PAGEPAGE14第3講空間點、直線、平面之間的位置關系一、學問梳理1．四個公理公理1：假如一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內．公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．公理3：假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．公理4：平行于同一條直線的兩條直線相互平行．2．空間直線的位置關系(1)位置關系的分類eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),異面直線：不同在任何一個平面內))(2)異面直線所成的角①定義：設a，b是兩條異面直線，經過空間中任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．[留意]兩直線垂直有兩種狀況——異面垂直和相交垂直．(3)等角定理空間中假如兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．3．空間中直線與平面、平面與平面的位置關系(1)空間中直線和平面的位置關系位置關系圖形表示符號表示公共點直線a在平面α內a?α有多數個公共點直線在平面外直線a與平面α平行a∥α沒有公共點直線a與平面α斜交a∩α＝A有且只有一個公共點直線a與平面α垂直a⊥α(2)空間中兩個平面的位置關系位置關系圖形表示符號表示公共點兩平面平行α∥β沒有公共點兩平面相交斜交α∩β＝l有一條公共直線垂直α⊥β且α∩β＝a常用結論1．公理2的三個推論推論1：經過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面；推論2：經過兩條相交直線有且只有一個平面；推論3：經過兩條平行直線有且只有一個平面．2．異面直線判定的一個定理過平面外一點和平面內一點的直線，與平面內不過該點的直線是異面直線．二、習題改編1．(必修2P43練習T1改編)下列命題中正確的是()A．過三點確定一個平面B．四邊形是平面圖形C．三條直線兩兩相交則確定一個平面D．兩個相交平面把空間分成四個區域答案：D2．(必修2P49練習題)若直線a不平行于平面α，且a?α，則下列結論成立的是()A．α內的全部直線與a異面B．α內不存在與a平行的直線C．α內存在唯一的直線與a平行D．α內的直線與a都相交答案：B一、思索辨析推斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若P∈α∩β且l是α，β的交線，則P∈l.()(2)三點A，B，C確定一個平面．()(3)若直線a∩b＝A，則直線a與b能夠確定一個平面．()(4)若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，則l?α.()(5)分別在兩個平面內的兩條直線是異面直線．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×二、易錯糾偏eq\a\vs4\al(常見誤區)(1)對異面直線的概念理解有誤；(2)對等角定理條件相識不清致誤；(3)對平面的性質駕馭不嫻熟，應用不敏捷．1．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b()A．肯定是異面直線 B．肯定是相交直線C．不行能是平行直線 D．不行能是相交直線解析：選C.假設c∥b，又因為c∥a，所以a∥b，這與a，b是異面直線沖突，故c與b不行能平行．2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，則下列結論中正確的是()A．OB∥O1B1且方向相同 B．OB∥O1B1C．OB與O1B1不平行 D．OB與O1B1不肯定平行解析：選D.兩角相等，角的一邊平行且方向相同，另一邊不肯定平行，故選D.3．如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面個數為．解析：EF與正方體左、右兩側面均平行．所以與EF相交的平面有4個．答案：4平面的基本性質(典例遷移)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是AB和AA1的中點．求證：E，C，D1，F四點共面．【證明】如圖所示，連接CD1，EF，A1B，因為E，F分別是AB和AA1的中點，所以EF∥A1B且EF＝eq\f(1,2)A1B.又因為A1D1eq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以EF與CD1確定一個平面α，所以E，F，C，D1∈α，即E，C，D1，F四點共面．【遷移探究】(變問法)若本例條件不變，如何證明“CE，D1F，DA交于一點”？證明：如圖，由本例知EF∥CD1，且EF＝eq\f(1,2)CD1，所以四邊形CD1FE是梯形，所以CE與D1F必相交，設交點為P，則P∈CE，且P∈D1F，又CE?平面ABCD，且D1F?平面A1ADD1，所以P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三線交于一點．eq\a\vs4\al()共面、共線、共點問題的證明方法(1)證明點或線共面，①首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內；②將全部條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．