容斥問題第1頁？容斥問題容—包含斥—排除第2頁測一測6＋6－1=11（人）答：共有11人。1、排隊問題：從前面數(shù)，從后面數(shù)，麗麗都排第6，這一排共有幾個人？2、洗好8塊手帕夾在繩子上晾干，同一個夾子夾住相鄰兩塊手帕兩邊，這么一共要多少個夾子？8×2－7=9（個）答：一共要9個夾子。第3頁容斥問題即當兩個計數(shù)部分有重復包含時，為了不重復計數(shù)，應從它們和中排除重復部分。容斥原理：對幾個事物，假如采取兩種不一樣分類，那么含有性質1或性質2事物個數(shù)等于性質1＋性質2減去它們共同性質。第4頁學校文藝組每人最少會演奏一個樂器，已知會拉手風琴有24人，會彈電子琴有17人，其中兩種樂器都會演奏有8人。這個文藝組一共有多少人？想：

拉手風琴人數(shù)：24人彈電子琴人數(shù)：17人兩種都會彈人數(shù)：8人？人24＋17－8=33（人）答：一共有33人。容斥原理：1、找分類：2類

找1、2類共有2、2類總個數(shù)等于2類和減去它們共有。例1、第5頁想：五年級學生參加語文、數(shù)學考試，每人最少有一門功課取得優(yōu)異成績。其中語文成績優(yōu)異有65人，數(shù)學優(yōu)異有87人。語文、數(shù)學都優(yōu)異有30人，問五年級一共有多少人？試試：

語文優(yōu)異人數(shù)：65人數(shù)學優(yōu)異人數(shù)：87人兩科都優(yōu)異人數(shù)：30？人65＋87－30=122（人）答：五年級一共有122人。第6頁四（一）班學生參加數(shù)學小組和科技小組，每個學生最少參加一個小組，有25人參加數(shù)學小組，23人參加科技小組，有19人兩個小組都參加了。那么四（-）班一共有多少人？練一練25＋23－19=29（人）答：一共有29人。第7頁想：一班有48人，班主任在班會上問：“誰做完了語文作業(yè)？請舉手”有37人舉手，又問：“誰做完了數(shù)學作業(yè)？請舉手”有42人舉人，最終問：“誰語文、數(shù)學作業(yè)都沒做完？請舉手”結果沒有些人舉手。求這個班語文、數(shù)學作業(yè)都做完人數(shù)是多少個？

做完語文人數(shù)：37人做完數(shù)學人數(shù)：42人兩科做完人數(shù)：？48人37＋42－48=31（人）答：這個班語文、數(shù)學作業(yè)都做完人數(shù)是31人。例2、第8頁想：五年級有122名學生參加語文、數(shù)學考試，每人最少有一門功課取得優(yōu)異成績。其中語文成績優(yōu)異有65人，數(shù)學優(yōu)異有87人。語文、數(shù)學都優(yōu)異有多少人？試試：

語文優(yōu)異人數(shù)：65人數(shù)學優(yōu)異人數(shù)：87人兩科做完人數(shù)：？122人65＋87－122=30（人）答：語文、數(shù)學都優(yōu)異有30人。第9頁在1到100全部自然數(shù)中，既不是5倍數(shù)，也不是6倍數(shù)有多少個？

5倍數(shù)個數(shù)數(shù)：6倍數(shù)個數(shù)：30倍數(shù)個數(shù)：？個100÷5=20（個）答：有67個。不是5倍數(shù)；不是6倍數(shù)；不是30倍數(shù)5倍數(shù)個數(shù)；6倍數(shù)個數(shù)；30倍數(shù)個數(shù)100÷6=16（個）

……4100÷30=3（個）

……1020＋16－3=33（個）100－33=67（個）例3、第10頁全班學生40人，興趣音樂有18人，興趣舞蹈有21，興趣美術有9人，既興趣音樂又興趣舞蹈有3人，既興趣音樂又興趣美術有1人，但沒有些人這三種都興趣，也沒有些人都不興趣。問有多少既興趣舞蹈又興趣美術？

例4、18＋21＋9－3－1－40=44－40=4（人）答：有4人既興趣舞蹈又興趣美術。第11頁某班有學生50人，其中35人會游泳，38人會騎自行車，40人會溜冰，46人會打乒乓。問四項活動都會最少有多少人？

例5、一項不會就不符合一項不會盡可能多，即考慮重復不會游泳：50－35=15（人）不會騎自行車：50－38=12（人）不會溜冰：50－40=10（人）不會打乒乓：50－46=4（人）四項都會最少有：50－（15＋12＋10＋4）=9（人）第12頁練一練2分鐘你能做完嗎？第51頁舉一反三第4題第13頁作業(yè)：第52頁熟能生巧（1）、（2）做在作業(yè)本上（要求：不抄題，標清題號，字跡工整整齊，做完后請家長簽字。）復習容斥問題例1、例2，預習例3、例4

