第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《圓的切線的證明》專項測試卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖，在中，，以邊為直徑作交于點，過點作于點，，的延長線交于點．(1)求證：是的切線；(2)若，且，求的半徑與線段的長．2．如圖，是的外接圓，是的直徑，點為延長線上的一點，連接，若，(1)求證：直線是的切線；(2)若，求的半徑．3．如圖，正方形內接于，連接，是的中點，過點作且與的延長線相交于點，與相交于點，連接．

(1)求證：是的切線．(2)求的值．4．如圖，為是直徑，弦交于點，，過點作的垂線，垂足為點，連結，．(1)求證：是的切線．(2)求證：為等腰三角形．(3)若，，求的長．5．如圖，是的直徑，點D在射線上，點C是上一點，過點B作于點E，平分．(1)求證：直線是的切線；(2)若，，求的長．6．如圖，內接于，是的直徑，過O作交的延長線于點D，交于點E、F是線段的中點，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．7．如圖，在菱形中，是邊上的高，以為直徑的分別交，于點，，連接．(1)求證：是的切線；(2)求證：．8．如圖，以線段為直徑作，交射線于點C，平分交于點D，過點D作直線于點E，交的延長線于點F，連接并延長交射線于點M．(1)求證：直線是的切線；(2)若，，求的半徑．9．如圖，在中，，以為直徑作，交于點D，交于點E，過點D作于點F．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為5，求的長．10．如圖1，將的頂點C放在上，邊與相切于點C，邊與交于點D．已知，，，的半徑為4．從圖1的位置開始，將繞點C順時針旋轉，設旋轉角為．(1)如圖2，當恰好經過圓心O時，求證：是的切線；(2)如圖3，若時，邊與的另一交點為E，求的長．11．如圖，為的直徑，C為上一點，連接，，D為延長線上一點，連接，且．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為，的面積為，求的長；(3)在（2）的條件下，E為上一點，連接交線段于點F，若，求的長．12．如圖①，獨輪車俗稱“手推車”，又名輦、鹿車等，是交通運輸工具史上的一項重要發(fā)明，至今在我國農村和一些邊遠地區(qū)仍然廣泛使用．如圖②所示為從獨輪車中抽象出來的幾何模型．在中，以的邊為直徑作，交于點P，，且，垂足為點D．(1)求證：是的切線；(2)若，，求弧的長．13．如圖，點在上，過點，分別與交于，過作于．(1)求證：是的切線；(2)若與相切于點，求的半徑．14．如圖，是的直徑，，是弦，過點作交于點，過點作的切線與的延長線交于點，連接．(1)求證：是的切線；(2)如果，，求的長．15．如圖，為的外接圓，C是的中點，連接交于點D，延長至點E，使得平分．(1)求證：直線是的切線．(2)若的半徑為5，，求的長．(3)在（2）的前提下，點F在上，的內心G在邊上，求的長．參考答案1．(1)見解析(2)的半徑為6，【分析】（1）連接，利用等腰三角形的性質，同圓的半徑相等，平行線的判定與性質和圓的切線的判定定理解答即可；（2）利用直角三角形的邊角關系定理列出比例式即可求得圓的半徑，利用相似三角形的判定和性質列出比例式即可求得的長．【詳解】（1）證明：連接，如圖，，．，．．∴,，．是的半徑，是的切線；（2）解：在中，，，，．即的半徑為6．，，．，，∴，∴，，，．【點睛】本題主要考查了圓的切線的判定，圓周角定理，等腰三角形的性質，同圓的半徑相等，平行線的判定與性質，直角三角形的邊角關系定理，相似三角形的判定和性質，連接經過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線．2．(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了圓周角定理、圓的切線的判定、等腰三角形的性質、相似三角形的判定與性質等知識，熟練掌握圓的切線的判定是解題關鍵．（1）連接，先根據圓周角定理可得，從而可得，再根據等腰三角形的性質可得，則，然后根據圓的切線的判定即可得證；（2）先證出，根據相似三角形的性質可得，再根據線段的和差可得的長，由此即可得．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，又∵是的半徑，∴直線是的切線．（2）解：在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴的半徑為．3．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，利用圓周角定理，平行線的性質，圓的切線的判定定理解答即可；（2）過點P作，先由角平分線的性質得出，再證明是等腰直角三角形，再求解即可．【詳解】（1）證明：連接，

