第7章采樣

一、用信號樣本表示連續時間信號：采樣定理

I.沖激串采樣

(D沖激串采樣的定義

沖激串采樣是指用一個周期沖激串P(t)去乘待采樣的連續時間信號x(t)o

該周期沖激串P⑴稱為采樣函數，周期T稱為采樣周期，而p⑴的基波頻率(0=2冗”稱為采樣頻率。

(2)采樣過程(圖7-1)

在時域中有

xp(t)=x(/)p(/)

其中

p(t)■8(rnT)

n?-0

即

xr(t)■Zx(nT)S(t-nT)

由相乘性質

x/M二同x(j端汽仙-初)曲

有

,27r

i

因為信號與一個單位沖激函數的卷積就是該信號的移位，于是有

X/加)=J￡X(J?-&3$))

即Xp(js)是頻率CD的周期函數，它由一組移位的X(jco)的疊加組成，但在幅度上標以1"的變化。

圖7-1沖激串采樣

(3)采樣定理

設x⑴是某一個帶限信號，在時，X(jco)=O。如果G>2COM，其中(Os=2WT,那么x(t)唯一地由其

樣本x(nT),n=0,±1,±2,,,所確定。

己知這些樣本值，重建x⑴的辦法：產生一個周期沖激串，其沖激幅度就是這些依次而來的樣本值；然后將

該沖激串通過一個增益為T,截止頻率大于COM而小于3.一刃M的理想低通濾波器，該濾波器的輸出就是x(t)。

頻率23M稱為奈奎斯特率。

2.零階保持采樣

(1)零階保持的含義(圖7?2)

在一個給定的瞬時對x⑴采樣并保持這一樣本值，直到下一個樣本被采到為止。

零階保特

圖7-2利用零階保持采樣

⑵零階保持采樣的過程

零階保持的輸出xo⑴在原理上可以用沖激串采樣，再緊跟著一個線性時不變系統(該系統具有矩形的單位沖

激響應)來得到。

①用一個單位沖激響應為hr⑴，頻率響應為Hr(js)的線性時不變系統來處理X0⑴。

②給出一個Hr(j<0),以使r(t)=x(t)o

f2sin(w772)

Wo(jw)=|wr/2

3

這就要求

eM%(㈣

Hr(jw)=

2sin?772)

若H的截止頻率等于Ss/2,則緊跟在一個零階保持系統后面的重建流波器的理想模和相位特性如圖7-4

所示。零階保持輸出本身就被認為是一種對原始信號的充分近似，用不著附加任何低通濾波。

圖7-3作為沖激串采樣，再緊跟一個具有矩形單位

沖激響應的線性時不變系統的零階保持

圖7-4為零階保持采樣重建信號的重建濾波器的模和相位特性

二、利用內插由樣本重建信號

內插是指用一連續信號對一組樣本值的擬合。

1.零階保持

2.線性內插(一階保持)

(1)線性內插是將相鄰的樣本點用直線直接連起來。

(2)利用理想低通濾波器的單位沖激響應的內插(即帶限內插):

①輸出Xo(t)為從。=。?“帕)時

xX/)=Zx(nT)h(t-nT)

上式體現了在樣本點x(nT)之間如何擬合成一條連續曲線，因此代表了一種內插公式。

②對于理想低通濾波器H(j(o),h⑴為

g)="00

所以有

小7sin(cujf-nD)-

為⑴=X*(訂)-----------=7

公?5”一訂)

按照上式在妣=3./2時的重建過程如圖7-5所示。

圖7-5利用sine函數的理想帶限內插

(a)帶限信號x(t)；

(b)x⑴的樣本沖激串：

(C)用Xr的sine函數的疊加取代沖激串的理想帶限內插。

3.高階保持

三、欠采樣的效果：混疊現象

混疊是指采樣后信號的頻譜發生重疊導致失真的現象。即當G<2COM時,x(l)的頻譜X(j(o)不在Xo(jco)中重復,

因此利用低通濾波不能把x(l)從采樣信號中恢復出來，這時單項發生重疊，被重建的信號X。)不等于X(t)o

四、連續時間信號的離散時間處理

L對連續時間信號的處理方法(圖7-6)

圖7石連續時間信號的離散時間處理

(1)連續時間信號Xc⑴可以完全用一串瞬時樣本值Xc(nT)來表示：

xd[n]=xc(nT)

