專題19圓壓軸題

1.（2023?寧波）如圖1,-O為銳角三角形A5C的外接圓，點。在8c上，AD交BC于點、E,點F在AE

上，滿足“歸一/區下￡>=NACB，FG//AC交BC于點G,BE=FG,連結4力，DG.設ZACH=a.

（1）用含a的代數式表示?0.

（2）求證：^BDE=^FDG.

<3）如圖2,4）為C。的直徑.

①當A8的長為2時，求AC的長.

②當OF:OE=4:11時，求cosa的值.

2.（2023?寧波）如圖I,四邊形A8CD內接于。BD為直徑,4。上存在點E,滿足AE=C。，連結BE

并延長交CD的延長線于點/，BE與AD交于點、G.

（1）若NDBC=a,請用含a的代數式表示NAG8.

(2)如圖2,連結CE,CE=BG.求證：EF=DG.

（3）如圖3,在（2）的條件下，連結CG,AD=2.

①若lan/4OB=^,求AFGO的周長.

2

②求CG的最小值.

3.（2023?寧波）定義：三角形一個內角的平分線和與另一個內向相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該

三角形第三個內角的遙望角.

（1）如圖1,NE是MAC中N4的遙望角，若NA=a,請用含a的代數式表示NE.

（2）如圖2,四邊形A3CO內接于O,AD=BD,四邊形A88的外角平分線。/交O于點F,連接

斯并延長交CO的延長線于點E.求證：N8E■。是中NBAC的遙望角.

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接AE,AF,若AC是0。的直徑.

①求NA￡Z）的度數;

②若A8=8,8=5,求ADE廠的面積.

圖1圖2圖3

4.（2023?寧波）如圖1,。經過等邊根笈。的頂點A,C（圓心O在A4BC內），分別與帥，CA的延

長線交于點。，E,連接/）￡,BF工EC交AE于點、F.

（1）求證：BD=BE.

（2）當AF:所=3:2,AC=6時，求AE的長.

Ap

（3）設---=x>tanZ.DAE=y.

EF

①求），關于1的函數表達式；

②如圖2,連接竹，OB,若AAEC的面積是△。所面積的10倍，求y的值.

圖1圖2

3

5.（2023?寧波）如圖1,直線/:>=-二x+〃與x軸交于點八（4,0）,與y軸交于點8,點C是線段04上一

4

動點(0<AC<§).以點A為圓心，AC長為半徑作CA交x軸于另一點。，交線段A4于點E，連接0E并

延長交CA于點尸.

V5C

圖1圖2備用圖

(1)求直線/的函數表達式和tarNK4O的值；

(2)如圖2,連接CE,當CE=M時，

①求證：AOCES^OEA；

②求點石的坐標；

(3)當點C在線段04上運動時，求OE防的最大值

6.(2023?鎮海區一模)如圖，。是AA8C的外接圓，.點。在上，連結/汨，DC,DA,過點C作4。

的平行線交4)于點石.

(1)如圖1,求證：AABC^ACDE；

(2)如圖2,若Nfi^=NC4D=30°,AB=6,BD=-4,求。石；

(3)如圖3,/為A43c的內心，若/在線段AE上，/3=10,tanZBAD=-,當歸最大時，求出&O的

5

半徑.

三

圖1圖2圖3

7.(2023?寧波模擬)如圖①，在RSABC中，ZC=90°,。是AC上一點(不與點A,C重合)，以A為

圓心，AD長為半徑作A交AB于點、E,連結8。并延長交于點/，連結￡D,EF,AF.

(1)求證：NEAF=2ZBDE；

(2)如圖②，若NEBD=2NEFD,求證：DF=2CD;

(3)如圖③，BC=6,AC=8.

①若ZE4F=90°,求4的半徑長：

②求的?。石的最大值.

8.(2023?北侖區一模)有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做等鄰邊互補四邊形.

(1)如圖1,在等鄰邊互補四邊形4AC7)中，AD=CD,且AD//BC,BC=2AD,則4=

(2)如圖2,在等鄰邊互補四邊形八AC7)中，/戌1。=90°,且BC=CD,求證：AB+AD=gAC.

(2)如圖3,四邊形ABC。內接于:O,連結。O并延長分別交AC,BC于點、E,F,交O于點G,

24

若點石是AC的中點，AB=BG,UmZABC=—,AC=6,求尸G的長.

