專題21.5二次函數(shù)的應用【九大題型】

【滬科版】

【題型1圖形面積或周長問題】...............................................................................1

【題型2圖形運動問題】......................................................................................6

【題型3拱橋問題】..........................................................................................10

【題型4銷售問題】...........................................................................................14

【題型5投球問題】...........................................................................................18

【題型6噴水問題】..........................................................................................24

【題型7增長率問題1.....................................................................................................................................30

【題型8車過隧道問題】.....................................................................................33

【題型9行程問題】..........................................................................................38

”7.三

【知識點1解二次函數(shù)的實際應用問題的一般步驟】

審：審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關系是什么，找出等量關

系（即函數(shù)關系）；

設：設出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所設變量的單位要準確；

列：列函數(shù)解析式，抓住題中含有等量關系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)；

解：按題目要求結合二次函數(shù)的性質解答相應的問題；

檢：檢驗所得的解，是否符合實際，即是否為所提問題的答案；

答：寫出答案.

【題型1圖形面積或周長問題】

【例1】（2022秋?越城區(qū)期末）為優(yōu)化迪蕩湖公園的燈光布局，需要在一處岸堤（岸堤足夠長）為?邊，

用總長為80/〃的燈帶在湖中圍成了如圖所示的①②③三塊燈光噴泉的矩形區(qū)域，且要求這三塊矩形區(qū)域

的面積相等.設BC的長度為an,矩形區(qū)域ABCD的面積為），〃F.

（1）求），與x之間的函數(shù)關系式，并注明自變量x的取值范圍；

（2）x為何值時，），有最大值？最大值是多少？

【分析】（1）根據(jù)二個矩形面積相等，得到矩形面積是矩形面積的2倍，可得出A《=24；,

設BE=a,則有4E=2a,表示出〃與2a,進而表示出y與x的關系式，并求出x的范圍即可；

（2）利用二次函數(shù)的性質求出），的最大值，以及此時x的值即可.

【解答】解：（1）???三塊矩形區(qū)域的面積相等，

???矩形AEFD面積是矩形BCFE面枳的2倍，

：.AE=2BE,

設BE=FC=am,則AE=HG=DF=2am,

：.DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC=80,HP8?+Zv=8O,

13

/.67=--4x+10,43a=—x+30,

.*.y=（--x+30）x=-Z+3（h,

44

"：a=--4x+!0>0,

Ax<40,

則尸一￥+30x（0VxV40）；

（2）Vy=--A7+30x=--（x-20）2+3OO（0<x<40）,且二次項系數(shù)為一三VO,

444

???當x=20時，y有最大值，最大值為300平方米.

【變式l-l]（2022?永春縣校級自主招生）在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角

（兩邊足夠長），用32〃？長的籬笆圍成一個矩形花園A8CO（籬笆只圍A8,8C兩邊），設

（I）若花園的面積為252/層，求x的值；

（2）若在。處有一棵樹與墻CO,AO的距離分別是17m和6〃?，要將這棵樹困在花園內（含邊界，

不考慮樹的粗細），求花園面枳S的最大值.

【分析】(1)根據(jù)A8=x米可知8C=(32-x)米，再根據(jù)矩形的面積公式即可得出結論；

(2)根據(jù)P處有一棵樹與墻CD、AD的距離分別是18米和8米求出x的取值范圍，再根據(jù)(1)中的

函數(shù)關系式即可得出結論.

【解答】解：(1)設米，可知BC=(32-x)米，根據(jù)題意得：x(32-x)=252.

解這個方程得:期=18,12=14,

答：x的長度18/〃或14〃?.

(2)設周圍的矩形面枳為S,

則S=x(32-A-)=-(A-16)2+256.

???在P處有一棵樹與墻CD,AD的距離是17〃?和6米，

?WW15.

???當x=15時,S畋大=-(15-16)2+256=255(平方米).

答：花園面積的最大值是255平方米.

【變式1-2](2022秋?清江浦區(qū)校級月考)愛動腦筋的小明在學過用配方法解一元二次方程后，他發(fā)現(xiàn)二

次三項式也可以配方，從而解決一些問題.例如：d-6x+I0=(A2-6.r+9-9)+10=(x-3)2-9+10

=(x-3)因此x2-6/10有最小值是1,只有當x=3時，才能得到這個式子的最小值1.同樣

-3『-6x+5=-3(A'+2X+1-I)+5=-3(x+1)2+8,因此--6x+5有最大值是8,只有當x=-1

時，才能得到這個式子的最小值8.

(1)當尸3時,代數(shù)式-2(x-3)2+5有最大值為5.

(2)當尸-1時,代數(shù)式2d+4工+3有最小值為1.

