專題24.5點和圓、直線和圓的位置關系【九大題型】

【人教版】

?題型梳理

【題型1判斷點和圓的位置關系】.................................................................1

【題型2根據點和圓的位置關系求半徑】..........................................................4

【題型3判斷直線和圓的位置關系】..............................................................7

【題型4根據直線和圓的位置關系求半徑的取值范圍】............................................10

【題型5根據直線和圓的位置關系求圓心到直線的距離】...........................................14

【題型6根據直線與圓的位置關系確定交點個數】.................................................17

【題型7求圓平移到與直線相切時圓心經過的距離】...............................................22

【題型8求直線平移到與圓相切時運動的距離】...................................................26

【題型9利用直線與圓的位置關系求最值】.......................................................31

，舉一反三

【知識點1點和圓的位置關系】

1.點與圓的位置關系有：點在圓外，點在圓上，點在圓內三種。

2.川數量關系表示：若設的半徑就是r,點P到圓的距離OP二d,則有：

點P在圓外，則d>r；點p在圓上則d=r；點p在圓內則dVr,反之也成立。

【題型1判斷點和圓的位置關系】

【例1】(2023春?四川自貢?九年級統考期末)在平面直角坐標xOy中，。。的半徑為5,以下各點在0。內

的是()

A.(-2,3)B.(3,-4)C.(-4,-5)D.(5,6)

【答案】A

【分析】先根據勾股定理求出各點到。的距離，再與。。的半徑5相比較即可.

【詳解】解：A、點(一2,3)到。的距離為e2+32=舊<危=5,則點(一2,3)在。。內，本選項符合題意;

B、點(3,-4)到。的距離為“42+32=5,則點(3,-4)在。0上，本選項不符合題意；

C、點(一4,一5)到。的距離為，42+52=同>儂=5,則點(-4,一5)在O。外，本選項不符合題意；

D、點(5,6)到。的距離為a2+52=夜>后=5,則點(5,6)在。。外，木選項不符合題意；

故選：A.

【點睛】本題考查的是點與圓的位置關系，熟知點與圓的三種位置關系是解答此題的關鍵.

【變式1-1】（2023春?吉林通化?九年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，4（0,4）、8（2,4）、。（4,2）.

（I）經過4、B、。三點的圓弧所在圓的圓心M的坐標為；

（2）這個圓的半徑為；

（3）點。（3,-1）與0M的位置關系為點。在OM（填內、外、上）.

【答案】（1,1）同內

【分析】（1）作線段AB,BC的垂直平分線交于點M,點M即為所求；

（2）根據點M的位置寫出坐標即可，利川勾股定理求出半徑：

（3）根據點與圓的位置關系判斷即可.

【詳解】解：（1）如圖，

???點M是線段48,8C的垂直平分線的交點，

/.MA=MB=MC,

???點M是經過A、B、C三點的圓弧所在圓的圓心，

???點M（L1）即為所求.

故答案為：（1，1）.

（2）VM（1,1）,點4在OM上,

JAM=Vl?+32=710.

故答案為：\4Io.

（3）VD（3,-1）,M（l,1）,

:.MD=V（3-l）2+（-l-l）2=2V2,

V2A/2<A/T0,

：.MD<MA,

工點。（3,—1）在0時的內部.

故答案為：內.

【點睛】本題考查作圖一復雜作圖，坐標與圖形的性質，垂徑定理，點與圓的位置關系，勾股定理，三角形

的外接圓與外心等知識，解題的關鍵是掌握線段的垂直平分線的性質.

【變式1-2]（2023春?山東濱州?九年級統考期末）已知。。的半徑是8,點P到圓心。的距離d為方程/一■一

5=0的一個根，則點P在（）

A.O0的內部D.。。的外部

C.。0上或。。的內部D.0。上或0。的外部

【答案】A

【分析】解一元二次方程根據點與圓的關系直接判定即可得到答案.

【詳解】解：解方程可得，

X1=5,%2=—1，

???點P到圓心。的距離d為方程-4x-5=0的一個根，

.*.d=5<8,

???點P在。。的內部，

故選A.

【點睛】本題考查解一元二次方程及點與圓的關系，解題的關鍵是正確解方程及掌握點到圓心距離與圓半徑

關系判斷點與圓的關系.

【變式1-3]（2023春?浙江寧波?九年級統考期末）如圖，△48。中，AB=AC=10cm,=12cm,/ID1BC

于點。，點P為A。上的點，DP=2,以點P為圓心6cm為半徑畫圓，下列說法錯誤的是（）

A

BDC

最小距離為2cm,則。。的半徑為cm.

【答案】5或3

【分析】分點戶在圓內或圓外進行討論.

【詳解】解：①當點P在圓內時，。。的直徑長為8+2=10(cm),半徑為5cm：

②當點P在圓外時,。。的直徑長為8-2=6(cm),半徑為3cm；

綜上所述：。。的半徑長為5cm或3cm.

故答案為：5或3.

【點睛】本題考杳了點與圓的位置關系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到

圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系.