7

9.(2023?寧波模擬)如圖，已知是［O的直徑，弦CO_LA6于點E,點尸是線段CD延長線.上的一點,

連結￡4交一O于點G,連結CG交A”于點連結C4.

(1)求證：Z4CG=ZF.

(2)如圖②，若C4=CG,求證：AG=CD.

(3)如圖③，連結OG,AE=8.BE=2.

a

①若tan/.F=—,求AP的長；

4

②求AG-QG的最大值.

10.（2023?寧波一模）如圖1,在等腰AABC中,AB=AC=2y/3,NK4C=120。，點。是線段4c上一點,

以DC為直徑作C。，O經過點4.

（1）求證：是_Q的切線；

（2）如圖2,過點A作A￡_L3C垂足為E,點尸是O上任意一點，連結律.

①如圖2,當點尸是。。的中點時，求生的值；

BF

②如圖3,當點F是「。上的任意一點時，變的值是否發生變化？請說明理由.

BF

（2）在（2）的基礎上，若射線8尸與CO的另一交點G,連結跖，當NGEF=90°時，直接寫出|W-EGI

的值.

11.（2023?北侖區二模）【證明體驗】

⑴如圖1,一O是等腰AABC的外接圓，AB=AC,在AC上取一點P,連結/IP,BP,CP.求證:

ZAPB=NPAC+ZPC4；

【思考探究】

（2）如圖2,在（1）條件下，若點尸為AC的中點，A4=6，PB=5,求小的值：

【拓展延伸】

（3）如圖3,。的半徑為5,弦BC=6,弦CQ=5,延長"交的延長線于點￡,且/4Z?P=NE,

求PE的值.

12.（2023?鄲州區模擬）如圖，為。的直徑，弦C/）交裕于點石，且=

（1）求證：ZBAC=3ZACD；

（2）點尸在弧/?。匕Fl./CDF=-/AEC,連接B交干點G,求訐：CF=CD：

2

<3）①在（2）的條件下，若06=4,設O￡=x,FG=y,求y關于x的函數關系式;

②求出使得y有意義的x的最小整數值，并求出此時。。的半徑.

13.（2023?海曙區?模）【基礎認知】

（1）如圖1,點4為NM/W內部一點，ABUPN交PM于點、B,己知4?=尸8,求證：小平分NM/W；

W

M

圖1

【綜合運用】

（2）在（1）的情況下，作AHJLPN于點H.

①如圖2,若AP=12,PH=9,求心的長;

②如圖3,延長A”至點C,使C〃=A〃，過2，A,C三點作圓交/W于點。，交尸區的延長線于點石.若

BP=a,求圓的直徑；（用含，的代數式表示）

③在（2）的情況下，設O〃=x,BE=y,當〃=6時，求），關于x的函數關系式.

14.（2023?寧波模擬）如圖1,AWC內接于［O,AABC的外向NfiAD的平分線交O于點P（點A在弧

PC之間），連結心，PC.

（1）求證：PB=PC.

（2）若BC=8,cosZBAC=~,求尸8的長.

5

（3）如圖2,在（2）的條件下，作PHLAB于點H.

①若NPA4=45。，求AA8C的周長.

②求AC+P”的最大值.

15.（2023?海曙區校級?模）如圖，四邊形ABCZ）內接于半圓。，是半圓O的直徑,CE是半圓O的切

線，CE_LAD交4）的延長線于點E,DE=-BC,OE與相交于點/，連結斯并延長交AE的延長

4

線于點G,連結CG.

（1）求證：AD//BC.

（2）探究O尸與防的數量關系.

（3）求tanNG4C的值.

備用圖）

16.（2023?鄲州區校級一模）等腰三角形4AG中A/=AG，且內接于圓O,。、石為邊回G上兩點（。在產、

￡之間），分別延長A。、AE交園。于6、C■兩點（如圖1）,記NfiA尸=a,ZAFG=/?.

（1）求NAC5的大小（用a,￡表示）；

（2）連接b,交4?于-H（如圖2）.若尸=45。,且3CxEF=AExCF.求證：ZAHC=2ZBAC；

（3）在（2）的條件下，取C”中點M,連接。必、GM（如圖3）,若NOG"=2nr-45。，

①求證：GMi/BC,GM=-BC；

2

②請百接寫出空?的信.

