新疆阿勒泰地區布爾津縣高級中學2025屆高三下學期階段性測試（四）數學試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復數z滿足（i為虛數單位），則在復平面內復數z對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知點為雙曲線的右焦點，直線與雙曲線交于A，B兩點，若，則的面積為（）A． B． C． D．3．設不等式組表示的平面區域為，若從圓：的內部隨機選取一點，則取自的概率為（）A． B． C． D．4．若復數滿足（為虛數單位），則其共軛復數的虛部為（）A． B． C． D．5．設過定點的直線與橢圓：交于不同的兩點，，若原點在以為直徑的圓的外部，則直線的斜率的取值范圍為（）A． B．C． D．6．設x、y、z是空間中不同的直線或平面，對下列四種情形：①x、y、z均為直線；②x、y是直線，z是平面；③z是直線，x、y是平面；④x、y、z均為平面.其中使“且”為真命題的是（）A．③④ B．①③ C．②③ D．①②7．函數且的圖象是（）A． B．C． D．8．以下兩個圖表是2019年初的4個月我國四大城市的居民消費價格指數（上一年同月）變化圖表，則以下說法錯誤的是（）（注：圖表一每個城市的條形圖從左到右依次是1、2、3、4月份；圖表二每個月份的條形圖從左到右四個城市依次是北京、天津、上海、重慶）A．3月份四個城市之間的居民消費價格指數與其它月份相比增長幅度較為平均B．4月份僅有三個城市居民消費價格指數超過102C．四個月的數據顯示北京市的居民消費價格指數增長幅度波動較小D．僅有天津市從年初開始居民消費價格指數的增長呈上升趨勢9．函數的部分圖象如圖所示，已知，函數的圖象可由圖象向右平移個單位長度而得到，則函數的解析式為（）A． B．C． D．10．已知雙曲線，點是直線上任意一點，若圓與雙曲線的右支沒有公共點，則雙曲線的離心率取值范圍是（）．A． B． C． D．11．設，則（）A． B． C． D．12．某人2018年的家庭總收人為元，各種用途占比如圖中的折線圖，年家庭總收入的各種用途占比統計如圖中的條形圖，已知年的就醫費用比年的就醫費用增加了元，則該人年的儲畜費用為（）A．元 B．元 C．元 D．元二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．二項式的展開式的各項系數之和為_____，含項的系數為_____．14．已知數列遞增的等比數列，若，，則______.15．已知四棱錐的底面ABCD是邊長為2的正方形，且.若四棱錐P-ABCD的五個頂點在以4為半徑的同一球面上，當PA最長時，則______________；四棱錐P-ABCD的體積為______________.16．已知數列的前項和為，且滿足，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知．（1）已知關于的不等式有實數解，求的取值范圍；（2）求不等式的解集．18．（12分）某大學開學期間，該大學附近一家快餐店招聘外賣騎手，該快餐店提供了兩種日工資結算方案：方案規定每日底薪100元，外賣業務每完成一單提成2元；方案規定每日底薪150元，外賣業務的前54單沒有提成，從第55單開始，每完成一單提成5元.該快餐店記錄了每天騎手的人均業務量，現隨機抽取100天的數據，將樣本數據分為七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）隨機選取一天，估計這一天該快餐店的騎手的人均日外賣業務量不少于65單的概率；（2）從以往統計數據看，新聘騎手選擇日工資方案的概率為，選擇方案的概率為.若甲、乙、丙、丁四名騎手分別到該快餐店應聘，四人選擇日工資方案相互獨立，求至少有兩名騎手選擇方案的概率，（3）若僅從人日均收入的角度考慮，請你為新聘騎手做出日工資方案的選擇，并說明理由.（同組中的每個數據用該組區間的中點值代替）19．（12分）在平面直角坐標系中，已知橢圓的左、右頂點分別為、，焦距為2，直線與橢圓交于兩點（均異于橢圓的左、右頂點）.當直線過橢圓的右焦點且垂直于軸時，四邊形的面積為6.（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線的斜率分別為.①若，求證：直線過定點；②若直線過橢圓的右焦點，試判斷是否為定值，并說明理由.20．（12分）已知.（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得成立，求實數的取值范圍21．（12分）已知函數.（1）若，且，求證：；（2）若時，恒有，求的最大值.22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是矩形，，，分別是，的中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）設，求三棱錐的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據復數運算，求得，再求其對應點即可判斷.【詳解】，故其對應點的坐標為.其位于第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復數的運算，以及復數對應點的坐標，屬綜合基礎題.2、D【解析】

設雙曲線C的左焦點為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，設，得，求出的值，即得解.【詳解】設雙曲線C的左焦點為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，所以，.設，則，又.故，所以.故選：D【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.3、B【解析】