四邊形是正方形，，是的中點，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：過點P作，

平分，，，四邊形是正方形，，是等腰直角三角形，，【點睛】本題主要考查了圓的有關性質，圓的切線的判定，角平分線的性質及正方形性質，連接經過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線．4．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】此題重點考查等膘三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、切線的判定、垂徑定理、矩形的判定與性質、勾股定理等知識，此題綜合性強，難度較大，正確地作出輔助線是解題的關鍵．（1）因為過點作直線的垂線，垂足為點，所以，由，得，推導出，而，所以，則，求得，即可證明是的切線；（2）延長交于點，由是的直徑，得，可證明，則，所以垂直平分，則，所以為等腰三角形；（3）作于點，可證明四邊形和四邊形都是矩形，則，所以，而，由勾股定理得，則，，求得，，所以．【詳解】（1）證明：過點作直線的垂線，垂足為點，，，，，，，，，是的半徑，且，是的切線．（2）證明：延長交于點，是的直徑，，，，，，，垂直平分，，為等腰三角形．（3）解：作于點，則，，四邊形和四邊形都是矩形，，，，，，，，，，，的長為．5．(1)見解析(2)12【分析】本題考查的是切線的判定、勾股定理、平行線的性質和判定等知識點，掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑是解題的關鍵．（1）根據題意可得，根據等腰三角形的性質和角平分線得出，證明，得出，即可證明．（2）在中根據勾股定理求出，即可求解．【詳解】（1）證明：∵于點E，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵是的半徑，且，∴直線是的切線．（2）解：∵，且，，，∴，解得：，∴，∴的長為12．6．(1)見解析(2)【分析】（1）證明，則，由是的半徑即可得到結論；（2）利用勾股定理求出，證明，求出，再證明，求出，由，代入即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵為的直徑∴，∴，∵點是的中點，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，∴．∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵點是的中點，，∴．【點睛】本題考查了切線的判定定理、相似三角形的判定與性質、直角三角形的性質、勾股定理，熟練掌握切線的判定定理是解題的關鍵．7．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）首先根據菱形的性質得到，求出，然后由直徑得到是的切線；（2）連接，首先得到，然后由得到，然后結合菱形的性質證明即可．【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，．，．又為的直徑，是的切線．（2）證明：如圖1，連接，，是的直徑，，，，即．又，．四邊形是菱形，，則，，．【點睛】本題考查了圓與四邊形綜合題，切線的判定，圓周角定理，菱形的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．8．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據等腰三角形的性質得到，根據角平分線的定義得到，證明，根據平行線的性質得到，根據切線的判定定理證明即可；（2）根據垂直的定義得到，根據三角函數的定義得到，根據勾股定理得到，根據相似三角形的判定和性質定理即可得到結論．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的半徑，∴直線是的切線；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即的半徑為．【點睛】本題考查的是切線的判定和性質，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質，解直角三角形，掌握經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關鍵．9．(1)見解析；(2)．【分析】（1）根據等邊對等角可得，則可證明，然后根據平行線的性質可得出，最后根據切線的判定即可得證；（2）根據直徑所對的圓周角是直角得出，在中，根據勾股定理可求出，然后根據等面積法求出，最后在中根據勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，則，，，，．于點F，，，即．是的半徑，是的切線．（2）解：如圖，連接．是的直徑，，即．，的半徑為5，．在中，由勾股定理，得．，，．【點睛】本題考查了圓與等腰三角形．正確引出輔助線，熟練掌握直徑所對的圓周角為直角，等腰三角形的性質，切線的判定，勾股定理，面積法求三角形的高是解題的關鍵．10．(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了切的判定，直角三角形的性質，等腰三角形的性質，求弧長，對于（1），作，根據直角三角形的性質得，即可知，再直角三角形的性質得，然后根據是的半徑可得答案；對于（2），先求出，再根據，可得，進而求出，最后根據弧長公式得出答案.【詳解】（1）解：如圖2，過點O作于點F，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：如圖3，連接，，時，，又，，，的長為．11．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）連接，由為的直徑，可得，再證明，結合已知，可得，從而得出結論；（2）過C作于M，連接，利用的面積為求出的長，利用勾股定理求出的長，證明，得到，即可得出的長；（3）過C作于M，過E作于H，連接，根據垂直得到，從而得到，利用勾股定理求出的長，設，則，由可得：，求出的長，進而得出結果．【詳解】（1）證明：連接，如圖：為的直徑，，，，又，，即，，是的切線；（2）過C作于M，連接，如圖：的半徑，，的面積為，，即，，在中，，，，即，；（3）過C作于M，過E作于H，連接，如圖：，由（2）知，中，設，則，由可得：解得：，，．【點睛】本題考查圓的綜合知識，涉及切線的判定、三角形面積、三角形全等及相似的判定和性質、勾股定理等，綜合性較強，解題的關鍵是作輔助線，構造相似或全等三角形．12．(1)見解析(2)【分析】（1）根據等邊對等角并結合已知可得出，則可證明，再關鍵平行線的性質得出，最后根據切線的判定即可得證；（2）根據圓周角定理求出，證明是等邊三角形，得出，在中，根據含角的直角三角形的性質求出，最后根據弧長公式求解即可．【詳解】（1）證明：連接，如圖，，，，，，，，，又∵為半徑，∴是的切線；（2）解：連接，如圖，，，，為等邊三角形，，由（1）得，，，，∴弧的長．【點睛】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，圓周角定理，弧長公式等知識，正確添加輔助線，熟練掌握知識點是解題的關鍵．13．(1)見解析(2)3【分析】（1）連接連接，由，，得，則，所以，即可證明是的切線；（2）連接連接，可證明四邊形是正方形，則，設，則，由勾股定理得，求得半徑r即可．【詳解】（1）證明：連接，則．．，．．．，．．是的半徑，且，是的切線．（2）解：連接，與相切于點，．．四邊形是矩形，．四邊形是正方形．．設，，．．．解得（不符合題意，舍去）．故的半徑為3．【點睛】本題考查等腰三角形的性質、平行線的判定與性質、切線的判定與性質、正方形的判定與性質，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．14．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，可證明是的垂直平分線，從而得出，進而證明，可得到，進一步得出結果；（2）可證明，進而得出，在中求出，進而得出結果．【詳解】（1）證明：如圖，連接OC，∵是的切線，∴．∵是的直徑，∴．∵，∴．∵，∴，∴是線段的垂直平分線，∴．∵，∴，∴，∵點C在⊙O上，∴是的切線．（2）解：由（1）得：，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴．∵，∴，，∴，，∴，∴∴．【點晴】本題考查了圓周角定理及其推論，切線的判定和性質，全等三角形的判定和性質等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握有關基礎知識．15．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（）連接，由是的中點，可推導出垂直平分，進而得到，由得到，又根據三角形外角性質可得，結合平分即可得到，即可求證；（）由垂直平分得到，