(2)證明點共線，①先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；②干脆證明這些點都在同一條特定的直線上．(3)證明線共點，先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點．[提示]點共線、線共點等都是應用公理3，證明點為兩平面的公共點，即證明點在交線上．如圖，空間四邊形ABCD中，E，F分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F，G，H四點共面；(2)設EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線．證明：(1)因為E，F分別為AB，AD的中點，所以EF∥BD.在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，所以GH∥BD，所以EF∥GH.所以E，F，G，H四點共面．(2)因為EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.所以P為平面ABC與平面ADC的公共點．又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三點共線．空間兩直線的位置關系(師生共研)(2024·高考全國卷Ⅲ)如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則()A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線【解析】如圖，取CD的中點F，連接EF，EB，BD，FN，因為△CDE是正三角形，所以EF⊥CD.設CD＝2，則EF＝eq\r(3).因為點N是正方形ABCD的中心，所以BD＝2eq\r(2)，NF＝1，BC⊥CD.因為平面ECD⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，BC⊥平面ECD，所以EF⊥NF，BC⊥EC，所以在Rt△EFN中，EN＝2，在Rt△BCE中，EB＝2eq\r(2)，所以在等腰三角形BDE中，BM＝eq\r(7)，所以BM≠EN.易知BM，EN是相交直線．故選B.【答案】Beq\a\vs4\al()1．已知空間三條直線l，m，n，若l與m異面，且l與n異面，則()A．m與n異面B．m與n相交C．m與n平行D．m與n異面、相交、平行均有可能解析：選D.在如圖所示的長方體中，m，n1與l都異面，但是m∥n1，所以A，B錯誤；m，n2與l都異面，且m，n2也異面，所以C錯誤．故選D.2.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結論是(注：把你認為正確的結論的序號都填上)．解析：直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故①②錯誤．答案：③④異面直線所成的角(師生共研)(1)(2024·成都第一次診斷性檢測)在各棱長均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知M是棱BB1的中點，N是棱AC的中點，則異面直線A1M與BN所成角的正切值為()A.eq\r(3) B．1C.eq\f(\r(6),3) D．eq\f(\r(2),2)(2)四面體ABCD中，E，F分別是AB，CD的中點．若BD，AC所成的角為60°，且BD＝AC＝1，則EF的長為．【解析】(1)如圖，取AA1的中點P，連接PN，PB，則由直三棱柱的性質可知A1M∥PB，則∠PBN為異面直線A1M與BN所成的角(或其補角)．設三棱柱的棱長為2，則PN＝eq\r(2)，PB＝eq\r(5)，BN＝eq\r(3)，所以PN2＋BN2＝PB2，所以∠PNB＝90°，在Rt△PBN中，tan∠PBN＝eq\f(PN,BN)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3)，故選C.(2)如圖，取BC的中點O，連接OE，OF，因為OE∥AC，OF∥BD，所以OE與OF所成的銳角(或直角)即為AC與BD所成的角，而AC，BD所成角為60°，所以∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.當∠EOF＝60°時，EF＝OE＝OF＝eq\f(1,2).當∠EOF＝120°時，取EF的中點M，則OM⊥EF，EF＝2EM＝2×eq\f(\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2).【答案】(1)C(2)eq\f(1,2)或eq\f(\r(3),2)eq\a\vs4\al()平移法求異面直線所成角的步驟詳細步驟如下：1．(2024·廣東省七校聯考)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線AC與A1B所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：選C.如圖，連接CD1，AD1則A1B∥CD1，所以∠ACD1是異面直線AC與A1B所成的角或其補角．易知△ACD1是等邊三角形．所以∠ACD1＝60°，所以異面直線AC與A1B所成的角為60°.故選C.2．