專題1.2三角形內角和定理的運用【八大題型】

【浙教版】

【題型?運用三角形內角和定理直接求角的度數】.................................................1

【題型2三角形內角和定理與隹平分線、高線綜合】...............................................3

【題型3三角形內角和定理與平行線的性質綜合】.................................................7

【題型4三角形內角和定理與折登性質綜合】....................................................10

【題型5三角形內角和定理與新定義問題綜合】..................................................13

【題型6運用三角形內角和定理探究角的數量關系】..............................................17

【題型7判斷直角三角形】.....................................................................23

【題型8運用直角三角形兩銳角互余的性質倒角】................................................27

"杵三

【知識點1三角形的內角及內角和定理】

三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內角，且每個內角均大于0°且

小于180°.三角形內角和定理：三角形內角和是180°.

【題型1運用三角形內角和定理直接求角的度數】

【例I】（2021秋?渦陽縣期末）在△人3C中，已知,NC=N8+25°,求/人的度數.

【分析】將第一個等式代入第二等式用NA表示出NC,再根據三角形的內角和等于180。列方程求出N

A,然后求解即可.

【解答】解：VZB=ZA+10°,NC=N8+25°,

???NC=NA+1（T+25°=NA-35°,

由三角形內角和定理得，NA+/8+/C=18（T,

所以，N4+NA+10"+/A+35"=180”，

解得NA=45°.

【變式1-1］（2022春?武侯區校級期中）如圖，點E、Z）分別在A&4c上.若NB=30°,ZC=50°,

則/1+N2=°.

EI

B

【分析】根據三角形的內角和定理列式整理可得Nl+N2=//3+NC,從而可求解.

【解答】解：VZ1+Z2+ZA=18O°,N3+NC+NA=180°,

???Nl+N2=/4+NC,

VZB=30°,ZC=50°,

.??N1+N2=N8+NC=3O°+50°=80°.

故答案為：80°.

【變式1-2］（2022?哈爾濱）在△ABC中，4。為邊BC上的高，ZABC=30°,NCAO=2（T,則NB4C

是度.

【分析】分兩種情況：△A8C為銳角三角形或鈍角三角形，然后利用三角形內角和定理即可作答.

【解答】解：當△AB。為銳角三角形時，如圖，

ZZ?AD=18O0-ZZ?-ZADD=18O°-30°-90°=60°,

ZBAC=ZBAD+ZCAD=60a+20°=80°；

當△ABC為鈍角三角形時，如圖，

ZBAD=180°-ZB-ZADB=\SO0-30°-90°=60°,

ZBAC=ZBAD-ZCAD=60°-20°=40°.

綜上所述，N84C=80°或40’.

故答案為：80或40.

【變式1-3）（2022?南京模擬）已知RD、CE是△4BC的高，直線BD、CE相交所成的角中有一個角為45°,

則。等于.

【分析】根據三角形的內角和定理.分N84C與這個45。的角在一個四邊形內，及NB4C與這個45°

的角不在一個四邊形內兩種情況討論.

【解答】解：若N/MC與這個45°的角在一個四邊形3CQ￡內，

0

因為8。、CE是△ABC的高，設8。的延長線交CE的延長線于O.

???NAEC=NAD8=90°,

VZO=45°,

AZD4E=180°-45°=135c

：,ZBAC=ZDAE=\35°；

若N84C與這個45°的角不在一個四邊形8CDE內,

因為BD、CE是△ABC的高，

如圖：NBAC=180°-（180°-45°）=45°,

所以NB4C等于45度.

若/AC8是鈍角，NA是銳角，

放答案為：45°或135°.

【題型2三角形內角和定理與角平分線、高線綜合】

【例2】（2022春?西湖區校級月考）如圖，在△A8C中，N84C=60°,NBCE=40°,A。平分N8AC,

CELAB于點E,則NAQ8的度數為（）

又VDFLBC,

:?NFED+NEFD=90：

AZEFD=90°-80°=10°,

故選:B.

【變式2-2](2022春?鼓樓區校級期末)如圖，在△ABC中，AO是高，AE是角平分線.

(1)若N8=32°,ZC=60°,求/D4E的度數；

(2)若NC-N8=18°,求ND4E的度數.

【分析】(1)根據三角形內角和定理求出N8AC,根據角平分線的定義求出NE4C,根據垂直求出NAOC

=90°,根據直角三角形兩銳用互余求出NZMG再求出答案即可；

(2)求出NC=18°+NB,根據三角形內角和定理求出N84C根據角平分線的定義求出/E4C,根據

垂直求出/4。。=90°,根據直角三角形兩銳角互余求出/ZMC,再求出答案即可.