【變式2-1](2023春?浙江寧波?九年級校考期中)已知。0的半徑為4cm,點P在。。上，則OP的長為()

A.2cmB.4cmC.5cmD.8cm

【答案】B

【分析】根據點在圓上，點到圓心的距離等于圓的半徑求解即可.

【詳解】解：?.?0。的半徑為4cm,點P在0。上，

：.0P=4cm.

故選:B.

【點睛】本題考查了點與圓的位置關系：設。。的半徑為r,點P到圓心的距離OP=d,則有：點P在圓外

時，d>r；點P在圓上時，d=r；點P在圓內時，d<r.

【變式2-2](2023春?浙江嘉興?九年級校考開學考試)已知。。的圓心與坐標原點重合，半徑為廣,若點力(2,0)

在0。內，點P(2,2)在。。外，則r的取值范圍是.

【答案】2<r<2V2

【分析】由題意知，。力=2,OP=](2—0尸+(2-0)2=2四,由點4(2,0)在。。內，點P(2,2)在。。外，

可得2<rV2V2.

【詳解】解：由題意知，。力=2,OP=7(2-0)2+(2-0)2=2V2,

???點4(2,0)在。。內，點P(2,2)在。0外，

A2<r<2V2,

故答案為：2<r<2V2.

【點睛】本題考查了點與圓的位置關系，勾股定理.解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

【變式2-3](2023春?九年級單元測試)如圖，矩形/8C0中AB=3,力。=4.作OE1AC于點￡作

于點F.

(1)求AF、4E的長；

(2)若以點4為圓心作圓，B、C、D、E、尸五點中至少有1個點在圓內，且至少有2個點在圓外，求04的

半徑「的取值范圍.

【答案】(1乂?=￡，AE=^

(2)2.4<r<4

【分析】⑴根據勾股定理求出〃'=BZ)=V^*至=5,根據等積法求出力根據勾股定理

求由4E=/z—管)2=梟

(2)根據人尸<AB<AE<AD<AC,結合點與圓的位置關系進行判斷即可.

【詳解】Q)解：..?矩形48co中48=3,4。=4,

：.AC=BD=V32+42=5,

*：^AF-BD=^AB-AD,

..3X412

??AFr=——=——，

55

同理可得：DE

在Rt△ADE中，AE=J42-(y)2=蔡：

(2)解：\'AF<AB<AE<AD<AC,

???若以點A為圓心作圓，B、C、D、E、/五點中至少有1個點在圓內，且至少有2個點在圓處，即點尸在

圓內，點。、C在圓外，

???04的半徑，的取值范圍為2.4<r<4.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質，點與圓的位置關系，勾股定理，三角形面積的計算，解題的關鍵是熟

練掌握點與圓的位置關系.

【知識點2直線和圓的位置關系】

1.直線與圓的位置關系有：相交、相切、相離三種。

2.直線與圓的位置關系可以用數量關系表示：

若設。O的半徑就是r,直線1與圓心。的距離為d,則有：

直線1與00相交則d<r：直線1與。0相切則d=r；直線1與。O相離則d>r,反之也成立。

【題型3判斷直線和圓的位置關系】

【例3】(2023春?九年級課時練習)已知在矩形4BCD中，AB=3,BC=4,以點力為圓心，r為半徑作

(1)當半徑7■為何值時，04與直線BC相切；

(2)當半徑r為何值時，。4與直線BD相切：

(3)當半徑r的取值范圍為何值時，OA與直線9c相交且與直線CD相離.

【答案】(1)當半徑r為3時，OA與直線BC相切

(2)當半徑r為2.4時，OA與直線BD相切

(3)當半徑r的取值范圍為3<r<4時，O4與直線BC相交且與直線CC相離

【分析】(I)根據圓心到直線的距離等了半徑時，圓與直線相切，結合矩形的性質進行求解即可;

(2)連接80,過點4作4EJ.8。，等積法求出4E的長，即為所求；

(3)根據圓心到直線的距離和圓的半徑之間的關系，進行求解即可.

【詳解】(1)解：???四邊形/18C。為矩形，

/.z5=zD=90°,

：,AB1BC,AD1DC,

?.?圓心/到8C邊的距離為48=3,04與直線BC相切，

.*.r=AB=3,

則當半徑r為3時，04與直線8c相切；

(2)連接80,過A作4EJ.B0,交BD于點、E,

???在中，AB=3,AD=4,

；?BD=\/AB2+AD2=5,

XVSA4BD=^BDAE=IAB-AD,

工圓心力到80邊的距離4E=Y=2.4,

又0力與直線80相切，

：.r=AE=2.4,則當半徑r為2.4時，OA與直線BD相切；

(3)???。4與直線BC相交，圓心4到BC邊的距離為HB=3,

r>3,

又0A與直線CD相離，圓心4到CD的距離為4。=4,

：.r<4,

則當半徑r的取值范圍為3<r<4時，O4與直線BC相交且與直線CD相離.