MC

17.（2023?江北區?模）如圖1,四邊形A6C7）是、。的內接四邊形，其中4?=A。，對角線AC、4。相

交于點石，在AC上取一點尸，使得A尸=/W,過點尸作G”-4c交O于點G、H.

（1）證明：MED~^ADC.

(2)如圖2,若AE=1,且G4恰好經過圓心O,求以的值.

(3)若AE=1,EF=2,設跳的長為x.

①如圖3,用含有x的代數式表示MCO的周長.

②如圖4,AC恰好經過圓心O,求MCO內切圓半徑與外接圓半徑的比值.

18.(2023?寧波模擬)定義：四邊形/WCD中，AH=AC,NBDC=、NBAC,則稱四邊形為半角

2

四邊形，邊4c稱為半對邊.

(1)如圖①，若四邊形A4CO為半角四邊形，且AC為半對邊，設NDBC=a,用含有a的代數式表示

Z4C7)：

(2)如圖②，等腰AABC，AB=4C，點。為其內部一點，ZABD=ZACD,連結4),作AAC。的外接

圓O，加＞的延長線交O于點E,連結￡4,EC,求證：四邊形A8CE為半角四邊形；

(3)如圖③，在(2)的條件下，延長84交C。于點尸，連結比'，EF//BC.

①求證：BC=CE；

②若4)=3,BC=6g,求四邊形ADEF的面積.

19.(2023?鄲州區一模)如圖1,AAAC中，AC邊上的中線AM=AC,延長/W交AABC的外接圓于點。,

過點。作OE//BC交圓于點￡,延長交/W的延長線于點F,連接CK.

(1)若NAC8=60。，BC=4,求和。尸的長；

（2）①求證：BC=2CE；

②設tanZACB=x,f=y,求y關于x的函數表達式；

（3）如圖2,作NCJ.AC交線段AD千N,連接EN,當MBC的面積是AC0V面積的6倍時，求tanZACB

的值.

20.（2023?慈溪市一模）如圖1,在0。中，”為弦A8的中點,過點”作直徑CO,E為線段上一

點，連結AE并延長交。。于點F,連結M,AE=BF.

（1）證明：AC=BF.

(2)當￡M:QE=2時，求tan/EAB.

<3）如圖2,連結CV交4?于點G,當8=2時，設AGAB-y,求），大于x的函數解析式,

并確定），的最大值.

21.（2023?鎮海區二模）如圖1,在平面直角坐標系中，直線AB:），=履+6*<0）與x軸交于點4,與），軸

交于點A,點。是.1軸負半軸上一點，過A、B、C三點的（圓心M落在第四象限）交），軸負半軸

于點。，連結CZ）,已知NAC8=2NADC=%.

(1)ZDAI3=(請用a的代數式表示)，并求證：DA=DB^

(2)若〃=-L,求點。的坐標；

2

(3)如圖2,連結人用并延長，交AC于點尸，交M于點E,

①若求8”的長；

②若38尸=28,請直接寫出四邊形ABDC的面枳.

22.(2023?余姚市一模)如圖1,在RtAABC中，A/i=AC=4,AQ_L4c于。，E為A8邊上的點，過4、

。、E三點的0。交AC于尸，連結DE,DF.

(1)求證：AE=CF.

(2)若tan乙W=3,求O的面積.

(3)如圖2,點尸為DE上一動點，連結夕力，PE,PF.

①若P為OE的中點，設AE為x,APZ加的面積為S,求S關于x的函數表達式.

②在點?運動過程中，試探索出)，PE,尸尸之間的數量關系，并證明.

23.(2023?江北區模擬)如圖1,四邊形A8CD內接于_O,C是弧4。的中點，N/幽的平分線交AC于

點、E.

(1)求證；CB=CD=CE.

(2)如圖2,尸是。。上的動點，連結8并延長交直線雙)于點G,連結砂，EG,求證：CE?=CFCG.

(3)如圖3.在(2)的條件下，若切是C。的直徑，且點A與點F關于9對稱.

①當tanZA8Z)="!"時，求空的值.

2EG

②若求CG的最小值.