【解答】解：(I)'：NB=32>,NC=60°,

：,ZBAC=1800-NB-NC=88°,

???AE是角平分線，

：,ZEAC=^BAC=44°,

???A。是高，

r.ZAC=90°,

VZC=60°,

???N。4c=90°-ZC=30°,

/.Z1DAE=Z：EAC-ZDAC=44°-30°=14°；

(2)VZC-ZB=18°,

???NC=180+NB,

AZ/^AC=1800-ZB-ZC=180°-ZB-(18°+ZB)=162°-2ZB,

???AE是角平分線，

：.ZEAC=^BAC=S\°?NB,

*?*AD是高,

AZAC=90°,

VZC=180+N8,

???NOAC=90°-ZC=90°-(18°+ZB)=72°-ZB,

：,ZDAE=ZEAC-ZDAC=(81°-ZB)-(72°-ZB)=9°.

【變式2-3](2022春?錫山區期中)已知：如圖，△48C中，4OJ_8C于點Q,BE是NABC的平分線，若

ND4C=30°,ZBAC=80°.

(1)求/EBC的度數；

(2)求NA03的度數.

【分析】(1)由直角三角形的性質可求解NC=60°,利用三角形的內角和定理可求解NA3C=40°,

再根據角平分線的定義可求解；

(2)由N8AO=N8AC?ND4C可求解/84。=50°,由角平分線的定義可求解NA8O=NEBC=20°,

由三角形的內角和定理可求解.

【解答】解：(1)9：ADA.BC.

，NAOC=90°,

???△AOC是直角三角形，

VZDAC=30°,

???ZC=900-ZDAC=60°,

*：ZBAC=80a,

AZABC=1800-ZBAC-ZC=40°,

〈BE是△48C的平分線，

A^EBC=iz/l/?C=20°；

(2)VZBAC=80°,ND4C=30°,

：.ZBAD=ZBAC-ZDAC=50°,

由(1)可知N￡3C=20°,

???3￡是/48。的平分線，

AZABO=ZEBC=2^,

在△AOB中，NAOB=180°-ZBAO-ZABO=WO°.

【題型3三角形內角和定理與平行線的性質綜合】

【例3】（2022?高唐縣二模）將一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中/8=/產=90°,Z

4=45°,ZE=60°,點C在邊Or上，AC,BC分別交DE于點G,H.箱BC//EF,則NAGQ的度數

為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【分析】在△ABC中，利用三角形內角和定理可求出NAC8（即NHCG）的度數，由BC〃EF,利用“兩

直線平行，同位角相等”可得出NG”C的度數，在△”CG中，利用三角形內角和定理可求出N”GC的

.度數，再結合對頂角相等可得出NAGD的度數.

【解答】解：???/8=90°,乙4=45°,

AZACB=180°-ZA=180°-90°-45°=45°,即N"CG=45°.

<BC〃EF,

???NG〃C=NE=600,

：.ZHGC=\S0a-ZGHC-Z/7CG=180°?60°-45°=75°,

AZAGD=ZHGC=15°.

故選：D.

【變式3-1］（2022春?興寧區校級期末）如圖，在△ASG中，。為AG上點，AB//DC,點E是邊A8上

一點，連接曰九NEBD=NEDB,DF平分NEDG,若/GOC=72°,則N8。尸的度數為（）

A.50°B.40°C.45°D,36°

【分析】根據平行線的性質可得NEBQ=N8OC,根據角平分線的定義可得/E7）B=NBOC,設NEDB

=ZBDC=xQ,表示出NGQ￡,根據角平分線的性質可得NE。/7,再根據/8。尸=NEOr-求

解即可.

【解答】解「ABI/D3

:./EBD=NBDC,

■:NEBD=/EDB,

：?/EDB=NBDC,

設/EDB=NBDC=x°,

VZGDC=12°,

???NGQE=2/+72°,

???7）尸平分/七。6,

:?/EDF=^NEDG=x。+36°,

:?/BDF=NEDF-NBDE=x°+36°-x°=36°,

故選：D.

【變式3-2］（2022春?泌陽縣期末）如圖，在△A3C中，AO平分NBA。，BO1AO,。為垂足，OO〃AC,

若/48。=40°,試求N8OO的大小.（提示：延長AO交BC于點E）

【分析】延長AO交8C「點E,根據垂直的定義得到/AO8=N8OE=90°,根據三角形內角和得出N

BAO=50°，根據角平分線的定義得到N￡AC=50°,根據平行線的性質得到/七0。=50°,根據角的

和差即可得解.