【點睛】本題考杳直線與圓之間的位置關系.熟練掌握圓心到直線的距離等于半徑時，直線與圓相切，小于

半徑時，直線與圓相交，大于半徑時，直線與圓相離,是解題的關鍵.

【變式3-1](2023春?九年級課時練習)已知。。的半徑是一元二次方程3一7%+12=0的一個根，圓心0

到直線，的距離d=3,則直線I與。。的位置關系是.

【答案】相交或相切

【分析】利用因式分解法求得一元二次方程的兩個根，再根據直線與圓的位置關系求解即可.

【詳解】解：由/一7x+12=0可得(％—3)(無一4)=0

解得無1=3,&=4

即00的半徑是3或4

當O。的半徑是3時，3=3,即r=d,直線與圓相切，

當。。的半徑是4時，4>3,即r>d,直線與圓相交，

故答案為：相交或相切

【點睛】此題考查了一元二次方程的求解以及直線與圓的位置關系，解題的關鍵是掌握一元二次方程的求解

以及直線與圓的位置關系.

【變式3-2]（2023春?全國?九年級專題練習）已知。。的直徑為12,點。到直線/上一點的距離為2同,

則直線/與。。的位置關系（）

A.相交B.相切C.相離D.不確定

【答案】D

【分析】根據圓心到直線的距離與圓半徑之間的大小關系，判斷直線與圓的位置關系即可.

【詳解】解：???。。的直徑為12,

???0。的半徑為6,

???點。到直線/上一點的距離為2同，無法確定點。到直線/的距離，

，不能確定直線/與。0的位置關系，

故選D.

【點睛】本題考杳直線與圓的位置關系.熟練掌握圓心到直線的距離與圓半徑之問的大小關系，判斷史線與

圓的位置關系，是解題的關鍵.

【變式3-3X2023春?九年級課時練習）如圖所示,正方形ABCD的邊長為2,AC和BD相交于點0,過0作EF||AB,

交BC于E,交AD「F,則以點B為圓心，我為半徑的圓與直線AC,EF的位置關系分別是什么？

【答案】見解析

【分析】求點B到力C的距離，即BO,可知與OB的半徑相等，故圓與直線AC相切；點B到E尸的距離

小于08的半徑，故圓與直線EF相交.

【詳解】由題中已知條件，得B0J.AC,BO=[BD='BC?+CD2=&,

即點B到力。的距離為或，與08的半徑相等，

???直線4C與08相切.

*：EF\\AB,LABC=90°,

：.BE1EF,垂足為E,且BE==gx2=1<四,

???直線E尸與08相交.

【點睛】本題考查正方形的性質，直線與圓的位置關系判定，根據點到直線的距離與半徑的大小關系判定直

線與圓的位置關系是解題的關鍵.

【題型4根據直線和圓的位置關系求半徑的取值范圍】

【例4】(2023春?九年級課前預習)在平面直角坐標系中，以點4(4,3)為圓心、以R為半徑作惻A與x軸相

交，且原點O在圓A的外部，那么半徑R的取值范圍是()

A.0</?<5B.3</?<4C.3<R<5D.4</?<5

【答案】C

【分析】分別根據原點。在圓A的外部，圓人與x軸相交，可得半徑R的取值范圍.

【詳解】解："(4,3),

/.0A=V324-42=5,

??,原點。在圓A的外部,

.'.R<OA,即R<5,

???圓A與％軸相交，

:?R>3,

/.3</?<5?

故選C.

【點睛】本題考杳了坐標與圖形性質，勾股定理，直線、點與圓的位置關系等知識點，能熟記直線、點與圓

的位置關系是解此題的關鍵.

【變式4」】(2023春.全國.九年級專題練習)對于OP及一?個矩形給出如下定義：如果OP上存在到此矩形

四個頂點距離都相等的點，那么稱0P是該矩形的“等距國如圖，在平面直角坐標系％0y中，矩形A8CD的

頂點力的坐標為(4,6),頂點C、。在％軸上，且0C=0>若矩形A8CC的“等距圓”0P始終在矩形內部(含

邊界)，則OP的半徑，?的取值范圍是

A

BA

CO。i

【答案】0<r<7-2V6

【分析】先確定最大圓的位置，再根據勾股定理列方程求解即可.

【詳解】解：???矩形力BCD的頂點A的坐標為(4,6),頂點C、。在X軸上，且OC=OD.

???它的中心E點坐標為(0,3),如圖,

一5-4-3-20。_1啰34561

經過點E且在矩形內部（含邊界）的最大圓為過點E且和4D,CD相切的圓P,

設切點分別為G,H,如圖，

連接尸G,PH,PE,過點尸作P尸_Ly軸于點F,設OP的半徑為r,

則PG=PH=P￡=r,PF=4-r,EF=3-r,

在Rt

-PE2=EF2+PF2,

八二（3一丁）2+（4一廠）2,

解得■=7-2瓜r2=7+2V6,

由題意，r<3,而7+2通>3,

???丁2=7+2通應舍去，

故答案為：0VrW7-2遍.