24.（2023?寧波模擬）如圖，A〃為半。的直徑，點。是圓弧上一點,Q為AP上的點，且4P=4尸Q,

過。作弦MN,使點尸為MN的中點，連結AM,AN,PM,PN.

（1）如圖①，若MN//AB,且AB=16,求MN的長.

（2）如圖②，當點尸是半（O上任一點M.求證：AN=2NQ.

如圖②，若風％=.i,生”

y?求y與x的函數關系式.

SAAMNS1M2M

如圖②，當tan/PAN=且時,

(4)

5

25.（2023?寧波模擬）已知為QO的直徑，弦C￡＞交于點E（點E不與O重合），連結AC,AD,

AC=AD.

（1）如圖1,求證；AB±CD.

（2）如圖2,過點。作弦O〃_LAC于點G,求證：DB=BC=CH.

（3）如圖3,在（2）的條件下，點Q為弧4）上一點，連結AQ,HQ,HQ交AB于點P,若4Q=1,

DE=3,Z/7P^+2ZC4B=9O°.

①求AP的長；

②求O的半徑.

26.(2023?寧波模擬)如圖，AABC內接于CO，AB=AC,點。為劣弧AC上動點，延長4),BC交于

點E,作Of7/A8交于尸，連結b.

(1)如圖①，當點。為AC的中點時，求證：DF=BC；

(2)如圖②，若C產=C4,ZABC=a,請用含有a的代數式表示NE；

(3)在(2)的條件下，若BC=CE,

①求證：AC+AD=DE；

②求tanNK的值.

圖①圖②

27.(2023?端州區校級三模)如圖，是CO的直徑，點。是上的一點，點。為弧的中點，過點

D作AB的平行線交CB的延長線于點E.

(I)如圖1,求證：AADC^ADEC；

(2)若。。的半徑為3,求C4-CE的最大值；

(3)如圖2,連接AE,設tanNABC=x,tanZAEC=y,①求y關于x的函數解析式：②若色=之，求

-BE5

)，的值.

cc

ED

（即）

（圖2）

28.（2023?鄲州區模擬）如圖1,銳角A48D（A8vA。）內接于CM,弦AC_L4O于點O.已知?例半徑

為5,且AC=8D.

（1）求證：AAOD為等腰直角三角形.

（2）若OC=1,求AABD的面積.

（3）若tan/弘O=x,43。的面積為y,求），關于"的函數解析式,

（4）如圖2,若A44O的面積為-，點、E,“分別在0/1,MD上,連結EF,ME,若ZDEF=NDAB,

2

求A/W箱面積的最大值.

€）.1o?

C

圖1備用圖圖2

29.（2023?海曙區校級模擬）如圖，在O的內接四邊形A3CD中AC,8。是它的對角線，AC的中點/是

的內心.

（1）當O,/重合時，直接寫出AC，BD的位置關系,數量關系：直接判斷四邊形小C。的形狀.

（2）找出所有與線段8相等的線段，并說明理由.

（3）求AAB。，MC7）的面積之比.

（4）若cos/8AO=，，設BC為x,△48/的面枳為y,求出,：與/之間的函數關系式.

9

6a

cc

30.（2023?海曙區校級三模）如圖，O的直徑AB垂直于弦CD于點￡,點?是C。延長線上異于點。的

一個動點，連結AP交二。于點Q,連結CQ交A"于點"，連結AC,L）Q.

（1）求證：ZACQ=ZCPA；

⑵若45=10,8=8,

①若收）=4,求CQ的長；

②若尸。=一少■=），，求），與X之間的函數關系式；

SbQDC

（3）在（2）的條件下，求人。?。。的最大值.

備用圖

專題19圓壓軸題

1.（2023?寧波）如圖I,0。為銳角三角形A4C的外接圓，點。在8c上，AD交BC于點、

E,點尸在AE上，滿足ZAFB-ZBFD=〃\CB,FGi/AC交BC于點、G,BE=FG,連

結BD,DG.設ZACB=a.

(1)用含a的代數式表示N甌.

<2)求證：MDE三AEDG.

(3)如圖2,4)為C。的直徑.

①當的長為2時，求AC的長.

②當=時，求cosa的值.

