專題L1二次根式章末重難點題型

【滬科版】

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三

【考點1二次根式的概念】

【方法點撥】掌握二次根式的定義：一般地，我們把形如y（a^O）的式子叫做二次根式，理解被開方數(shù)

是非負(fù)數(shù)，給出一個式子能準(zhǔn)確的判斷其是否為二次根式，并能根據(jù)二次根式的定義確定被開方數(shù)中的字

母取值范圍.

【例1】（2020春?安慶期末）下列式子一定是二次根式的是（）

A.V-%-2B.y[xC.Va2+1D.Vx2-2

【分析】根據(jù)二次根式的定義：一般地，我們把形如叮（，N0）的式子叫做二次根式可得答案.

【解答】解：根據(jù)二次根式的定義可得7^彳1中得被開方數(shù)無論X為何值都是非負(fù)數(shù)，

故選：C.

【點評】此題主要考查了二次根式的定義，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).

【變式1-1]（2020春?文登區(qū)期中）在式子，J|（x>0）,或,尸-2）,AP2^（A->0）,V3,VPTT,

x+y中，二次根式有（)

1

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】根據(jù)二次根式的定義作答.

【解答】解：（x>0）,V2,標(biāo)彳符合二次根式的定義.

Jy+1（y=-2）,V-2x（x>0）無意義，不是二次根式.

通屬于三次根式.

x+y不是根式.

故選：B.

【點評】本題考查了二次根式的定義.一般形如石Q20）的代數(shù)式叫做二次根式.當(dāng)。20時，逐表

示〃的算術(shù)平方根；當(dāng)〃小于0時，非二次根式（在一元二次方程中，若根號下為負(fù)數(shù)，則無實數(shù)根）.

【變式1-2］（2020春?青云譜區(qū)校級期中）在式子加—3.14,Va2+b2,7a+5,J-3y2,Vzn2+1,y/\ab\

中，是二次根式的有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

【分析】根據(jù)二次根式的定義形如的式子叫做二次根式，對被開方數(shù)的符號進行判斷即可得.

【解答】解：在所列式子中是二次根式的有“花一3.14,后E,Jj畫這4個，

故選:B.

【點評】本題主要考查二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是掌握形如正（。20）的式子叫做二次根式.

【變式1-3】（2019春?平輿縣期末）下列各式中①謳；②尺彷；③后；④L47n■:⑤五2+2%+1

YIX|*U?JL

一定是二次根式的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】二次根式的定義：一般地，我們把形如G（〃20）的式子叫做二次根式，據(jù)此逐一判斷即可得.

【解答】解：在①我；②，-（-匕）；③④⑤］在+2%+1一定是二次根式的是③④⑤,

故選：C.

【點評】本題考查了二次根式的定義.理解被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，給出一個式子能準(zhǔn)確的判斷其是否為二

次根式，并能根據(jù)二次根式的定義確定被開方數(shù)中的字母取值范圍.

【考點2二次根式有意義的條件（求取值范圍）】

【方法點撥】對于二次根式有意義的條件求取值范圍類題型，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)

以及分式分母不為零.

【例2】（2020春?文登區(qū)期末）若式子叵二在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則〃?的取值范圍是（）

m-2

2

A.加21B.mt且mW2C.且加工2D.

【分析】分別根據(jù)二次根式及分式有意義的條件列出關(guān)于機的不等式，求出m的取值范圍即可.

【解答】解：?.?震在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,

-1>0

-2HO'

解得加N1且m#2.

故選：C.

【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式具有非負(fù)性是解答此題的關(guān)鍵.

【變式】?合肥校級期中）要使疹看有意義,

2-1（2020=1+則x的取值范圍為（)

1111

A.-<x<3B.-<r<3C."<%<3D."<x<3

2222

【分析】直接利用二次根式有意義的條件分析得出答案.

【解答】解：要使k+看有意義,

則2x-120,3-x>0,

解得：1<x<3.

故選：C.

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握定義是解題關(guān)鍵.

【變式2-2】（2020?日照二模）若使式子衣二1N成立，則x的取值范圍是（）

A.1.54W2B.后1.5C.KW2D.KW1.5

【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)進而計算得出答案.

