專題12.4因式分解【九大題型】

【華東師大版】

?題型梳理

【題型1利用因式分解求值】...........................................................................1

【題型2因式分解在有理數簡算中的應用】.............................................................4

【題型3利用因式分解確定整除問題】..................................................................7

【題型4利用添項進行因式分解】......................................................................11

【題型5利用拆項進行因式分解】.....................................................................14

【題型6利用因式分解確定三角形的形狀】.............................................................17

【題型7利用因式分解求最值】........................................................................19

【題型8因式分解在新定義問題中的運用】............................................................21

【題型9因式分解在閱讀理解中的運用】...............................................................26

，舉一反三

【知識點因式分解】

定義：把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把

這個多項式分解因式。

以上公式都可以用來對多項式進行因式分解，因式分解的常用方法：

①提公因式法：pa+pb+p€=p(a+b+c)；

22222222

②公式法：a-b=(a+b)(a-b)；a+2ab+b=(a+b)；a-2ab+b=(a-b)o

③分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)

④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)

因式分解的一般步驟：

(1)如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式。

(2)在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的項數：2項式可以嘗試運用公式法分

解因式；3項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式；4項式及4項式以上的可以嘗試分組分解法

分解因式

(3)分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止。

【題型1利用因式分解求值】

【例1】(2023春?安徽合肥?八年級統考期末)將(2%尸一81因式分解后得(4公+9)(2%+3)(2%-3),那么

〃等于()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】先求出(軌2+9)(27+3)(2%-3)=(2x)4—81,根據將(2%尸一81因式分解后得(4/+9)(2%+

3)(2%-3),即可得出(2%尸一81=(2x)4—81,即可得出答案.

【詳解】解：???(4/+9)(2%+3)(2%—3)

=(4/+9)(4/-9)

=16X4-81,

=(2x)4-81

又丁將(2%尸-81因式分解后得(4回+9)(2x+3)(2%-3),

A(2x)n-81=(2x)4-81,

7i=4?故B正確.

故透:B.

【點睛】本題主要考查了因式分解的定義，多項式乘法，解題的關鍵是求出(4/+9)(2%+3)(2%-3)=

(2x)4-81.

【變式1-1】(2023春?上海閔行?八年級上海市民辦文綺中學校考期中)把多項式"+QX分解囚式得

X(r-D(X+^)?求4、0的值.

【答案］Q=I

4Z

［分析］根據整式的乘法運算將%(x-3a+幻化為爐+(匕一步2一濁,根據/+a》二/+G_M/

18%可知》一：=0，一gb=a，求出〃、〃的值即可.

【詳解】解：x(x-1)(x+b)

=X3+(b*”一沏，

3

Vx+QX=x1-(x+b),

3

/.X+QX=/+(b_l)x2-^bx,

fc--=0?--b=a,

【點睛】本題考查分解因式的知識及整式的乘法，正確計算出整式乘法的式子得出b-g=O,-：b=a是解

答本題的關鍵.

【變式1-2](2023春?八年級單元測試)已知三次四項式2/一5工2—6%+k分解因式后有一個因式是X—3,

試求k的值及另一個因式.

【答案】k=9,2X2+X-3

【分析】根據題意，當無=3時，代數式的值為0,進而求得攵的值，然后因式分解即可求解.

【詳解】解：依題意，三次四項式2/一5/-6%+k分解因式后有一個因式是％-3,

:.x=3時，原式=2x33—5x32-6x3+Zc=-9+k=0

：?k=9,

V2x3-5x2-6x+9=2X2(X-3)+%2-6x4-9

=2X2(X—3)4-(x—3)2

=(x-3)(2/+x—3)

???另一個因式為2一+工一3

【點睛】本題考查了因式分解的意義，解題時要根據分組分解法、提公因式法、公式法分解因式，難點是采

用兩兩分組還是三一分組，要考慮分組后還能進行下一步分解，注意分解因式要徹底，直到不能再分解為

止.

【變式1-3](2023春?八年級單元測試)若2/-6y2+盯+依+6能分解成兩個一次因式的機則整數

k=.

【答案】±7

【分析】根據題意設多項式可以分解為：(x+ay+c)(2x+by+d),則2c+d=k,根據cd=6,求出所有符合條

件的c、d的值，然后再代入ad+bc=0求出a、b的值，與2a+b=l聯立求出a、b的值，a、b是整數則符合,

否則不符合，最后把符合條件的值代入k進行計算即可.

【詳解】解：設2/一6y2+町,+丘+6能分解成：(x+ay+c)(2x+by+d),

BP2x2+aby24-(2a+b)xy+(2c+d)x+(ad+bc)y+cd,

cd=6,

V6=lx6=2x3=(-2)x(-3)=(-l)x(-6),

(3)12.1

⑷90000

【分析】(1)提取(-2)10°后計算即可；

(2)提取32。2。后計算即可；

(3)原式變形為121X13+1.21X9-1.21x12,然后提取1.21后計算即可；

(4)利用完全平方公式計算即可.