(3)矩形自行車場地ABCO一邊靠墻(墻長10w),在A8和8C邊各開一個I米寬的小門(不用木板)，

現(xiàn)有能圍成14〃?長的木板，當4。長為多少時，自行車場地的面積最大？最大面積是多少？

【分析】(1)類比例子得山答案即可;

題意求出。的取值范圍，然后利用二次函數(shù)的性質即可得.

【解答】解：(1)長方形空地的面積為16X12=192(米2),

由題意得:300S+200(192-S)<43600,

解得:SW52,

故S的最大值為52米2；

(2)①設EF=b,

???四邊形ABCD和EFGH均為正方形，

：,AD=AB=a,FG=EF=b,

：.MF=AD+EF-16=a+b-16.

FN=AB+FG-12=a+b-12,

又?俞二

.a+b-161

??,

a+b-122

解得:a+b=20,

：.MF=20-16=4(米)，F(xiàn)/V=20-12=8(米)，

答：M尸的長為4米，QV的長為8米；

②由①可知，〃+/?=20,即》=20-〃，

ME=16-AD=16-a,

DM=12-FG=\2-b=\2-(20-a)=a-8,

S;V=16-EF=16-/?=16-(20?a)=a-4NG=12-48=12?a,

則由題意得：

w=180(16-a)(a-8)+90X4X8+180(12-a)(a-4)=-360(a-10)2+7200,

又且A8V12,

4

Ao-4<-(16-?)且。V12,

4

解得：y<a<\2,

由二次函數(shù)的性質可知，當?V/V12時，W隨〃的增大而減小，

?5

則當a=方時，卬取得最大值,最大值為-360X(y-10)2-7200=7040(元).

答：圖中I、n、in三個區(qū)域栽種花卉總價W的最大值為7040元.

【題型2圖形運動問題】

【例2】（2022秋?利川市校級期中）如圖，在矩形A3CO中，AB=\2cm,BC=9cm.P、Q兩點同時從點

B、。出發(fā)，分別沿84、D4方向勻速運動（當。運動到A時，P、Q同時停止運動），已知P點的速度

比Q點大lcm/s,設P點的運動時間為x秒，△抬Q的面積為丁。〃2,

（1）經過3秒△以Q的面積是矩形ABC。面積的:時，求P、。兩點的運動速度分別是多少？

（2）以（1）中求出的結論為條件，寫出y與4的函數(shù)關系式，并求出自變量x的取值范圍.

【分析】（1）設。點的運動速度為vcmls,則P的運動速度為（葉1）ends,得出DQ=3v,BP=3（v+1）,

根據(jù)3秒△附Q的面積是矩形A8CO面積的[列出方程求解可得；

（2）根據(jù)題意知8P=（4-V2）x,DQ=（3-V2）x,由矩形面積公式可得函數(shù)解析式，根據(jù)AP20得

出x的范圍.

【解答】解：（1）設Q點的運動速度為vcm/s,則P的運動速度為（v+1）c〃而，

則DQ=3v,BP=3（v+1）,

由題意得：--112-3（Hl）J-（9-3v）=-x9X12,

23

解得：丫=3+a或v=3->/2,

又3（v+1）<12,

???W,

V3+>/2>3,舍去，

故點Q的運動速度為3-&。而，點P的運動速度為4-&c/Ms；

（2）當點。的運動速度為3-四。〃心，點。的運動速度為4-&心時，

BP=（4-V2）x,DQ=（3-虎）x,

,-.y=1（12-（4-V2）xj*[9-（3-V2）x]

14-7短i72-21V2,_.

=~~~--x-------------x+54,

V9-(3-V2)x>0,

.?gw亨

【變式2?1】（2022?巨野縣期末）如圖，在△ABC中，NB=90°,A8=12,8C=24,動點戶從點A開始

沿邊AB向終點B以每秒2個卑位長度的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC以每秒4個單位長度的

速度向終點C移動，如果點P、。分別從點A、8同時出發(fā)，那么△PBQ的面積S隨出發(fā)時間，（s）如

何變化？寫出函數(shù)關系式及，的取值范圍.

【分析】根據(jù)題意表示出8P,3Q的長進而得出△尸8Q的面枳S隨出發(fā)時間/（s）的函數(shù)關系式.

【解答】解：△尸8Q的面積S隨出發(fā)時間1（5）成二次函數(shù)關系變化,

???在△A8C中，N8=90°,48=12,BC=24,動點〃從點A開始沿邊48向終點8以每秒2個單位長

度的速度移動,

動點Q從點B開始沿邊BC以每秒4個單位長度的速度向終點C移動,

：.BP=\2-2ttBQ=4/,

???△P8Q的面積5隨出發(fā)時間/（5）的解析式為：5=1（12-2/）X4r=-4p+24t,（0</<6）.