⑵把從連續時間到離散時間的變換表示成一個周期采樣的過程，再緊跟著一個把沖激串映射為一個序列

的環節。

C涮授

!Jtxjo沖

序列的轉換

Xfil)

T?Tt|r=2r，

血而「「

or2rikorl2Tt

血血皿

-I-3-2-I0I234n77--f221If0nI2<34/?-

圖7-7用一個周期沖激串采樣，再跟著一個到離散時間序列的轉換。

(a；整個系統：

(b；兩種采樣率的xp(t),虛線包絡代表xc(t)；

(C：兩種不同采樣率的輸出序列。

①笫一步代表一個采樣過程，沖激串Xp⑴是一個沖激序列，各沖激的幅度與Xc⑴的樣本值相對應，血在時間

間隔上等于采樣周期T.

②在從沖激串到離散時間序列的轉換中，得到Xd[n]；這是以&⑴的樣本值為序列值的同一序列，但是其單

位間隔采用新的自變量n?

實際上從樣本的沖激串到樣本的離散時間序列的轉換可認為是一個時間的歸一化過程。

③離散時間到連續時間的轉換，即恢復過程。

連續時間的頻率變量用s表示，將離散時間的頻率變量用。表示。

2Xc(j(o)、Xp@o)和Xd(想)的關系

右⑴和火⑴的連續時間傅里葉變換分別用xQo)和Y@o)表示；而xdn]和yd向的離散時間傅里葉變換分別用

即匕(產/示。

(1)用Xc(l)的樣本值來表示Xp⑴的連續時間傅里葉變換XpGco)

xr(t)=VX<(nT)d(t-nT)

ft=-8

又b(t-nT)的傅里葉變換是eTs%所以

?B

=3%(")ea"

現在考慮xdn]的離散時間傅里葉變換，即

均仁正)=V山㈤廣川”

因為xd[n]=xc(nT)

刈9卬)=￡z5T)e-m“

從而可得Xd3而和Xp(j(D)的關系

Xj9。)=X「(JC/T)

又因為

X尸(Js)=7工X,(j(o>-23、))

因此得到

3￡xt(j(n-27tAyr)

(1)XcO)、Xp(j(o)和Xd(即)三者之間的關系

①Xd(e'n)是Xp(j(o)的重復，唯頻率坐標有一個尺度變換。

②Xd[n]和Xr⑴之間的頻譜關系，是通過先把r⑴的頻譜43)按

1-

Xp(j3)=亍工X(j(3-43、))

k=-8

進行周期重復，然后再跟著一個按

X*W)=Xr(jQ/T)

的線性頻率尺度變換聯系起來的。

40助人(js)

A木

00)0①

，/O)2j①)

T=T2=2T}

A/^AA

2n02兀(o

-T2T2

%叫心(叫

1

?泳A/4A

-2K02n。-2n02nC

圖7-8在兩種不同采樣率下,XcO)、XpO)和Xd3。)之間的關系

3.利用離散時間濾波器過濾連續時間信號的系統

圖7-9利用離散時間濾波器過濾連續時間信號的系統

修例..油砌

△△△/X/X

<>>r0j>OQ

Ff”-Jy怏/M

(b)(O

圖7-10圖7-9所示系統的頻域說明。

（a）連續時間信號的頻譜Xc（jco）;

