2019年中考數學真題演練之軸對稱專題（解析版）

1.（1）問題提出

如圖1,點A為線段BC外一動點，且3c=。，.￥5=匕，填空：當點A位于時，線段AC

的長取得最大值，且最大值為________（用含a/的式子表示）.

A

rai

（2）問題探究

點A為線段BC外一動點，且5。二6,.一=3,如圖2所示，分別以?仍」。為邊，作等邊三角

形ABD和等邊三角形ACE,連接CD,5日找出圖中與BE相等的線段，請說明理由，并干脆寫出

線段BE長的最大值.

（3）問題解決：

①如圖3,在平面直角坐標系中，點A的坐標為I?,0）,點B的坐標為后，0），點P為線段AB外

一動點，且PA=?PH=P3.，工BPM=.90;求線段AM長的最大值及此時點p的坐標.

V

②如圖在四邊形中，二=域，若對角線于點、

4,ABCD.13.ID,/B.4D=60*tBCBD±CO

D,請干脆寫出對角線AC的最大值.

D

B

國4C

2.在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a,點P是^ABC內一點，且/PAC+ZPCA=連接PB,摸索究PA、

PB、PC滿意的等量關系.

（D當a=60。時，將△ABP繞點A逆時針旋轉60。得到△ACPT連接PPS如圖1所示.由^AB咫△ACP,

可以證得仆AP,是等邊三角形，再由NPAC+ZPCA=30。可得NAPC的大小為度,進而得到

△CP，是直角三角形，這樣可以得到PA、PB、PC滿意的等量關系為；

（2）如圖2,當a=120。時，參考（1）中的方法，探究PA、PB、PC滿意的等量關系，并給出證明；

（3）PA、PB、PC滿意的等量關系為.

3.如圖，拋物線y=ax2-bax?4交X軸于A,B兩點（點A位于點B的左側），交y軸于點C,過點C

作CDIIAB,交拋物線于點D,連接AC、AD,AD交y軸于點E,且AC=CD,過點A作射線AF交y

（1）此拋物線的對稱軸是:

（2）求該拋物線的解析式：

（3）若點P是拋物線位于第四象限圖象上一動點，求△AP「面積卜的最大值，以及此時點P的

坐標；

（4）點M是線段AB上一點（不與點A,B重合），點N是線段AD上一點（不與點A,D重合），

則兩線段長度之和：MN+MD的最小值是.

4.已知四邊形ABCD是矩形,連接AC,點E是邊CB延長線上一點，CA=CE,連接AE,F是線段AE

BM=BE：

(2)如圖2,連接BD交AC于0,連接DF分別交AB、AC于G、H,連接GC,若NFDB=30。，S網邊形

GBOH=［更，求線段GC的長.

5.如圖，△ABC內接于O。，且AB=AC.延長BC到點D,使CD=CA,連接AD交O。于點E.

(1)求證：△ABE合△CDE：

(2)填空：

①當NABC的度數為時，四邊形A0CE是菱形；

②若AE=6,BE=8,則EF的長為.

6.如圖1,在平面直角坐標系中，一次函數y=-2x+8的圖象與x軸，y軸分別交于點A,點C,過點

A作AB_Lx軸，垂足為點A,過點C作CB_Ly軸，垂足為點C,兩條垂線相交于點B.

(1)線段AB,BC,AC的長分別為AB=,BC=,AC=

(2)折疊圖1中的△ABC,使點A與點C重合，再將折疊后的圖形綻開，折痕DE交AB于點D,交

AC于點E,連接CD,如圖2.

請從下列A、B兩題中任選一題作答，我選擇哪題.

A：①求線段AD的長；

②在y軸上，是否存在點P,使得AAPD為等腰三角形？若存在，請干脆寫出符合條件的全部點P

的坐標；若不存在，請說明理由.

B：①求線段DE的長；

②在坐標平面內，是否存在點P(除點B外)，使得以點A,P,C為頂點的三角形與△ABC全等？

若存在，請干脆寫出全部符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

7.如圖，已知AB是的直徑，點(:在。0上，過點(：的直線與AB的延長線交于點P,AC=PC,

(2)求證：BC=、AB；

(3)點M是弧AB的中點，CM交AB于點N,若AB=4,求MN?MC的值.