（2-x>0

【解答】解：由題意可得：x-l>0

2—x>x—1

解得：—.5.

故選：D.

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

【變式2-3］（2020秋?北辰區(qū)校級月考）等式』1|=需成立的條件是（）

A.啟1B.心3且啟-1C.a>\D.心3

【分析［觀察等式右邊，根據(jù)二次根式有意義和分式的分母不為0的條件列出不等式組，求出。的取值

范圍即可.

3

【點評】考瓷了二次根式有意義的條件，解決此題的關(guān)鍵：掌握二次根式的基本性質(zhì)：6芍意義，則。

20.

【變式3-2】(2019秋?新化縣期末)已知+y-3+Jx-2y-4=5/a+J-2020x<2020—a-b,

(1)求a+b的值;

(2)求7戶)2°2°的值.

【分析】(1)根據(jù)二次根式有意義即可求出答案.

(2)根據(jù)二次根式有意義的條件列出方程組求出K與)，的值即可求出答案.

【解答】解：⑴由題意可知:借W202晨卜

12020-a-b>0

解得：a+力=2020.

(2)由于2a+b-2020x,2020-a-。=0,

.(2x+y-3=0

,,(x-2y-4=0

???解得：［三］

???7K)2°2°=14+1=15.

【點評】本題考查分式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型.

【變式3-3］(2019秋?南江縣期末)已知+y-z-8+‘X+y-z=y/x+y-2019+J2019-％-y,

求(z-y)2的值.

【分析】首先根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)推知：原題中方程右邊為0.方程左邊也為0,據(jù)此求得

隊z的值；然后代入求值.

【解答】解：由題中方程等號右邊知：Jx+y-2019有意義,則x+y-201920,即T+)，N2019,

J2019-x-y有意義,則2()19-x-y，()，即x+yW2019,即設(shè)備

/.x+y=2OI9.

???"+y-2019=0,72019-%-y=0.

???原題中方程右邊為0.

J原題中方程左邊也為0,即J3x+y-z-8+y/x+y-z=0.

yj3x+y-z-8>0,yjx+y-z>0.

3x+y-z-8=0,x+y-z=0.

又x+y=2019,

5

3x+y—z—8=0

x+y-z=0,

x+y=2019

x=4

:.y=2015.

z=2019

:.（z-y）2=（2019-2015）2=42=16.

【點評】考查了二次根式的意義和性質(zhì).概念：式子氣（^0）叫二次根式.性質(zhì)：二次根式中的被開

方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義.同時考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，幾個非負(fù)數(shù)的和為0,這兒個非

負(fù)數(shù)都為0.

【考點4二次根式的性質(zhì)與化簡（根據(jù)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)）】

【方法點撥】對于解決此類型的題目關(guān)鍵根據(jù)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)確定相關(guān)字母的符號，利用二次根式的性

質(zhì)即可化簡.

【例4】（2020春?沐陽縣期木）已知aX0且"y。，化簡二次根式的正確結(jié)果是（）

A.a4abB.-ay[abC.a'—abD.-a\[—ab

【分析】首先根據(jù)二次根式有意義的條件確定"的符號，然后根據(jù)〃來確定。、〃各自的符號，再去

根式化簡.

【解答】解：由題意：-J/）》。，即時W0,

*：a<b,

：.a<0<b,

所以原式=|a|V—Q/J=—ay/—ab,

故選：D.

【點評】本題主要考查了二次根式的化簡，解決此題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定出。的符號，以確保

二次根式的雙重非負(fù)性.

【變式4-1]（2020春?徐州期末）與根式的值相等的是（）

A.—y/xB.-JC\J-XC.—yf-XD.yj-x

【分析】將原式進行化簡后即可確定正確的選項.

【解答】解：?；R有意義，

???x〈0,

-xj—:>0,

6

???-xR=-A-=4

故選：D.

【點評】考查J'二次根式的性質(zhì)與化簡和二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是了解原式有意義是x的

取值范圍，難度不大.

【變式4-2］（2020春?東湖區(qū)校級月考）化簡■。電的結(jié)果是（）

A.y/aB.-y/aC.—\F^aD.V^a

【分析】首先根據(jù)二次根式有意義的條件判斷a的取值范圍，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡即可.