【解答】解：延長AO交8C于點E,

BO±AO,

AZAOB=ZBOE=W,

VZABO=40°,

???NZMO=180°-ZABO-ZAOB=50°,

平分/8AC,

：.ZEAC=ZBAO=50°,

'：OD//AC.

：,ZEOD=ZEAC=5^，

???NBOD=ZBOE+ZEOD=140°.

【變式3-3](2022春?銅梁區校級期中)如圖，A。是AABE的角平分線，過點8作8C_LAB交AO的延

長線于點C，點/在AB上，連接E尸交A。于點G.

(1)若2Nl+NE4B=180°,求證：EF//BC,

(2)若NC=72°,NAEB=78°,求/C8E的度數.

【分析】(I)先根據垂直等于得到N4BC=90°,則NC+N/MC=90°,再證明2NC+N￡A8=180°,

加上2N1+NE43=18O°,則N1=NC,然后根據平行線的判定方法得到結論：

(2)先根據三角形內角和定理可計算出計算出N8AC=18°,則/￡4。=18°,根據三角形內角和定理

得到NE4D+NA￡Z)=NC+NCZ?2即180+78°=72°+ZCZ7E,從而可求出NC3E的度數.

【解答】(1)證明：??,8C_L48,

AZ4BC=90°,

???NC+NR4c=90°,

???AQ是△人BE的角平分線，

??.ZI3AC=^ZEAB,

AZC+|ZEAB=9O°,

即2NC+/EA8=180°,

V2Zl+ZEAB=180°,

r.zi=zc,

:.EF〃BC:

(2)解：:/乂8。=90°,ZC=72°,

???/B4C=18°,

AZ￡AD=ZBAC=18°,

■:/ADE=NBDC,

ZEAD+ZAED=ZC+ZCBE,

即18°+78°=72°+ZCBE,

???NC8E=24°.

【題型4三角形內角和定理與折疊性質綜合】

【例4】（2022春?錦江區校級期中）如圖甲所示三角形紙片ABC中，NB=NC,將紙片沿過點8的直線

折疊，使點C落到A8邊上的E點處，折痕為8。（如圖乙）.再將紙片沿過點E的直線折疊，點A恰

好與點。重合，折痕為七尸（如圖丙），則N48。的大小為°.

【分析】設NA=x,根據翻折不變性可知/A=NED4=x,ZC=ZBED=ZA+ZEDA=2x,利用三角

形內角和定理構建方程即可解決問題.

【解答】解：設乙4=心根據翻折不變性可知NA=NEOA=x,ZC=ZDEB=ZA+ZEDA=2x,

，：AB=AC,

ZA?C=ZC=2x,

VZA+Z/ABC+ZC=180°,

.\5r=l8O°,

???x=36°,

：.ZABC=72°.

故答案為：72.

【變式4-2]（2021春?丹陽市期中）如圖，中，AO_LBC于點。，REtAC于點、E,AD與BE交于

點O,將△回（；沿MN折疊，使點。與點。重合，若N4OB=135°,貝叱1+/2=°.

【分析】根據折疊的性質得到尤.應角相等，推出N1+N2=2NMON,根據垂直的定義得到NOON=NOEM

=90",利用平角的定義得到/4。。+/。0汽+乙伏”+/股加=180°,即可求出結果.

【解答】解：由折疊性質可知，/OMN=/CMN,/ONM=NCNM,NMON=NMCN,

r.Zl=1800-2ZCMN,Z2=1800?2NCNM,

/.Zl+Z2=2(180°-NCMN-4CNM)=2NMCN=2NMON,

???408=135°，

；?NBOD=45°,

9/ADIBC,BELAC,

；?NODN=NOEM=9D°,

：?NDON=9()0-Z2,/EOM=900-Zl,

VZBOLHZDON+ZMON+ZEOM=\SO0,

即45°+90°-Z2+9O0-Zl+1(Z1+Z2)=180°,

1

(Z1+Z2)=45°，

2

.,.Zl+Z2=90°,

故答案為：90.

【變式4-3](2022春?鐵西區期末)有一張三角形紙片ABC,已知N4=30",/C=50°,點。在邊A8

上，請在邊AC上找一點￡將紙片沿直線QE折疊，點區落在點尸處，若E"與三角形紙片4AC的邊

AC平行，則N8E。的度數為.