8.如圖1,在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,E、F分別是AB、BD的中點，連接EF,點P從點E

動身，沿EF方向勻速運動，速度為lcm/s,同時，點Q從點D動身，沿DB方向勻速運動，速度為

2cm/s,當點P停止運動時，點Q也停止運動.連接PQ,設運動時間為t(0VtV4)s,解答下列問

(1)求證：△BEF-ADCB；

(2)當點Q在線段DF上運動時，若△PQF的面積為0.6cm?,求t的值;

(3)當t為何值時，aPClF為等腰三角形？試說明理由.

9.如圖，△ABC是邊長為2的正三角形，點D在△ABC內部，且滿意DB=DC,DB_LDC,點E在邊AC

上，延長ED交線段AB于點H.

(1)若ED=EC請干脆寫出/BAD=,ZAEH=,ZAHE=.

(2)若ED=EC,求EH的長;

(3)若AE=x,AH=y,請利用SAAEH=SAAED+SAAHD,求y關于x的函數關系式，并求自變量x的取

值范圍.

10.已知：如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB=12,BC=6,AD±BD.以AD為斜邊在平行四邊形AB

CD的內部作RtAAED,ZEAD=30°,ZAED=90°.

(1)求△AED的周長;

(2)若4AED以每秒2個單位長度的速度沿DC向右平行移動，得到△AEoDo,當AoDc與BC重

合時停止移動，設運動時間為t秒，△AoEoDo與△BDC重疊的面積為S,請干脆寫出S與t之間的函

數關系式，并寫出t的取值范圍；

(3)如圖②，在(2)中，當△AED停止移動后得到△BEC,將△BEC繞點C按順時針方向旋轉a

(0。＜。＜180。)，在旋轉過程中，B的對應點為Bi,E此對應點為J,設直線B]E1與直線BE

交于點P、與直線CB交于點Q.是否存在這樣的a,使ABPQ為等腰三角形？若存在，求出a的度

數；若不存在，請說明理由.

11.如圖,拋物線y=ax2+bx（aM）的圖象過原點。和點A（l,0）,且與x軸交于點B,1AOB的面積

為

（1）求拋物線的解析式:

（2）若拋物線的對稱軸上存在?點M,使AAOM的周長最小，求M點的坐標；

（3）點F是x軸上一動點，過F作x軸的垂線，交直線AB于點E,交拋物線于點P,且PE=強,

3

干脆寫出點t的坐標（寫出符合條件的兩個點即可）。

12.正方形ABCD和正方形CEFG如圖1所示，其中B、C、E在一條直線上,0是AF的中點，連接0D、0G

A

B

（2）如圖2所示，將正方形ABCD和正方形CEFG改為菱形A3CD和菱形CEFG,且NABC=ZDCE=120o,

探究0D與0G的位置關系，及務的比值;

（Xf

（3）拓展探究:把圖1中的正方形CEFG繞C順時針旋轉小于90。的角后，其他條件均不變，問第1問中

的兩個結論是否發生改變?（寫出結論不用證明）

13.如圖，在△ABC中，AB=CB,ZABC=90°,D為AB延長線上一點，點E在BC邊上，且BE=BD,連

接AE、DE、DC.

(2)若NCAE=30。,求NACD的度數.

14.如圖所示，將二次函數y=x?+2x+l的圖象沿x軸翻折，然后向右平移1個單位，再向上平移4個

單位，得到二次函數y=ax2+bx+c的圖象.函數y=x2+2x+l的圖象的頂點為點A.函數y=ax2+bx+c的圖

(1)求函數y=ax2+bx+c的解析式；

(2)從點A,C,D三個點中任取兩個點和點B構造三角形，求構造的三角形是等腰三角形的概率;

(3)若點M是線段BC上的動點，點N是△ABC三邊上的動點，是否存在以AM為斜邊的RtAAMN,

使AAMN的面積為△ABC面積的《？若存在，求tan/MAN的值；若不存在，請說明理由.