:

、---------'D

圖1圖2

答案：(1)ZBFD=90°--；(2)見解析；(3)①3；②』

28

【詳解】(1)ZAFB-Z.BFD=ZACB=a，①

又?.ZAra+ZfiFD=180c,②

②一①，得2N3P￡>=18(r-a,

AZBFD=90°--；

2

(2)rtl(1)得/8匹。=90。一巳，

2

-ZADB=ZACB=a,

/.ZFBD=180o-ZA￡>B-Z5FD=90°--,

2

：.DB=DF,

?.FG//AC,

:.ZCAD=ZDFG,

4CAD=QBE,

:"DFG=4DBE,

在的。石和"7X7中，

DB=DF

<NDFG=NDBE,

BE=FG

:.MDE=MDG(SAS)；

(3)①?.MDEwNDG,

;./FDG=/BDE=a，

ZBDG=ZBDF+ZEDG=2a,

?.DE=DG,

ZDGE=-(180°-ZFDG)=90°--,

22

ZDBG=\S00-ZBDG-ZDGE=90°-—,

2

A￡>是O的宜徑，

:.ZABD=90P，

3a

ZABC=/ABD-/DBG=—，

2

/.AC與AB所對的圓心角度數之比為3:2,

.??AC與A8的長度之比為3:2,

?/Ali=2,

AC=3；

②如圖，連接30,

OB=OD,

Z.OBD=Z.ODB=a，

...乙BOk=4OBD+NO/M=la,

/BDG=2a,

"BOF=/BDG,

???ZBGD=ZBFO=90°--,

2

:.^BDG^\BOF,

設ABDG與ABOF的相似比為女,

DGBD,

/.-----=——=k,

OFBO

OF4

??,—=一，

OE11

.?.設O尸=4x,則QE=1LJDE=DG=4kx,

OB=OD=OE+DE=\\x+4kx,BD=DF=OF+OD=\5x+4kx

?_B_D___\_5_x_+__4_k_x__1_5_+__4_攵

.7）B~\\x+4kx~\\+4k'

由！5+4〃=4,得4攵2+74-15=0,

ll+4k

解得Z=*或-3（舍去），

4

:.OD=\\x+4kx=\6x,B￡>=l5x+4收=20x，

:.AD=2OD=32x,

在RlAABD中，cosZAD^=—=—=-,

AD32x8

5

cosa=-.

8

方法二：連接。8,作8W_LAD于M,

由題意知，和M即都是等腰三角形，

:.EM=MF,

設OK=11,。尸=4,

設DE=m,則O8="?+ll,OM=3.5,BD=m+\5,DM=m+75,

:.OB2-OM2=BD2-DM2,

即(m+11)2-3.52=(/n+l5)2-(m+7.5)2,

解得〃7=5或〃2=—12(舍去)，

MD5

/.cosa=------=—.

BD8

2.(2023?寧波)如圖1,四邊形內接于OO,BD為直徑,上存在點E,滿足

AE=CD,連結班并延長交8的延長線于點"，BE與AD交于息G.

(1)若NDBC=a,ila的代數式表示NAG瓦

(2)如圖2,連結C￡,CE=BG.求證：EF=DG.

(3)如圖3,在(2),連結CG,AD=2.

①若tanZADB=—,

2

②求CG的最小值.