【變式2-2]（2022秋?丹陽市校級月考）如圖，在中，HC=lcm.AC=24cm,AH=25cm,。點在

BC上，從3點到C點運動（不包括C點），點P運動的速度為2c〃?/s：Q點在AC上從。點運動到A

點（不包括力點），速度為5o〃/s.若點P、Q分別從8、C同時運動，請解答下面的問題，并寫出探索

的主要過程：

（1）經過多少時間后，P、Q兩點的距離為5&c>?

（2）經過多少時間后，S”儀的面積為15c，川？

（3）請用配方法說明，何時APCQ的面積最大，最大面積是多少？

【分析】（1）根據(jù)勾股定理尸C2+CQ2=PQ2,便可求出經過is后，p、Q兩點的距離為叉義加

（2）根據(jù)三角形的面積公式Sg=1XPCXCQ便可求出經過2或1.5s后，S幼CQ的面枳為15cm2

（3）根據(jù)三角形的面積公式Sg=1xPCXCQ以及二次函數(shù)最值便可求出t=1.755時△PC。的面積最

大.

【解答】解：（1）設經過仆后，P、Q兩點的距離為5企cm,

fs后，PC=7-2tcm,CQ=5tcm,

根據(jù)勾股定理可知QC2+CQ2=PQ2,

代入數(shù)據(jù)（7-2t）2+（51）2=（5&）2；

解得『1或/=一/（不合題意舍去）；

（2）設經過/s后，SACQ的面積為15cm2

：s后，PC=7-2tcm,CQ=5tan,

S^PCQ=PCxCQ=^x（7-27）X5r=15

解得h=2,r=L5,

經過2或1.5s?后，S"CQ的面積為15c/n2

（3）設經過/s后，△尸CQ的面積最大，

:s后，PC=7-Item,CQ=5tcm,

S^PCQ=|xPCXCQ=1x（7-2z）X5/=1x（-2產+7f）

當/=一卷時，即仁￡=1.75S時，的面積最大，

即S"CQ=：xPCXCQ=gx（7-2X1.75）X5X1.752=^

當時間為1.75秒時，最大面積為等.

16

【變式2-3]（2022秋?杭州期末）如圖（?）,點尸、G、H、E分別從正方形A8CO的頂點仄C、。、A

同時出發(fā)，以lc〃?/s的速度沿著正方形的邊向C、D、A.B運動.若設運動時間為x（s）,問：

（1）四邊形EFG”是什么圖形？證明你的結論；

（2）若正方形ABCD的邊長為2cm,四邊形EFGH的面枳為），（。/），求關于x的函數(shù)解析式和自

變量x的取值范圍；

（3）若改變點的連接方式（如紹“）），其余不變.則當動點出發(fā)幾秒時，圖中空白部分的面積為3c〃F.

(a)(b)

【分析】（1）用全等或利用勾股定理計算都可得到"E=E/=/G=G"，說明NG=90°,得四邊形EFGH

是正方形;

（2）設運動時間為x（s）,則直角中，AH=x,AE=2-x.根據(jù)勾股定理即可求得斤E的長，再

根據(jù)正方形的面積公式即可求解；

（3）空白部分的面積=4》一4+與莖，即可得到一個關于工的方程，解方程即可求解.

X2+4

【解答】解：（1）???正方形A8C。中A8=8C,而/A=/B=90°

又???A〃=B￡

：,AE=BF

???△AEH/4BFE

:?HE=EF,NHEA=NEFB

而NHE4+NA〃E=90°

NHEA+NFEB=90°

/.ZHEF=90°

同理：HE=EF=FG=GH

???四邊形EFGH是正方形.

（2）y=2z-4xix（2-x）

=2r-4x+4（0<x<2）,

（3）空白部分的面積=4x—4+轡答，

X2+4

方程為：4%-4+華立=3,

X2+4

化簡得：4/-3f-12=0,

由計算器估算得xg1.74

所以當動點出發(fā)約1.74秒時，圖中空白部分的面積為3c〃?2.

【題型3拱橋問題】

【例3】（2022?海曙區(qū)校級開學）圖1是一座彩虹橋兩條拋物線型鋼梁在橋面上的跨度分別為48=50米

和。。=40米（如圖2所示），x軸表示橋面，3c=10米.若兩拋物線交），軸于同一點，且它們的形狀

相同，則器的值為二一

OC6

【分析】因為兩個拋物線形狀相同，可設：A8所在拋物線：.\，=小（廣&）（X78）①CO所在拋物線:

y=m（x-Xc）（x-XD）②其中XB，Xc，切分別為A,BC,。的橫坐標，令x=0,可以分別求出兩

條拋物線與），軸的交點E,尸坐標，然后根據(jù)兩拋物線交y軸于同一點，可以得出.以沖=.“如，然后根據(jù)

已知條件B,C橫坐標，從而得出結論.