15.如圖,已知拋物線y==。過點A,-3愀B|江川，過點A作直線AC〃x軸,

交y軸與點Co

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上取?點P,過點P作直線AC的垂線，垂足為D,連接0A,使得以A,D,P為頂點

的三角形與△AOC相像，求出對應點P的坐標；

（3）拋物線上是否存在點Q,使得$必=若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說

明理由。

16.如圖,在四邊形ABCD中,ZB=ZC=90%AB>CD,AD=AB+CD.

（1）利用尺規作NADC的平分線DE,交BC于點E,連接A三（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）在（1）的條件下，①記明：AE_LDE；

②若CD=2,AB=4,點M,N分別是AE,AB上的動點，求BM+MN的最小值。

17.如圖,在四邊形ABCD中，ZB=60°,ZD=30°,AB=BC.

（1）求/A+/C的度數。

（2）連接BD,探究AD,BD,CD三者之間的數量關系，并說明理由。

（3）若AB=1,點E在四邊形ABCD內部運動，且滿意收￡?=求點E運動路徑的長度。

18.

（1）【發覺】如圖①，J知等邊JABC，將直角三角形的60'角頂點〃隨意放在8U邊上（點

。不與點B、C重合），使兩邊分別交線段43、dC于點E、F.

RH

①若一48=6,_4E=4，3Z）=2,貝【JCF二；

②求證：怔BD山SCF

（2）【思索】若將圖①中的三角板的頂點〃在8c邊上移動，保持三角板與』風的兩個交

點E、尸都存在，連接EF,如圖②所示.問點ZD是否存在某一位置，使平分￡8EF且FD

平分"FE?若存在，求出笠的值；若不存在，請說明理由.

13C

（3）【探究】如圖③，在等提5c中，?<3=.<C，點。為8U邊的中點，將三角形透亮紙

板的一個頂點放在點O處（其中ZU0N=N3）,使兩條邊分別交邊AB..4C于點E、F

（點F、戶均不與_U5c的頂點重合），連接EE設乙B=Q,則IJE戶與，西。的周長之

比為（用含a的表達式表示）.

19.如圖，AB、AC分別是O0的直徑和弦，OD_LAC于點D,過點A作OO的切線與0D的延長線交

于點P,PC、AB的延長線交于點F.

（1）求證：PC是O0的切線;

(2)若NABC=600,AB=10,求線段CF的長,

20.如圖：在中，BC=2,AB=AC,點D為AC上的動點，且

(1)求AB的長度;

(2)求ADAE的值；

(3)過A點作AH_LBD,求證：BH=CD+DH.

21.在平面直角坐標系91中，已知拋物線的頂點坐標為(20),且經過點?4.1).如圖，直線1=

與拋物線交于點45兩點，直線/為

<1)求拋物線的解析式:

(2)在/上是否存在一點尸，使?尸3取得最小值？若存在，求出點P的坐標；若不存在,

請說明理由.

(3)已知為平面內肯定點，"例")為拋物線上一動點，且點到直線/的距離與點

”到點戶的距離總是相等，求定點廠的坐標.

22.如圖，拋物線y=ax2-5ax+c與坐標軸分別交于點A,C,E三點，其中A(-3,0),C(0,4),

點B在x軸上，AC=BC,過點B作BD±x軸交拋物線于點D,點M,N分別是線段CO,BC上的動點,

且CM=BN,連接MN,AM,AN.

(1)求拋物線的解析式及點D的坐標；

(2)當ACMN是直角三角形時，求點M的坐標；

(3)試求出AM+AN的最小值.

23.綜合與實踐

折紙是一項好玩的活動，同學們小時候都玩過折紙，可能折過小動物、小花、飛機、小船等，折紙

活動也伴隨著我們初中數學的學習在折紙過程中，我們可以通過探討圖形的性質和運動、確定圖形

位置等，進一步發展空間觀念，在經驗借助圖形思索問題的過程中，我們會初步建立幾何直觀，折

紙往往從矩形紙片起先，今日，就讓我們帶著數學的眼光來玩一玩折紙，看看折疊矩形的對角線之

后能得到哪些數學結論.