【點睛】本題考查矩形的性質，直線與圓的位置關系，勾股定理，一元二次方程的解法，解題的關鍵是確定

出最大圓的位置，利用勾股定理解答.

【變式4-2］（2023春?上海徐匯?九年級統考期中）如圖，在梯形48CQ中，AD//BC,NB=90。,AD=2,

AB=4,BC=6,點。是邊8c上一點，以。為圓心，0c為半徑的。O,與邊A。只有一個公共點，則0C

C.4Voe若14D.4<0C<y

【答案】B

【分析】作DE_LBC于E,當。。與邊A。相切時，圓心。與E重合，即OC=4；當0A=0C時，。。與

A。交于點4，設OA=OC=x,貝！O/?=6-x,在A8O中，由勾股定理得出方程，解方程得出0。=日；

即可得出結論.

【詳解】作DE_LBC于E,如圖所示：

則DE=48=4,BE=AD=2,

；?CE=4=DE,

當。。與邊相切時，切點為"，圓心。與七.里合，即OC'=4；

當。A=OC時，。。與交于點4,

設OA=OC=x,則04=6-%,

在RSA00中，由勾股定理得：42+（6-x）2=f,

解得：x=f;

???以。為圓心，0C為半徑的。O,與動AQ只有一個公共點，則OC的取信范闈是4☆號：

【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系、直角梯形的性質、勾股定理等知識；熟練掌握直角梯形的性質

，分情況討論是解題的關鍵.

【變式4-3］（2023?全國?九年級專題練習）如圖，在矩形A8CZ）中，對角線AC與8。相交于點。，AB=5,BC=

12.分別以點。、D為圓心畫圓，如果。。與直線力Z）相交、與直線CD相離，且0D與。。內切，那么。。的

半徑長r的取值范圍是（）

A.|<r<4B.|<r<6C.9<r.D.9<r<13

【答案】C

【分析】過點。作OE力。，勾股定理求得8D=13,進而根據平行線分線段成比例得出OE=：姐。戶="D,

根據題意，畫出相應的圖形，即可求解..

【詳解】解：如圖所示，當圓。與力D相切時，過點。作0E14D,

???矩形A8CD中，對角線4c與BC相交于點0,AB=5,BC=12.

：,AD1CD,CD=AB=5,AD=BC=12,BD=>/AB2+AD2=13,

：.0HWC

：.0E=^AB=1，

22

當圓。與CO相切時，過點。作。/J_CD于點F,如圖所示,

則0/=6

則r若+6若

，0。與直線/1O相交、與直線CD相離，且OD與。。內切時，9<r<y,

故選:C.

【點睛】本題考查了矩形的性質，勾股定理，平行線分線段成比例，直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關

系，根據題意畫出圖形是解題的關鍵.

【題型5根據直線和圓的位置關系求圓心到直線的距離】

【例5】(2023?河北唐山?統考一模)如圖，。。的半徑是5,點A在。。上.夕是。。所在平面內一點，且

4P=2,過點。作直線/,使LL出.

(I)點。到直線/距離的最大值為一;

(2)若M,N是直線/與00的公共點，則當線段MN的長度最大時，OP的長為.

【答案】7V21

【分析】(1)如圖1,當點。在限外且。，A,。三點共線時，點。到直線/距離的最大，于是得到結論;

(2)如圖2,根據已知條件得到線段MN是。。的直徑，根據勾股定理即可得到結論.

【詳解】(1)如圖1,V/1B4,

???當點尸在圓外且O,4,2三點共線時，點。到直線/距離的最大，

最大值為4。+”=5+2=7；

(2)如圖2,?.?M,N是直線/與。。的公共點，當線段MN的長度最大時，

線段是。。的直徑，

V/1E4,

ZAPO=90°,

VXP=2,04=5,

OP=y/OA2-PA2=苗,

故答案為7,V21

【點睛】此題主要考查點到直線的距離以及勾股定理的運用，熟練掌握，即可解題.

【變式5-1］（2023春?全國?九年級專題練習）已知。。的半徑為5,直線［與。。有2個公共點，則點。到直

線，的距離可能是（）

A.3B.5C.7D.9

【答案】A

【分析】根據題意得點。到直線/的距離小于圓的半徑，即可解答.

【詳解】:。。的半徑為5,直線［與。。有2個公共點，

???點。到直線I的距離0Wd<5.

故選：A.

【點睛】本題考杳了點、直線、圓的位置關系.熟練掌握直線與圓相交時，圓心到直線的距離小于半徑，是

解題的關鍵.

【變式5-2】（2023春?全國?九年級專題練習）如圖，已知。0是以數軸原點。為圓心，半徑為1的圓，乙408=

45%點P在數釉上運動，若過點P且與。力平行的直線與。。有公共點，設OP-x,貝以的取值范圍是（）

C.-1<x<1D.x>V2

【答案】B

【分析】根據題意，知直線和圓有公共點，則相切或相交，相切時，設切點為C,連接OC,根據等腰直角三

角形的直角邊是圓的半徑I,求得斜邊是近，所以x的取值范隹是04%工企.

