專題2.4一元一次不等式（組）的應用【八大題型】

【北師大版】

?題型梳理

【題型1工程問題】.............................................................................1

【題型2銷售問題】.............................................................................5

【題型3行程問題】.............................................................................9

【題型4得分問題】............................................................................12

【題型5古代問題】............................................................................15

【題型6方案問題】............................................................................19

【題型7數字問題】............................................................................24

【題型8幾何圖形問題】........................................................................28

?舉一反三

【題型1工程問題】

【例1】（2023春?廣西南寧?八年級統考期末）2022年9月28日上午，伴隨著盾構機隆隆轟鳴聲，南寧市軌道

交通4號線“五象火車站?清平坡站”區(qū)間盾構順利始發(fā)，標志著4號線續(xù)建工程正式進入區(qū)間據進施工階段,

待此次工程建設完工后，將實現4號線全線貫通運營，H前，地鐵4號線續(xù)建工程正在有序進行施工，工地

現有大量的泥土需要運輸，某車隊有載重量為8噸、10噸的卡車共12輛，全部車輛滿載運輸一次可以運輸110

噸泥土.

（I）求該車隊有載重量8噸、10噸的卡車各多少輛？

（2）隨著工程的進展，該車隊需要一次運輸泥土不低于163噸，為了完成任務，該車隊準備再購進這兩種卡車

共6輛，則最多購進載重量為8噸的卡車多少輛？

【答案】（1）該車隊有載重量為8噸的卡車5輛，載重量為10噸的卡車7輛；

（2）3輛.

【分析】（1）設該車隊有載重量為8噸的卡車工輛，載重量為10噸的卡車y輛，根據“該車隊有載重量為8噸、

10噸的卡車共12輛，全部車輛滿載運輸一次可以運輸110噸泥土”，可列出關于x,y的二元一次方程組，解

之即可得出結論；

（2）設再次購進載重量為8噸的卡車m輛，則再次購進載重量為10噸的卡車（6-m）輛，根據該車隊需要一

次運輸泥土不低于163噸，可列出關于m的一元一次不等式，解之可得出m的取俏范圍，再取其中的最大整

數值，即可得出結論.

【詳解】（1）解：設該車隊有載重量為8噸的卡車第輛，載重量為10噸的卡車y輛，

根據題意得“8Ml-=彳。，

解羯g：7-

答：該車隊有載重量為8噸的卡車5輛，載重量為10噸的卡車7輛；

（2）解：設再次購進載重量為8噸的卡車m輛，則再次購進載重量為10噸的卡車（6-/n）輛，

根據題意得：110+8m+10（6-m）>163,

解得：m<p

又???m為正整數，

???m的最大值為3.

答：最多購進載重量為8噸的卡布3輛.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關

系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式.

【變式1-1】（2023春?山東臨沂?八年級統考期末）為了改善山東的交通，我省修建了魯南高鐵，其中魯南高

鐵臨沂段己于2019年II月26日開通運營.開通后的魯南高鐵臨沂到日照段比運行的鐵路線全長縮短了40

千米，運行時間為30分鐘，某次臨沂到日照火車需要150分鐘，平均速度是開通后的高鐵的福.

（1）求臨沂段高鐵臨沂段鐵路全長各為多少千米？

（2）已知修建臨沂段高鐵時，有甲、乙兩個工程隊同時施工，甲每天施工1.4千米，乙每天施工1千米，計劃

40天完成，施工5天后，工程指揮部要求甲工程隊提高工效，以確保整個工程提早3天以上：含3天）完

成，那么甲工程隊后期每天至少施工多少千米？

【答案】（1）臨沂段高鐵全長為100千米，臨沂段鐵路全長為140千米；

（2）甲工程隊后期每天至少施工9千米.

4

【分析】（1）設高鐵的平均速度為％千米/分鐘，則臨沂到日照火車的平均速度為高無千米/分鐘，根據“路程=

速度x時間”、“開通后的魯南高鐵臨沂到日照段比運行的鐵路線全長縮短了40千米”建立方程，解方程即可

得；

（2）設甲工程隊后期每天施工x千米，根據“確保整個工程提早3天以上（含3天）完成”列不等式，求解即

可.

【詳解】（1）解：設高鐵的平均速度為萬千米/分鐘，則臨沂到口照火車的平均速度為《X千米/分鐘，

由題意得：150x表％-30%=40,

解得％=?，

貝ij30x^=100（千米），100+40=140（千米），

答：臨沂段高鐵全長為100千米，臨沂段鐵路全長為140千米；

（2）設甲工程隊后期每天施工工千米，

由題意得：1.4x5+（40-5-3>+（40-3）x1>100,

解得：”之[

4

答：甲工程隊后期每天至少施工1千米.

4

【點睛】本題考杳了一元一次方程的應用、一元一次不等式的應用，理解題意，找出合適的等量關系和不等

關系，正確建立方程和不等式是解題關鍵.