【分析】分兩種情況：①當點/在AB的上方時，②當點〃在8C的下方時，根據折疊性質、平行線的

性質即可解決問題.

【解答】解：①當點尸在A8的上方時，如圖：

*：AC//EF,ZC=50°,

AZBEF=ZC=50°,

AZBED=ZFED=^ZBEF=1x50°=25°,

AZBDE=180°-Zfi-ZB￡D=180°-30°-25°=125"；

②當點*在3C的下方時，如圖:

*：AC//EF,ZC=50°,

AZCEF=ZC=50°,

AZ^GD=500+30°=80°,

???/8OG=180°-80°-30°=70°,

11

/.ZBDE=^BDG=x70°=35°；

乙乙

綜上所述，N8OE的度數為35°或125°.

故答案為：35°或125°.

【變式44】(2022?巴彥縣二模)在△/WC中，NA=1IO°,點。在△ABC內，將射線84沿直線8。翻

折，將射線CA沿直線CO翻折，兩射線交于點石，若N8EC=15()。，則/8QC的度數為.

【分析】當點￡在^44。外時，根據四邊形的內角和求出NA4￡+NACE,再由折疊性質求得N4BQ+N

ACD,由三角形內角和求得NA8C+NAC8,便可求得NC8ZAN8CO,最后由三角形內角和求得N8OC；

當點E在△A8C內時，根據三角形內角和求出結果便可.

【解答】解：當點E在AABC外時，如圖，

VZA=110°,NBEC=150°,

：.ZABE+ZACE=360°-110°-150°=100°,

由折疊性質知，ZABD=ZEBD=^ZABE,^ACD=ZECD=

???ZABD+ZACD=1x100°=50°,

VZABC+ZACB=\S00?/4=70°,

：.ZCBD+ZBCD=10°-50°=20°,

???N8QC=180°-20°=160°,

當點E在△ABC內時，如圖，

VZA=110°,N8￡C=150°,

???N48C+/ACB=180°-110°=70°,

/EBC+NECB=180°-150°=30°,

：,ZABE+^ACE==10°-30°=40°,

11

由折疊性質知，

NDBE=^乙NABE,ZDCE=^乙ZACE,

:,NDBE+NDCE=W(/ABE+NACE)=20°，

/DBC+NDCB=NDBE+NDCE+NEBC+NECB=5()°,

???NBQC=180°-(NDBC+/DCB)130°,

故答案為：160°或130°.

【題型5三角形內角和定理與新定義問題綜合】

【例5】（2021秋?山亭區期末）定義：當三角形中一個內角a是另一個內角的兩倍時，我們稱此三角形為

“倍角三角形”，其中a稱為“倍角”，如果一個“倍角三角形”的一個內角為99°,那么倍角a的度

數是.

【分析】根據三角形內角和定理以及分類討論的思想解決本題.

【解答】解：設這個“倍角”三角形的三個內角分別為a、0、丫，其中a=20,則可能出現以下幾種情

況：

①當a=99。時，則0=49.5°；

②當。=99°時，則a=198°,該種情況不存在；

③當丫=99°時，貝ija邛*丫=23邛+99°=180°,故0=27°,a=54°.

綜上：a=99°或54°.

故答案為：99?；?4°.

1

【變式5-1]（2022春?大豐區?；驴迹┊斎切沃幸粋€內角魚是另外一個內角G的鼻時，我們稱此三角形

為“友好三角形”，G為友好角.如果一個“友好三角形”中有一個內角為36°,那么這個“友好三角

形”的“友好角6”的度數為.

【分析】利用“友好三角形”的定義討論：當二角形的另一個內角為72°時，可確定“友好角/的度

數為72°；當三角形的另一個內角為18°時，可確定“友好角6”的度數為36°；當三角形的另兩個內

角為工，2x時，利用三角形內角和求出x=48°,所以2x=96°,從而得到“友好角G”的度數.

【解答】解：???一個“友好三角形”中有一個內角為36°,

，當三角形的另一個內角為72°時，這個“友好三角形”的“友好角d”的度數為72°；

當三角形的另一個內角為18°時，這個“友好三角形”的“友好角的度數為36°；

當三角形的另兩個內角為x,2x時，則x+2x+36°=180°,解得x=48°,2x=96°,這個“友好三角

形”的“友好角d”的度數為96°；

綜上所述，這個“友好三角形”的“友好角的度數為36°或72°或96°.

故答案為：36°或72°或96°.