畫出不等式組表示的可行域，求得陰影部分扇形對應的圓心角，根據幾何概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】作出中在圓內部的區域，如圖所示，因為直線，的傾斜角分別為，，所以由圖可得取自的概率為.故選：B【點睛】本小題主要考查幾何概型的計算，考查線性可行域的畫法，屬于基礎題.4、D【解析】

由已知等式求出z，再由共軛復數的概念求得，即可得虛部.【詳解】由zi＝1﹣i，∴z＝，所以共軛復數=-1+，虛部為1故選D．【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算和共軛復數的基本概念，屬于基礎題．5、D【解析】

設直線：，，，由原點在以為直徑的圓的外部，可得，聯立直線與橢圓方程，結合韋達定理，即可求得答案.【詳解】顯然直線不滿足條件，故可設直線：，，，由，得，，解得或，，，，，，解得，直線的斜率的取值范圍為.故選：D.【點睛】本題解題關鍵是掌握橢圓的基礎知識和圓錐曲線與直線交點問題時，通常用直線和圓錐曲線聯立方程組，通過韋達定理建立起目標的關系式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題．6、C【解析】

①舉反例，如直線x、y、z位于正方體的三條共點棱時②用垂直于同一平面的兩直線平行判斷.③用垂直于同一直線的兩平面平行判斷.④舉例，如x、y、z位于正方體的三個共點側面時.【詳解】①當直線x、y、z位于正方體的三條共點棱時,不正確；②因為垂直于同一平面的兩直線平行,正確；③因為垂直于同一直線的兩平面平行,正確；④如x、y、z位于正方體的三個共點側面時,不正確.故選:C.【點睛】此題考查立體幾何中線面關系，選擇題一般可通過特殊值法進行排除，屬于簡單題目.7、B【解析】

先判斷函數的奇偶性，再取特殊值，利用零點存在性定理判斷函數零點分布情況，即可得解.【詳解】由題可知定義域為，，是偶函數，關于軸對稱，排除C，D.又，，在必有零點，排除A.故選：B.【點睛】本題考查了函數圖象的判斷，考查了函數的性質，屬于中檔題.8、D【解析】

采用逐一驗證法，根據圖表，可得結果.【詳解】A正確，從圖表二可知，3月份四個城市的居民消費價格指數相差不大B正確，從圖表二可知，4月份只有北京市居民消費價格指數低于102C正確，從圖表一中可知，只有北京市4個月的居民消費價格指數相差不大D錯誤，從圖表一可知上海市也是從年初開始居民消費價格指數的增長呈上升趨勢故選：D【點睛】本題考查圖表的認識，審清題意，細心觀察，屬基礎題.9、A【解析】

由圖根據三角函數圖像的對稱性可得，利用周期公式可得，再根據圖像過，即可求出，再利用三角函數的平移變換即可求解.【詳解】由圖像可知，即，所以，解得，又，所以，由，所以或，又，所以，，所以，，即，因為函數的圖象由圖象向右平移個單位長度而得到，所以.故選：A【點睛】本題考查了由圖像求三角函數的解析式、三角函數圖像的平移伸縮變換，需掌握三角形函數的平移伸縮變換原則，屬于基礎題.10、B【解析】

先求出雙曲線的漸近線方程，可得則直線與直線的距離，根據圓與雙曲線的右支沒有公共點，可得，解得即可．【詳解】由題意，雙曲線的一條漸近線方程為，即，∵是直線上任意一點，則直線與直線的距離，∵圓與雙曲線的右支沒有公共點，則，∴，即，又故的取值范圍為，故選：B．【點睛】本題主要考查了直線和雙曲線的位置關系，以及兩平行線間的距離公式，其中解答中根據圓與雙曲線的右支沒有公共點得出是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．11、C【解析】試題分析：，．故C正確．考點：復合函數求值．12、A【解析】

根據2018年的家庭總收人為元，且就醫費用占得到就醫費用，再根據年的就醫費用比年的就醫費用增加了元，得到年的就醫費用，然后由年的就醫費用占總收人，得到2019年的家庭總收人再根據儲畜費用占總收人求解.【詳解】因為2018年的家庭總收人為元，且就醫費用占所以就醫費用因為年的就醫費用比年的就醫費用增加了元，所以年的就醫費用元，而年的就醫費用占總收人所以2019年的家庭總收人為而儲畜費用占總收人所以儲畜費用：故選：A【點睛】本題主要考查統計中的折線圖和條形圖的應用，還考查了建模解模的能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

將代入二項式可得展開式各項系數之和，寫出二項展開式通項，令的指數為，求出參數的值，代入通項即可得出項的系數.【詳解】將代入二項式可得展開式各項系數和為.二項式的展開式通項為，令，解得，因此，展開式中含項的系數為.故答案為：；.【點睛】本題考查了二項式定理及二項式展開式通項公式，屬基礎題．14、【解析】

，建立方程組，且，求出，進而求出的公比，即可求出結論.【詳解】數列遞增的等比數列，，，解得，所以的公比為，.