【詳解】⑴解：(一2嚴1+(-2)00。

=(-2)100X(-2+1)

=-2100；

(2)解:32021-32020

0

二322nx(3-1)

=2X32020；

(3)解：121x0.13+12.1x0.9-12x1.21

=1.21x13+1.21x9-1.21x12

=1.21x(13+9-12)

=1.21x10

=12.1：

(4)解：2022+982+202x196

=2022+982+2x202x98

=(202+98)2

=3002

=90000.

【點睛】本題考查了利用因式分解進行簡便計算，掌握因式分解的方法是解題的關鍵.

【變式2-1](2023春?全國?八年級專題練習)計算：2020x512—2020x492的結果是—

【答案】404(X)0

【分析】先提取公因式2020,再根據平方差公式分解后計算可得答案.

【詳解】2020x5P-2020x492

=2020x(512-492)

=2020x(51+49)x(51-49)

=2020x100x2

=404000,

故答案為：404000.

【點睛】此題考查提公因式法，平方差公式，熟練掌握計算公式及因式分解的方法是解題的關鍵.

【變式22](2023春八年級單元測試)計算：(1)(1-^)x(1-^)x(1-±)x...x(i

(2)20212-2021X4040+20202

【答案】(1)弟(2)1

【分析】(1)先根據平方差公式分解，算出結果后計算乘法即口:得到答案；

(2)利用完全平方公式分解計算.

【詳解】(1)(1-^)X(1—^)x(1—^)x...x(l-i)x(l-^7)

=(1-i)X(14-1)X(l-l)X(l+l)X(l-l)X(l+l)X..-X(l-i)X(l+1)X(1--^)X(1+^)

=lx3x￡xlx3xsx^x8xiox±xn

223344991010

210

zz-11-

20,

(2)20212-2021x4040+20202

=202#-2x2021x2020+20202

=(2021-2020)2

=1.

【點睛】此題考查因式分解進行有理數的混合計算，正確掌握因式分解的方法：平方差公式和完全平方公式

是解題的關鍵.

【變式2-3】(2023春?八年級單元測試)利用因式分解計算：

(I)1002-992+982-972+…+42-32+22-I2

(2)1+24(52+1)(54+1)(58+1)-...-(532+1)

(2^+4-2(2力

2⑵+2)

【答案】(1)5050；(2)5依；(3)-

4

【分析】(1)原式結合后，利用平方差公式計算即可得到結果；

(2)原式第二項分子分母乘以5勺，利用平方差公式化簡，計算即可得到結果；

(3)原式計算后，提取公因式，約分即可得到結果.

【詳解】解：(1)1002-992+982-972+..,+42-32+22-12

=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+...+(4+3)(4-3)+(2-1)(2+1)

=100+99+98+97+…+4+3+2+1

=101x50

=5050：

(2)1+24(52+1)(5/1)(58+1)(532+1)

=l+24x|^1x(52+1)(54+1)(58+1)?(532+1)

=1+5M-1

=5”

2計4_2(2與

2(232)

_2n+1x8-2n+1

-2"以4

_2n+1x7

~2n+1x4

=—7

4

【點睛】此題考查了因式分解的應用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵.

【題型3利用因式分解確定整除問題】

【例3】(2023春?全國?八年級專題練習)某興趣小組為探究被3整除的數的規律，提出了以下問題：

(1)在312,465,522,458中不能被3整除的數是；

(2)一個三位數赤表示百位、十位、個位上的數字分別是a、b.cda,b,c為0—9之間的整數，且QW0),

那么=IOOQ十10。十c.若Q+b十c是3的倍數(設a+b+c=3C,C為正整數)，那么能被3整

除嗎？如果能，請證明；如果不能，請說明理由.

(3)若一個能被3整除的兩位正整數前(a,b為1—9之間的整數)，交換其個位上的數字與十位上的數字

得到?個新數，新數減去原數等于54,求這個正整數適.

【答案】(1)458；(2)能，見解析；(3)39

【分析】(1)把各個數除以3即可得出結果；

(2)由題意可列出式子赤=100a+lOb+c,進行整理可得：3(￡+33a+3b)從而可判斷；

(3)根據題意可得：麗-布=54,把各個數表示出來代入進行求解，可以得出結果.

【詳解】解：(1)312+3=104：能被3整除；

465+3=155,能被3整除;

522+3=174,能被3整除；

458+3=152……2,不能被3整除；

故答案為：458；

(2)此時赤能被3整除，

證明：若Q+b+c是3的倍數，則令Q+b+c=3t(t為正整數)，

則有abc=100a+10b+c,

=(a+b+c)+(99a+9b),

=3t+3(33a+3b),

=3(t+33a+3b),

故而能被3整除；

(3)vHE交換后為赤，由題意得：

ba-ab=54,

有(10b+a)-(10a+b)=54,

整理得：9(b-a)=54,

得：b—a=6,

-a,b為1一9之間的整數，

???有￡=7'｛匕=8'心=9'

,?4一能被3整除，

這個正整數是39.

【點睛】本題主要考查了因式分解的應用，解答的關鍵是理解清楚題意，表示出相應兩位數或三位數.

【變式3-1](2023春?遼寧沈陽?八年級統考期末)利用因式分解說明：當〃為自然數時，5+7)2-(九-5)2

能被24整除.