【變式5-2]（2022春?安溪縣期末）新定義：在△AAC中，若存在最大內角是最小內角度數的〃倍（〃為

大于1的正整數），則稱△48C為“〃倍角三角形”.例如，在△48C中，若NA=90‘，N8=6（T,

則NC=30°,因為NA最大，NC最小，且NA=3NC,所以△A8C為“3倍角三角形”.

（1）在△￡>￡尸中，若NE=40°,ZF=60°,則/為“倍角三角形”.

（2）如圖，在△ABC中，/C=36°,ABAC.24BC的角平分線相交于點若△AB。為“6倍角三

角形”，請求出N48O的度數.

【分析】（1）根據三角形內角和定理求出/。，根據〃倍角三角形的定義判斷；

（2）根據角平分線的定義、三角形內角和定理求出N4O8,〃倍角三角形的定義分情況討論計算，得到

答案.

【解答】解：（1）在中，NE=40°,ZF=60°,

則NO=1800-ZE-ZF=80d,

AZD=2ZE,

???△DE尸為“2倍角三角形”，

故答案為：2；

(2)VZC=36°,

，NZMC+NA8C=1800?36。=144°,

VZBAC.N4BC的角平分線相交于點。，

11

???NDAB=^ZBAC,NDBA=掾NABC,

AZDAB+ZDBA=1X144°=72°,

???/4。8=180°-72°=108°,

???△A8O為“6倍角三角形”，

，ZADB=6ZABD或NAO"6NZM。，

當NAOB=6NA8。時，ZABD=\S°,

當NAO8=6NBAO時，ZBAD=\S°,則NA8O=180°?108°-18°=54°,

綜上所述，NAB。的度數為18°或54°.

【變式5-3](2021秋?福田區校級期末)我們定義：

【概念理解】在一個三角形中，如果一個角的度數是另一個角度數的4倍，那么這樣的三角形我們稱之

為“完美三角形”.如：三個內角分別為130°、40。、10。的三角形是“完美三角形”.

【簡單應用】如圖1,NMON=72。，在射線OM上找一點A,過點A作A8_L0M交ON于點8,以A

為端點作射線AD,交線段OB于點C(點。不與C.B重合點)

(1)NABO=°,AAOB(填“是”或“不是”)“完美三角形”；

(2)若NAC8=90°,求證：△AOC是“完美三角形”；

【應用拓展】

如圖2,點。在△48C的邊4B上，連接。C,作NAOC的平分線交AC于點E,在。C上取一點凡使

NEFC+NBDC=180°,NDEF=NB,若△BC。是“完美三角形”，求的度數.

【概念理解】在一個三角形中，如果一個角的度數是另一個角度數的4倍，那么這樣的三角形我們稱之

為“完美三角形”.如：三個內角分別為130°、40。、10。的三角形是“完美三角形”.

【簡單應用】如圖1,NMON=72°,在射線OM上找一點A,過點A作交ON于點3,以A

為端點作射線AD,交線段OB于點。(點。不與C、B重合點)

(1)NABO=18°,△AOB是(填“是”或“不是”)“完美三角形”；

(2)若NACB=90°,求證：△AOC是“完美三角形”；

【應用拓展】

如圖2,點。在△ABC的邊AB上，連接。C,作N4DC的平分線交4C于點石，在。C上取一點F,使

ZEFC+ZBDC=\^(r,NDEF=NB,若△8CQ是“完美三角形”，求的度數.

【分析】(1)根據垂直的定義、三角形內角和定理求出/ABO的度數，根據“完美三角彩”的概念判

新；

(2)根據“完美三角形”的概念證明即可；

應用拓展：根據比較的性質得到NEFC=NAOC,根據平行線的性質得到/。七/=/4?！?推出DE/IBC、

得至l]NCDE=NBCD,根據角平分線的定義得到N4QE=NCQf,求得N/?=NACQ.根據“完美三角形”

的定義求解即可.

【解答】解：(1)VAB.LOM,

???NQ4B=90°,

AZABO=90°-NMON=90'-72°=18°,

???NMON=4N48O,

???△AO6為“完美三角形”，

故答案為：18；是；

(2)證明：'：/MON=72",NAC8=90°,

ZACB=ZOAC+ZMON,

：.ZOAC=90°-72°=18°,

VZAOB=72°=4X18°=4/OAC,

???△AOC是“完美三角形”；

應用拓展：

VZEFC+ZBDC=180°,ZADC+ZBDC=180°,

AZEFC=ZADC,

：.AD//EF,

:?/DEF=ZADE,

?；NDEF=NB,

:./B=NADE,

:.DE〃BC,

：.ZCDE=ZBCD,

???OE平分/AOC,

???NADE=NCDE,

???NB=NBCZ),

■:叢BCD是“完美三角形”，

，/8OC=4NB,或/B=4NBQC,

???N8OC+NBC￡>+NB=180°,

：.ZB=30°或N5=80°.