【解答】解：因為兩個拋物線形狀相同，可設：yAR=m（x-AA）（x-xn）①，ycD=/n（x-xc）（x-切）

②，其中XA，.3，xc，xc分別為A，B,C,。的橫坐標，

對于①令x=0，則y=nvi^XB，

所以E點坐標為（0,〃曲大8）；

同理，對于②令x=0,則y=/7LTc?切，

所以E點坐標為（0,〃應加），

3為rnxAXn=nixcXD，即,38=*乂。，

因為A8=50米，BC=10米，CD=40米.

所以AC=60米，

所以叱-心=60,xc-X8=10，XD-xc=40,

所以%=xc-60,XB=XC70，XD=XC十40,

將上式代入XAXB=XCXD得，

（xc60）（xc-10）=xc（x<;40）,

解得牝=?，

又因為加一筆

所以黑=

XC

故答案為：7.

【變式3?1】（2022秋?西城區(qū)校級期中）廊橋是我國古老的文化遺產，如圖，是某座拋物線型的廊橋示意

圖.已知水面43寬40米，拋物線最高點C到水面AB的距離為10米，為保護廊橋的安全，在該拋物線

上距水面48高為8米的點E,尸處要安裝兩盞警示燈，求這兩盞燈的水平距離（結果保留根號）

【分析】利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式.已知拋物線上距水面高為8米的￡F兩點，可知E、

/兩點縱坐標為8,把y=8代入拋物線解析式，可求E、尸兩點的橫坐標，根據(jù)拋物線的對稱性求￡尸長.

【解答】解：如圖，以A8所在直線為x軸、線段A8的中垂線為y軸建立直角坐標系，

由題意知，4(-20,0),8(2(),0),C(0,10).

設過點A、B、。的拋物線方程為：y=a(x+20)(x-20)[aVO).

把點C(0,10)的坐標代入，得

10=?(0+20)(0-20),

解得：a=

40

則該拋物線的解析式為：y=-7-（x+20）（x-20）=一1/+10

4040

把y=8代入，得—a/+10=8,

'40

即f=80,Xi=4>/5,X2~-4\*5.

所以兩盞警示燈之間的水平距離為：EF=\x\-X2|=|4V5-（-475）|=8V5（???）.

【變式3-2］（2022秋?詔安縣校級月考）如圖所示，橋梁的兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀，按照圖中的

直角坐標系，左邊的一條拋物線可以用）表示，而且左、右兩條拋物線關于y軸對稱.

（1）鋼纜的最低點到橋面的距離是多少？

（2）兩條鋼纜最低點之間的距離是多少？

（3）寫出如圖拋物線的表達式？

2加

、10

橋面0醫(yī)%加

【分析】（1）根據(jù)拋物線頂點的坐標公式可以求得頂點的橫坐標和縱坐標，根據(jù)拋物線頂點的縱坐標可

得出鋼纜的最低點到橋面的距離；

（2）根據(jù)兩最低點的橫坐標可得出兩條鋼纜最低點之間的距離；

（3）根據(jù)左右兩側的拋物線關于），軸對稱，可知兩個拋物線的解析式，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù),

從而可以得到右側拋物線的解析式.

【解答】解:（1）,尸版+新10,

—Ax-2-xlO-f—

???該拋物線的頂點的橫坐標為：尸=V=-20,縱坐標為：尸‘。。9S’=1,

-2X麗4X前

即鋼纜的最低點到橋面的距離是1，〃；

（2）???橋梁的兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀，按照圖中的直角坐標系，左邊的一條拋物線可以用）=

表示，而且左、右兩條拋物線關于），軸對稱，

40。10

???兩條鋼纜的頂點橫坐標為，-20,20,

即兩條鋼纜最低點對應的橫坐標分別是：?20,20,

故兩條鋼纜最低點之間的距離是：20?（-20）=40（米），

即兩條鋼纜最低點之間的距離是：40米；

（3）???橋梁的兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀，按照圖中的直角坐標系，左邊的一條拋物線可以用

急d+^x+IO表示，而且左、右兩條拋物線關于），軸對稱，

???右側拋物線的解析式為：產白％2_高工+10,

4UU1U

卻拋物線右側的表達式是：y=^-x2-^-x+10.