【實踐操作】

如圖1,將矩形紙片ABCD沿對角線AC翻折，使點"落在矩形ABCD所在平面內，和AD相交于

點E,連接BM

(1)【解決問題】在圖1中，

①B，D和AC的位置關系為；

②將△AEC剪下后綻開，得到的圖形是;

(2)若圖1中的矩形變為平行四邊形時(ABHBC),如圖2所示，結論①和結論②是否成立，若

成立，盾選擇其中的一個結論加以證明，若不成立，請說明理由；

(3)小紅沿對角線折疊一張矩形紙片，發覺所得圖形是軸克?稱圖形，沿對稱軸再次折疊后，得到的

仍是軸對稱圖形，則小紅折疊的矩形紙片的長寬之比為;

(4)【拓展應用】在圖2中，若NB=30。，AB=44，當△AB，D恰好為直角三角形時，BC的長度為

24.如圖，是。。的內接三角形，點。在冊上，點E在弦上(左不與A重合)，

且四邊形RDCE為菱形.

(1)求證：AC=C￡；

(2)求證：BC--=如式；

(3)已知的半徑為3.①若嚕=［，求萬。的長：

②當多為何值時，.18?AC的值最大？

25.如圖，_u5c中，AB=AC,N8"■?=90：點D,E分別在AB,BC上，2f』Q二N用TH點F

為DE的延長線與AC的延長線的交點.

(1)求證：DE=EF

(2)推斷BD和CF的數量關系，并說明理由；

(3)若.18=3,.江二「，求BD的長。

26.如圖1,RtZ^ABC中，NACB=90。，點D為邊AC上一點，DE_LAB于點E,點M為BD中點，CM

的延長線交AB于點F.

圖1

(1)求證：CM=EM；

(2)若NBAC=50°,求NEMF的大小；

(3)如圖2,若△DAE合△CEM,點N為CM的中點，求證：ANIIEM.

27.已知:在四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點E,且ACJ_BD,作BF±CD垂足為點F,BF與AC交

于點G.ZBGE=ZADE.

(1)如圖1,求證:AD=CD；

(2)如圖2,BH是^ABE的中線，若AE=2DE,DE=EG,在不添加任何協助線的狀況下,請干脆寫出圖2中

四個三角形，使寫出的每個三角形的面積都等于仆ADE面積的2倍.

參考答案及解析

1.【答案】（1）CB的延長線上；。一匕

⑵解：T（D=BE,

理由：??.△ABD與是等邊三角形，

???1D=,4,H（=J￡,，8.lD=ZC.l￡=6d，

/S.1D4W江城二CAE-Z5JC，

即&EXB，

在△（：,〃）與中，

AD=AB

4CAD=4EAB，

4r=4F

?AC.iZfe△及戒SW

.CD=BE；

②???線段BE長的最大值二線段CD的最大值，

.?.由（1換n,當線段CD的長取得最大值時，點D在CB的延長線上，

最大值為BD-BC=AB+BC=?"?6=9

（3）解:①如圖5,連接BM,將△.肥.1/圍著點P順時針旋轉90'得到△尸5.V,連接AN,

則是等腰直角三角形，

---P\=Pci=2fBX=AM,

???A的坐標為（2zob點B口勺坐標為（5,0），

..。工="5=5,

??.JB=3，

」.線段AM長的最大值二線段BN長的最大值，

當N在線段BA的延長線時.線段BN取得最大值，

最大值=J5+AV，

B二亞.爐二亞，

最大值為2石一？；

如圖6,過P作PE1.X軸rE,

???是等腰直角三角形，

???PE=AE=至,

???0E=BO-.15_AE=5-3-g二”R

網2-小亞）

②如下圖7,以BC為邊作等邊三角形△BCM,連接DM,

??<CBM=60?，

￡&BC=ZDBM,

—DBfBC=BM，

???XDB\I,

??AC^MD>

欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可,

BC=40=定值，/血=90'，

.?.點D在以BC為直徑的。。上運動，

由圖象可知，當點D在BC上方，DM_LBC時，DM的值最大，最大值=等腰直角△BDC斜邊上的高+

等邊△BCM的高，

?「BC=4在，

???DM城大=蛆.：.卓,

AC0大=至-2^6

【考點】三角形三邊關系，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，三角形的外接圓

與外心

【解析】【解答］解：（I）.?.點A為線段BC外一動點，且bc=a.”5=力，

???當點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC：AB=a^b,

故答案為：CB的延長線上，a-b；

【分析】（1）由三角形三邊關系定理可知，三角形隨意兩邊之和大于第三邊，當點A在CB的延長

線上時，兩邊之和等于第三邊，所以當點A在CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大

值為a+b;