⑹沖激串采樣以后的譜；

心離散時間序列xdn］的譜；

（d）Hd鏟）和Xd（e%相乘后得到的Yd3。）；

（e）Hp（j（o）和Xp（j（o）相乘后得到的YP（j（o）；

（f）Hcfjco）和Xc（j（o）相乘后得到的YcO（o）。

（0圖7-10左邊是某一代表性的頻譜Xc（js）、XpO）和X。?。），其中假定（OM<COS/2,所以沒有混疊發生。

相應于時間濾波器輸出的譜yd?。）是Xd?c）和Hd（叫相乘，如圖7-10（d）所示。

⑵變換到Yc（j3）就相應丁進行頻率尺度的變換，然后進行低通濾波，所得到的頻譜分別如圖7-10（c）和

圖7-10（f）所示。

（3）因為Yd?。）是兩個互為重疊的頻譜積，如圖7-10（d）所示，所以對兩者都應施加頻率尺度的變換和

濾波。

（4）將圖7-10（a）和（f）講行比較，可得匕（js）=在輸入是充分帶限的，并滿足采

樣定理的條件下，圖7-10的整個系統事實上就等效于一個相應為Hc（j（o）的連續時間系統，而Hc（j（o）與離散時間頻

率響應Hd?a）的關系為

Ht（JW）10,同>肛/2

等效的連續時間濾波器的頻率響應是該離散時間濾波器在一個周期內的特性，只是頻率軸有線性尺度變化。

4.數字微分器

（1）連續時間微分濾波器的頻率響應

H,（W）=而

（2）截止頻率為3c的帶限微分器的頻率響應

卅（訕）=［儼131V5

\u)\>3,

in

（3）g=2他時相應的離散時間的頻率響應Hd（e）

"d(eJC)=j作)lnlv71

因此只要xc(t)的采樣中沒有混疊產生，義⑴一定是a⑴的導數。

圖7-11連續時間理想帶限微分器的頻率響應Hc(jeo)=j(o,|co|<(oc

圖7-12用于實現一個連續時間帶限微分器的離散時間濾波器的頻率響應

5.半采樣間隔延時

(1)在輸入Xc(l)是帶限的，且采樣率足夠高以避免混疊的條件下，整個系統的輸入、輸出是用下列關系聯

系起來的：

“⑴=xc(t-A)

其中△代表延時時間。

⑵根據時移性質，頻率響應為

匕(M=

⑶截止頻率為3c的帶限微分器的頻率響應(圖7-13(a))。要被實現的等效連續時間系統必須是帶限的，

因此選取

小訕川廠

IU,其他

(0c是該連續時間濾波器的截止頻率。即He(j(0)對于帶限內的信號就相應于％(，)=%"-A)的一個時間移位，而

對于比。兌高的頻率則全部濾除。

<4)若取采樣頻率(0s=2(0,則相應的離散時間頻率響應(圖7-13(b))為：

4叫

此。，叫陽網修

o嗅3

(a)連續時間延時系統頻率響應的模和相位特性；

(b)相應的離散時間延時系統頻率響應的模和相位特性。

⑸半采樣間隔延時

當，j(eg)=eC,|C|Vk，即輸入的延時,若A/T是一個整數，序列ydn]是々[n]的延時,即

yuM=勺卜-市]

五、離散時間信號采樣

1.止沖串采樣

(1)采樣過程

由采樣過程形成的新序列Xp[n]在采樣周期N的整倍數點上就等于原來的序列x[n],而在采樣點之間都是零,

.,x[n],若〃為N的整倍數

Xr[n]=I0,其他

M???',,,[7/)

p[n]=[可〃

(2)X(e")?Xp(e)和X/e沖)的關系

xr[n)==Ex\kN]8\n-kN]

k——8

在領域內有

/(e巧=~[Pd)X(-3Y))d8

2KJ2K

采樣序列p[n]的傅里葉變換是

2-.8

P(e,w)=—Z$(妙-ks、)

k一-8

式中采樣頻率g,=2VN。于是有

IN-l

xw=j與*83)

A*(e^)

A____A____Z\

-2真一帆]0叫/2nc)

(a)

A/A)

-<o?/0叫/便2nn

(c)他-她J

.Ve>)

I

______________________________11I

0?、2n<t>

(d)

圖7-14一個離散時間信號經脈沖串采樣后的頻域效果

(a；原始信號的頻譜；

(b；采樣序列的頻譜；

(c：在3,>2&盟時已采樣信號的頻譜；

(d)在3.<23”時己采樣信號的頻譜，這時發生了混疊。

(3)信號的恢復(圖7-15)

在5>23”沒有頻譜重疊的情況下，］(6川)如實地在s=0和2n的整數倍附近再現，這樣xjn：就能利

用增益為N,截止頻率大于3m而小于3,-0“的低通濾波器從弓［〃］中恢復出來。(該低通濾波器的截止頻率

為。)八

0)/2

-2x0

2

X(e>)

圖7-15利用理想低通濾波器從樣本中完全恢復一個離散時間信號。

(a；一個帶限信號采樣并從樣本中恢復的方框圖；

(b：信號式/i]的頻譜；

(c；的頻譜；

(d)截止頻率為e/2的理想低通濾波器的頻率響應；

(el重建信號欠」的頻譜。

(4)該低通漉波器的單位脈沖響應

,r,N(t),sin(u4n

h[n]二—一一

n(o<n

重建的序列即[n]是

x[n]=x[n]?h[n]