圖1

答案：(1)ZAG?=90°-a：(2)見解析?：(3)①上史；②G

2

【詳解】(1)?.必為co的直徑，

.?.440=90°,

7AE=CD,

.?.ZABG=ZDBC=a,

ZAGB=900-a：

(2)BD為1O的直徑，

.".ZBCD=90°,

.?./BEC=/BDC=90°-a,

:.ZBEC=ZAGB,

NCE尸=180°-/8石C，NBGD=180。一4GB,

:.NCEF=ZBGD,

乂CE=BG，占CF=4GBD,

..ACFE^ABDG(ASA),

:.EF=DG；

（3）①如圖，連接￡>￡,

4。為O的直徑,

:./A=/RF.D=^r,

在RtAABD中，tanZADB=—,AD=2,

2

/.A/3=—xAD=>/3f

2

,?AE=CD,

AE+DE=CD+DE,

即AD=CE,

.\AD=CE,

?.CE=BG,

BG=AD=2，

?.?在RtAABG中，s\nAAGB=—=—

BG2

/.ZAGB=60°,AG=-BG=\,

2

,.EF=DG=AD-AG=\,

?.?在RtADEG中，ZEGD=60°,

.MM1HP6MG

?.EG=—DG=—，DE=—DG=—，

2222

在RlAFED中，DF=>1EF2+DE2=—

2

...1G+DG+Of=5+",

2

.?.AFG。的周長為壬2；

2

②如圖，過點C作C”LB/7于”，

△BDG^ACFE,

;.BD=CF,4CFH=/BDA,

vZBAD=ZCHF=90°,

/.ABAD=ACHF(A4S),

:.FH=AD,

AD=BG,

:.FH=BG,

,.?NAB=900,

/.ZBCH+ZHCF=9O°,

N4C，+"AC=90°,

:.&CF=4HBC,

NA〃C=NS尸=90。，

:.gHCs^CHF、

BHCH

---=---,

CHFH

設GH=.r,

：.BH=2-x,

：.CH2=2(2-x),

在RtAGHC11',CG2=GH2+CH2,

CG2=x2+2(2-x)=(x-\)2+3,

當x=l時，CG?的最小值為3,

二.CG的最小值為G.

3.(2023?寧波)定義：三角形一個內角的平分線和與另一個內角相鄰的外角平分線相交所

成的銳角稱為該三角形第三個內角的遙望角.

(1)如圖1,NE是1改?中NA的遙望角，若ZA=a,請用含。的代數式表示NE.

(2)如圖2,四邊形ABCD內接于OO,AD=BD,四邊形ABC。的外角平分線。尸交

于點/，連接A/7并延長交CQ的延長線于點￡.求證：/4EC是A44C中NB4C的遙望角.

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接A￡,AF,若AC是0O的直徑.

①求NA中的度數；

②若AB=8,CD=5,求的面積.

EE

圖1圖2圖3

i95

答案：（1）ZE=-a：（2）見解析；（3）①ZAE￡>=45。；②三

29

【詳解】（1）?龐:平分ZAHC,CE平分NAC7）,

/.ZE=ZECD-ZEBD=；（ZACD-ZABC）=gZA=；a，

（2）如圖1,延長BC到點T,

圖1

?四邊形尸88內接手，O，

/.NHJC+=1809,

又?./FDE+NFDC=180。,

:./FDE=NFBC，

/平分

.\ZADF=ZFDE,

、：ZADF=ZABF,

:.ZABF=ZFBC,

二.8七是NABC的平分線，

?/AD=BD,

7.ZACD=ZBFD,

/BFD+/BCD=180。,ZZXT+N3CL>=180。，

:.ZDCT=^BFD,

\ZACD=ADCT,

?.8是A/V?。的外角平介線,

/BEC是AABC中ABAC的遙望角.

（3）①如圖2,連接CA

-.〃正C是AABC中NBAC的遙望角，

：./BAC=2ZBEC，

?;/BFC=NBAC，

:"BFC=2ZBEC,

4BFC=NBEC+ZFCE，

；.ZBEC=/FCE,

'；/FCE=4FAD,

:.ZBEC=/FAD,

又?：/FDE=ZFDA,FD=FD,

:△FDEwkFDAlAAS)，

：.DE=DA，

.\ZAED=ZDAE,

AC是O的直徑，

.-.ZA￡>C=90°,

：.ZAED+ZDAE=9(r,

:.ZAED=ZDAE=45°,

②如圖3,過點4作AG_4￡于點G,過點尸作后W_LCE于點M,

AC是O的直徑，

.-.Z4BC=90o，

?BE平分ZABC,

^FAC=NEBC=-/ABC=45°，

2

?.ZAED=45°,

:.ZAED=^FAC.

?:ZFED=ZFAD,

:.ZAED-4FED=4FAC-乙FAD,

..ZAEG=ZCAD,

?.?ZEGA=ZADC=9(r,

:.AEGA^AADC,

.AEAG

~AC=~CD'

?.?在RtAABG中，A8=8,ZABG=45。，

72i-

AG=—AB=4y/2,

2

在RtAADE中，AE=41AD,

y/2AD4x/2

/.--------=------9

AC5

AD4

/.二一，

AC5

在RtAADC中，AD2+DC2=AC2,

.?.設AO=4x,AC=5x,則有(4x)2+5?=(5x)2,

5

：.x=—,

3

?.m=T

35

:.CE=CD+DE=—

3

?.ZBEC=ZFCE,

:.FC=FE,

FMVCE>

.\EM=-CE=—,

26

:.DM=DE-EM=一，

6

?.NFDM=45。，

..FM=DM=-,

6

125

SWFF=-DEFM=—.