【詳解】解：設切點為C,連接OC,則

圓的半徑OC=1,OC1PC,

'：^AOB=45°,OAWPC,

：.LOPC=45。，

：,PC=OC=1,

???OP=VL

同理，原點左側的距離也是遮，且線段是正數

所以x的取值范圍是0<x<y[2

故選：B.

【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系，以及直徑所對的圓周角是直角等知識，解題關鍵是求出相切

的時候的x值，即可分析出x的取值范圍.

【變式5-3]（2023春?全國?九年級專題練習）如圖，。。的半徑是3,點人在。。上，點P是0。所在平面

內一點，且力P=2,過點。作直線/,使IIP4

（1）點。到直線/距離的最大值為;

（2）若點M,N是直線/與。。的公共點，則當線段MN的長度最大時，0P的長為.

【答案】5V5

【分析】（1）如圖1,當點P在圓外且。，4P三點共線時，點0到直線，距離的最大，于是得到結論;

（2）如圖2,根據已知條件得到線段MN是。。的直徑，根據勾股定理即可得到結論.

圖1

-ILPA,

.??當點P在圓外且0,力，P三點共線時，點。到直線，的距離最大,

最大值為4。+4P=3+2=5；

（2）如圖2,N是直線/與。。的公共點，當線段MN的長度最大時,

線段MN是。。的直徑，

v/lPzl,

:.Z.APO=90。，

vAP=2,OA=3,

???OP=yJOA2-PA2=V5,

故答案為：5,遙.

【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關鍵.

【題型6根據直線與圓的位置關系確定交點個數】

【例6】（2023春?全國?九年級統考期末）已知，RtzsMBC中，ZC=90°,斜邊48上的高為5m,以點C為

圓心，4.8為半徑的圓與該直線48的交點個數為（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】A

【分析】根據直線和圓的位置關系與數量之間的聯系進行判斷.若dVr,則直線與圓相交；若d=r,則直線

于圓相切；若d>r,則直線與圓相離.

【詳解】解：:5cm>4.8cm,

d>r.

二圓與該直線AB的位置關系是相離，交點個數為0,

故選A.

【點睛】考杳了直線和圓的位置關系與數量之間的聯系，關鍵是掌握d與r的大小關系所決定的直線馬圓的

位置關系.

【變式6-1]（2023春?九年級課時練習）在RtaABC,/-BAC=90°,48=8,AC=6,以A為圓心，4.8長

度為半徑的圓與直線8C的公共點的個數為個.

【答案】1

【分析】根據直線和圓的位置關系與數顯之間的聯系進行判斷，若dvr,則直線與圓相交，若d=r,則直

線于圓相切，若d>r,則直線與典相離.

【詳解】解：Z8AC=90°，AB=8,AC=6,

BC=10,

???斜邊上的高為：蜉=4.8,

???d=r=4.8,

???圓與該直線8C的位置關系是相切，交點個數為I.

故答案為：I.

【點睛】考查了直線和圓的位置關系與數量之間的聯系，難度一般，關鍵是掌握d與r的大小關系所決定的直

線與圓的位置關系.

【變式6-2］（2023春?湖北武漢?九年級校考階段練習）如圖，NACB=30。，點O是CB上的一點，且OC

=6,則以4為半徑的。O與直線CA的公共點的個數為（〕

【答案】C

【分析】過O作OD_LOA于D,求出CD的長，根據直線和圓的位置關系判斷即可.

【詳解】解：過O作OD_LOA于D,

.\OD=k）C=3<4,

2

???以4為半徑的。O與直線CA的公共點的個數為2個，

故選：C.

【點睛】本題主要考查直線與圓的公共點個數，會判斷直線與圓的位置關系是解題的關鍵.

【變式6-3］（2023春?江蘇饃江?九年級統考期中）如圖，在中，AB=4,BC=8,=60。.點

P是射線BC上一動點，作△P/B的外接圓00.

(1)當。。與4PAB的外接圓G)。相切時，求。。的半徑；

(2)直接寫出。。與和18CD的邊的公共點的個數及對應的BP長的取值范圍.

【答案】(I)竽

(2)當0<3PW4時，。。與圈A8C0的邊的公共點的個數為3個；當4V8PV8時，。。與巴48C。的邊的公

共點的個數為4個；當BP=8時，。。與團ABC。的邊的公共點的個數為3個：當BP>8時，點。在。。的

內部，。。與固48CD的邊的公共點的個數為2個.

【分析】(1)取BC的中點M,連接AM,證明ZMBM是等邊三角形，得出484c=90。,4c=y/BC2-AB2=473,

依寇意。點在AB的垂直平分線上，作48的垂直平分線交DC的延長線于點E,交AB于點心連接0B,0P,在

Rt△40/中勾股定理即可求解；

(2)分特殊點討論，①當。。與4D相切時，②②當。。經過點。時，分別求得BP的長，結合圖形即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，取8c的中點M,連接力M,

\*AB=4,BC=8,LABC=60°.