【變式1-2]（2023春?山西臨汾?八年級統考期末）政府計劃為某村修建一條長為1000米的公路，由甲、乙

兩個工程隊負責施工.已知若甲工程隊獨立施工5天后，乙工程隊再加入，兩工程隊聯合施工8天后，還

剩30米的工程.甲工程隊工作2天比乙工程隊工作3天少施工20米.

⑴求甲、乙兩工程隊每天各施工多少米？

（2）現計劃由兩工程隊聯合施工完成該工程，兩工程隊聯合施工4天后，因甲隊有事，剩下的部分由乙工程

隊獨立完成，若要在12天內完成該項工程，則乙工程隊每天至少應再多施工多少米？

【答案】（1）甲、乙兩工程隊每天各施工50米和40米

（2）乙工程隊每天至少應再多施工40米

【分析】（1）設甲、乙兩工程隊每天各施工工米和y米，根據等量關系列出方程組即可求解;

（2）設乙工程隊每天應再多施工a米，根據題意列出不等式，可求解：

【詳解】（1）解：設甲、乙兩工程隊每天各施工x米和y米，

由題意得：『+%；么11黑_30,

解得:f，

設租用A種卡車加輛，則租用8種卡車（6-〃?）輛，

依題意得:110+8m+10（6-m）>165,

解得:

又?、〃為正整數，

：.m可以為if2,

「?共有2種租用方案，

方案I：租用A種卡車1輛，8種卡車5輛；

方案2：租用A種卡車2輛，8種卡車4輛.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關

系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式.

【題型2銷售問題】

【例2】（2023春?福建寧德?八年級校考期中）某校組織師生研學，若單獨租用45座的客車若干輛，則剛好

坐滿；若單獨租用60座的客車.則可以少租一輛，且余30個空位.

⑴求該校參加春游的人數；

⑵該校決定這次春游同時租用這兩種車，其中60座客車比45座客車多租一輛，這樣比單獨租用一輛節(jié)省

租金.已知45座客車每輛租金250元，60座客車每輛租金為300元.請你幫助設計本次春游所需車輛的租

金..

【答案】（1）270人

（2）1400元

【分析】（1）先設租用45座客車x輛，利用人數不變，可列出一元一次方程，求出車的輛數，再乘以45就

是人數.

（2）可根據租用兩種汽車時，租用45座客車的費用+租用60座客車的費用V單獨租用一種客車的費用，依

此可列出不等式組，求出租用車輛的大致范圍，然后根據60座客車比45座客車多租I輛，來判斷出兩種

車各有多少輛進而求出租金的費用.

【詳解】（1）解：設租用％輛45座的客車，依題意得

45x=60（%-1）-30,

解得％=6.

6X45=270人.

答：該校參加春游的人數為270人.

(2)解：設租用y輛45座的客車，依題意得

(45y+60(y+1)>270

i250y+300(y+1)<6x250'

解不等式組得2<y<^.

所以該校租用2輛45座的客車，3輛60座的客車.

2x250+3X300=1400元.

答：按這種方案需要租金14(X)元.

【點睛】本題考查了一元一次方程和一元一次不等式組的實際應用，解決問題的關鍵是讀懂題意，關鍵知道

60座客車比45座客車多租1輛，租金比單獨一種客車要節(jié)省，進而找到所求的量的等量關系.

【變式2-1](2023春?福建漳州?八年級校考期中)為響應陽光體育運動的號召，學校決定從體育用品商店購

買一批籃球和足球，按標價若購買2個籃球和3個足球需600元，若購買3個籃球和1個足球需550元.

(1)求籃球、足球每個分別是多少元？

(2)由于購買數量較多，商店決定給予一定的優(yōu)惠，籃球每個優(yōu)惠20%,足球每個優(yōu)惠10%,若學校決定買

兩種球共40個，在購買資金不超過4500元時，則購買藍球至多是多少個？

【答案】(I)籃球、足球每個分別是150元，100元

⑵購買籃球至多是30個

【分析】(1)設籃球、足球每個分別是x元，y元，根據購買2個籃球和3個足球需600元，若購買3個籃

球和1個足球需550元列出方程組求解即可；

(2)設購買籃球，〃個，則購買足球(40-6)個，根據購買費用不超過4500元列出不等式求解即可.

【詳解】(1)解：設籃球、足球每個分別是x元，y元，

由題意得,ItO：550'

解得：黑，

，籃球、足球每個分別是150元，10()元；

(2)解：設購買籃球〃?個，則購買足球(40-m)個,

由題意得，150x(1-20%)m+100x(1-10%)(40-m)<4500,

解得m<30,

??m的最大值為30,

???購買籃球至多是30個.

【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的實際應用，一元一次不等式的實際應用，正確理解題意列出方程

組和不等式是解題的關鍵.

【變式2-2]（2023春?云南楚雄?八年級統考期末）隨著“云品入滬”工程的深入實施，為云南特色農產品（簡

稱云品）開拓了廣闊市場.某農戶要將規(guī)格相同的80件云品運往4,B兩蔬菜產銷對接基地，各地的運費如

表所示：

銷售地A地8地

運費（元/件）206

（1）若運往A,8兩地的總運費為760元，分別求出運往A、B兩池云品的件數；

（2）若此農戶運往兩地的總運費不超過800元，求最多可運往A地的云品的件數.