或者等效地寫成rp

x[n]=>x[kN]-----------------T-rr-

r一n5(〃-kN)

上式代表一種理想的帶限內插，從而要求實現一個理想低通濾波器。

在一般應用中，往往使用一個適當近似的低通濾波器，這時等效的內插公式為舟㈤=2x[kN]hr[n-kN],

k--*

其中兒[J是內插濾波器的單位脈沖響應。

2.離散時間抽取與內插

(1)離散時間抽取

①采樣序列&[〃]:用已采樣序列與5]中的每隔N點上的序列值構成的，即

Xbln]=XpSM

或因為覆山和N的整數倍上都是相等的，可等效為

Xhln]=加N]

②兒(小)和X(』)的關系

小(*)=2叫上憶解

或利用xjn]=xP[nN],有

?B

片@")=2XrUMe球

令n=kN或者k="N,且因為當n不為N的整數倍時，xp[n]=0,所以

*心收)=￡孫[冰-5"

于是%>[〃]的傅里葉變換為

>即,向=Xp(eWN)

ft?-X

所以二者的關系為

Xh(ew)=x,(cWN)

已采樣序列與［/I］和抽取序列式』"］的頻譜差別只體現在頻率尺度上或歸一化上。如果原來的頻譜

X(e")被適當地帶限，以至于在X°(eA)中不存在混疊，抽取的效果是將原來序列的頻譜擴展到一個較寬的頻

帶部分。

③%"I和抽取序列xb［n］之間的關系；

a如果這個原始序列式［幾］經由連續時間信號采樣而得到，那么抽取過程就可以看成在連續時間信號上將

采樣率減小為原來的1/N的結果。

b為了避免在抽取過程中產生混疊，原序列的X(eW)就不能占滿整個頻帶。即，如果序列能夠被

抽取而又不引入混疊，那么原來的連續時間信號是被過采樣了的，從而原采樣率可以減小而不會發生混疊。因此，抽取

的過程往往就稱為減采樣。

(2)內插(或增采樣)

內插(或增采樣)是把一個序列轉換到一個較高的等效采樣率上的過程，基本上是抽取或減采樣的逆過程。

由Xb［n］可形成序列xp［磯這只需要在Xb［n］的每一個序列值之間插入(N—1)個幅度為零的序列值即可。然后可

以利用低通濾波從xp向中得到這個已被內插了的序列x［n］0

第8章通信系統

幾個基本概念：

(E調制：將某一個載有信息的信號嵌入另一個信號中的過程。

(2：解調：將載有信息的信號提取出來的過程。

(3)復用：將若干個彼此獨立的信號，合并為一個可在同一信道上同時傳輸的復合信號的方法。

(4；幅度調制：正弦幅度調制和正弦頻率調制。

(5)正弦幅度調制：一個復指數信號或正弦信號c⑴的振幅被載有信息的信號x(t)相乘。信號x(t)稱為調制

信號，而信號c(。稱為載波信號，已調信號y⑴是這兩個信號的乘積，即y(t)=x(/)c(r)。

一、復指數與正弦幅度調制

1.正弦幅度調制的兩種常用的形式

(1)載波信號c⑴為如下復指數：

c(t)=

(2)載波信號是正弦的

c(t)=cos(?M+仇)

頻率3c都稱為載波頻率。

2.復指數載波的幅度調制

選a=0,已調信號y(t)是。

(W信號的傅里葉變換

x(t)、y⑴和c⑴的傅里葉變換分別為X(j(o).Y(jco)和C(jco)。

y(j?o=x(js)c(j(3-物de

C(jw)=2x5(3-s)

y(W)=X(ja)-M)

已調輸出y(t)的頻譜是輸入的譜，只是在頻率軸上位移了一個等于載波頻率co。的量。

(2*解調

將x(t)從已調信號y⑴中恢復出來，只要將y⑴乘以復指數e-池/，即

x(r)=必允…

在領域，這等于把已調信號的頻譜在頻率軸上往回挪到調制信號原先所在的頻譜位置。

3.正弦載波的幅度調制

取但=0,載波是正弦波。

(1)信號的傅里葉變換

①載波信號的頻譜

C(jco)=n\d(co—(oc)+3(CD+COC)]