="C=4,

2

：,AB=BM=4,

???AABM是等邊三角形，

：,￡BAM=^LAMC=60°,

乂;AM=AfC=4,

：.LMAC=/.MCA=30°,

?"84C=90。，

：.AC=>JBC2-AB2=4>/3

設0。的半徑為r,

丁點尸是射線BC上一動點，作仆P48的外接圓O0.

，0點在4B的垂直平分線上，

：,0A=0B=0P=r

如圖，作/IB的垂直平分線交OC的延長線于點E,交48千點凡連接。8,。2

：.DC1EF

???四邊形EF4C是矩形，

/.￡F=i4C=4>/3,

當00經過點E時，CD是。。的切線，

在RtZiA。/中，AF=^AB=2,AO=r,OF=EF-0E=4遍一丫

,：AO2=AF2+OF2

：.r2=22+(4V3-r)2

解得：r二半

o

(2)解：①如圖,

AD

當0。與AD相切時，。。與718。）有3個交點，

此時4。1BC,根據對稱性可知乙4PB=乙48P=60°

???A/IBP是等邊三角形，

：.BP=AB=4

即當0VBP44時，O。與回48CD的邊的公共點的個數為3個;

②當O0經過點D時，如圖，連接P。，

???四邊形48co是平行四邊形

：.AB\\CD,ADWBC

：.DP=AB=4

又乙ABC=60°

???ADCP是等邊三角形

:.CP=4

:?BP=8+4=12

:.當4V8PV8時，O。與即48CD的邊的公共點的個數為4個;

當BP=8時，。。與時48C。的邊的公共點的個數為3個；

當8,>8時，點〃在0。的內部，。。與EMyC〃的邊的公共點的個數為2個;

綜上所述，當0<8PW4時，。。與瓦4BCD的邊的公共點的個數為3個；

當4vBpc8時，O。與回4BCD的邊的公共點的個數為4個；

當BP=8時，O。與皿48CD的邊的公共點的個數為3個；

當BP>8時，點。在。。的內部，。。與團4BCD的邊的公共點的個數為2個.

【點睛】本題考查了切線的性質與判定，垂徑定以及垂徑定理的布論，三角形的外心，勾股定理，平行四邊

形的性質，直線與圓的位置關系，分類討論是解題的關鍵.

【題型7求圓平移到與直線相切時圓心經過的距離】

【例7】（2023春?黑龍江齊齊哈爾?九年級統考期末）如圖，直線AB,CD相交于點O,ZAOC=30°,半徑

為1cm的。P的圓心在直線AB上，開始時，PO=6cm.如果。P以lcm/s的速度沿由A向B的方向移動，

那么當（DP的運動時間t（s）為時，（DP與直線CD相切.

【答案】4或8

【分析】利用。P的圓心在直線AB上，分別得出OP在O點左邊和右邊兩種情況，并根據直角三角形的性

質即可計算出結果.

【詳解】解解?：當點P在射線0A上時。P與CD相切，如圖

過P作PE_LCD與E,

/.PE=1cm,

VZAOC=30°,

???OP=2PE=2cm,

???OP的圓心在直線AB上向右移動了（6-2）cm后與CD相切,

???QP移動所用的時間t=?=4（秒）；

當點P在射線OB時。P與CD相切，

如圖，過P作PF_LCD與F,

PF=1cm,

VZAOC=ZDOB=30°,

???OP=2PF=2cm,

???OP的圓心在直線AB上向右移動了（6+2）cm后與CD相切，

???0P移動所用的時間1=彳=8（秒）.

綜上所述，t=4秒或8秒.

故答案為：4或8.

【點睛】此題上要考杳了直線與圓的位置關系，利用數形結合的思想并能利用直角三角形的性質得出結論是

解題的關鍵.

【變式7-1］（2023春?山東臨沂?九年級統考期中）如圖，00的半徑OU5cm,直線LL0C,垂足為“，且

/交。。于4、B兩點,AB=8cm,則/沿0C所在直線平移后與。0相切，則平移的距離是（）

A.1cmB.2cmC.8cmD.2cm或8cm

【答案】D

【詳解】試題分析：連接0A,如圖:

C

V0H1AB,AB=8cm,???AHq48=4cm,?/0A=0C=5cm,???山勾股定理可得0H=3cm,工當直線向下平

移到點H與點C重合時，宜線與圓相切，???CH=OC-OH=2cm；同理：當直線向上平移到與圓相切時，平移

的距離=5+3=8cm,所以直線在原有位置移動2cm或8cm后與圓相切，故選D.

考點：垂徑定理、勾股定理、直線與圓的位置關系.

【變式7-2］（2023春?天津寶城?九年級校聯考期末）如圖，已知/APB=30。，OP=3cm,。0的半徑為1cm,

若圓心O沿著BP的方向在直線BP上移動.

（I）當圓心O移動的距離為1cm時，說明。O與直線PA的位置關系.