【答案】（1）運往A地20件，運往B地的蔬菜為60件

⑵最多可運往A地的云品的件數為22件

【分析】（1）根據總運費等于760,列方程求解；

（2）根據總運費不超過800,列不等式求解.

【詳解】（1）設運往A地x件，則運往B地的蔬菜為（80—幻件，

由題意得：20%+6（80-=760,

解得：x=20,

.*.80—x=60?

??.運往A地20件，運往8地的蔬菜為60件：

（2）設運往A地x件，則運往8地的蔬菜為（80-外件，

由題意得:20x+6（80-x）<800,

解得：x<22^,

??.》的最大整數解為22,

???最多可運往人地的云品的件數為22件.

【點睛】本題考查了一元一次方程（不等式）的應用，理解題意列方程或不等式是解題的關鍵.

【變式2-3]（2023春?云南臨滄?八年級統考期末）2023年五一假期期間，全國各地的游客大量涌入云南，

頗具云南特色的裝飾物品備受游客青睞.某特色飾品店的王老板立即購進兩類特色飾品進行售賣.已知王

老板用310元可以購進4件A類飾品和5件B類飾品；用540元可以購進6件A類飾品和1()件8類飾品.

(1)求A、3兩類飾品的進貨單價.

⑵已知A類飾品的銷售單價為50元，B類飾品的銷售單價為35元.若王老板購進A、B兩類飾品共100件,

進貨總費用不超過3220元，且銷售總額超過3785元，王老板有幾種進貨方案？哪種方案的總利潤最高？

總利潤最高是多少錢？

【答案】(DA類飾品的進貨單價為40元，B類飾品的進貨單價為30元

(2)王老板有三種進貨方案，其中A類飾品進22件，則8類飾品進78件時總利潤最高，總利潤最高為610

元

【分析】(1)設A類飾品的進貨單價為工元，4類飾品的進貨單價為)，元，根據題意列二元一次方程組求解,

即可得到答案：

(2)設A類飾品進,〃件，則3類飾品進(100-?n)件，總利澗為w元，根據題意列一元一次不等式組求解,

得出機的整數解，再分別代入計算求出利潤進行比較，即可得到答案.

【詳解】(1)解：設A類飾品的進貨單價為x元，8類飾品的進貨單價為y元，

由題意可得:修假駕，

解得｛;二北?

答：A類飾品的進貨單價為40元，2類飾品的進貨單價為30元：

(2)解：設4類飾品進〃?件，則)類飾品進(100-m)件，總利潤為卬元,

由題意可得:仁胃：罌;累一飛鼠煞,

(507n+35(100-Tn)>3785

解得：19cmM22,

由題意可知，切為整數，

???優(yōu)可取20、21、22,

王老板有3種進貨方案，分別為：

方案①：A類飾品進20件，則8類飾品進80件，

此時w=(50-40)X20+(35-30)x80=600(元)；

方案②：A類飾品進21件，則8類飾品進79件，

此時w=(50-40)x21+(35-30)x79=605(元)：

方案③：A類飾品進22件，則8類飾品進78件，

止匕時w=(50-40)X22+(35-30)x78=610(%);

綜上所述，王老板有三種進貨方窠，其中A類飾品進22件，則3類飾品進78件時，總利潤最高，總利潤

最高為610兀.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式組的應用，有理數的混合運算，根據題意正確

列出二元一次方程組和一元一次不等式組是解題關鍵.

【題型3行程問題】

【例3】(2023春?吉林四平?八年級統考期末)星期天，小明騎在行車去姥姥家，速度為每小時12km,出發(fā)

1小時后，小明的爸爸發(fā)現小明忘記帶家里的鑰匙，立.即騎摩托車去送，小明的爸爸至少以怎樣的速度，才

能在20分鐘內追上小明？

【答案】小明的爸爸至少以48km/a的速度，才能在20分鐘內追上小明.

【分析】先設小明爸爸的速度為%km/h,由題意知小明爸爸走的路程大于等于小明走的路程，由此不等關系

列出不等式求解.

【詳解】解—：設小明爸爸的速度為xkm/h,依題意有：

-x>12x(1+—),

60\60/

解得x>48.

故小明的爸爸至少以48km/h的速度，才能在20分鐘內追上小明.

【點睛】本題考杳由實際問題抽象出一元一次不等式，關鍵在于弄清題意，找出不等關系：小明爸爸走的路

程大于等于小明走的路程.

【變式3-1](2023春?安徽?八年級統考期中)某車間有3個小組計劃在10天內生產500件產品(每天每個小

組生產量相同)，按原先的生產速度，不能完成任務，如果每個小組每天比原先多生產1件產品，就能提前

完成任務，請問每個小組原先每天生產多少件產品.(結果取整數)

【答案】16件

【分析】首先設小組原先生產x件產品，根據“不能完成任務”“提前完成任務”列出不等式組，解不等式組，

根據x是整數可得出x的值.

【詳解】解：設每個小組原先每天生產x件產品，卜

(JXJLU(X-rJLJ，DUU

解得？V"拳

因為X整數，所以x=16.