【答案】見解析

【分析】將幾十7和九-5分別看做整體，用平方差公式進行因式分解.，所得的結果中含有因式24,即可求證.

【詳解】解；(nI7下一(n-

=[(n+7)+(n-5)][(n+7)-(n-5)]

=12(2n+2)

=24(n+1),

???5+7)2-(n-5尸能被24整除.

【點睛】本題主要考查了用平方差公式進行因式分解，解題的關犍是掌握平方差公式a2-b2=(a+b)(a-

b).

【變式3-2](2023春?湖南永州?八年級校聯考期中)已知432-1可以被10到20之間的某兩個整數整除，

則這兩個數是()

A.12,14B.13,15C.14,16D.15,17

【答案】D

【分析】把432-1因式分解即可看出可以被10至20之間的哪兩個整數整除.

【詳解】432-1=+1)(4^-1)

=(416+1)(48+1)(48-1)

=(4164-1)(48+1)(44+1)(44-1)

=(416+1)(48+1)(44+1)(42+1)(42-1)

=(416+1)(48+1)(44+1)x17x15

???可以被10至20之間的17和15兩個整數整除.

故選D.

【點睛】本題考查了因式分解的應用，熟練掌握平方差公式小-^二色+與但-幻是解答本題的關鍵.

【變式3-3】(2023?河北衡水?統考三模)某數學興趣小組研究如下等式：

38x32=1216,

53x57=3021,

71x79=5609,

84X86=7224.

觀察發現以上等式均是“十位數字相同，個位數字之和是10的兩個兩位數相乘，且積有一定的規律”.

(1)根據上述的運算規律，直接寫出結果：58x52=:752=.

⑵設其中一個數的十位數字為。，個位數字為〃(小b>0),

①請用含小”的等式表示這個運算規律，并用所學的數學知識證明；

②上述等式中，分別將左邊兩個乘數的十位和個位調換位置，得到新的兩個兩位數相乘(如：38x32調換

為83x23).若分別記新的兩個兩位數的乘積為加，①中的運算結果為力求證：能被99整除.

【答案】(1)3016：5625

(2)?(10a+b)(10a+10-fe)=100a(a+1)4-b(10-b)；證明見解析；②見解析

【分析】(1)根據上述的運算規律計算，即可求解；

(2)①根據題意可得這兩個兩位數分別為10Q+b,10a+10-b,從而得到這個運算規律為(10。+b)(10a+

10-b)=100a(a+1)+b(10-b),然后分別計算等式的左右兩邊，即可；②由①得：n=100a2+100a+

10b—爐，可得新的兩個兩位數分別為10b+Q,10(10—b)+a,進而得到m=(10b+a)[10(10-b)+a],

然后計算出m-幾，即可.

【詳解】(1)解：根據題意得：58x52=(5x6)x100+8x2=3016,

752=(7x8)x100+5x5=5625：

故答案為:3016：5625

(2)解：①???其中一個數的十位數字為小個位數字為〃(md>0),

???另一個數的十位數字為。，個位數字為10-6,

???這兩個兩位數分別為10a+b,10a+10-b,

根據題意得：這個運算規律為(10。+b)(10a+10-b)=100a(a+1)+b(10-b),

證明：左邊二100a2+lOab+100a+10b—lOah—b2

=100a2+100a4-10/)-d2

右邊=100a2+100a4-10b-b2,

J左邊=右邊；

②由①得：n=100a2+100a+106-b2,

???分別將左邊兩個乘數的十位和個位調換位置，得到新的兩個兩位數相乘，

???新的兩個兩位數分別為10b+a,10(10一b)+Q,

Am=(10b+a)[10(10-b)+a]

=(10b+a)(100-10b+a)

=1000b+100a-100d2-lOab+Wab+a2

=1000/7-100b2+100a+a2,

：.ra-n=(1000Z?-10062+100a+a2)-(100a2+100a+10b-b2)

=1000Z?-100b2+100a+a2-100a2-100a-10b+b2

=-99a2-99b2+990b,

=-99(a2+b2+10b),

Vd,力為正整數,

，a2+b2+iob為整數，

??TH—，能被99整除.

【點睛】本題主要考查了整式的混合運算，因式分解的應用，明確題意，準確得到規律是解題的關鍵.

【題型4利用添項進行因式分解】

【例4】(2023春?陜西榆林?八年級統考期末)19世紀的法國數學家蘇菲?熱門給出了一種分解因式/+4的

方法：他抓住了該式只有兩項，而且屬于平方和(7)2+22的形式，要使用公式就必須添一項47,隨即將

此項4/減去，即可得％，+4=X4+4%2+4-4x2=(%24-2)2-4%2=(x2+2)2-(2%)2=(%2+2x4-

2)(r2-2x+2),人們為了紀念蘇菲?熱門給出這一解法，就把它叫做“熱門定理

根據以上方法，把下列各式因式分解：

(1)4—+y4；

(2)a2—4am—n2+4mn.

2

【答案】⑴(2/+y2+2xy)(2x+y2-2xy)；

(2)(a—n)(a—4m+n).