第14頁課后過關：一個旅行社有36人，其中會英語有24人，會法語18人，兩樣都不會有4人。兩樣都會有多少人？

第15頁容斥原理（第二講）

某校六（1）班，每人在暑假里都參加體育訓練隊，其中參加足球隊有25人，參加排球隊有22人，參加游泳隊有34人，足球、排球都參加有12人，足球、游泳都參加有18人，排球、游泳都參加有14人，三項都參加有8人，這個班有多少人？25+22+34-12-18-14+8=45人足球排球

游泳第16頁假如我們用這七個字母分別代表各字母所在區(qū)域學生人數(shù)，那么依據(jù)題意，我們有以下七條等式：(1)A+D+E+G=25；(2)B+D+F+G=34；(3)C+E+F+G=22；(4)D+G=18；(5)E+G=12；(6)F+G=14；(7)G=8。現(xiàn)在我們要求是A+B+C+D+E+F+G=？。怎樣利用以上資料求得答案？我們利用等式性質來試試看.

把頭三條等式加起來，我們得到A+B+C+2D+2E+2F+3G=81。可是這結果包含了多出D、E、F和G，必須設法把多出部分減去。因為等式(4)－(6)各有一個D、E和F，若從上述結果減去這三條等式，便能夠把多出D、E和F減去，得A+B+C+D+E+F=37。可是這么一來，原來重復重現(xiàn)G卻變被完全減去了，所以最終還得把等式(7)加上去，得最終止果為A+B+C+D+E+F+G=45，即該班共有45名學生。

第17頁結論（公式二）假如被計數(shù)事物有A、B、C三類，那么，A類或B類或C類事物個數(shù)=A類事物個數(shù)+B類事物個數(shù)+C類事物個數(shù)—既是A類又是B類事物個數(shù)—既是A類又是C類事物個數(shù)—既是B類又是C類事物個數(shù)+既是A類又是B類而且是C類事物個數(shù)。第18頁例1：設某班每名學生都要選修最少一個外語，其中選修英語學生人數(shù)為25，選修法語學生人數(shù)為18，選修德語學生人數(shù)為20，同時選修英語和法語學生人數(shù)為8，同時選修英語和德語學生人數(shù)為13，同時選修法語和德語學生人數(shù)為6，而同時選修上述三種外語學生人數(shù)則為3，問該班共有多少名學生？

25+18+20-8-13-6+3=39人第19頁例2、在一個酷熱夏日，幾個兒童去冷飲店，每人最少要了一樣冷飲，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水有3人，只要冰棍和雪碧沒有，只要汽水和雪碧有1人；三樣都要有1人。問：共有幾個兒童去了冷飲店？

6+6+4-（3+1）-（0+1）-（1+1）+1=10人分析與解：依據(jù)題意畫圖。第20頁例3.某校六年級二班有49人參加了數(shù)學、英語、語文學習小組，其中數(shù)學有30人參加，英語有20人參加，語文小組有10人。老師告訴同學既參加數(shù)學小組又參加語文小組有3人，既參加數(shù)學又參加英語和既參加英語又參加語文人數(shù)均為質數(shù)，而三種全參加只有1人，求既參加英語又參加數(shù)學小組人數(shù)。

分析與解：依據(jù)已知條件畫出圖。第21頁

三圓蓋住總體為49人，假設既參加數(shù)學又參加英語有x人，既參加語文又參加英語有y人，能夠列出這么方程：整理后得：因為x、y均為質數(shù)，因而這兩個質數(shù)中必有一個偶質數(shù)2，另一個質數(shù)為7。答：既參加英語又參加數(shù)學小組為2人或7人。第22頁例5.某班同學參加升學考試，得滿分人數(shù)以下：數(shù)學20人，語文20人，英語20人，數(shù)學、英語兩科滿分者8人，數(shù)學、語文兩科滿分者7人，語文、英語兩科滿分者9人，三科都沒得滿分者3人。問這個班最多多少人？最少多少人？

分析與解：依據(jù)題意畫圖。第23頁

設三科都得滿分者為x全班人數(shù)整理后：全班人數(shù)＝39＋x39+x表示全班人數(shù)，當x取最大值時，全班人數(shù)就最多，當x取最小值時，全班人數(shù)就最少。x是數(shù)學、語文、英語三科都得滿分同學，因而x中人數(shù)一定不超出兩科得滿分人數(shù)，即且，由此我們得到，另首先x最小可能是0，即沒有三科都得滿分。當x取最大值7時，全班有人，當x取最小值0時，全班有39人。答：這個班最多有46人，最少有39人。第24頁試一試1.某班45名同學參加體育測試，其中百米得優(yōu)者20人，跳遠得優(yōu)者18人，又知百米、跳遠都得優(yōu)者7人，跳高、百米得優(yōu)者6人，跳高、跳遠均得優(yōu)者8人，跳高得優(yōu)者22人，全班只有1名同學各項都沒達優(yōu)異，求三項都是優(yōu)異人數(shù)。45-1=4420+18+22-6-7-8=3944-39=5人2.某班四年級時，五年級時和六年級時分別評出10名三好學生，又