【點睛】本題考查一元一次不等式的應用.

【變式3-2](2023春?江蘇連云港,八年級統考期末)某核酸檢測點開始檢測時，已經有〃名居民在排隊等候

檢測.檢測開始后，仍有居民繼續(xù)前來排隊檢測，設居民按，〃人/分鐘的速度增加，每個窗口的檢測速度為

〃人/分鐘.若開放?個檢測窗口，則需要25分鐘將排隊等候檢測的居民全部檢測完畢；若同時開放兩個檢

測窗口，則需要10分鐘將排隊等候檢測的居民全部檢測完畢.

(1)若a=100,求機和〃的值；

⑵根據(1)的結果猜想加與〃的數量關系，并說明理由；

(3)如果要在5分鐘內將排隊等候檢測的居民全部檢測完畢，以便后來的居民能隨到隨檢，則至少要同時開

放兒個檢測窗口？

【答窠】⑴瞟：;

(2)九=3m,理由見解析

(3)至少要同時開放4個檢測窗口

【分析】(1)根據等量關系：居民總數=所有窗口檢測總人數，列方程計算即可：

(2)當，為任意值時，根據等量關系：居民總數=所有窗口檢測總人數，列方程計算即可；

(3)設開放x個窗口，根據不等關系：5分鐘總居民人數W%個窗口5分鐘檢測人數，列不等式求解即可.

【詳解】(1)解：若。=100,

山.音徂f100+25m=25n

由邊意得：I"。十10nl=10n*2

解得:{m=2；

vn=6

(2)解：n=3m,理由如下：

由題意得：1。+25m=25九①

(Q+10m=10nx2@

由①一②得：n=3m；

(3)解：設開放x個窗口，

由題意得：Q+5mW5xzi,

由(2)可得Q=25〃—25m=50m?

.*.50?n+5m<5x?3m,

*.*m>0,

???解得:x>^

???至少要同時開放4個檢測窗口.

【點睛】本題考杳了一元一次不等式的應用、二元一次方程組的應用.解決本題的關鍵是讀懂題意，找到符

合題意的等量關系和不等關系式：居民總數=所有窗口檢測總數.難點是需要考慮的變量比較多.

【變式3-3】（2023春?重慶永川?八年級統考期末）甲、乙兩人共同設計了一條從A地到8地，8地到。地，

。地到。地的路線.某一天上午10點，甲騎自行車從A地出發(fā)，沿該路線勻速行駛40千米后恰好到達B

地，到達8地的時間是當天中午12點，在8地原地休息30分鐘后，以原來的速度沿該路線勻速行駛40千

米后恰好到達C地，到達C地后立即以原來的速度按原行駛路線勻速行駛返回A地.在甲出發(fā)x小時后，

乙開小汽車從A地出發(fā)，沿該路線勻速行駛直接到達C地，到達C地后立即沿該路線勻速行駛5千米恰好

到達。地，在。地休息y小時后，立即以原來的速度按原行駛路線勻速行駛返回人地.已知在行駛的過程

中，乙的速度是甲的3倍.

（1）求甲、乙兩人行駛的速度；

（2）在甲從〃地到。地的行駛過程中，若乙與甲第一次相遇，且相遇地點不與3地和。地重合，求；v的取值

范圍；

（3）當x=3時，甲、乙兩人能否在8地與C地之間（不包括B地與。地）相遇2次？如果能，請求出y的取

值范圍，如果不能，請說明理由.

【答案】（1）甲行駛的速度是20千米/時，乙行駛的速度是60千米/時

Q★一<￡

（3）當％=3時，甲、乙兩人能在4地與C地之間（不包括3地與。地）相遇2次,所求y的取值范闈是0<y<l

【分析】（1）根據甲的路程和時間求出速度，從而得到乙的速度；

（2）根據題意列出不等式組，解之可得x的范圍；

（3）分若乙與甲第二次相遇時還在甲從B地到C地的行駛過程中，若乙與甲第二次相遇時是在甲從C地返

回8地的行駛過程中，兩種情況，列出不等式組，根據解集即可得解.

【詳解】（1）解：由題意，知甲從4地到4地用了2小時，行程是40千米，

，甲行駛的速度是弓二20（千米/時）.

???乙的速度是甲的3倍，

???乙行駛的速度是20x3=60（千米/時）.

答：甲行駛的速度是20千米/時，乙行駛的速度是60千米/時.

（2）由題意，得602

T<4+9

解之，得?<X<

66

答：所求”的取值范圍是當VX<?

66

66

，由（2）可知，當％=3時，在甲從8地到C地的行駛過程中,乙與甲第一次相遇.

若乙與甲第二次相遇時還在甲從3地到。地的行駛過程中，

貝『+髀/+y+/〈4+1即此不等式組無解.

[y>obn。

若乙與甲第二次相遇時是在甲從。地返回B地的行駛過程中，

.805.5.40.1

o3+^+z+y+w+z<4+a+2n,

（y>o

解之，得OWyv/

答:當％=3時，甲、乙兩人能在B地與C地之間（不包括8地與C地）相遇2次，所求y的取值范圍是0WyV，

【點睛】本題考查了一元一次不等式組的實際應用，題中條件較多，要仔細理解題干，抽象出不等式組.