【分析】(1)根據蘇菲?熱門的做法，將原式配上4%2y2后，根據完全平方公式和平方差公式即可進行因式分

解；

(2)先分組，再利用提公因式法因式分解.

［詳解】(1)原式=4x4+y4+4x2y2-4x2y2

=(2x2+y2)2-4x2y2

=(2x2+y2+2孫)(27+y2-2孫)；

(2)原式=a2-4am+4m2-4m2—n2+4mn

=(a2-4am+4m2)-(4m2+n2-4mn)

=(a-2m)2-(2m-n)2

=(a—2m+2m—n)(a—2m—2m+n)

=(a-n)(a—4m+n).

【點睛】本題考查因式分解，掌握平方差公式、完全平方公式的結構特征是正確應用的前提，理解蘇菲?熱門

的做法是正確進行因式分解的關鍵.

【變式4-1](2023春?廣東佛山?八年級專題練習)添項、拆項是因式分解中常用的方法，比如分解多項式小-1

可以用如下方法分解因式：

①a2—l=a2—a+a-1=a(a-1)4-(a-1)=(a—l)(a4-1)；

又比如多項式M-1可以這樣分解：

②砂—l=a3—a2+a2—a+a-l=a2(a—1)+a(a—1)+(a—1)=(a—l)(a2+a+1)：

仿照以上方法，分解多項式的結果是.

【答案】(Q-1)(Q4+Q3+Q2+Q+1)

【分析】直接根據添項、拆項的方法進行因式分解即可.

【詳解】解:a5-l

=a5—a4+a4—a3+a3—a2+a2—a+a—1

—a4(a—1)+a3(a—1)+a2(a—1)+a(a-1)+a—1

=(a-l)(a4+a：'+Q2+Q+i),

故答案為：(Q—1)(。4+a，++Q+i)

【點睛】本題考查添項與拆項法對多項式進行因式分解，解題的關鍵是熟練運用提公因式法，也考查了學生

的觀察能力和整體思想.

【變式4-2](2023春?湖南常德?八年級統考期中)閱讀與思考

在因式分解中，有些多項式看似不能分解，如果添加某項，可以達到因式分解的效果，此類因式分解的方

法稱之為“添項法

42222222

例如：a4+4=a4+4+4a2_4a2=(a+4a+4)-4a=(a+2)—(2a)=(a+2a+2)(a—2a+

2).

參照上述方法，我們可以對Q3+/因式分解，下面是因式分解的部分解答過程.

03+/=+02b_02b+b3=(a3+a2b)-(a2b—h3)=(a4-b)-a2—(a+b)-b(a—b)=???

任務：

(1)請根據以I：閱讀材料補充完整對〃因式分解的過程.

(2)已知〃+。=2,出?=一4,求+/的值.

[答案](l)(a+b)(a2-ab+b2)

(2)a3+/=32

【分析】(1)在題干的基礎上再提取公因式m+b),整理即可；

(2)由(1)可知求出a?一+川的值即可求出Q3+廬的值.將一＜+爐變形為(a+b)2-3ab,再代

入a+b和ab的值即得出a?—ab+爐的值,由此即得出結果.

[詳解】(1)a3+b3=a3+a2b-a2b4-b3

=(a34-a2b)—(a2b—b3)

=(a+b)-az-b(,a+b)-(a-b)

=(a+Z))?[a2—b(a-b)].

22

=(Q+Z))(a—ah+b)；

(2)Va2—a/?4-b2

=(Q+匕/—3ab

=22-3x(-4)

=16

.9?a3+b3=(a+b)(a2-ad+ft2)=2x16=32.

【點睛】本題考查因式分解，代數式求值.讀懂題干，理解題意，掌握因式分解的方法是解題關鍵.

【變式4-3](2023?重慶九龍坡?重慶市育才中學?？既?閱讀理解：

添頂法是代數變形中非常重要的一種方法，在整式運算和因式分解中使用添項法往往會起到意想不到的作

用，例如：

例1：計算(3+1)(3?+1)(34+1)，+1)(301)(332+1)

解：原式=33?1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)

=知2-1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)

=斜1-1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)

364—1

2

例2：因式分解：x4+x2+l

解：原式=乂4+乂2+1=*4+2乂2+172

=(x2+l)2-X2

=(x2+l+x)(x2+l-x)

根據材料解決下列問題;

(1)計算:(1+1)(1+款1+款1+/)……(1+募);

(2)小明在作業中遇到了這樣一個問題，計算吃:熏比…曾言,通過思考，他發現計算式中的式子

可以用代數式之x4+4來表示，所以他決定先對x/4先進行因式分解，最后果然發現了規律；輕松解決了這

個計算問題.請你根據小明的思路解答下列問題：

①分解因式：X4+4；

②計算.(14+4)(5"+4)儼+4)……(49?+4)

J舁：(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4),

【答案】1；(2)?(X2+2X+2)(X2-2x4-2)；②焉.