1

【解答】解：???一20,

?.67>0,

-?<0?

???-ajl=-VH,

故選：B.

【點評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，能夠正確化簡二次根式是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3］（2020春?柯橋區(qū)期中）把代數(shù)式（4-1人工中的。-1移到根號內(nèi)，那么這個代數(shù)式等于（）

\L-a

A.-V1-aB.Va-1C.D.-Va-1

【分析】根據(jù)二次根式的概念和性質(zhì)化簡即可\

［解答］解：（a-1）J（JQ）=-（1-a）=-V1-a.

故選：A.

【點評】正確理解二次根式的性質(zhì)與化簡及概念是解決問題的關(guān)鍵.

【考點5二次根式的性質(zhì)與化簡（根據(jù)字母取值范圍或數(shù)軸）】

【例5】（2020春?河北期末）若KW4,則|1一洲一J（x—44化簡的結(jié)果為（）

A.2.V-5B.3C.3-2xD.-3

【分析】根據(jù)絕對值及二次根式的非負(fù)性化簡即可求解.

【解答】解：???1WXW4,

，原式=|1-M-僅-4|

=x-1-（4-x）

=x-\-4+x

7

=2x-5,

故選：A.

【點評】本題主要考查絕對值及二次根式的非負(fù)性，根據(jù)絕對值及二次根式的非負(fù)性化簡是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1](2020?攀枝花)實數(shù)〃、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡，(a+I)?+J(b_l)2_J(a_b)2的

結(jié)果是()

—,__L2_^_?_

>3-2-10123

A.-2B.0C.-2aD.2b

【分析】根據(jù)實數(shù)。和〃在數(shù)軸上的位置，確定出其取值范圍，再利用二次根式和絕對值的性質(zhì)求出答

案即可.

【解答】解?：由數(shù)軸可知?2VaV?1,1V6V2,

Afl+KO,/>-1>0,a-b<0.

???J(a+1)2+V(b-l)2-V(a-b)2

=\a+\\+\b-\\-\a-b\

=-(a+1)+(Z?-1)+(a-b)

=-a-1+b-\+a-b

=-2

故選：A.

【點評】本題主要考杳了實數(shù)與數(shù)軸之間的對應(yīng)關(guān)系，以及二次根式的性質(zhì)，學(xué)會根據(jù)表示數(shù)的點在數(shù)

軸上的位置判斷含數(shù)式子的符號，掌握絕對值的化簡及二次根式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

【變式5-2](2020春?潮南區(qū)期末)若a、b、c為三角形的三條邊，則J(a+b-c.+看-a-c|=()

A.2b-2cB.2aC.2(a+b-c)D.2a-2c

【分析】先利用二次根式的性質(zhì)得到原式=|。+0-c|+l"+c-b\.然后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系和絕對值的意

義去絕對值后合并同類項.

【解答】解：???〃、力、c為三角形的三條邊，

/.a+b>cfa+c>b,

原式=|a+〃-c\+\a+c-b\

=a+h-c+a+c-b

=2a.

故選;B.

8

【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡：靈活應(yīng)用二次根式的性質(zhì)進行化簡計算.也考查了三角形

三邊之間的關(guān)系.

【變式5-3］（202。春?祁江區(qū)校級期末）已知實數(shù)小b,c在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡必+|a

-c\+yj(b-c)2-\b\.

[III>

ca0b

【分析】根據(jù)二次根式的運算法則即可求出答案.

【解答】解：由數(shù)軸可知：cVaVOVb,

??a-c>0,b-c>0,

???原式=HI+|〃-d+|〃-d-四

=?a+(a?c)+(b?c)-b

=-2c.

【點評】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型.

【考點6最簡二次根式的概念】

【方法點撥】最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整款或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不

含有可化為平方數(shù)或平方式的因教或因式.

【例6】（2020春?廣州期中）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）

A.V8B.J2L2yC.呼D.j3/+y2

【分析】判斷一個二次根式是否為最簡二次根式主要方法是根據(jù)最簡二次根式的定義進行，或直觀地觀

察被開方數(shù)的每?個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2,且被開方數(shù)中不含有分母，被開方數(shù)是多

項式時要先因式分解后再觀察.