②己調信號的頻譜

丫。3)=-jg,)+X(ito+MH

(2)解調

只要3“<3,就能從y⑴中恢復出x(l);否則，這兩個重復的頻譜將會有重疊。

二、正弦幅度調制的解調

I.司步解調

同步解調是指解調器載波在相位上與調制器載波是同相的解調過程。

(1)解調器載波在相位上與調制器載波是同相

假設3,>①w，已調信號為

y(t)=x(r)cosa)l/

原始信號可通過用y(t)來調制同樣一個正弦載波并用一個低通濾波器把它恢復出來，即

w(t)=y(f)cos5r

于是

2

頌i)=x(r)cosa>tr=：小)+尹Q)COS24cM

3(t)由兩項之和組成：一項是原始信號的一半，另一項則是用原始信號的一半去調制一個2低的正弦載波。因此

應該應用低通濾波器就相應于保留第一項，消除掉第二項。

(2)調制器和解調器在相位上不同步

在復指數載波的情況下，用供代表調制用載波的相位，用6,代表解調用載波的相位，即

y(t)=

w(t)=e-川/版)yQ)=eMF%")

如果。力6，那么3⑴將有一個復振幅因子。

①對于X⑴為正值的特殊情況，x(t)=U-(/)l,因而X(l)可以通過取已解調信號的絕對值而恢復出來。

②對正弦載波而言低通濾波器的輸入S⑴是

w(r)=M)8sMr+?<)cos(wj+6,)

=；cos⑹-+&+<AJ

a.若調制器和解調器中的振蕩器是同相位的，即仇二那低通濾波器的輸出是x(t)。

b.若這些振蕩器有#2的相位差，則輸出是零。

為了獲得最大的輸出信號，振蕩器應該同相，且全部時間內保持不變，以使振幅因子cos(仇-#,)不變。

2.非同步解調

非同步解調避免了在調制器和解調器間需要同步的困難。

(1)包絡檢波器

包絡檢波器是指通過提取連接y(t)中峰值的一條平滑曲線(包絡線)而將載波信號x⑴恢復出來的系統。

(2)非同步解調的要求

①載波頻率妣比調制信號的最高頻率COM高得多，這個要求總是滿足的。

②x[t)總是正的，要把一個適當的常數值加到x(t)±,或者在調制器中進行一些簡單的變化，就能保證這一

點。這樣，包絡檢波器的輸出就近似為x(i)+A。

A的取值：

令K是x⑴的最大幅度值，即風t)|WK。欲要x⑴+A總是正的，就要求A2K。

(3)調制系數m

調制指數m是指K/A之比。

①若調制信號的最大幅度K固定不變，則隨著A的減小，存在于己調信號輸出中載波分量的相對值就會減

小。因為輸出中的載波分量不含有任何信息，所以希望K/A之比，即調制指數m盡可能大。

②跟蹤包絡線以提取x⑴的能力，則是短著調制指數m的下降而改善的。

因此在調制器輸出中，系統在功率利用上的效率和解調信號的質量之間存在折衷考慮。

3.司步解調和非同步解調的比較

⑴非同步解調系統，其調制微的輸出有一個額外的分量4cos3,，在頻域中表現為在3c和-0)f處的

沖激；這個分量在同步解調系統中是不存在的，也是不必要的。

圖8-1同步與非同步正弦幅度調制系統頻譜的比較。

（a；調制信號的譜；

⑹在同步系統中代表已調信號COS3」的譜；

（C：在非同步系統中代表已調信號?[4（，）+4]COS3」的譜。

（2）同步系統要求有一個更高檔的解調器，因為解調器中的振蕩器必須與調制器中的振蕩器在相位和頻率

上保持同步。

⑶非同步調制器則比同步調制器要求有更大的輸出功率，因為若要包絡檢波器能正常工作，則包絡線必

須是正的，即在被發射的信號中必須有載波分量存在。

三、頻分多路復用

I.須分多路復用的概念

如果有頻譜互相重疊的單個聲音信號，利用正弦幅度調制把它們的頻譜在頻率上進行搬移，使這些已調信號

的頻譜不再重疊，就能夠在同一個寬帶信道上同時傳輸這些信號。

2.利用正弦載波的頻分多路復用原理[圖8-2）

（1）每一個欲傳輸的信號假設都是帶限的，并用不同的載波頻率進行調制；

（2）把這些已調信號組合在同一個通信信道上同時傳輸；

（3）每一個子信道和更合多路信號的頻譜如圖8-3所示；

（4）通過這一復用過程，每一輸入信號都安排在這個領帶內