40010

【變式3-3］（2022秋?袁州區(qū)校級期中）宜春袁山公園內有一座景觀橋，橋洞形狀如拋物線48C,其橫截

面如圖所示，在圖中建立的直角坐標系中，拋物線的解析式為），=-京F+c且過頂點C（0,8）（長度單

位：〃?）

（1）直接寫出。的值；

（2）現(xiàn)因搞慶典活動，計劃沿拱橋的臺階表面鋪設一條寬度為15〃的地毯，求需要多少平方米的地毯？

（不計損耗）

（3）為了使景觀橋夜晚更加漂亮，需在橋洞下方洞壁相同高度處如圖示的E、尸位置安裝兩盞LEO燈,

且點E的橫坐標與縱坐標之和為-4,求安裝的LED燈距離水面48的高度.

y小

【分析】（1）把點C坐標代入即可求得。的值；

（2）根據(jù)解析式求出A,B,C三點坐標，求出地毯的總長度：

（3）設E點橫坐標為x,則縱坐標為?x-2,代入函數(shù)解析式，求出坐標即可.

【解答】解：⑴拋物線的解析式為尸-獷c，

??,點C（0,8）在拋物線上,

c=8；

（2）由（1）知，OC=8,令尸0,即一條解得用=20,也=-20；

OU

???地毯的面積為:1.5（AB+2CO）=1.5X（40+2X8）=84（平方米）；

（3）設點E的坐標為（x,-3/+8）,

由題意得：x+（—+8）=~4,

解得片=60（不合題意，舍去），X2=-10，

當x=-10時，y=6,

???安裝的心目）燈距離水面AB的高度是6米.

【知識點2銷售問題中的常用公式】

（1）利潤:售價-進價=進價x利潤率

（2）利潤率=一駕一X100%

進價

（3）總利潤=總售價?總進價=銷售量X（單件售價.單件成本）

【題型4銷售問題】

[例4]（2022秋?平谷區(qū)期末）某地的藥材批發(fā)公司指導農民養(yǎng)植和銷售某種藥材，經市場調研發(fā)現(xiàn)1-8

月份這種藥材售價（元）與月份之間存在如表所示的一次函數(shù)關系，同時，每千克的成本價（元）與月

份之間近似滿足如圖所示的拋物線，觀察兩幅圖表，試判斷5月份如售這種藥材獲利最大.

月份…36

每千克售價…86…

【分析】根據(jù)兩幅圖分別求出售價、成本與月份的函數(shù)關系式，再根據(jù)利潤=售價-成本得出利潤關于

月份的函數(shù)關系式，再根據(jù)函數(shù)的性質求出X即可.

【解答】解：設這種藥材售價（元）與月份的一次函數(shù)關系式為『=履+'

把（3,8）,（6,6）代入得,囁;:二,

th=10

???這種藥材售價（元）與月份所示的一次函數(shù)關系式為）=一%+10，

設每千克的成本價（元）與月份的之間的拋物線的解析式為皿=〃（x-6）2+1,

把（1,9）代入得，9=a（I-6）2+1,

?8

**a~25*

???每千克的成本價（元）與月份的之間的拋物線的解析式為加=￡（X-6）2+1,

設這種藥材利潤為M，元，

則w=y-/〃=—京+2287.96288,八8.238638/119、2,385

10—-6)-X-----X-+-X------4-9=-------X------=---(X------------尸+一,

3252525257525252472

■:一9<0，對稱軸為x=詈=琮，

252424

??"為正整數(shù)，

，當工=5時，w最大.

故答案為：5.

【變式4-1】（2022秋?舞陽縣期末）某商場?種商品的進價為每件30元，售價為每件50元.每天可以俏

售48件，為盡快減少庫存，商場決定降價促銷.

（1）若該商品連續(xù)兩次下調相同的百分率后售價降至每件40.5元，求兩次下降的百分率；

（2）經調查，若該商品每降價1元，每天可多銷售8件，那么每天要想獲得最大利潤，每件售價應多少

元？最大利潤是多少？

【分析】（1）根據(jù)增長率（下降率）公式列出一元二次方程即可求解；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求解.

【解答】解：（1）設每次下降的百分率為x.

根據(jù)題意得50（1-A）2=40.5,

解得：片=0.1,X2=I.9（不符合題意，舍去），

答：該商品連續(xù)兩次下降的百分率為10%；

（2）設降價機元，利潤為w元.

根據(jù)題意得卬=（50-30-m）（48+8/n）

=-8m2+1⑵?+960

=-8（m-7）2+1352.

???當機=7,即售價為43元時，可獲最大利潤1352元.

【變式4-2】（2022秋?椒江區(qū)期末）某一種蜜桔在農貿水果市場的需求量v（萬斤）、市場供應量”（萬

斤）與市場價格%（元/斤）分別滿足下列關系：＞,）=-O.Zv+2.8,”=0.4x?0.8,當戶=”時的市場價格

稱為市場平衡價格，此時的需求量稱為平衡需求量.