【解答】解：A乖=2五,可化簡;

B.,2x?y=\x\y/2y,可化簡；

乙腭=零可化簡；

D，3》2+y2不能化簡,符合最簡二次根式的條件，是最簡二次根式;

故選：。.

【點評】本題主要考查了最簡二次根式.在判斷最簡二次根式的過程中要注意：（1）在二次根式的被開

方數(shù)中，只要含有分?jǐn)?shù)或小數(shù)：就不是最簡二次根式；（2）在二次根式的被開方數(shù)中的每一個因式（或

因數(shù)），如果塞的指數(shù)大于或等于2,也不是最簡二次根式.

9

【變式6-1］（2020春?包河區(qū)期末）在根式再、辰丁、斤亍、/劉中，最簡二次根式有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.我們把滿足上述兩個條件的二

次根式，叫做最簡二次根式.

【解答】解：根式6^、>/12>~2~yJx_y、Jx2y中,最簡二次根式有/不、Jx_y,共3個,

故選：C.

【點評】本題主要考查了最簡二次根式，最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因

式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式.

【變式6.2】（2019秋?新化縣期末）若二次根式巧是最簡二次根式，則最小的正整數(shù)。為，

【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同

時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是.

【解答】解：若二次根式隗E是最簡二次根式，則最小的正整數(shù)。為2,

故答案為：2.

【點評】本題考查最簡二次根式的定義.根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：

被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

【變式6-3］（2019春?望花區(qū)校級月考）若歷行和，32m-n+l都是最簡二次根式,則〃葉尸-6.

【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義，可知，〃+3=1,2利-〃+1=1,解方程組求得利和〃的值，則〃H?〃的

值可得.

【解答】解：由題意可得：｛黑2；+li=i

解得：｛m=~I

In=-4

/.m+n=-6

故答案為：-6.

【點評】本題考查了最簡二次根式的定義、解二元一次方程組和簡單的整式加法運算，屬于基礎(chǔ)知識的

考查，難度不大.

【考點7同類二次根式的概念】

【方法點撥】同類二次根式的概念：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個

二次根式叫同類二次根式，同類二次根式可以合并.

10

【例7】（2019春?濰城區(qū)期中）下列二次根式：y,V18,-7125,乃而，其中不能與反合并的有

（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡各二次根式，找到不是同類二次根式即可得.

【解答】解：???g=2V5,V18=3A/2,/=竽，-V125=-5V5,V048=^,

二不能與合并的是g、-這2個，

故選：叢

【點評】本題主要考查同類二次根式，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)和同類二次根式的概念.

【變式7-1】（2020春?西城區(qū)校級期中）若最簡二次根式77轉(zhuǎn)與最簡二次根式底是同類二次根式，則x

的值為（）

A.%—0B.x=1C.A,—2D.x—3

【分析】根據(jù)同類二次根式的定義得出方程，求出方程的解即可.

【解答】解：?.?最簡二次根式瘍仔與最簡二次根式后是同類二次根式，

*'?A+3=2X>

解得：x=3,

故選：D.

【點評】本題考查了同類二次根式和最簡二次根式，能根據(jù)同類二次根式的定義得出.什3=2'?是解此題

的關(guān)鍵，注意：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫同類二

次根式.

【變式7-2]（2020春?賽罕區(qū)期末）若最簡二次根式，3m+n,2,4m—2可以合并,則m-n的值為.

【分析】由題意可知，43m+n與244m-2同類二次根式,即被開方數(shù)相同，由此可列方程求解.

【解答】解：根據(jù)題意3m+〃=4加?2,

即-〃?+〃=-2,

所以m-n=2.

故答案為：2.

【點評】本題考查同類二次根式的概念：化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的根式稱為同類二次根式；

同類二次根式可■以合并.

【變式7-3]（2019春?隨州期中）若最簡二次根式"一芍2、+y-5和Jx-3y+11是同類二次根式.

11

（1）求x,y的值；

（2）求，/+產(chǎn)的值.

【分析】（1）根據(jù)同類二次根式的定義：①被開方數(shù)相同；②均為二次根式；列方程解組求解；

（2）根據(jù)x,），的值和算術(shù)平方根的定義即可求解.