4.(2023?寧波)如圖1,。經過等邊A44c的頂點4,C(圓心。在A44C內)，分別與

AB,C8的延長線交于點O,E,連接。E,8尸J.EC交AE于點尸.

(1)求證：BD=BE.

(2)當A尸:所=3:2,AC=6時，求AE的長.

…AF

(3)設=x,tan/DAE=y.

EF-

①求y關于工的函數表達式；

②如圖2,連接OF,OB,若AAEC的面積是AOEB面積的10倍，求y的值.

AA

圖1圖2

答案：(1)見解析；(2)AE=2相；(3)①y

4x+l

【詳解】證明：(1)A43C是等邊三角形,

/.ZZMC=ZC=60°?

?.Z￡)EB=ZMC=60°,ZD=ZC=60°,

:.ZDEB=ZD,

:.BD=BE；

(2)如圖1,過點A作HG_L4C于點G,

A48C是等邊三角形，AC=6,

:.8G=-BC=-AC=3,

22

.,.在RtAABG中，AG=、存8G=3百,

BF工EC,

:.BFNAG,

AFBG

~EF~~EB

AF:EF=3:2,

:.BE=-BG=2,

3

：.EG=BE+BG=3+2=5r

在RtAAEG中，AE=4AG?+EG?=J(3揚:+52=27n；

(3)①如圖1,過點E作EH_LAD于點”,

A

圖1

,.?N￡BD=NABC=60°,

.?.在RtABEH中，—=sin60°=—,

BE2

:.EH=—BE,BH=-BE,

22

BGAF

---==x，

EBEF

BG=xBE，

AB=BC=2BG=Z\BE,

AH=AB+BH=2xBE--BE=(2x+-)BE，

22

EH虧BEr

.,.在RtAAHE中，tanZEAD=——=———=-^—

4X+,

A"(2A+1)B￡

―二H

②如圖2,過點。作QMJ_4C于點M,

設BE=a,

BGAF

?/-----=-----=x，

EBEF

；.CG=BG=xBE=ax,

EC=CG+BG+BE=a+2xix，

/.EM=—EC=—a+ax,

22

:.BM=EM-BE=ax--a,

2

":BFffAG,

/.AEBF^AEGA,

BFBEa1

AGEGa+axl+x

AG=\/3BG=y/5ax,

1瘋女

BDFr=---AG=----,

x+\x+1

▲八f的工工nBF,BM1x/3av.1、

/.AOFB的面積=-------=—x----(ax——fl),

22x+12

FC-Ad1r-

：.AAEC的面積=----=-x\/3ax(a+2ax),

22

AA￡C的面積是的面積的10倍，

z.—x\f3ax(a+2ax)=10x-x^^(ar-—，

22x+12

/.2x2-7x+6=0，

解得：％=2,.4='1,

...y=*或*.

5.(2023?寧波)如圖I,直線/:y=-3x+〃與x軸交于點A(4,0),與)，軸交于點8,點C

4

是線段04上一動點(0<4C<￡).以點A為圓心，AC長為半徑作￡A交工軸于另一點。,

交線段A3于點石，連接0E并延長交CA于點產.

（1）求直線/的困數表達式和tanNHAO的值：

（2）如圖2,連接C￡,當8二瓦1時，

①求證：AOCESAOEA；

②求點石的坐標；

（3）當點C在線段OA上運動時，求OE斯的最大值.