（1）求平衡價格和平衡需求量；

（2）若該蜜桔的市場銷售量），（萬件）是市場需求量”和市場供應量”兩者中的較小者，該蜜桔的市場

銷售額P（萬元）等于市場銷售量），與市場價格x的乘積.當市場價格x取何值時，市場銷售額P取得

最大值？

（3）蜜桔的每斤進價為〃?元，若當3WxW10時，隨著x的增大，蜜桔的銷售利潤（萬元）會經歷先減

小后增大再減小的變化，請直接寫出〃?的取值范圍.

【分析】（1）令》=以，再解方程可得x的值，把x的值代入》或”，可得平衡需求量：

(2)分()VxW6和6<rW14兩種情況列出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質求出最大值，再進行比較

即可;

(3)設蜜桔是銷售利潤為卬萬元，分3WxW6和6VxW10兩種情況分別列出“，與x的函數(shù)關系式，再

結合對稱軸得到不等式組，可得，〃的取值范圍.

【解答】解:(1)令9=”，則?0.2r+2.8=0.4x?0.8,

解得x=6,

-0.2X6+2.8=16

答：平衡價格為6元/斤，平衡需求最為1.6萬斤；

-0.2x+2,8>0

(2)令》>0,)空>0,則

0.4x-0.8>0

解得：2<x<14,

當2Vx<6時，J=0.4A-0.8,

P\=xy=0.4A2-0.8x,

V0.4>0,對稱軸為直線x=l,

，當2VxW6時，Pi隨著x的增大為增大.

:.當x=6時，Pi最大=0.4X36?0.8X6=96

當6<x<l4時，>'=-O.Zv+2.8,

Pi=yx=-02F+2.8x,

V-0.2<0,對稱軸為直線x=7,

???當x=7時，02最大=?0.2X49+2.8X7=9.8,

綜上，當％=7時，市場銷售額P取得最大值為9.8萬元；

(3)設蜜桔是銷售利潤為w萬元，

由題意得,當3WxW6時，w=(OAv-O.8)(x-m)=0.4意-(0.8+0.4m)x+0.8m,

當6VxW10時，w=(-0.2x+2.8)(x-w)=-0.2?+(2.8+02〃)x?2.8m,

???當3WxW10時，隨著x的增大，蜜桔的銷售利潤(狡萬元)會經歷先減小后增大再減小的變化,

一(0.8+0.4m)

0^8z

2.8+0.2m〈I。'

(-0.4

解?得4</M<6.

【變式4-3](2022?廬陽區(qū)校級一模)某商店銷售一種商品，經市場調查發(fā)現(xiàn)：在實際銷售中，售價x為

整數(shù)，且該商品的月銷售量y（件）是售價x（元/件）的一次函數(shù)，其售價工（元/件）、月銷售量），（件）、

月銷售利潤卬（元）的部分對應值如表：

售價X（元/件）4045

月銷售量1y（件）30()250

月銷售利潤卬（元）30003750

注：月銷售利潤=月銷售量X（售價-進價）

（1）求），關于工的函數(shù)表達式；

（2）當該商品的售價是多少元時，月銷售利潤最大？并求出最大利潤：

（3）現(xiàn)公司決定每銷售1件商品就捐贈〃?元利潤（〃忘6）給“精準扶貧”對象，要求：在售價不超過

52元時，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨售價x的增大而增大，求加的取值范圍.

【分析】（1）設出函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可以求出每件進價，設該商品的月銷售利潤為w元，根據(jù)利潤=單件利潤X銷售量

列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質求出函數(shù)最值；

（3）根據(jù)總利潤=（單件利澗一〃）X銷售量列出函數(shù)解析式，再根據(jù)xW52時，每天扣除捐贈后的日

銷售利潤隨售價"的增大而增大，利用函數(shù)性質求m的取值范圍.

【解答】解：（1）設一次函數(shù)解析式為＞，=履+4

根據(jù)題意，得

（4Qk+b=300

l45/c+b=250'

解得.代=T0,

?鏟伸?I匕=700

所以y與x的函數(shù)表達式為＞=-IOA+700；

（2）由表中數(shù)據(jù)知，每件商品進價為3。一：；。。。=30（元），

設該商品的月銷售利潤為卬元，

則w=（x-30）y=（x-30）（-10A+700）=-10^2+1000A-21000=-10G?50）2+4000,

V-10＜0,

???當x=50時，w最大,最大值為4000,

???當該商品的售價是50元時，月銷售利潤最大，最大利潤為4000元；

（3）根據(jù)題意得：vv=（x-30-w）（-lOx+700）=-10A-+（I000+10W）x-21000-700/〃，

lOOO+lOm

對稱軸為直線1二=5喈，

2x(-10)

V-1O<O,

???當XW50+；時，卬隨x的增大而增大，

??"W52時，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨售價X的增大而增大，

A50+->51.5,

2

解得：〃?>3,

???3VmW6,

???〃？的取值范圍為3V〃?W6.