【解答】解：（1）根據(jù)題意知康二嗔2.丫-11，

（4人Iyxj人y?JL

解得弋黑；

（2）當(dāng)x=4、），=3時，

yjx2+y2=V42+32=V25=5.

【點評】此題主要考查了同類二次根式和算術(shù)平方根的定義，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握被開

方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式.

【考點8二次根式的加減運算】

【方法點撥】二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行

合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變解答.

【例8】（2019春?江夏區(qū)校級月考）計算：

（I）3V3-V8+V2-V27

（2）加伍-4/區(qū)+7a缶

【分析】（1）根據(jù)二次根式的加減計算即可：

（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)和加減計算解答即可.

【解答】解：（1）原式=3百一2企+&-38=一魚,

（2）原式=7ay/7a—a>[2a+7a>[2a=7a\[Ta+6aV2a.

【點評】此題考查二次根式的加減，關(guān)鍵是根據(jù)二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，

再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變解答.

【變式8-1]（2019春?研口區(qū)期中）計算：

（I）2g-6J|+3V48

（2）5J1+I

【分析】（1）根據(jù)二次根式的運算法則即可求出答案.

（2）根據(jù)二次根式的運算法則即可求出答案.

12

【解答】解：（1）原式=46-26+12百

=14技

（2）原式=反+反-2反

=0

【點評】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型.

【變式8-2]（2019春?江寧區(qū)校級月考）計算：

（1）273+3x412-748

（2）-V4x-（15隆-2舊）（x>0）

【分析】（I）先將二次根式化簡，再將被開方數(shù)相同的二次根式合并即可；

（2）先將二次根式化簡，再利用去括號法則去括號，再將被開方數(shù)相同的二次根式合并即可.

【解答】解：⑴原式=275+675-48

=4\/3：

（2）原式（15x—2A）

=3y/x-3y/x+2x

=2x.

【點評】本題主要考查二次根式的加減，解決此類問題的關(guān)鍵是要先將二次根式化簡，此外還要注意,

n有被開方數(shù)相同的二次根式才能合并，當(dāng)被開方數(shù)不相同時是不能合并的.

【變式8-3]（2019春?海陵區(qū)校級月考）計算

（1）V27-V45-V20+V75

（2）2瓶一3v^5+5函-2b后（aNO,d>0）

【分析】（1）直接利用二次根式的性質(zhì)分別化簡計算得出答案；

（2）直接利用二次根式的性質(zhì)分別化簡計算得出答案.

【解答】解：（I）原式=3迎-3遍一26+5怖

=8V3-5>/5：

（2）原式=2口—3。傷+10〃

=\2yja-5ayfb.

【點評】此題主要考查了二次艱式的加減運算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.

13

【考點9二次根式的乘除運算】

【方法點撥】掌握二次根式的乘除法法則是解決此類題的關(guān)鍵，①兩個二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘,

根指數(shù)不變：②兩個二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.

[ft9]（2019秋?閔行區(qū)校級月考）計算：后+/后）乂（4相）.

【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則進行計算即可.

【解答】解：屜+亳屜”（4居

=（134）聘丹4

=1072.

【點評】本題主要考查了二次根式的乘法法則，掌握二次根式的乘法法則是解決問題的關(guān)鍵.

【點評】本題主要考查了二次根式的乘除法法則，掌握二次根式的乘除法法則是解決問題的關(guān)鍵.

2xI2x/7/3%2

【變式9-2]（2019春?徐匯區(qū)校級期中）化簡:-J—.(4xV^)^(4xyj—)

【分析】根據(jù)二次根式的運算法則即可求出答案.

【解答】解：原式=^+

二8&3萬

V3y24V3x3y

14

【點評】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的運算，本題屬于基礎(chǔ)題型.

【變式9-3]（2019秋?嘉定區(qū)期中）計算：T電（?>0）

【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡進而得出答案.

【解答】解：^\[ab*（—^\/a3b'）+g電（a>0）

=-T9（rb-T-i的

b37a

=?9/4

【點評】此題主要考查了二次根式的乘除運算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.

