算這組數據的方差。（6）計算這組數據的標準差。二、概率計算要求：根據所給條件，計算以下概率。1.拋擲一枚公平的六面骰子，求出現偶數的概率。（1）求出現2點的概率。（2）求出現4點的概率。（3）求出現偶數的概率。2.從一副52張的撲克牌中隨機抽取一張牌，求抽到紅桃的概率。（1）求抽到紅桃A的概率。（2）求抽到紅桃K的概率。（3）求抽到紅桃的概率。三、假設檢驗要求：根據所給條件，進行假設檢驗，并給出結論。1.已知某工廠生產的零件長度服從正態分布，其均值μ=10，標準差σ=2。現從該工廠抽取10個零件，計算樣本均值為9.5時，是否拒絕原假設（假設原假設為μ=10）。（1）計算樣本均值9.5的z值。（2）根據z值，判斷是否拒絕原假設。2.某批產品的合格率一直穩定在95%。現從該批產品中抽取100個進行檢驗，計算樣本合格率為90%時，是否拒絕原假設（假設原假設為p=0.95）。（1）計算樣本合格率90%的z值。（2）根據z值，判斷是否拒絕原假設。四、相關系數和回歸分析要求：根據所給數據，計算相關系數，并進行線性回歸分析。1.已知以下兩組數據：-X：5,8,10,12,15-Y：2,4,6,8,10（1）計算X和Y之間的相關系數。（2）根據相關系數，判斷X和Y之間的關系。（3）建立X和Y之間的線性回歸方程。（4）預測當X=20時，Y的值。2.另一組數據如下：-X：2,4,6,8,10-Y：10,9,8,7,6（1）計算X和Y之間的相關系數。（2）根據相關系數，判斷X和Y之間的關系。（3）建立X和Y之間的線性回歸方程。（4）預測當X=3時，Y的值。五、時間序列分析要求：根據所給的時間序列數據，進行季節性分解，并預測未來的趨勢。1.已知某產品月銷售額的時間序列數據如下（單位：萬元）：-月份：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12-銷售額：120，125，130，135，140，145，150，155，160，165，170，175（1）進行季節性分解，計算季節指數。（2）根據季節指數，分析該產品的銷售趨勢。（3）預測下一年同期的銷售額。2.另一組時間序列數據如下（單位：件）：-月份：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10-銷量：100，120，130，150，160，170，180，200，210，230（1）進行季節性分解，計算季節指數。（2）根據季節指數，分析該產品的銷售趨勢。（3）預測下一年同期的銷量。六、樣本量和置信區間要求：根據所給的數據和置信水平，確定所需的樣本量，并計算置信區間。1.某廠生產的燈泡使用壽命服從正態分布，已知方差σ2=100。為了估計使用壽命的均值μ，置信水平為95%，誤差范圍為±5小時。求所需的樣本量。2.一項調查發現，某品牌手機的滿意率為0.80。要使95%置信區間為0.77至0.83，求所需的樣本量。3.對某產品進行質量檢測，已知合格率為0.95。為了確定合格率，置信水平為99%，誤差范圍為±0.05。求所需的樣本量。本次試卷答案如下：一、描述性統計量計算1.（1）均值：\(\bar{x}=\frac{2+4+6+8+10+12+14+16+18+20}{10}=10\)（2）中位數：將數據排序后位于中間的值，即第5個數，\(M=10\)（3）眾數：數據中出現次數最多的值，此處每個數只出現一次，故沒有眾數。（4）極差：最大值減去最小值，\(R=20-2=18\)（5）方差：\(\sigma^2=\frac{(2-10)^2+(4-10)^2+(6-10)^2+(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2+(14-10)^2+(16-10)^2+(18-10)^2+(20-10)^2}{10}=36\)（6）標準差：\(\sigma=\sqrt{36}=6\)2.（1）均值：\(\bar{x}=\frac{5+7+9+11+13+15+17+19+21+23}{10}=14\)（2）中位數：將數據排序后位于中間的值，即第5個數，\(M=15\)（3）眾數：數據中出現次數最多的值，此處每個數只出現一次，故沒有眾數。（4）極差：最大值減去最小值，\(R=23-5=18\)（5）方差：\(\sigma^2=\frac{(5-14)^2+(7-14)^2+(9-14)^2+(11-14)^2+(13-14)^2+(15-14)^2+(17-14)^2+(19-14)^2+(21-14)^2+(23-14)^2}{10}=49\)（6）標準差：\(\sigma=\sqrt{49}=7\)二、概率計算1.（1）\(P(2)=\frac{1}{6}\)（2）\(P(4)=\frac{1}{6}\)（3）\(P(\text{偶數})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)2.（1）\(P(\text{紅桃A})=\frac{1}{52}\)（2）\(P(\text{紅桃K})=\frac{1}{52}\)（3）\(P(\text{紅桃})=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)三、假設檢驗1.（1）\(z=\frac{(9.5-10)}{2}=-0.25\)（2）由于z值小于臨界值，不拒絕原假設。2.（1）\(z=\frac{(0.90-0.95)}{\sqrt{0.95\times0.05/100}}=-1.645\)（2）由于z值小于臨界值，不拒絕原假設。四、相關系數和回歸分析1.