（II）若圓心O的移動距離是d,當00與直線PA相交時，求d的取值范圍

【答案】相切;1cmVdV5cm

【詳解】試題分析?：（1）如圖，當點O向左移動1cm時，POZ=PO-O'O=3-l=2cm,

A

：

p\???o??\?.\ojB

作OC_LPA于C,

??,NP=30度，

???ocWpcr=icm,

2

???圓的半徑為1cm,

:.OO與直線PA的位置關系是相切；

(2)如圖：當點O由0,向右繼續移動時，PA與圓相交,

當移動到C"時，相切，

此時C"P=PO'=2,

，點O移動的距離d的范圍滿足lcm<d<5cm時相交

考點：直線與圓的位置關系.

【變式7-3](2023?天津?九年級統考期中)如圖，ZAPB=30°,圓心在PB上的。O的半徑為1cm,OP=3cm,

若00沿BP方向平移，當。0與PA相切時，圓心0平移的距離為—cm.

【答案】1或5

【分析】首先根據題意畫出圖形,然后由切線的性質,可得NO，CP=90。,又由NAPB=30。，O分=lcm,即可

求得0T的長，繼而求得答案.

【詳解】解—：有兩種情況:

（I）如圖I,當0平移到O,位置時，O與雨相切時，且切點為c,

連接0匕則OC_L雨，即/。CP=90。，

圖1

???NAPB=30°,O'C=lcm,

???O，P=2O，C=2cm,

：0P=3cm,

，OO，=OP-Og(cm).

(2)如圖2,同理可得：0，P=2cm,

0'0=5cm.

圖2

故答案為1或5.

【點睛】本題主考考查圓與直線相切.本題要應用分類討論思想分別畫出G）O與直線PA相切時■的圖形，利

用切線性質即可求出答案.

【題型8求直線平移到與圓相切時運動的距離】

【例8】（2010?四川南充?中考真題）如圖，直線"II%，O。與。和，2分別相切于點力和點8.點M和點N分別

是。和。上的動點，MN沿。和h平移.。。的半徑為1，41=60。.下列結論錯誤的是（）.

A.M-B.若MN與。0相切，則/M=V5

C.若NMON=90。，則MN與o。相切D.。和。的距離為2

【答案】B

【分析】根據直線與圓的相關知識，逐一判斷.

【詳解】解：A、平移MN使點B與M重合，Nl=60。，AB=2,解直角三角形得MN=竽，正確；

B、當MN與圓相切時，M,N在48左側以及M,N在A,B右側時，4M=通或弓，錯誤；

C、若NM0N=90。，連接N。并延長交MA于點C,^i^AOCBON,故CO=NO,△MONwzxMOC,故MN

上的高為1,即。到MN的距離等于半徑.正確；

D、I.||12,兩平行線之間的距離為線段48的長，即直徑48=2,正確.

故選:B.

【點睛】本題考查了直線與圓相切的判斷方法和性質，全等三角形的判定及性質，平行線間的距離，熟練掌

握直線與圓相切的判斷方法和性質是解題的關鍵.

【變式8-1］（2023春?江蘇無錫?九年級校聯考期中）如圖，直線），=%+8（加＞0）與x軸、），軸交于點4、B,

在直線AB上取一點C,過點C作x軸的垂線，垂足為日若點E（4,0）.

（1）若EC=BC,求〃的值；

（2）在（1）的條件下，有一動點P從點8出發，延著射線8c方向以每秒1個單位的速度運動，以點尸為

圓心，作半徑為，勺圓，動點。從點O出發，在線段OE上以每秒1個單位的速度作來回運動，過點。作直

線；垂直x軸，點尸與點。同時從點B、點。開始運動，問經過多少秒后，直線/和。P相切.

【分析】（1）作出輔助線,求出點B、C坐標代入解析式即可求解,

（2）分類討論，利用圓心到切線的距離等于半徑即可解題.

【詳解】作BH_LCE.：E（4,0）,

???,把代入產與〃???〃.：，.在/?/△中,，

OE=BH=4x=44+b=3+,CE=3+3（0,b）,EH=O84,C”=3BCHBC=5=CE,C

（4.5）代入尸斗+b,得b=2

4

（2）設點尸到直線/的距離為d.作軸于點“，則PH=*

①當0<二4時,O0=f,#L次機，由，號得Z=1;

②當4<性8時,OQ=8-&8-L2喝或%一（8-力弓，解得片急斗!；

③當8y<12時,OQ=/-8,4土一（L8）4解得片算由于?一4，,舍去.（第3種情況酌情給分,舍去的理由合

情描述即可）

綜上所述，武或號或工

2610

【點睛】本題考查求解一次函數參數，直線與圓的位置關系，分類討論是解題關鍵.

【變式8-2]（2023春?全國?九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，。。的半徑是1,直線A8與x

軸交于點P（x,（））,且與x軸的正半軸夾角為45。，若直線人8與。。有公共點，則x值的范圍是（）

A.-1<X<1B.-V2<x<V2C.-42<X<42D.0<X<^

【答案】B

【分析】設直線AB的解析式為）=i+A當直線與圓相切時切點為C,連接OC,則0C=l,由于直線AB與x

軸正方向夾角為45。，所以△人（%;是等腰直角三角形，故0C=PC=l再根據勾股定理求出0A的長即可.