【考點10二次根式的混合運算】

【方法點撥】二次根式的混合運算可以說是二次根式乘、除法、加、減法的綜合應(yīng)用，在進行二次根式的

混合運算時應(yīng)注意以下幾點：

①觀察式子的結(jié)構(gòu)，選擇合理的運算順序，二次根式的混合運算與實數(shù)運算順序一樣，先乘方，后乘除，

最后加減，有括號先算括號內(nèi)的；

②在運算過程中，每個根式可以看作是一個“單項式”，多個不同類的二次根式的和可以看作是“多項式”；

【例10]（2020春?宜春期末）（1）計算：V3xV12+V6^V2-V27；

（2）化簡：.181+,

【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘除法則運算；

（2）先進行二次根式的除法法則運算，然后把二次根式化為最簡二次根式后合并即可.

【解答】解：（I）原式=71又直+小短一3g

=6+V3-3V3

=6-2技

（2）原式=3后+后+x

=3V2x+\[2x+>/2x

=5>f2x.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式即

15

可.在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，

往往能事半功倍.

【變式10-1]（2020春?永城市期末）（I）計算：\^2x^+V24-V6.

（2）計算：（7§+避）2-（遙+式）（而一企）.

【分析】（1）利用二次根式的乘除法則運算；

（2）利用完全平方公式和平力差公式計算.

【解答】（1）解：原式=*xV12X3+J24+6

3.

=尹29

7

=2;

（2）解：原式=5+2反+3-（5-2）

=8+2代一3

=5+2715.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式即

可.在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，

往往能事半功倍.

【變式10-2]（2020春?吳忠期末）計算：

（1）（2V3-1）2+（V3+2）（V3-2）；

（2）V484-2V3-V27X+4

【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式計算；

（2）先利用二次根式的乘除法則運算，然后化簡后合并即可.

【解答】解：（1）原式=12-475+1+3-4

=12-4V3；

（2）JMit=I<484-3-IV27X6+2y/2

LJ

=2-3^2+2V2

=2-V2.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除

運算，再合并即可.在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題月特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰

16

當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.

【變式10-3](2020春?涪城區(qū)期末)計算：

(1)(V3-2)(V3+2)-(代-1#+5；

(2)(2J^-VlOx^y/15)+苧.

【分析】(1)先利用平方差公式和完全平方公式計算，再去括號，最后計算加減可得；

(2)先化簡二次根式，再計算括號內(nèi)二次根式的減法，最后將除法轉(zhuǎn)化為乘法、約分即可得.

【解答】解：(1)原式=(3-4)-(3-2V3+1)+5

=-1-3+2V3-1+5

=2百；

(2)原式=(-V6x—5V6x)

3J

13v16x3

=一寸?怎

=-13.

【點評】本題主要考查二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運算順序和運算法則.

【考點11二次根式的化簡求值】

【例11](2020春?涪城區(qū)校級月考)若x,y是實數(shù)，且y=V4x-1+V1-4x+之，求[4xy)

53

-(Vx^4-^/25xy)的值.

【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件求出x的值，求出y的值，再把根式化成最簡二次根式，合并后

代入求出即可.

【解答】解：:"，y是實數(shù)，且產(chǎn)\/4%-1+V1-4%+：,

???4x-120且1-4x20,

解得：工=本

2_______

:.(-.rV9x4-yj^xy}-(V^+J25xy)的值.

3

=x\[x-3yfxy

17

w療

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式的化簡求值的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出肛的值,

題目比較好，難度適中.

【變式11?1】（2019春?洛南縣期末）已知工=居后，丫=西%，求下列各式的值：

（1）x2-xy+y2；

【分析】（1）先將X、），的值分母有理化，再計算出x+），、肛的值，繼而代入7Cr+y）2?3刈

計算可得；

⑵將中、個的值代建+.片也=經(jīng)止乂計算可得.

xyxyxy

F【解答】1解：（.Ix）???x=而1二局''=虧丁+丹,）=兩1百二店丁—V’3,

；?x+尸正，xy=2?

則x2-xy+y^=（x+y）2-3xy

=54

。2

7

~2'

VX

(2)-+-

xy

_/+y2

xy

_(x±yf-2xy

xy

5-1

2

【點評】本題主要考查二次根式和分式的計算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式與分式的混合運算順序和運

算法則.