【分析】(I)配成平方差公式只要在前面乘以2x(1-｝即可，連續使用平方差公式，得出最后結果，

(2)①根據配方法在原式的基礎上(+4x2?4x，轉化為完全平方公式，再利用拆項法配方，最后化為兩個因

式的積，

②根據x4+4的分解結果，分別求出當x=l,x=3,x=5,x=7,x=9,x=ll..所對應的x'+4個結果，

從而得到一個規律，再代入求值中可.

【詳解】解：⑴原式=2x(1《)x(1+演1+專)(1+[)(1+專)……(1+短)

=2x(1-煮)

21024—1

210239

(2)0X4+4=X4+4X2+4-4x2

=6+2)2.QX)2

=(X2+2X+2)(X2-2x+2),

422

②X+4=(X+2X+2)(X-2x+2)

X4+4=(X2+2X+2)(X2-2X+2)=[(X+1)2+1]*[(X-1)2+1]

停式_(。2+1)(”+1)(鏟+1)(62+1)(82+1：1…(50?+D_1

小(22+1)(42+1)(62+1)(82+1)......(502+1)(522+1)-522+1

【點睛】考查因式分解，平方差公式、完全平方公式等知識，掌握公式，通過因式分解的變形，找出存在的

規律是解決問題的關鍵.

【題型5利用拆項進行因式分解】

【例5】(2023春?八年級課時練習)閱讀理解，并解答下面的問題：

拆頂法原理：在多項式乘法運算中，常經過整理、化簡，通常將幾個同類項合并為一項，或相互抵消為零.反

過來，在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩

項或多項(拆項).

例：分解因式：/+4x+3

解：原式=X2+工+34+3把4x分成4和3%,

=(/+》)+(3x+3)將原式分成兩組

=x(x+1)+3(x+1)對每一組分別提取公因式

=(x+3)(x+l)繼續提公因式

請類比上面的示例，分解因式：x2+5x+6

【答案】(x+2)(x+3)

【分析】根據題意中的分解因式的方法求解即可.

【詳解】解：原式=/+2(+3工+6

二(X2+2x)+(3x+6)

=x(x+2)+3(x+2)

=(x4-2)(x+3).

【點睛】題目主要考查多項式乘法及因式分解，理解題中分解因式的方法是解題關鍵.

【變式5-1】(2023春?黑龍江雞西?八年級?？计谀?利用拆項法，分解因式：f-6x-7；

【答案】。+1)(X一7)

【詳解】解：x2-6x-7

=.r-6x+9—16

=(x—3)2-42

=(x—3+4)(x—3—4)

=(x+l)(x—7)；

【點睛】本題考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟記公式，理解題中的分解因式方法并能靈活運

用是解答的關鍵.

【變式5-2](2023春?陜西榆林?八年級統考期末)利用拆項法，解決下列問題：

(1)分解因式：x2-6x+5：

(2)分解因式：a2+4ab—Sb2.

【答案】(1)(%-1)(%-5)

(2)(a+5b)(a—b)

【分析】(1)將5拆解成9-4,再根據完全平方公式得(％-3)2-22,然后利用平方差公式進一步分解.

(2)將-5〃拆解成4b2一班？，再根據完全平方公式得(a+2b)2-9川，然后利用平方差公式進一步分解.

[詳解】(1)原式=x2-6x4-9-4=(x-3)2-22=(%-3-2)(%-3+2)=(x-1)(%-5)

(2)原式=a2+4ab+4b2-9d2=(Q+2b)2-9b2=(a+2b+3b)(a+2b-3b)=(a+5b)(a-b)

【點睛】本題考杳了因式分解的應用，解題時要注意在變形的過程中不要改變式子的值.

【變式5-3](2023春?八年級單元測試)閱讀理解題：

拆項法是因式分解中一種技巧較強的方法，它通常是把多項式中的某一項拆成幾項，再分組分解，因而有

時需要多次實驗才能成功，例如把/一33+4分解因式，這是一個三項式，最高次項是三次項，一次項系

數為零，本題既沒有公因式可提取，又不能直接應用公式，因而考慮制造分組分解的條件，把常數項拆成1

和3,原式就變成(%3+1)一(3/-3),再利用立方和與平方差先分解，解法如下：

原式=x3+1-(3x2-3)=(x+l)(x2—x+1)-3(x+l)(x—1)

=(x+l)(x2—x4-1—3%+3)=(x+l)(x—2)2

公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2),a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

根據上述論法和解法，

(1)因式分解：X3+%2-2；

(2)因式分解：X3-7X+6；

(3)因式分解：x4+x2+l.

【答案】(1)(X—1)(/+2%+2)：(2)(%-l)(x+3)(x-2)；(3)(x24-%+l)(x2-%4-1)

【分析】(1)將原式拆成(爐-1)+。2—1),然后分別利用立方差和平方差公式因式分解后再提起公因式

X-1即可;

(2)將原式拆成爐-1-7工+7,然后前兩項利用立方差公式因式分解，后兩項提取公因式即可確定答案；

(3)將原式拆成('4+2/+1)——,然后利用平方差公式因式分解即可.