【題型5投球問題】

【例5】（2022?威縣校級模擬）彈力球游戲規(guī)則：彈力球拋出后與地面接觸?次，彈起降落，若落入筐中，

則游戲成功.彈力球著地前后的運動凱跡可近似看成形狀相同的兩條拋物線.如圖16,甲站在原點處，

從離地面高度為1根的點A處拋出彈力球，彈力球在B處著地后彈起，落至點C處，彈力球第一次著地

（2）若彈力球在B處著地后彈起的最大高度為著地前手拋出的最大高度的一半.

①求彈力球第一次著地后拋物線解析式；

②求彈力球第一次看地點到點O的距離；

③如果擺放一個底面半徑為05〃，高（）.5〃?的圓柱形筐，且筐的最左端距離原點9/〃，若要甲能投球成功，

需將筐沿x軸向左移動〃/〃，直接寫出〃的取值范圍.

【分析】（1）先求出A點坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，將點A坐標代入解析式，得出

第一次著地前拋物線的解析式為尸-（x-2）2+2,令>，=0.解方程即可；

（2）①根據(jù)兩條拋物線形狀相同，設彈力球第一次著地后的拋物線解析式為y=-：（x?/?）2+l,將點3

代入該解析式解方程即可；

②根據(jù)彈力球第一次著地后的拋物線，求出對稱軸為直線4=2a+4,根據(jù)點8的橫坐標為2a+2,點

到第一次著地后的拋物線的對稱軸的距離為2魚+4?2V2-2=2即可；

③根據(jù)高05〃的圓柱形筐，解方程2或-4產+1=0.5,求出圓形筐的位置，利用筐最左端與最

右端平移到筐位置即可.

【解答】解：（1）;點A（U,I）是拋物線y=a（x-2）2+2的起點，

A1=a（0-2）2+2,

解得：a=-p

4

，第一次著地前拋物線的解析式為）=一：（x-2）2+2,

當）,=。時，一：（x-2）2+2=0,

解得：Xi=2+2V2,x,=2-2夜（舍去），

.二點B的橫坐標為2+2五,

故答案為：-：，2^2+2；

4

（2）①???兩條拋物線是形狀相同的兩條拋物線，

設彈力球第一次著地后的拋物線解析式為）=-］（X-/Z）2+1,

將點3代入該解析式，得加=2企（舍去），h2=2y/2+4,

???彈力球第一次著地后的拋物線解析式為y=（X-2V2-4）2+1；

②由①可得，彈力球第一次著地后的拋物線的對稱軸為直線人=2&+4,點8的橫坐標為2企+2,

點B到第一次著地后的拋物線的對稱軸的距離為2V2+4-2、叵—2=2,

???點C的橫坐標為x+2=2V2+6,

.?.點C（2V2+6,0）,

???彈力球第二次著地點到點。的距離為（2V2+6）/?；

③???圓柱形筐的高為0.5〃1,

當y=0.5時，一；（X-2V2-4）2+|=0.5,

解得.AI=4+3V2.A-2=4+V2（舍），

???筐的最左端距離原點9加，

當彈力球恰好砸中筐的最左端時，b=9-（4+3V2）=5?3夜：

???筐的底面半徑為05”，直徑為1〃?，

???筐的最右端距離原點10/?,

當彈力球恰好砸中筐的最右端時，b=10?（4+3夜）=6-3企，

:.b的取值范圍為5-3&VAV6-3V2.

【變式5-1］（2022?六盤水模擬）如圖，籃球場上。尸的長為25米，籃球運動員小明站在左方的點。處向

右拋球，球從離地面2米的A處拋出，球的運動軌跡可看作一條拋物線，在距。點4米的B處達到最高

點，最高點C距離地面4米；籃球在點。處落地后彈起，彈越后在點￡處落地，且彈起后的軌跡與拋出

后的軌跡形狀相同，但高度減少為原來最大高度的一半.以點。為坐標原點，建立如圖所示的平面直角

坐標系.

（1）求拋物線AC。的函數(shù)表達式；

（2）求籃球第二次落地點Z:與點O之間的距離；

（3）若運動員小易在點E處拿球前進到點G處起跳投籃，起跳后籃球在距離地面3米的地方出手，球

出手后的運動軌跡與拋出后的軌跡形狀相同，高度相等，并且恰好投入離地面3米的籃篋中，求FG的

（2）令y=0可求出x的兩個值，可以求出。。的長度，如圖可得第二次籃球彈出后的距離為。E,相當

于將拋物線人CD向下平移了2個單位可得2=（A-4）2解得k的值即可知道OE的值，進而可得答

8

案；

（3）令），=3,則3=（x-4）2+4,解方程求出x的值，再用。七-1的值即可得出結論.