【變式11-2】（2019春?臺安縣期中）已知6+V5）,x=2（6一V5）,求7-3沖+/的值.

乙乙

18

【分析】先由X、y的值計算出X-)，、盯的值，再代入原式=(x-y)2-肛計算可得.

【解答】解：,?"另(向+0)，)=*(6—V5),

?*.x-y=々(V5+V3)-*(V5-V3)=苧+乎-苧+亨二志,

xy=(V5+V3)xi(V5—V3)=X(5-3)=,x2=

則原式=(x-y)2-xy1

=(V3)2-1

5

2,

【點評】本題主要考杳二次根式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的運算法則與完全平方公式、

平方差公式.

【變式11-3】(2019秋?寶山區(qū)校級月考)已知尸，、,，產(chǎn)sJr「求/-盯+/的值.

>/2a+b-\i2a-bQ2a+b+72a-b

【分析】根據(jù)分母有理化化簡x與),然后求出口)，與歲的表達(dá)式即可求出答案.

【解答】解:，?"=g+bL2aHkJ2a+b：j2a-b，

?v'2a+b+/2a-bJ2a+b-J2a-b

??X-29y=2，

.*.x+y=yj2a+b,xy=亍

，原式=/+2xy+)2-3xy

=(x+y)2-3盯

【點評】本題考查二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型.

【考點12分母有理化】

【方法點撥】二次分母有理化就是通過分子和分母同時乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的過

程，混合運算中進行二次根式的除法運算，一般都是通過分母有理化而進行的.

【例12](2020?唐山二模)閱讀下列材料，然后回答問題.

在進行一次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如后，后而:一樣的式子,其實我們還可以將其

19

、妊止人的55x65V3

進一步化簡：-=-^=—

(2_>2x3_x/6

\J3=\I3X3=T

2________2x(6-1)_2(6-1)-\Ti-\

6+1~(V3+1)(V3-1)-(V3)2-l2—V-

以上這種化簡的步驟叫做分母有理化.

3

(I)化簡不，

2

(2)化簡

111

化簡：-^―+——-+——-+…+---------------

x^3+lV5+V3y/7+\/SV2n+1+V2n-1-

【分析】(1)分子分母分別乘冉即可;

(2)分子分母分別乘遍-V5即可;

(3)分母有理化后，合并同類二次根式即可；

【解答]解：⑴卷==y

(2)化簡七=,廠2(f%)依一百

V5+V3(A/5+V3)(A/5-X/^)

，…1111

(3)化簡：~~p+尸+-7=『+…+/:/

V3+1V5+V3V7+V5V2n+1+V2n-1

=1(V3-I+A/5-V3+V7-\/5+-+V2n+1-V2n-1)

=1(V2n+1-1)

【點評】本題考查二次根式的比簡、分母有理化等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分母有理化的方法，屬

于中考常考題型.

【變式12-1](2020春?淮安區(qū)校級期末)閱讀下面計算過程:

4.(空)3f

/2+1(V2+1)(V2-1)

1_________1X(6-偽_/T_/T

V3+V2-(V3+V2)(V3-A/2)-V5"VZ；

11X(G2)R

N/5+2(V5+2)(V5-2)V

求：(1)1廣的值.

V7+V6

(2)“廣(〃為正整數(shù))的值?

Vn+l+Vn

20

（3）~p+~p+-p~p+…+/，的值.

魚+1V3+\<2\f4+V3^4i00+^/99

1——

【分析】（1）根據(jù)給定算式，在分式的分母和分子上分別相乘（夕-e），計算后即可得出結(jié)論；

V7+V6

（2）根據(jù)給定算式，在分式「二產(chǎn)的分母和分子上分別相乘（而不！一瓜）,計算后即可得出結(jié)論：

yJn+1+y/n

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論即可得出4■二+〈■石+下=+…+*3=（V2-1）+-（V3-V2）

V2+1V3+V2\/4+V3V100+V99

+（2-V3）+…+（10-V99），由此即可算出結(jié)論.