答案：（1）直線/的函數表達式），=—』x+3,tanNB4O=3；（2）①見解析；②￡（衛，—）；

44252）

【詳解】?.,直線/:)，=一3工+人與犬軸交于點A(4,0),

4

/.--X4+/?=(),

4

.'.￡?=3,

.,?直線/的函數表達式y=—3%+3,

/.B(0,3),

OA=4，OB=3,

在RtAAOB中，tanZfi/10=—=-；

OA4

(2)①如圖2,連接。尸，CE=EF,

:.ZCDE=ZFDE,

;"CDF=24CDE,

?-ZOAE=2ZCDE,

:.ZOAE=^ODF,

??四邊形C￡/論是_A的圓內接四邊形，

/.4OEC=4ODF,

:.ZOEC=ZOAE,

?.?ZCOE-ZEOA,

:MOEsisEO',

②過點E作于M,

3

由①知，taiiZOAB=-,

4

設EM=3"z，則A"=4〃Z,

OM=4-4/w,AE=5/n,

/.E(4—4”?,3m),AC=5)n.

:.OC=4-5in,

由①知，△COESAEOA,

.OC_OE

~OE=~OA'

OE-=OAOC=4(4-5m)=16-20m,

E(4-4)〃,3m),

(4-4，〃)2+9/zz2=25m2-32m+16,

25〃廣-32m+16=16-20/〃，

/./n=0(舍)或加=口，

25

,4.4〃,="，3〃,=史

2525

，的,當,

2525

(3)如圖，設OA的半徑為廣，過點O作OG_LA3于G,

A(4,0),3(0,3),

.?.04=4,04=3,

:.AB=5，

、ABXOG=LOAXOB,

22

:.OG=—

5t

sOG12416

二.AG=------------=—x-=一,

tanZ.OAB535

:.EG=AG-AE=—-r,

5

連接F”，

EH是人直徑，

：.EH=2r,/EFH=90。=/EGO，

NOEG=ZHEF,

.?.△OEGsAHEF,

.OEEG

~HE~~EF'

/.OEEF=HEEG=2r(y-r)=-2(r-1)2+摟，

時，OE即最大值為四.

525

6.(2023?鎮海區一模)如圖，。是AA3C的外接圓，點。在8c上，連結08,DC,DA,

過點。作BD的平行線交A/)于點E.

(1)如圖1,求證：AABCS&CDE；

(2)如圖2,若/皿＞=NC4P=30°,43=6,涼)=4,求OE；

(3)如圖3,/為AABC的內心，若/在線段AE上，45=10,tanZBAD=-,當IE最大

5

時，求出O的半徑.

【詳解】（1）證明：.?點。在圓。上，

：.ZABC=ZADC,ZADB=ZACB,

又-CE//BD,

；.ZADB=ZDEC,

.?.A/WCSAC/M；

（2）解：由（1）可得AABCs^cOE,

DEDC

?\，

BCAB

?/ZBCD=ABAD=ZC4Z）=ZCBD=30°，

BC=GBO=4X/5,

..DE=-----；

3

（3）解：由（2）得：DEAB=BCDC,

;.10DE=BCDC，

如圖，作BFLCF,

tanZ.BCD=tan/BAD=—,

5

設BF=x,CF=5x,CD=BD=1,

???BD1=BF2+DF2,

17

解得，t=—X,

5

故心也,,

13

，陽叵九

26

連接C7，

/為AA8C的內心，

ZACI=/BCI，ZBAD=^CAD=ZBCD.

ZDIC=ZCAD+ZACI=/BCD+/BQ=ADCl，

:.DC=DI=t，

IE=ID-DE=t-^-l

26

???"亭時‘花最大‘

此時3C=嚕“5,

連接OD交3c于點由勾股定理可得出QM=1,

2

\-OM2+MC2=OC2,

二(r-i)2+(1)2=r2,

解得r=竺,

2

即圓O的半徑為U.

2

7.(2023?寧波模擬)如圖①，在RtAABC中，ZC=90SD是AC上一點(不與點A,C

重合)，以A為圓心，AO長為半徑作OA交于點E,連結皮)并延長交A于點尸，連

結ED,EF,AF.

(1)求證：ZEAF=2ZBDE；

(2)如圖②，若/EBD=2/EFD,求證：DF=2CD；

(3)如圖③，BC=6,AC=8.

①若/￡4〃=90。，求A的半徑長；

②求盛?。石的最大值.

答案：（1）見解析:（2）見解析：（3）ffir=5：②5函

【詳解】（1）證明:在優弧所上任意取一點G,連接GE,GF,

?四邊形EDCG是圓內接四邊形,

/.Z￡DF+ZG=180o，