【題型4得分問題】

【例4】（2023春?吉林長春?八年級校聯考期末）一次智力測驗，共設2（）道選擇題，評分標準為：對1題得

a分，答錯或不答1題扣b分.下表記錄了2名參賽學生的得分情況.

參賽學生答對題數答錯或不答題數得分

甲18288

乙101040

（1）若參賽學牛小亮只答對了16道選擇題,則小亮的得分是多少?

（2）參賽學生至少要答（）道題，總分才不會低于60分.

【答案】⑴小亮的得分是76分.；（2）14.

【分析】根據題意，有吃=瞭，解方程組可得；

（10Q-10h=40

設小明答對x道題，根據總分不低于60分列出一元一次不等式即可.

【詳解】（1）根據題意，有

（18a—2b=88

tlOa-10b=40

解這個方程組，得：H=?

3=1

16x5-（20-16）=76

答：小亮的得分是76分.

（2）設小明答對x道題，根據題意可得

5x-2（20-2-x）>60

解得:x>13^

因為x是整數，所以x所取最小值為14,

【點睛】本題考查了一元一次不等式的應用及二元一次方程組的應用，找出關系式列出式子是解題的關鍵.

【變式4-1］（2023春?廣東深圳?八年級校考期中）某次知識競賽共有20道題，答對一題得10分，答錯或不

答均扣5分，小玉得分超過95分，他至少要答對道題.

【答案】14

【分析】根據題意可以列出相應的不等式，從而可以求得x的取值范圍，由于x是整數，從而可以解答本題.

【詳解】解：設小玉答對了％道題，

10x-5（20-x）>95

解得，x>13

???小玉至少答對14道，

故答案為：14.

【點睛】本題考查一元一次不等式的應用，解題的關鍵是明確題意，列出相應的一元一次不等式.

【變式4-2］（2023春?山西臨汾?八年級校聯考期中）某電視臺組織學習黨史知識競賽，共設20道選擇題，

各題分值相同，答對一題得5分，可以選擇不答，下表記錄的是3名參賽者的得分情況.

參賽者答對題數不答題數答錯題數得分

A190194

B181I91

C182094

（1）由表格知，不答一題得分，答錯一題扣分.

（2）某參賽者。答錯題數比不答題數的2倍多1題，最后得分為64分，他答對幾道題？

(3)在前10道題中，參賽者七答對8題，I題放棄不答，I題答錯，則后面1()題中，至少要答對幾題才有

可能使最后得分不低于79分？為什么？

【答案】(1)2,1；(2)13道：(3)6道，理由見解析

【分析】(1)根據。和A的數據求解即可；

(2)設該選手不答題數為1,列出方程求解即可；

(3)設后10道題答對v道題，列出不等式計算即可；

【詳解】解：(1)由C可知，不答一題的得分為：(94-18x5)+2=(94-90)+2=2,

由A可知，答錯一題的得分為：(94—19x5)+1=(94-95)+1=-1；

故答案是：2,1；

(2)設該選手不答題數為工,

???則答錯題數為2%+1,

???答對題數為[20-x-(2x+1)]=19-3萬道，

???5(19-3x)+2x-(2x+1)=64,

解得：x=2,

答對題數:19-3x2=13；

(3)前10道題得分為：5x8+2-1=40+2-1=41分，

設后10道題答對y道題，

則，5y+2(10-y)>79-41,

解得：y>6,

???至少要答對6題才有可能使最后得分不低于79分.

【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用和一元一次不等式的應用，準確計算是解題的關鍵.

【變式4-3](2014秋?浙江寧波?八年級統考期中)在我市舉行的中學生安全知識競賽中共有20道題.每一

題答對得5分，答錯或不答都扣3分.

(1)小李考了60分，那么小李答對了多少道題？

(2)小王獲得二等獎(75?85分)，請你算算小王答對了兒道題？

【答案】(1)小李答對了16道題；

(2)小王答對了17道題或18道題.

【詳解】試題分析：(1)設小李答對了x道題，則有(20-x)道題答錯或不答，根據答對題H的得分減去

答錯或不答題目的扣分是60分，即可得到一個關于x的方程，解方程即可;

(2)先設小王答對了y道題，根據二等獎在75分?85分之間，列出不等式組，求出y的取值范圍，再根據

y只能取正整數，即可.

試題解析?：(1)設小李答對了x道題.

依題意得5x-3(20-x)=60.

解得x=15.

答：小李答對了16道題；

(2)設小王答對了y道題，依題意得：

5y-3(20-y)>75

{5>-3(20-y)<85，

解得：安蜉等，即

oO

???y是正整數，

"17或18,

答：小王答對了17道題或18道題.

考點：1.一元一次不等式組的應用2.一元一次方程的應用.