【詳解】解：(1)x3+%2-2=(x3-1)+(x2-1)

=(%-l)(x2+x+1)+(x-l)(x+1)

=(x-l)(x2+2x+2)

(2)x3-7%4-6=x3-1-7x+7

=(x3—1)—7(x—1)

=(x-l)(x2+%+1)—7(x-1)

=(x—l)(x2+x+6)

=(x—l)(x+3)(%—2)

(3)x4+x2+1=(x4+2x2+1)-x2

=(x2+I)2—X2

=(x2+1+x)(x24-1-x)

=(x2+x+l)(x2-x+l)

【點睛】本題考查了因式分解的應用，解題的關鍵是仔細閱讀題目，從題目中得到因式分解的方法，難度不

大.

【題型6利用因式分解確定三角形的形狀】

【例6】(2023春?全國?八年級專題練習)已知〃、仄c為△A3c的三邊，且滿足42c2以則△48C

為—三角形.

【答案】等腰或宜角或等腰百角.

【分析】首先提取公因式，進而利用平方差公式分解因式，然后分三種情況進行討論.

【詳解】-b2c^=a4-b4,

；?d(a+b)(a-b)=(a2+b2)(a+b)(a-b)?

:.當a=b,則4ABC是等腰三角形；

當在從則/=/+序，則△A8C是直角三角形，

當。=兒且/=。2+〃，則△A3c是等腰直角三角形，

???△A3C為等腰三角形或直角或等腰直角三角形.

故答案為：等腰或直角或等腰直角.

【點睛】本題考查了用提公因式法與平方差公式分解因式，用提公因式法與平方差公式分解因式得到a,b,

c的關系式是解題的關鍵，注意考慮問題要全面.

【變式6-1](2023春?河南鄭州?八年級校聯考期中)若△ABC三邊a、b、c滿足小一。匕一QC+兒=0,則

△ABC是三角形.

【答案】等腰

【分析】等式左邊因式分解后，利用兩式相乘枳為0,兩因式中至少有一個為。即可確定a,b,c的關系，

即可作出判斷.

(詳解】Va2—ab—ac+be=0,

*.a(a—c)—b(a—c)=0,

/.(a—b)(a—c)=0,

G-b=。或Q-c=0,

/?a=b或a=c,

二.△ABC是等腰三角形，

故答案為：等腰.

【點睛】本題考查因式分解的方法-分組分解法，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵.

【變式6-2](2023春?全國?八年級專題練習)已知：m4c是三角形的三邊，且滿足(a+b+c)2=

3(a2+b2+c2).求證：這個三隹形是等邊三角形.

【答案】見解析

【分析】根據完全平方式將原式變形為(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0,結合平方的非負性即可計算得到正

確答案.

【詳解】解：V(a+64-c)2=[(a+/?)+c]2

=(a+b)2+c2+2(a+b)c

=a2+bz+c2+2ab+2bc+2ac

:.原式可變形為：a2+b2+c2+2ab-}-2bc+2ac=3(a2+b2+c2)

(a2-2ab+b2)+(a2-2ac+c2)+(b2—2bc+c2)=0

(a-b)2+(a—c)?+(b-c)2=0

222222

,:(a-b)>0/(a-c)>0,(b-c)>0,(a-b)+(Q-c)+(匕-c)=0

^.a—b=0,a—c=0,b-c=Q

:?a=b,a=c,b=c

:.a=b=c

即這個三角形是等邊三角形.

【點睛】本題考查完全平方式的應用，平方非負性的應用，根據相關知識點靈活應用是解題關鍵.

【變式6-3](2023春?八年級統考課時練習)已知等腰三角形的三邊長a、氏c均為整數，且滿足Q+加+

匕+ca=24,則這樣的三角形共有個.

【答案】3

【分析】先將a+bc+b+ca=24可以化為(a+b)(c+1)=24,然后根據24分解為大于等于2的兩個正整數的

乘積有幾種組合，討論是否符合題意即可得出答案.

【詳解】解：?；a+be+b+ca=24,

:.(a+b)+<bc4-ca>=24,

(c+l)(b+a)=24,

???等腰△ABC的三邊長a、b、c均為整數，

Aa+b,c+1為大于或等于2的正整數，

那么24分解為大于等于2的兩個正整數的乘積有幾種組合2x12,3x8,4x6,6x4,8x3,12x2,

①a+b=2,c+l=12時，c=[l,a+b=2,無法得到滿足等腰三角形的整數解;

②a+b=3,c+1=8時，c=7,a+b=3,無法得到滿足等腰三角形的整數解；

③a+b=4,c+】=6時，c=5,a+b=4,無法得到滿足等腰三角形的整數解；

?a+b=6,c+1=4時，c=3,a+b=6,可以得到a=b=c=3,可以組成等腰三角形；

⑤a+b=8,c+1=3時，c=2,a+b=8,可得a=b=4,c=2,可以組成等腰三角形；

⑥升b=12,c+1=2時，可得a=b=6,c=l,可以組成等腰三角形.

???一共有3個這樣的二角形.

故答案是：3.

【點睛】本題考查因式分解的應用及等腰三角形的知識，難度一股，在解答本題時將原式化為因式相乘的形

式及將24分解為大于等于2的兩個正整數的乘積有兒種組合是關鍵.