【題型6運用三角形內角和定理探究角的數量關系】

【例6】（2021秋?青田縣期末）如圖，直線///線段8C,點A是直線/上一動點.在△A8C中，AO是4

4BC的高線，AE是NB4c的角平分線.

（1）如圖I,若N48C=65°,ZBAC=80°,求ND4E的度數；

（2）當點A在直線/上運動時，探究NBA。，ZDAE,N84E之間的數量關系，并畫出對應圖形進行說

明.

【分析】⑴根據角平分線的定義得NBAE=QB4C=40°.而NB4D=90°-NA8D=25°,利用

角的和差關系可得答案；

（2）根據高在形內和形外進行分類，再根據AC,A。為位置進行討論.

【解答】解：（1）???A￡是NB4C的角平分線，

/.ZBAE=|ZBAC=4O°.

???AQ是△ABC的高線，

.??NMJA=9U°,

???NR4O=90°-NAB力=25°,

/.ZDAE=ZBAE--250=15°；

(2)如圖1,ZBAD-^ZBAE=ZDAE；

圖1

如圖2,/BAD+NDAE=NBAE；

圖2

如圖3,ZBAE+ZDAE=ZBAD；

圖3

如圖4,ZI3AE+ZDAE=ZBAD.

圖4

【變式6-1］（2022春?順德區期中）如圖，在△A8C中，BO,C。是的內角平分線且80,CO相交

于點O.

（1）若NACB=80°,NABC=40°,求N8OC的度數；

（2）若NA=60°,求N30C的度數；

（3）請你直接寫出/A與N30C滿足的數量關系式，不需要說明理由.

【分析】（I）由角平分線的定義可得NC8O=40°,N8co=20°,由三角形的內角和定理即可求解；

（2）由三角形的內角和定理可得N44C+NAC8=120°,再由角平分線的定義得NC8O=2乙鉆。，Z

BCO=從而可求得NC8O+/3co=6（T,即可求N3OC的度數；

（3）仿照（2）的過程進行求解即可.

【解答】解：（1）TBO平分/ABC,CO平分NAC8,NAC8=80°,ZABC=40°,

11

：

.^CBO=^乙ZABC=20°乙,N8CO=W/ACB=40°,

???N8OC=180°-Z.CBO-ZBCO=\20a；

（2）:/A=60°,

，4BC+N4CB=180°-4=120°,

???/3O平分N48C,CO平分NAM

：.ZCBO=^ZABC,ZBCO=^ZACB,

：.ZCBO+ZBCO=|CZABC-ZACB）=60°,

/.ZBOC=180°-(/C8O+/8CO)=120°；

(3)由題意得：/45C+/ACB=18()°-NA,

?.W)平分N44C,C。平分NAC8,

???ZCBO=^ZABC,4BC0=jzACB,

乙乙

11

/.ZCBO+ZBCO=j(/A8C-NACB)=90°—*A,

乙乙

/?ZBOC=180°-(NCBO+ZBCO)=90°+*NA,

即N/3OC=90°+^ZA.

【變式6-2](2022春?海門市期末)已知：△A8C,點O,E分別在邊AC,人8上，連接8。，CE,BD與

CE交于點。，ZBOC-ZBAC=5r.

(1)如圖1,當BD,CE都是△A8C的角平分線時，求N80C的度數：

(2)如圖2,當BD,CE都是aABC的高時，求N8OC的度數；

(3)如圖3,當N48Q=2NACE時，探究/8E。與NCQ。的數量關系，并說明理由.

圖1圖2圖3

【分析】(1)根據角平分線的定義以及三角形內角和定理進行計算即可；

(2)根據高的定義，三角形內角和定理以及圖形中角之間的和差關系進行計算即可;

(3)利用三角形內角和定理.，四邊形的內角和以及角之間的和差關系進行計算即可.