(2024·濟南市學習質量評估)如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別為BC，AD的中點，將四邊形CDFE沿EF翻折，使得平面CDFE⊥平面ABEF，則異面直線BD與CF所成角的余弦值為．解析：如圖，連接DE交FC于點O，取BE的中點G，連接OG，CG，則OG∥BD且OG＝eq\f(1,2)BD，所以∠COG為異面直線BD與CF所成的角或其補角．設正方形ABCD的邊長為2，則CE＝BE＝1，CF＝DE＝eq\r(CD2＋CE2)＝eq\r(5)，所以CO＝eq\f(1,2)CF＝eq\f(\r(5),2).易得BE⊥平面CDFE，所以BE⊥DE，所以BD＝eq\r(DE2＋BE2)＝eq\r(6)，所以OG＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(6),2).易知CE⊥平面ABEF，所以CE⊥BE，又GE＝eq\f(1,2)BE＝eq\f(1,2)，所以CG＝eq\r(CE2＋GE2)＝eq\f(\r(5),2).在△COG中，由余弦定理得，cos∠COG＝eq\f(OC2＋OG2－CG2,2OC·OG)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2),2×\f(\r(5),2)×\f(\r(6),2))＝eq\f(\r(30),10)，所以異面直線BD與CF所成角的余弦值為eq\f(\r(30),10).答案：eq\f(\r(30),10)核心素養系列15直觀想象——空間中的“動”與函數1．直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與改變，利用空間形式特殊是圖形，理解和解決數學問題的素養．2．立體幾何中的動態問題主要包括：空間動點軌跡的推斷，求軌跡的長度及動角的范圍等．《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有一道聞名的“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中心，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何？”其意思為：“今有一個底面為正方形的長方體水池，且底面邊長為1丈(注：1丈＝10尺)，蘆葦生長在水的中心，長出水面的部分為1尺．將蘆葦向池岸牽引，恰巧與水面齊平(示意圖如圖所示)，問水深、蘆葦的長度各是多少？”設∠DEF＝θ，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θ,2)＋\f(π,4)))＝()A．3 B．4C．5 D．6【解析】設水深為x(單位：尺)，則蘆葦長為x＋1，故(x＋1)2＝x2＋25，所以x＝12，從而tanθ＝eq\f(12,5)，所以eq\f(2tan\f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))＝eq\f(12,5)，故taneq\f(θ,2)＝eq\f(2,3)或taneq\f(θ,2)＝－eq\f(3,2)(舍)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θ,2)＋\f(π,4)))＝eq\f(tan\f(θ,2)＋1,1－tan\f(θ,2))＝eq\f(\f(2,3)＋1,1－\f(2,3))＝5.【答案】Ceq\a\vs4\al()本題是立體幾何與數學文化、三角函數的交匯，試題設置的新意，充分體現了考綱要求——要留意學科的內在聯系和學問的綜合性，在學問網絡交匯點處設計試題，使其對數學基礎學問的考查達到必要的深度．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上的一個動點(不與P，B重合)，過點M作平面α∥平面PAD，截棱錐所得圖形的面積為y，若平面α與平面PAD之間的距離為x，則函數y＝f(x)的圖象是()解析：選C.過點M作MN⊥AB，交AB于點N，則MN⊥平面ABCD，過點N作NQ∥AD，交CD于點Q，過點Q作QH∥PD，交PC于點H，連接MH，則平面MNQH是所作的平面α，由題意得eq\f(2－x,2)＝eq\f(MN,4)，解得MN＝4－2x，由eq\f(CQ,CD)＝eq\f(QH,PD).即eq\f(2－x,2)＝eq\f(QH,2\r(5))，解得QH＝eq\r(5)(2－x)，過點H作HE⊥NQ，垂足為E，在Rt△HEQ中，EQ＝eq\r(HQ2－HE2)＝2－x，所以NE＝2－(2－x)＝x，所以MH＝x，所以y＝f(x)＝eq\f(（x＋2）（4－2x）,2)＝－x2＋4(0＜x＜2)．所以函數y＝f(x)的圖象如圖．故選C.[基礎題組練]1．已知異面直線a，b分別在平面α，β內，且α∩β＝c，那么直線c肯定()A．與a，b都相交 B．只能與a，b中的一條相交C．至少與a，b中的一條相交 D．與a，b都平行解析：選C.若c與a，b都不相交，則c與a，b都平行，依據公理4，知a∥b，與a，b異面沖突．2．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關系是()A．相交或平行 B．相交或異面C．平行或異面 D．相交、平行或異面解析：選D.依題意，直線b和c的位置關系可能是相交、平行或異面．故選D.3．已知空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連接四邊中點的四邊形肯定是()A．