【題型7利用因式分解求最值】

【例7】(2023春?湖南株洲?八年級株洲二中?？计谀?整數。、反。是448c的三條邊(aVbVc),若AABC

的周長為30,那么+18a+18b-446的最小值為.

【答案】17

【分析】根據三角形的周長得到a+6=30-c,整體代入c?+lBa+18力-446,得到(c-9)2+13,利用

三角形的三邊關系求出10vc<15,根據c是整數，利用完全平方式的非負性求出最小值即可.

【詳解】解：???△48C的周長為30,

+b+c=30,

工a+b—30—c>

而a+b>c,貝i」30-c>c,

Ac<15,

a<b<c,

A10VcV15,

Ac2+18a+18/7-446

=c2+18(Q+b)-446

=c2+18(30-c)-446

=(c-9)2+13

???c是整數,

，當c=ll時，c2+18a+18b-446的值最小,且為17,

故答案為：17.

【點睛】本題考查了.三角形的一.?邊關系，完全平方式，解題的關鍵是熟練掌握完全平方公式，正確求出自變

量c的取值范圍.

【變式7-1](2023春?遼寧阜新?八年級?？茧A段練習)利用完全平方公式因式分解在數學中的應用，請回答

下列問題：

(1)因式分解：x2-4x+4=.

(2)填空：當％=時，代數式/-6尤十9=0；

⑶閱讀如下材料，完成下列問題：

對干二次三項式求最值問題，有如下示例：

x2-2x+3=x2-2x4-I2-I2+3=(x-I)2+2.

因為(無一1)2^0,所以a—1)2+232,所以當％=1時，原式的最小值為2.

①代數式/+10%+2的最小值是__________；

②拓展與應用：求代數式a?+川一4a-6b+15的最小值(模仿示例詳細說明).

【答案】(1)(%-2)2

(2)3

(3)?-23；②2

【分析】(1)利用完全平方公式分解因式即可；

(2)利用完全平方公式把原式分解因式即可得到答案；

(3)①仿照題意求解即可；

②仿照題意求解即可.

【詳解】(1)解：x2-4x+4=(x-2)2,

故答案為：(%-2)2；

(2)Vx2-6x+9=0,

，(無一3)2=0,

，x=3,

故答案為:3；

⑶@x2+10X+2=X2+10x+25-23=(x+5)2-23,

???(%+5720,

???(%+5/—23>一23,

???當D=—5時,原式的最小值為-23；

故答案為：一23；

②。2+卜2-4。-6匕+15

=G2—4a+4+b2—66+9+2

=(a-2)2+(b—3)24-2,

V(a-2)2>0,(b-3)2>0,

*,?(cz-2)2+(b-3)2+2N2,

???當Q=2,8=3時，原式的最小值為2.

【點睛】本題主要考杳了完全平方公式分解因式的應用，正確理解題意是解題的關鍵.

【變式7-2](2023春?八年級課時練習)已知A為多項式，且A=-2/-y2+i2%+4y+l,則力有()

A.最大值23B.最小值23C.最大值-23D.最小值一23

【答案】A

【分析】利用分組分解法，變為完全平方式解答即可.

【詳解】A=-2x2-y2+12%+4y+1

=-2x2+12x—18—y24-4y—44-1+184-4

=-2(x2-6x+9)-(y2-4y+4)+23

=-2(x-3)2-(y-27+23

V—2(x—3/<0,一(y—2)2<0,

：.-2(x-3)2-(y-2)2+23<23,

???多項式的最大值是23,

故選A.

【點睛】本題考查了因式分解的應用，熟練掌握/±2他+/=(〃土切2是解答本題的關鍵.

【變式7-3](2023?安徽亳州?八年級專題練習)求％2一6町+10、2_4丫+10的最小值.

【答案】6

【分析】先對/-6xy+10y2-4y+10進行變換，再根據平方的非負性質進行解答即可.

【詳解】解：x2—Gxy+10y2—4y+10

=x2—6xy+9y2+y2—4y+44-6

=(x-3y)2+(y-2)2+6,

V(x-3y)2>0,(y-2)2>0,

：.(x-3y產+(y—2尸+6N6,即％2-6xy+10y2-4y+10的最小值為6,

故答案為：6.

【點睛】本題考查了因式分解、完全平方公式和平方的非負性質，熟練運用完全平方公式是解題的關鍵.

【題型8因式分解在新定義問題中的運用】

【例8】(2023春?全國?八年級期末)整式乘法與多項式,因式分解是既有聯系又有區別的兩種變形.

例如，a(。十c+d)=ab十ac十ad是單項式乘多項式的法則；壬!這個法則反過來，得到ab十ac十ad=

a(6+c+d),這是運用提取公因式法把多項式因式分解.

乂如(a±匕尸=Q2±2ab+/、(Q+b)(a-b)=a?一匕2是多項式的乘法公式；把這些公式反過來，得到

a2±2ab+b2=(a+b)2.a2-b2=(a+d)(a-b),這是運用公式法把多項式因式分解.

有時在進行因式分解時，以上方法不能宜接運用，觀察甲、乙兩名同學的進行的因式分解.