【解答】解：(1),:BD,CE都是aABC的角平分線，

11

:.NDBC=NABD=NECB=ZACE=

:?/DBC+/ECB=g(N/WC+N4c4)

=1(180。-ZBAC)

=90°-建BAC,

???N8OC=180°-(/DBC+/ECB)

=18()°-(90°-1ZBAC)

=90°4-izBAC,

乙

又,；NBOONBAC=54°,即90。+^ZBAC-ZBAC=54°,

：.ZBAC=72°,

1

AZZ?OC=90°+5NZMC

=90°+36°

=126°；

(2)*：BD,CE都是△ABC的高，

???/AO8=NAEC=90°,

VZA+ZADB+ZDOE+ZAEC=360°,

AZA+90°+NQOE+90°=360°,

/.ZA=180°-NDOE,

?；/DOE=NBOC,

：,ZA=I8O°-ZBOC,

*：ZBOC-ZA=54°,

：.ZI3OC-(180°-ZBOC)=54°,

：.ABOC=\\T.

(3)ZODC-ZBEO=\S°,理由如下：

'：ZBEO=ZA+ZACE,

ZBOC=ZBEO+ZABD=N4+NACE+NAM,

NBOC-ZA=ZACE+ZABD.

,：Z.BOC-ZA=54°,

：.ZABD=2ZACEt

，54°=ZACE+2ZACE,

AZAC￡=18°,

AZABD=2X18°=36°,

???ZBOC=ZODC+ZDCO=ZBEO+ZABD,

；?/BEO\360=^ODC\18°,

Azone-^BEO=W.

【變式6-3]（2022春?輝縣市期末）小明在學習中遇到這樣一個問題：

如圖1,在△A8C中，ZOZB,AE平分NZMC,AO_L3C于。.

猜想N8、NC、NE4。的數量關系.

（1）小明閱讀題目后，沒有發現數量關系與解題思路，于是嘗試代入N8、/C的值求NE4。值，得到

下面幾組對應值：

NB/度1030302020

/C/度7070606080

NEW/度30a152030

上表中。=,于是得到N8、NC、NEA力的數量關系為.

（2）小明繼續探究，在線段HE上任取一點P,過點P作POJ_8c于點。，請嘗試寫出NB、NC、Z

EP。之間的數量關系，并說明理由.

（3）小明突發奇想，交換B、C兩個字母位置，如圖2,過功的延長線是一點/作/D_L8C交C8的

延長線于O,當NA8C=80°,ZC=24°時，NF度數為。.

圖1圖2圖3

【分析】（I）求出NBAE和/B/W的大小即可得到NE4。的值，再通過找規律的形式得出三者的關系,

（2）分別用和/C表示出NBA石和N84O,再由NE/W=NBAE和-B40即可得出答案，

（3）分析同（2）.

【解答】解：（1）?.?N8=3（『，ZC=70",

ARtAABD+,ZBAD=\S0°-ZB-ZBDA=\S0a?30°-90°=60°,

???AE平分/BAG

???N8AE=J/8AC=J(180°-ZB-ZC)=|(1800-30°-70°)=40°,

：.^EAD=ZBAD-ZBAE=6Qa-40°=20°,

故答案為：20；2/EAD=NC-NB.

（2）如圖，過點A作AAL8c于凡

VPDLBC,AFLBC,

PD//AF,

:?NEPD=NEAF,

一△ABC內角和為180°,

???N/MC=18（r-ZB-ZC,

???A￡平分ZZMC,

???NB4E=：NBAC=90。一乙，”,

同時NA4尸=90°-NB,

/r_/n

，可得出NEAb=NRA?-ZBAE=2=ZEPD,

綜上所述，NEPD=

（3）同理（2）,依舊可得NE尸。=%0=28°,

故答案為：28.

【知識點2直角三角形的判定】

直角三角形的判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形.

【題型7判斷直角三角形】

【例7】（2021春?歷下區期中）在下列條件：①NA+N3=NC,②/A：/B：ZC=5:3:2,③乙4=

90°-NB,④NA=2N4=3NC中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據直角三角形的判定對各個條件進行分析，即可得到答案.

【解答】解：①???NA+N8=NC,

/.2ZC=180°,

AZC=90°，

.二△A3c是直角三角形；

@VZA：ZB：ZC=5：3：2,

設NA=5x,則N8=3x,ZC=2x,

r.5x+2x+3x=180°,

解得：x=18°,

AZA=18°X5=90°,

???△ABC是直角三角形；

③???NA=90°-NB,

：.ZA+ZZ?=90°,

AZC=180°-90°=90°,

???△ABC是直角二角形；

?V3ZC=2Zfi=ZA,

.??NA+NB+NC=LA+2NA+NA=I8（）°,

1080

???NA=（----）°,

11

???△ABC為鈍角三角形.