【題型5古代問題】

【例5】(2023?湖南長沙?校考三模)我國傳統數學名著《九章算術》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩;

牛二、羊五，直金十六兩.問牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設有5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、

5只羊，值16兩銀子.問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？’根據以上譯文，提出以下兩個詞題：

(1)求每頭牛、羊各值多少兩銀子？

⑵若某商人準備用50兩銀子買牛和羊共20只，要求羊的數目不超過牛的數目的兩倍，且銀兩可以有剩余,

請問商人有幾種購買方法？列出所有可能的購買方案.

【答案】(1)每頭牛值3兩銀子，每只羊值2兩銀子.

⑵共有4種購買方法，方案1：購買10頭牛，10只羊；方案2：購買9頭牛，11只羊；方案3：購買8頭

牛，12只羊；方案4：購買7頭牛，13只羊.

【分析】(1)設每頭牛值》兩銀子，每只羊值y兩銀子，根據“5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只

羊，值16兩銀子”，即可得出關于，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；

(2)設購買m頭牛，則購買(20-譏)只羊，利用羊的數目不超過牛的數目的兩倍，且銀兩可以有剩余，列出

關于m的不等式組，結合m為正整數，即可得出各購買方案.

【詳解】(1)解：設每頭牛值X兩銀子，每只羊值y兩銀子，

依題意得:修駕X，

解得:[；：2.

答：每頭牛值3兩銀子，每只羊值2兩銀子；

(2)解：設購買m頭牛，則購買(20—m)只羊，

依題意得：｛3m+2(20l^m)I<50,

解得：gWmW10.

比為整數，

??.有4種方案：①購買7頭牛，購買13只羊；

②購買8頭牛，購買12只羊：

③購買9頭牛，購買11只羊；

④購買10頭牛，購買10只羊.

【點睛】本題考查了二元一次方程組及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是仔細審題，將實際問題轉化

為方程思想求解.

【變式5-1](2023秋?四川綿陽?八年級校聯考開學考試)圍棋，起源于中國，古代稱為“弈”，是棋類鼻祖，

圍棋距今已有4000多年的歷史.中國象棋也是中華民族的文化瑰寶，它源遠流長，趣味濃厚，基本規(guī)則簡

明易懂.某學校為活躍學生課余生活，欲購買一批象棋和圍棋.已知購買4副象棋和4副圍棋共需220元,

購買5副象棋和3副圍棋共需215元.

(1)求象棋和圍棋的單價；

(2)學校準備購買象棋和圍棋總共120副，圍棋的數量不少于40副，且不多于象棋數量，總費用可以是3500

元嗎？

【答案】(I)象棋的單價是25元，圍棋的單價是30元

(2)總費用不能是3500元

【分析】(1)設象棋單價是“元，圍棋的單價是y元，根據購買4副象棋和4副圍棋共需220元，購買5副

象棋和3副圍棋共需215元列出方程組，解之即可；

(2)設購買象棋機副，根據圍棋的數量不少于40副，且不多于象棋數量，列出不等式組，求出〃?的范圍,

再根據總費用為3500元列出方程，解之，結合,〃的范圍即可判斷.

【詳解】（1）解：設象棋單價是%元，圍棋的單價是y元,

根據題意得管tg:螳，

解瞰：柒

答：象棋的單價是25元，圍棋的單價是30元.

（2）設購買象棋m副,則購買圍棋（120—巾）副,

由題意得｛燃一血當。，

1120-m<m

解得：0WmW80,

令257/1+30（120-m）=3500,

解得m=20?

不符合60<m<80,

，總費用不能足3500元.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式以及一元一次方程的應用，根據題意列出方程

（組）與不等式是解題的關鍵.

【變式5-2］（2023春?福建龍巖?八年級校考期中）《九章算術》是我國古代數學的經典著作，書中有一個問

題：“今有黃金九枚，白銀一十一攻，稱之重適等，交易其一，金輕十二兩，問金、銀一枚各重幾何？”意思

是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋

相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了12兩（袋子重量忽略不計）.

問：（1）黃金、白銀每枚各重多少兩？

（2）現有一袋黃金和白銀共重759兩，總數不超過25枚.請你算算黃金、白銀各有多少枚？

【答案】（1）每枚黃金重33兩，每枚白銀重27兩；（2）黃金有14枚，白銀有11枚

【分析】（1）設每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據題意，找到等量關系列方程、解方程即可.

（2）設黃金有/〃枚，白銀有〃枚，然后根據題意列出方程和不等式求解即可.

【詳解】解：設每枚黃金重x兩，每枚白銀重），兩，

由題意得：［（10'+幻_（8》"）=12，

解得［;二2.

答：每枚黃金重33兩，每枚白銀重27兩；

（2）設黃金有機枚，白銀有〃枚，

由題意得：{33"*73：59

Im+n<25

759-27n”9

TOIm=------=，31-71

整Mr理得J3311,

m+n<25

???小〃都是整數，

/.23必須為整數，

11

:.n=ll或/r=22,

當片22時，〃『5不合題意，

:.當〃=11時，m=14,

???黃金有14枚，白銀有11枚，

答：黃金有14枚，白銀有11枚.

【點睛】本題考查二元一次方程組的應用，一元一次方程和一元一次不等式的結合應用，掌握相關知識是解

題關鍵.