甲：x2—xy+4x—4y

=(x2-xy)+(4x-4y)(分成兩組)

=x(x-y)+4(x-y)(分別提公因式)

=(x-y)(x+4)

乙：a2-b2-c2+2bc

=a2-(b2+c2-2bc)(分成兩組)

=G2-(b-c)2(運用公式)

=(a+b-c)(a-b+c)

請你在他們解法的啟發下，完成下面的因式分解

問題一：因式分解：

(1)in3-2m2-47n+8；

(2)x2—2xy+y2-9.

問題二：探究

對x、y定義一種新運算產，規定：F(x,y)=(mx+〃y)(3x-y)(其中m,九均為非零常數).當/wy2時,

/Gy)=r(y，%)對任意有理數％、y都成立，試探究血，孔的數量關系?

【答案】問題一：因式分解：(1)(加一2)2(m+2)(2)(x-y-3)(x-y+3)；問題二：探究的數量

關系37n+n=0.

【分析】問題一：因式分解：(1)按系數成比分組?712(加一2)-4(根一2)提公因式(血一2)(租2一4)再利用

平分差公式因式分解，最后整理為(m-2尸即可；

(2)按完全平方公式分組(x2—2xy+y2),然后利用公式變形為(x-y)2再利用平方差公式因式分解即可；

問題二：探究：先求F(x,y)=3/71/+(3幾一m)xy一"y2,再求尸(y,%)=3肛產+(3〃-—m/,由

F(A,y)=F(y,x),可得3m/4-(3n-?n)xy-ny2=3my2+(3n-m)xy-nx2,合并同類項(37幾+n)x2=

(3?n4-n)y2,rtlx2*y2＞對任意有理數x、y都成立，可得37九+幾=0即可.

【詳解】解：問題一：因式分解：

(I)7n—2m2—4m+8

=m2(m—2)—4(m—2),

=(zn-2)(m2-4)

=(m-2)(m—2)(m+2),

=(m-2)2(m+2)；

(2)x2-2xy+y2-9

=(x2-2xy+y2)-9

=(%-y)2-9

=[(x-y)-3][(x-y)+3]

=(^-y-3)(x-y+3)；

問題二：探究F(犯)=(mx+m)(3x-y)=3m/+(3n-m)xy-ny2,

F(y,x)=(my4-m)(3y—x)=3my2+(3n—m)xy—nx2,

VF(x,y)=F(y,x),

.*.37nx2+(3n—m)xy—ny2=3my2+(3n—m)xy—nx2,

^.3ma2-3my2+mx2—my2=0,

，(3m+n)x2=(3m+n)y2,

x2y2,對任意有理數x、y都成立，

/.3m+n=0,

??tn,it的數量關系3m+n=0.

【點睛】本題考查分組因式分解的方法，新定義實數運算，利用因式分解與多項式乘法之間關系，掌握分組

因式分解的方法，利用因式分解與多項式乘法之間關系，構造恒等式找出加與〃關系是解題關鍵.

【變式8-1】定義：任意兩個數a,b,按規則c=ab+a+匕擴充得到一個新數c,稱所得的新數c為“如意數”.

(1)若a=2,b=-1,直接寫出a,匕的“如意數”c：

(2)如果a=m-4,b=-m,求a,匕的“如意數”c,并證明“如意數”cW0；

(3)已知a=/(工工0),且a,b的“如意數”為c=/+4/+2,請用含t的式子表示b.

【答案】(l)c=—l；(2)證明見解析；(3)b=/+2.

【分析】(1)根據“如意數”的定義即可求出c；

(2)先根據“如意數”的定義列出c的代數式，然后對等式右邊因式分解，結合乘方的非負性即可證明cWO；

(3)根據“如意數”的定義構建方程,求出b即可.

【詳解】解：(1)根據題意，c=2x(—1)+2+(—1)=-2+2—1=—1；

(2)根據題意，c=(zn-4)?(-m)+(m-4)+(-m)=-m2+4m-4=-(m-2)2,

V(m-2)2>0,

/.-(m-2)2<0即c<0；

(3)c=ab+ah,a=x2(x0),c=x4+4x2+2,

4222

Ax+4%+2=bx+x+bt

，匕(％2+1)=%4+3/+2=(x2+2)(/+1),

■:x*0,

+1工0,

At=%2+2.

【點睛】本題考查因式分解的應用.能根據“如意數”的定義去計算(或列式)是解決此題的先決條件，能靈活

運用因式分解法因式分解是解決此題的關鍵.尤其在(3)中能用因式分解法將/+3/+2化為(M+2)(/+

1)是解決此間的關鍵.

【變式8-2](2023春?河南周口?八年級?？计谀?設〃?、〃是實數，定義一種新運算：m0n=(m-n)2.下

面四個推斷正確的是()

A.n=710inB.(?n0n)2=m2On2

C.(m0n)0p=znO(n0p)D.m0(n-p)=(zn(g)n)-(?nOp)

【答案】A

【分析】各式利用題中的新定義判斷即可.

【詳解】解：根據題中的新定義得:

A.?n0n=(?n-n)2,m=(n—m