???能確定△44。是直角三角形的有①②③共3個，

故選：C.

【變式7?1】（2022秋?旌陽區校級月考）在下列條件中（1）ZA+ZB=ZC；（2）NA：ZB：ZC=1：2：

3；（3）NA=NB=g/C；（4）/人二微/鳥二白/。中，能確定△ABC為直角三角形的條件有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】（1）根據三角形內角和定理列式計算，根據直角三角形的概念判定即可.

【解答】解：（1）VZA+ZB=ZC,NA+NB+NC=I8O°,

.?.2ZC=I8O°,

解得：ZC=90°,

???△43C是直角三角形；

（2）設NA=x,則NB=2x,ZC=3X,

由三角形內角和定理得：x+"+3x=180°,

解得：x=30°,

AZC=30°X3=90°,

???△ABC是直角三角形；

(3)VZA=ZB=1ZC,ZA+ZB+ZC=180°

11

.'.-ZC+4ZC+ZC=18O°，

22

解得：ZC=90°,

???△ABC是直角三角形；

(4)VZ/l=iz5=izC,

乙o

AZC=3ZA,N3=2NA,

AZA+ZB+ZC=3ZA+2ZA+ZA=180°,

解得：NA=30°,

.\ZC=3ZA=90°,

???△ABC為直角三角形.

所以能確定△ABC是直角三角形的有共4個，

故選：D.

【變式7-2]（2021秋?謝家集區期中）如圖，在△ABC中，N8=30°,ZC=62°,AE平分NMC.

（1）求NZME：

（2）若ADLBC于點D,ZADF=74°,證明：△AOr是直角三角形.

【分析】（1）在△ABC中，N8=30°,ZC=62°,根據三角形內角和定理，可求得N8AC的度數，

由AE平分NH4C,根據角平分線的定義，可求得N84E的度數；

（2）由AZXLBC,根據直角三角形的性質，可求得NBA。的度數，繼而求得ND4E的度數，則可求得

NA。b的度數.

【解答】（1）解：???/8=30“，ZC=62°,

???NBAC=1800-ZB-ZC=180°?30°-62°=88°,

???A￡平分NBAC,

AZBAE=1Z5AC=Ix88°=44°；

(2)證明：???AO_LBC；

：.ZBAD=90°-ZB=90°-30°=60°,

???NE4O=NBA。-NBAE=6D°-44°=16°,

VZA/9?=74°,

AZADF+ZEAD=740+16°=90°,

/.ZAFD=90°,

???△A)；是直角三角形.

【變式7-3](2022春?崇川區期末)定義：如果三角形的兩個內角a與0滿足a+20=lO(T,那么我們稱

這樣的三角形為“奇妙三角形”.

(1)如圖1,△ABC中，ZACB=80°,8。平分NA8C.

求證：△A3。為“奇妙三角形”

(2)若△4BC為“奇妙三角形"，且NC=80°.求證：/XABC是直角三角形；

(3)如圖2,△ABC中，8/)平分N/18C,若△八8。為“奇妙三角形"，且N4=4()°,直接寫出NC的

度數.

圖1圖2

【分析】(1)根據“奇妙三隹形”的定義，在△ABO中，乙4+2NABD=IOO°,即證明△48。為“奇

妙三角形”.

(2)由三角形的內角和知，A+N8=100°,由△4BC為“奇妙三角形”得出NC+2NB=100°或NC+2

N4=100°兩種情況，計算得/4=90°或NA=90°,從而證明是直角三角形.

(3)由三角形的內角和知，ZADB+ZABD=\4(),由為"奇妙三角形得出NA+2N/WO=100"

或2NA+NA80=100°兩種情況，求得NC=80°或100°.

【解答】(1)證明：???8。平分NA8C,

：.ZABC=2ZABD.

在△A8C中，???/AC8=80°

AZA+ZABC=1800-N4C3=180°-80°=100°,

即NA+2NA80=100°,

???△A8。為“奇妙三角形”.

(2)證明：在△ABC中，VZC=80°,???NA+N8=10(r,

為“奇妙三角形"，???NC+2NB=IOO°或NC+2/A=100°,

.*.ZB=10°或NA=10°，

當NA=10°時，NA=90°,/XABC是直角三角形.

當NA=10°時，N6=90°,△48C是直角三角形.

由此證得，AA8c是直角三角形.

(3)解：?.?8。平分乙48C,

：.ZABC=2ZABD,

:△ABD為“