空間四邊形 B．矩形C．菱形 D．正方形解析：選B.如圖所示，易證四邊形EFGH為平行四邊形．因為E，F分別為AB，BC的中點，所以EF∥AC.又FG∥BD，所以∠EFG或其補角為AC與BD所成的角．而AC與BD所成的角為90°，所以∠EFG＝90°，故四邊形EFGH為矩形．4．已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A.若直線a，b相交，設交點為P，則P∈a，P∈b.又a?α，b?β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，則a，b可能相交，也可能異面或平行．故“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件．5．(2024·內蒙古集寧一中四模)如圖，在四面體ABCD中，E，F分別是AC，BD的中點，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，則EF與CD所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：選A.取CB的中點G，連接EG，FG.則EG∥AB，FG∥CD.所以EF與CD所成的角為∠EFG(或其補角)，因為EF⊥AB，所以EF⊥EG.EG＝eq\f(1,2)AB＝1，FG＝eq\f(1,2)CD＝2，所以在Rt△EFG中，sin∠EFG＝eq\f(1,2)，所以EF與CD所成的角為30°.故選A.6．已知棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N分別為CD，AD的中點，則MN與A′C′的位置關系是．解析：如圖，由題意可知MN∥AC.又因為AC∥A′C′，所以MN∥A′C′.答案：平行7．給出下列四個命題：①平面外的一條直線與這個平面最多有一個公共點；②若平面α內的一條直線a與平面β內的一條直線b相交，則α與β相交；③若一條直線和兩條平行線都相交，則這三條直線共面；④若三條直線兩兩相交，則這三條直線共面．其中真命題的序號是．解析：①正確，因為直線在平面外即直線與平面相交或直線平行于平面，所以最多有一個公共點．②正確，a，b有交點，則兩平面有公共點，則兩平面相交．③正確，兩平行直線可確定一個平面，又直線與兩平行直線的兩交點在這兩平行直線上，所以過這兩交點的直線也在平面內，即三線共面．④錯誤，這三條直線可以交于同一點，但不在同一平面內．答案：①②③8．如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面相互垂直，則異面直線AP與BD所成的角為．解析：如圖，將原圖補成正方體ABCD-QGHP，連接AG，GP，則GP∥BD，所以∠APG為異面直線AP與BD所成的角，在△AGP中，AG＝GP＝AP，所以∠APG＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)9．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點．求證：D1，H，O三點共線．證明：如圖，連接BD，B1D1，則BD∩AC＝O，因為BB1eq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))DD1，所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，又H∈B1D，B1D?平面BB1D1D，則H∈平面BB1D1D，因為平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，所以H∈OD1.即D1，H，O三點共線．10.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱錐P-ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．解：(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱錐P-ABC的體積為V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4\r(3),3).(2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE(或其補角)是異面直線BC與AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq\f(3,4).[綜合題組練]1．如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A．直線AC B．直線ABC．直線CD D．直線BC解析：選C.由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β，又因為D∈AB，所以D∈平面ABC，所以點D在平面ABC與平面β的交線上．又因為C∈平面ABC，C∈β，所以點C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.2.如圖，已知線段AB垂直于定圓所在的平面，B，C是圓上的兩點，H是點B在AC上的射影，當點C運動時，點H運動的軌跡()A．是圓 B．是橢圓C．是拋物線 D．不是平面圖形解析：選A.如圖，過點B作圓的直徑BD，連接CD，AD，則B