I解答】解：。）鼻=常塔*云=中一正；

V7+V6（V7+V6）（V7-V6）

1lx（Vn+l-Vn）/-----r-

（2）=（標(biāo):+聽）（而:_y）=Vn+1-Vn：

1111i—

（3）-p—+-p~-p+-p~-p+…+---~==（V2-1）+（>J3—V2）+（2—V3）+,,,+（10—V99）

A/2+1V3+V2V4+V3x^00+V99

=10-1=9.

【點評】本題考查了分母有理叱，根據(jù)給定算式找出利用平方差公式尋找有理化因式是解題的關(guān)鍵.

x/5-l22VT3-32

【變式12-2]（2020春?孟村縣期末）觀察下列格式，---一后_]，--——丫叵_￡，—-——\房_3'

V20-42

2V20—4

(I)化簡以上各式，并計算出結(jié)果;

(2)以上格式的結(jié)果存在一定的規(guī)律，請按規(guī)律寫出第5個式子及結(jié)果

(3)用含〃的整數(shù)）的式子寫出第〃個式子及結(jié)果，并給出證明的過程.

【分析】（1）分別把每個式子的第二項進行分母有理化，觀察結(jié)果;

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果寫出第5個式子及結(jié)果;

Vn2+*4-n2

（3）根據(jù)（I）的規(guī)律可得，然后分母有理化,求出結(jié)果即可.

2Vn2+4-n

V5-12512(V5+1)\[S-1Vs+i

【解答】解：（1）-----=—1,

2-V5-1-2-(V5-1)(V5+1)-22

78-22^8-2V8+2

2-V8-2-2.2

\/13-32房―3713+3

2V13-3—22

同一42V20-4同+4

-4

2V20-422

V29-52

(2)--------=—=—5，

2<29-5

2Vn2+4-nVn2+4+n

2V^n2+4-n22

21

【點評】本題主要考杳分母有理化的知識點，解答本題的關(guān)鍵是找出上述各式的變化規(guī)律，此題難度一

般.

【變式12?3】（2019春?微山縣期中）【閱讀材料】

材料一：把分母中的根號化去，使分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過程，叫做分母有理化

通常把分子、分母乘以同一個不等于。的式子，以達(dá)到化去分母中根號的目的

例如；化簡

V3+V2

鏟」_________1丁（巡_囪_/-r-

解：E+0一（遮+遮）（通一近）-77

材料二：化簡Ja土2\歷的方法:如果能找到兩個實數(shù)加，〃，使〃并且mn=Vb,那么Ja±2a=

Jm2+n2±2mn=J（m±八1=機土〃

例如：化簡J3±2或

解：J3±2&=J（應(yīng)產(chǎn)+/±=J（e土1）2=在士]

【理解應(yīng)用】

（I）填空：化簡等。的結(jié)果等于_______：

V5-V3

（2）計算：

①77-2函；

+V3+V2+24-V3**V2018+V2^+^019+V20l^'

【分析1（1）根據(jù)分母有理化法則計算：

（2）①根據(jù)完全平方公式、二次根式的性質(zhì)化簡；

②先把原式分母有理化，再合并同類二次根式即可.

【解答】解：（1）原式二維嚕警模二丐巫=4+同，

（J5+乃）（若一、③2

故答案為：4+VT5；

（2）?V7-2710=J（V5）2+（V2）2-2V10=J（V5-V2）2=VI-V2；

②原式=V2-1+V3-V2+4-V3+???+V2019-V2018=V2019-1.

【點評】本題考查的是分母有理化、二次根式的化簡，掌握分母有理化法則、二次根式的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

【考點13復(fù)合二次根式的化簡】

22

【例13](2020春?安慶期末)閱讀理解題，下面我們觀察:

(V2-I)2=(V2)2-2XlxV2+l2=2-2V2+1=3-2V2.

反之3-2交=2-2&+1=(此-1)2,所以3-2交=(V2-1)2,

所以03-26=V2-I.

完成下列各題：

(I)在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：3+20

(2)化簡：V4+2V3；

(3)化簡：yjs—2\/6.

【分析】(1)利用二次根式的性質(zhì)結(jié)合完全平方公示直接化筒得出即可;

(2)利用二次根式的性質(zhì)結(jié)合完全平方公示直接化簡得出即可