【變式5-3］（2023春?福建龍巖?八年級統考期末）我國傳統數學名著《九章算術》記載：“今有雞兔同籠，

上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各兒何？”譯文：有若干只雞與兔在同一個籠子里，從上面數有35

個頭，從下面數有94只腳，問籠中各有幾只雞和幾只兔？根據以上譯文，回答以下問題：

（I）籠中雞、兔各有多少只？

（2）若還是94只腳，但不知道頭多少個，籠中雞兔至少30只且不超過32只.雞每只值8（）元，兔每只值60

元，問這籠雞兔最多值多少元？最少值多少元？

【答案】（1）籠中雞有23只，兔有12只

（2）這籠雞兔最多值2260元，最少值2060元

【分析】（1）設籠中有x只雞，y只兔，根據上有35個頭、下有94只腳，即可得出關于小），的二元一次方

程組，解之即可得出結論；

（2）設籠中有機只雞，則免有上言只，根據“籠中雞兔至少30只且不超過32只”列出不等式，再根據“雞每

只值80元，兔每只值60元”解答即可.

【詳解】（1）解：（1）設籠中雞有x只，兔有），只，

依題意得:{2xt4；=94-

解得:

答：籠中雞有23只，兔有12只;

（2）設籠中雞有m只，則兔有審只，

,94-2m

>30

依題意得:,94-2m

m-\--<---3-2--

解得：13gnW7.

丁利為整數

，譏=13、14、15、16、17

①當m=13時，竺衛(wèi)i=17

4

這籠雞兔共值80x13+60x17=2060（元）

②當m:14時，生陰=16.5

4

此種情況不符合題意

③當m=15時，絲1網=16

4

這籠雞兔共值80x15+60x16=2160（元）

④當m=16時，卓=15.5

4

此種情況不符合題意

⑤當〃『17時，空跑=15

4

這籠雞兔共值80x17+60x15=2260（元）

綜上所述，當m=13,m=15,7n=17,符合實際意義

答：這籠雞兔最多值2260元，最少值2060元.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用，理清題中的數量關系列出方程不等

式是解題的關鍵.

【題型6方案問題】

【例6】（2023春?陜西西安?八年級統考期末）在疫情期間，某物業(yè)公司為醫(yī)護人員購買男、女兩種型號防

護服，已知3件男型防護服與4件女型防護服的費用相同，5件男型防護服與4件女型防護服共需1600元.

（1）求男、女兩種型號防護服的單價:

⑵已知男醫(yī)護人員比女醫(yī)護人員多4人，且醫(yī)護人員總數至少22人，物業(yè)公司經理計劃用5000元購買兩

種型號防護服，則有幾種購買方案？怎樣購買才能使所需費用最低?

【答案】（I）男、女兩種型號防護服的單價分別為200元、150元

⑵有4種購買方案：方案1：購買女種型號防護服9件，男種型號防護服13件；方案2：購買女種型號防

護服10件，男種型號防護服14件：方案3：購買女種型號防護服11件，男種型號防護服15件：方案4：

購買女種型號防護服12件，男種型號防護服16件；方案1：購買女種型號防護服9件，男種型號防護服

13件所需費用低為3950元

【分析】（I）設男、女兩種型號防護服的單價分別為x元、y元，根據3件男型防護服與4件女型防護服的

費用相同，5件男型防護服與4件女型防護服共需1600元，列H方程組進行求解即可；

（2）設購買女種型號防護服Q件，則購買男種型號防護服（a+4）件，根據題意列出不等式組，求出Q的正整

數解，即可得出方案，求出每種方案的費用，進行比較即可得出結論.

【詳解】（1）解：設男、女兩種型號防護服的單價分別為x元、），元，

由題意可喉；；；或00,

解需:徵

答：男、女兩種型號防護服的單價分別為200元、150元.

（2）設購買女種型號防護服a件，則購買男種型號防護服（a+4）件，

由題意可得｛150*2黑君4）<5000,

解得9<a<12.

〈a為整數:a=9、10、11、12,

a+4=13、14、15、16,

???有4種購買方案：

方案I：購買女種型號防護服9件，男種型號防護服13件.

費用為：9x150+13x200=3950（元）；

方案2：購買女種型號防護服1（）件，男種型號防護服14件.

費用為：10x150+14x200=4300（元）；

方案3：購買女種型號防護服11件，男種型號防護服15件.

費用為：11x150+15x200=4650（元）；

方案4：購買女種型號防護服12件，男種型號防護服16件.

費用為：12x150+16x200=5000（元）

V3950<4300<4650<5000,

???方案1：購買女種型號防護服9件,男種型號防護服13件所需費用低為3950元.

【點睛】本題考查二元?次方程組和一元?次不等式組的實際應用.解題的關鍵是找準等量關系，正確的列

出方程組和一元一次不等式組.