（1）相關系數：\(r=\frac{n(\sumxy)-(\sumx)(\sumy)}{\sqrt{[n\sumx^2-(\sumx)^2][n\sumy^2-(\sumy)^2]}}\)\(r=\frac{10(5\times2+8\times4+10\times6+12\times8+15\times10)-(5+8+10+12+15)(2+4+6+8+10)}{\sqrt{[10(5^2+8^2+10^2+12^2+15^2)-(5+8+10+12+15)^2][10(2^2+4^2+6^2+8^2+10^2)-(2+4+6+8+10)^2]}}\)\(r=\frac{10(10+32+60+96+150)-(50)(30)}{\sqrt{[10(25+64+100+144+225)-50^2][10(4+16+36+64+100)-30^2]}}\)\(r=\frac{10(422)-1500}{\sqrt{[10(589)-2500][10(220)-900]}}\)\(r=\frac{4220-1500}{\sqrt{[5890-2500][2200-900]}}\)\(r=\frac{2720}{\sqrt{3390\times1300}}\)\(r=\frac{2720}{\sqrt{4427000}}\)\(r=\frac{2720}{2106.67}\)\(r\approx0.128\)（2）相關系數接近于0，說明X和Y之間幾乎沒有線性關系。（3）線性回歸方程：\(Y=a+bx\)\(a=\frac{\sumy-b\sumx}{n}\)\(b=\frac{n(\sumxy)-(\sumx)(\sumy)}{n(\sumx^2)-(\sumx)^2}\)\(a=\frac{10(2+4+6+8+10)-0.128(5+8+10+12+15)}{10}\)\(a=\frac{10(30)-0.128(50)}{10}\)\(a=\frac{300-6.4}{10}\)\(a=29.36\)\(b=\frac{10(5\times2+8\times4+10\times6+12\times8+15\times10)-(5+8+10+12+15)(2+4+6+8+10)}{10(5^2+8^2+10^2+12^2+15^2)-(5+8+10+12+15)^2}\)\(b=\frac{10(10+32+60+96+150)-(50)(30)}{10(25+64+100+144+225)-50^2}\)\(b=\frac{10(422)-1500}{10(589)-2500}\)\(b=\frac{4220-1500}{5890-2500}\)\(b=\frac{2720}{3390}\)\(b\approx0.795\)線性回歸方程：\(Y=29.36+0.795X\)（4）預測當X=20時，\(Y=29.36+0.795\times20=47.86\)2.（1）相關系數：\(r=\frac{n(\sumxy)-(\sumx)(\sumy)}{\sqrt{[n\sumx^2-(\sumx)^2][n\sumy^2-(\sumy)^2]}}\)\(r=\frac{10(2\times10+4\times9+6\times8+8\times7+10\times6)-(2+4+6+8+10)(10+9+8+7+6)}{\sqrt{[10(2^2+4^2+6^2+8^2+10^2)-(2+4+6+8+10)^2][10(10^2+9^2+8^2+7^2+6^2)-(10+9+8+7+6)^2]}}\)\(r=\frac{10(20+36+48+56+60)-(30)(46)}{\sqrt{[10(4+16+36+64+100)-30^2][10(100+81+64+49+36)-46^2]}}\)\(r=\frac{10(240)-1380}{\sqrt{[10(220)-900][10(330)-2116]}}\)\(r=\frac{2400-1380}{\sqrt{[2200-900][3300-2116]}}\)\(r=\frac{1020}{\sqrt{1300\times1184}}\)\(r=\frac{1020}{\sqrt{1532800}}\)\(r=\frac{1020}{1234.24}\)\(r\approx0.825\)（2）相關系數接近于1，說明X和Y之間有很強的正線性關系。（3）線性回歸方程：\(Y=a+bx\)\(a=\frac{\sumy-b\sumx}{n}\)\(b=\frac{n(\sumxy)-(\sumx)(\sumy)}{n(\sumx^2)-(\sumx)^2}\)\(a=\frac{10(10+9+8+7+6)-0.825(2+4+6+8+10)}{10}\)\(a=\frac{10(40)-0.825(30)}{10}\)\(a=\frac{400-24.75}{10}\)\(a=37.25\)\(b=\frac{10(2\times10+4\times9+6\times8+8\times7+10\times6)-(2+4+6+8+10)(10+9+8+7+6)}{10(2^2+4^2+6^2+8^2+10^2)-(2+4+6+8+10)^2}\)\(b=\frac{10(20+36+48+56+60)-(30)(46)}{10(4+16+36+64+100)-30^2}\)\(b=\frac{10(240)-1380}{10(220)-900}\)\(b=\frac{2400-1380}{2200-900}\)\(b=\frac{1020}{1300}\)\(b\approx0.785\)線性回歸方程：\(Y=37.25+0.785X\)（4）預測當X=3時，\(Y=37.25+0.785\times3=47.74\)五、時間序列分析1.（1）季節性分解：首先計算季節指數，使用以下公式：\(\text{季節指數}=\frac{\text{平均季節值}}{\text{總平均值}}\)\(\text{季節指數}=\frac{(120+125+130+135+140+145+150+155+160+165+170+175)/12}{(120+125+130+135+140+145+150+155+160+165+170+175)/12}\)\(\text{季節指數}=1\)（2）由于季節指數為1，說明沒有季節性趨勢。（3）預測下一年同期的銷售額，由于沒有季節性趨勢，可以假設銷售額與當前年份相同，即175萬元。2.（1）季節性分解：使用相同的方法計算季節指數。\(\text{季節指數}=\frac{(100+120+130+150+160+170+180+200+210+230)/10}{(100+120+130+150+160+170+180+200+210+230)/10}\)\(\text{季節指數}=1\)（2）由于季節指數為1，說明沒有季節性趨勢。（3）預測下一年同期的