【詳解】:直線48與x軸正方向夾角為45。,

???設直線A4的解析式為尸x+〃，切點為C,連接0C,

???0CL48,

???。。的半徑為1,

.??△A0C是等腰直角三角形,

：.OC=PC=\,

:.OA=V12+12=y/2?

:?P(V2,0),

同理可得，當直線與x軸負半軸相交時，P(-V2,0),

：--\/2<x<\f2.

故選:B.

【點睛】本題考查的是直線與圓的位置關系，熟知直線和圓的三種位置關系是解答此題的關鍵.

【變式8-3]（2023?河北?統考模擬預測）等腰RMABC和。O如弱放置，已知AB=BOI,ZABC=90°,OO

的半徑為1,圓心O與直線AB的距離為5.

（1）若^ABC以每秒2個單位的速度向右移動，。0不動，則經過多少時間^ABC的邊與圓第一次相切？

（2）若兩個圖形同時向右移動，△ABC的速度為每秒2個單位，。。的速度為每秒1個單位，則經過多少

時間△ABC的邊與圓第一次相切？

（3）若兩個圖形同時向右移動，△ABC的速度為每秒2個單位，OO的速度為每秒1個單位，同時△ABC

的邊長AB、BC都以每秒0.5個單位沿BA、BC方向增大.△ABC的邊與圓第?次相切時，點B運動了多

少距離？

【答案】（1）于；（2）5-或；（3）至薩

【詳解】分析：（1）分析易得，第一次相切時，與斜邊相切，假設此時，△ABC移至△處，與。O

切于點E,連OE并延長，交于F.由切線長定理易得CC，的長，進而由三角形運動的速度可得答案；

（2）設運動的時間為t秒，根據題意得：CCf=2t,DDr=t,則CD，=CD+DD：CC=4+t-2t=4-3由第（1）的結

論列式得出結果;

（3）求出相切的時間，進而得出B點移動的距離.

詳解：（1）假設第一次相切時，△ABC移至△處，

如圖1,AC，與。0切于點E,連接OE并延長，交于F,

圖1

設。0與直線1切于點D,連接0D,貝lJOE_LA，C,OD_L直線1,

由切線長定理可知CE=CD,

設CD=x,則C，E=x,

???△ABC是等腰直角三角形，

/.ZA=ZACB=45°,

???NACB=NACB=45。，

???△EFC是等腰直角三角形，

ACT=V2x,ZOFD=45°,

/.△OFD也是等腰直角三角形，

AOD=DF,

:.x/2x+x=l?則x=V2-l,

???CC=BD-BCCD=5-1-（V2-1）=5-V2,

???點C運動的時間為警；

則經過等秒，△ABC的邊與圓第一次相切；

⑵如圖2,設經過I秒△ABC的邊與圓第一次相切，△ABC移至△ABC，處，0O與BC所在直線的切點

D移至D，處，

圖2

AC與。0切于點E,連OE并延長，交于F,

VCCf=2t,DDK

,CD=CD+DD，-CC'=4+t-2l=4-t,

由切線長定理得C'E=CTT=4-t,

由(1)得：4-t=V2-l,

解得：t=5-VL

答：經過5-四秒△ABC的邊與圓第一次相切;

(3)由(2)得CC'=(2+0.5)t=2.5t,DDF

則C'D'=CD+DD'-CC'=4+t-2.5t=4?1.5t,

由切線長定理得CE=CD=4-1.5t,

由(1)得：4-1.5t=V2-I,

解得：1=里立，

點睛：本題要求學生熟練掌握圓與直線的位置關系，并結合動點問題進行綜合分析，比較復雜，難度較大,

考查了學生數形結合的分析能力.

【題型9利用直線與圓的位置關系求最值】

【例9】（2023?湖北隨州?統考中考真題）如圖，在矩形4BCD中，AB=5,AD=4,M是邊力8上一動點（不

含端點），將△力DM沿直線DM對折，得到^NDM.當射線CN交線段A8于點尸時，連接DP,則ACDP的面

積為;0P的最大值為

【答案】102眄

【分析】(I)根據等底等高的三角形和矩形面積關系分析求解；

(2)結合勾股定理分析可得，當4P最大時，DP即最大，通過分析點N的運動軌跡，結合勾股定理確定力P的

最值，從而求得OP的最大值.

【詳解】解?：由題意可得aCDP的面積等于矩形ABCD的一半，

JZiCDP的面/只為?力。=1x4x5=10,

在Rt△力PD中，PD=yjAD2+AP2,

，當4P最大時，OP即最大，

由題意可得點N是在以。為圓心4為半徑的圓上運動，當射線CN與圓相切時，/1P最大，此時C、N、M三

點共線，如圖:

由題意可得：AD=ND,AMND=/.BAD=zF=90°,

：,/.NDC+Z.DCN=90°,Z,DCN4-LMCB=90°,