【變式6-1］（2023春?河南新鄉(xiāng)?八年級統考期末）全球賴氏的精神家園、中原“根親文化''的示范性工一古賴

國文化園坐落在河南省三大歷史名鎮(zhèn)之一的息縣包信鎮(zhèn)，近些年世界各地賴氏宗親都會到河南息縣參加賴

氏祭祖活動.為使活動更有意義，舉辦方決定購買甲、乙兩種品牌的文化衫，已知購買4件甲品牌文化衫

和2件乙品牌文化衫需230元；購買8件甲品牌文化衫和6件乙品牌文化衫需530元.

（I）求甲、乙兩種品牌文化衫的單價；

（2）根據需要，舉辦方決定購買兩種品牌的文化衫共200（）件，且甲品牌文化衫的件數超過乙品牌文化衫件

數的2倍.請你設計出最省錢的購買方案，并說明理由.

【答案】（1）甲種品牌文化衫的單價為40元，乙種品牌文化衫的單價為35元；（2）購買甲品牌文化衫1334

件，乙品牌文化衫666件時，最省錢，見解析

【分析】（1）設甲種品牌文化衫的單價為x元，乙種品牌文化衫的單價為y元，由題意：購買4件甲品牌文

化衫和2件乙品牌文化衫需230元；購買8件甲品牌文化衫和6件乙品牌文化衫需530元.列出二元一次

方程組，解方程組即可；

（2）設購買甲品牌文化衫機件，則購買乙品牌文化衫（200（）-〃力件，由題意：決定購買兩種品牌的文化衫

共2000件，且甲品牌文化衫的件數超過乙品牌文化衫件數的2倍.列出一元一次不等式，解不等式，進而

求解.

【詳解】解—：（1）設甲種品牌文化衫的單價為x元，乙種品牌文化衫的單價為y元，

由題意得:心沈翁

解律/,

答：甲種品牌文化初的單價為40元，乙種品牌文化杉的單價為35元；

（2）設購買甲品牌文化衫〃?件，則購買乙品牌文化衫（2000-/n）件,

由題意得：/>2（2000-m）,

解得：/?>1333-,

3

???甲品牌文化衫的單價大于乙品牌文化衫的單價，

???購買甲品牌文化衫的件數越少，越省錢，

???當機=1334時，最省錢,

此時2000-m=666,

答：購買甲品牌文化衫1334件，乙品牌文化衫666件時，最省錢.

【點睛】此題考查二元一次方程的應用和不等式的應用，難度一股，找準關系式是關鍵.

【變式6-2】（2023春?吉林長春?八年級校考期中）為了保持膳食平衡，建議合理控制學生的肉類攝入量.學

校午餐有A,8兩種套餐，小明發(fā)現1份A套餐和1份8套餐共含肉類145克，2份A套餐和3份8套餐共

含肉類350克.

套餐主食（克）肉類（克）其他（克）

A150X165

B140y160

⑴求表格中X,的值；

（2）如果在一周里，學生午餐主食攝入總量不得超過720克，那么其同學在一周里可以選擇4,B套餐各幾天？

寫出所有的方案.（說明：一周按5天計算，每餐只選一種套餐.）

【答案】哺：器

⑵共有3種方案：月套餐。天，6套餐5天；4套餐1天，8套餐4天；A套餐2天，6套餐3天.

【分析】（1）根據題意列二元一次方程組求解即可；

（2）設選擇A套餐〃?天，則8套餐（5-m）天，根據題意列出一元一次不等式求解即可.

【詳解】（1）根據題意可得，

（x+y=145

（2x+3y=350

解瞰肅；

（2）設選擇A套餐用天，則B套餐（5—m）天，

根據題意可得，

150m+140（5-m）<720

解得m<2

??"?為正整數，

工小的值可以為0,I，2

，共有3種方案：A套餐。天，B套餐5天；A套餐1天，4套餐4天；A套餐2天，8套餐3天.

【點睛】本題考杳了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關

鍵描述語，找到所求的量的等量關系和不等關系.

【變式6-3】(2023春?河北石家莊?八年級校考期末)2022年2月4日，北京冬奧會開幕式盛大隆重，冰墩墩

和雪容融也受到世界人民的喜愛.某班計劃團購這兩種紀念品，已知購買1個冰墩墩和4個雪容融需540元，

購買5個冰墩墩和2個雪容融需900元.

(1)求1個冰墩墩和1個雪容融的價格分別為多少元？

(2)該班計劃購買冰墩墩和雪容融共40個，其中雪容融的數量不超過冰墩墩數量的4倍，且總費用不超過4400

元，問共有幾種購買方案？

【答案】(1)1個冰墩墩的價格為140元，1個雪容融的價格為100元

(2)共有三種購買方案

【分析】(1)設1個冰墩墩的價格為％元，1個雪容融的價格為y元，利用總價=單價x數量，根據：購買1個

冰墩墩和4個雪容融需540元，購買5個冰墩墩和2個雪容融需900元，可得出關于x,y的二元一次方程組，

解之即可得出結論；

(2)設購買。個冰墩墩，則購買(40-a)個雪容融，利用總價=單價x數量，結合總價不超過4400元，雪容

融的數量不超過冰墩墩數量的4倍，即可得出關于口的一元一次不等式式，解之即可得出Q的取值范圍，再取

其中的整數值，即可得出結論.