故答案為:.【點睛】本題考查等比數列的性質、通項公式，屬于基礎題.15、90°【解析】

易得平面PAD，P點在與BA垂直的圓面內運動，顯然，PA是圓的直徑時，PA最長；將四棱錐補形為長方體，易得為球的直徑即可得到PD，從而求得四棱錐的體積.【詳解】如圖，由及，得平面PAD，即P點在與BA垂直的圓面內運動，易知，當P、、A三點共線時，PA達到最長，此時，PA是圓的直徑，則；又，所以平面ABCD，此時可將四棱錐補形為長方體，其體對角線為，底面邊長為2的正方形，易求出，高，故四棱錐體積.故答案為：(1)90°；(2).【點睛】本題四棱錐外接球有關的問題，考查學生空間想象與邏輯推理能力，是一道有難度的壓軸填空題.16、【解析】

對題目所給等式進行賦值，由此求得的表達式，判斷出數列是等比數列，由此求得的值.【詳解】解：，可得時，，時，，又，兩式相減可得，即，上式對也成立，可得數列是首項為1，公比為的等比數列，可得．【點睛】本小題主要考查已知求，考查等比數列前項和公式，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）依據能成立問題知，，然后利用絕對值三角不等式求出的最小值，即求得的取值范圍；（2）按照零點分段法解含有兩個絕對值的不等式即可。【詳解】因為不等式有實數解，所以因為，所以故。①當時，，所以，故②當時，，所以，故③當時，，所以，故綜上，原不等式的解集為。【點睛】本題主要考查不等式有解問題的解法以及含有兩個絕對值的不等式問題的解法，意在考查零點分段法、絕對值三角不等式和轉化思想、分類討論思想的應用。18、（1）0.4；（2）；（3）應選擇方案，理由見解析【解析】

（1）根據頻率分布直方圖，可求得該快餐店的騎手的人均日外賣業務量不少于65單的頻率，即可估算其概率；（2）根據獨立重復試驗概率求法，先求得四人中有0人、1人選擇方案的概率，再由對立事件概率性質即可求得至少有兩名騎手選擇方案的概率；（3）設騎手每日完成外賣業務量為件，分別表示出方案的日工資和方案的日工資函數解析式，即可計算兩種計算方式下的數學期望，并根據數學期望作出選擇.【詳解】（1）設事件為“隨機選取一天，這一天該快餐店的騎手的人均日外賣業務量不少于65單”.根據頻率分布直方圖可知快餐店的人均日外賣業務量不少于65單的頻率分別為，∵，∴估計為0.4.（2）設事件′為“甲、乙、丙、丁四名騎手中至少有兩名騎手選擇方案”，設事件，為“甲、乙、丙、丁四名騎手中恰有人選擇方案”，則，所以四名騎手中至少有兩名騎手選擇方案的概率為.（3）設騎手每日完成外賣業務量為件，方案的日工資，方案的日工資，所以隨機變量的分布列為1601802002202402602800.050.050.20.30.20.150.05；同理，隨機變量的分布列為1501802302803300.30.30.20.150.05.∵，∴建議騎手應選擇方案.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的簡單應用，獨立重復試驗概率的求法，數學期望的求法并由期望作出方案選擇，屬于中檔題.19、（1）；（2）①證明見解析；②【解析】

（1）由題意焦距為2，設點，代入橢圓，解得，從而四邊形的面積，由此能求出橢圓的標準方程．（2）①由題意，聯立直線與橢圓的方程，得，推導出，，，，由此猜想：直線過定點，從而能證明，，三點共線，直線過定點．②由題意設，，，，直線，代入橢圓標準方程：，得，推導出，，由此推導出（定值）．【詳解】（1）由題意焦距為2，可設點，代入橢圓，得，解得，四邊形的面積，，，橢圓的標準方程為．（2）①由題意，聯立直線與橢圓的方程，得，，解得，從而，，，同理可得，，猜想：直線過定點，下證之：，，，，三點共線，直線過定點．②為定值，理由如下：由題意設，，，，直線，代入橢圓標準方程：，得，，，，（定值）．【點睛】本題考查橢圓標準方程的求法，考查直線過定點的證明，考查兩直線的斜率的比值是否為定值的判斷與求法，考查橢圓、直線方程、韋達定理等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，屬于中檔題．20、（1）.（2）.【解析】試題分析：（Ⅰ）通過討論x的范圍，得到關于x的不等式組，解出取并集即可；（Ⅱ）求出f（x）的最大值，得到關于a的不等式，解出即可．試題解析：（1）不等式等價于或或，解得或，所以不等式的解集是；（2），，，解得實數的取值范圍是．點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運用分類討論思想，法二是運用數形結合思想，將絕對值不等式與函數以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函數、數形結合與轉化化歸思想方法的靈活應用，這是命題的新動向．21、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）利用導數分析函數的單調性，并設，則，，將不等式