O

【解答】解：（1）設籃球開始飛出到第一次落地時拋物線的表達式為），=〃（X-/7）2+億

V/?=4,k=4,

?\y=a（x-4）2+4,

由己知：當x=0時y=2,

即2=16a+4,

拋物線4CQ的函數(shù)表達式為)=-，(x-4)2+4；

(2)令)，=0,8(x-4)2+4=0,

:.(x-4)2=32,

解得：xi=4V2+4^9.7,x2=-4V2+4<0(舍去)，

???籃球第一次落地距。點約9.7米；

如圖，第二次籃球彈出后的距離為

OBDEGFx

根據(jù)題意：QE=AM相當于將拋物線ACO向下平移了2個單位，

，2=--(x-4)2+4,

8

解得：A|=0,X2=8,

??DE=\x\"X2|=8?

AOE=OD+DE^9.1+S=17.7(米)，

???籃球第二次落地點七距O點的距離約為17.7米；

(3)當〉，=3時，3=--(x-4)2+4,

解得：Xi=4-2>/2?1.2,刈=4+2或=6.8,

■:。產=25,

：.EG=OF-OE-(6.8-1.2)=1.7(米),

JEG的長為1.7米.

【變式5-2](2022?巧家縣模擬)如圖所示的是小青同學設計的一個動畫示意圖，某彈球P(看作一點)

從數(shù)軸上表示-8的點A處彈出后，呈拋物線_＞，=-W-8x狀下落，落到數(shù)軸上后，該彈球繼續(xù)呈現(xiàn)原拋

物線狀向右自由彈出，但是第二次彈出高度的最大值是第?次高度最大值的?半，第三次彈出的高度最

大值是第二次高度最大值的一半，…，依次逐漸向右自由彈出.

（1）根據(jù)題意建立平面直角坐標系，并計算彈球第一次彈出的最大高度.

（2）當彈球尸在數(shù)軸上兩個相鄰落點之間的距離為4時，求此時下落的拋物線的解析式.

【分析】（1）根據(jù)題意建立坐標系，根據(jù)函數(shù)解析式求出最大值即可；

（2）分別求出彈球第二次、第三次的解析式，以及落地見的距離，當落地之間距離為4時求出解析式即

可.

【解答】解：（1）根據(jù)彈球彈出的位置和函數(shù)解析式建立如圖所示坐標系：

???彈球第一次彈出的最大高度為16；

（2）當），=0時，則?『?81=0,

解得：3=0,必=?8,

???第一次相鄰兩落點之間的距離為：I-8-0|=8,

設第二次彈出時，彈球下落的拋物線的解析式為），=-工（x-力），

當時，）,=16xg=8,

解得〃=4或或〃=-4魚（舍去），

，所求拋物線的解析式為.y=-x（x-4a）,

???第二次相鄰兩落點之間的距離為4a,

設第三次彈出時，彈球下落的拋物線的解析式為y=?（X-4A/2）（x-c）,

當時，y=16x=4,

解得c=Ni+4或C=4A/2-4（舍去），

???所求拋物線的解析式為），=-（x-4V2）（X-4V2-4）,

???第二次相鄰兩落點之間的距離為|4A笈+4-4/|=4,

???相鄰兩落點之間的距離為4時，彈球下落拋物線的解析式為），=-（X-4A/2）Q-4V2-4）.

【變式5-3］（2022?濰坊模擬）女生排球考試要求：墊球后，球在運動中離地面的最大高度至少為2米.某

次模擬測試中，某女生在O處將球墊偏，之后又在A,8兩處先后墊球，球沿拋物線?一。2~。3運動（假

設拋物線G，G，G在同一平面內），最終正好在。處墊住，。處離地面的距離為1米.如圖所示，以

。為坐標原點1米為單位長度建立直角坐標系，x軸平行于地面水平直線機，已知點A（；,：）,點8的

Z8

橫坐標為一條拋物線G和C3的表達式分別為尸加-2axfly=2（Lv+bx（aWO）.

（1）求拋物線G的函數(shù)表達式.

（2）第一次墊球后，球在運動中離地面的最大高度是否達到要求？請說明理由.

（3）為了使第三次墊球后，球在運動中離地面的最大高度達到要求，該女生第三次墊球處8離地面的高

度至少為多少米？

【分析】（1）將點A坐標代入Cy=a-2。中，求出。值即可；

（2）求出拋物線C的頂點，求出實際最大高度，可得結果；

（3）根據(jù)達到最大高度達到要求得到不等式，求出〃的范圍，從而算出4離地面的高度.

【解答】解：（1）*.*Ci：y=ax2-2ax,

將4G，Q代入，得:I=ax（|）2-2?xI，

ZooZZ

解得：4二一j

ACi：y=—1-V2