（2）依據等邊三角形的性質用邊角邊易證得△CAD合△EAB,則BE=CD；由（1）中的結論可得BE

的最大值=人8+人￡；

（3）①依據已知條件PM=PB可將△APM圍著點P順時針旋轉90度得到APBN,連接AN,BM,

由旋轉的性質可求解；

②由題意可作協助線，以BC為邊作等邊三角形△BCM,連接DM,并作出三角形BCD的外接圓，

川邊角邊易證得^ABCM△DBM,則AC=DM,要求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由圓

的性質可知，當DM過圓心時，DM最大，即由圖象可知，當點D在BC上方，DMJ_BC時，DM的

值最大，且最大值=等腰直角乙BDC斜邊上的高+等邊△BCM的高。

2.【答案】（1）150；PA2+PC2=PB2

（2）解:如圖2,作將△ABP繞點A逆時針旋轉120。得到△ACP，，連接P，,

作ADJLPP'于D,

由旋轉變換的性質可知,ZPAP=120%PZC=PB,

/.ZAPP'=30°,

,/ZPAC+ZPCA=1^9=60，，

ZAPC=120°,

/.ZP'PC=90°,

...PP'2+PC2=P'C2

???ZAPP'=30°,

/.PD=PA.

PP;=6PA,

3PA2+PC2=PB2

a

(3)4PA2sin2-t+PC2=PB2

【考點】全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，勾股定理的應用，圖形的旋轉，旋

轉的性質

【解析】【解答】(1);△ABP里△ACPS

/.AP=APf,

由旋轉變換的性質可知,NPAP'=60°,P,C=PB,

「.△PA,為等邊三角形，

ZAPP'=60°,

,/ZPAC+ZPCA=冬=30°,

/.ZAPC=150°,

ZP'PC=90°,

PP，2+PC2=PZC2,

PA2+PC2=PB2,

故答案為：150,PA2+PC2=PB2；

(3)如圖2,與(2)的方法類似,

作將△ABP繞點A逆時針旋轉a得到△AC，,連接PP\

作AD_LPP，于D,

由旋轉變換的性質可知，ZPAP，=a,Pt=PB,

NAPP'=90°-5，

a

ZPAC+ZPCA=5,

/.ZAPC=1800-5,

ZPfPC=（180°-5）-（90。-g）=90。，

PP'2+PC2=P（2,

NAPP'=90°-5，

/.PD=PA*cos（90°-y）=PA*sin號,

pp'=2PA?sin5,

4PA2sin25+PC2=PB2,

故答案為：4PA2sin25+PC2=PB2.

【分析】（1）由三角形內角和定理可求得/APC的大小；由勾股定理可以得到PA、PB、PC滿意的

等量關系為PA2+PC2=PB2'

（2）由（1）中的方法可作協助線，作將△ABP繞點A逆時針旋轉120。得到△ACPT連接Ph,過點

A作ADJ_P，于D,結合己知條件易得三角形P，PC是直角三角形，則由勾股定理可得P，2+PC2=P￡2,

解直角三角形APD可得AP與PD的關系，即可得AP與P,的關系，代入P，2+pc2=，C2,即可求解；

（3）當a為隨意角時，與（2）的方法類似，作將△ABP繞點A逆時針旋轉a得到△ACPT連接PP，,

過點A作AD_LP，于D,結合已知條件易得三角形P'PC是直角三角形，則由勾股定理可得

PP"+PC，=P，C）,解直角三角形APD可得AP與PD的美系，即可得AP與PP，的關系，代入PPAPC'P'C>

即可求解。

3.【答案】（1）X=4

（2）解：當x=0時，y=ax2-5ax-4=-4,則C（0,-4）；

,/CDIIx軸，

.點C與點D關于直線x=?對稱，

D(5,-4),CD=5,

,/AC=CD,

AC=5,

在RtAAOC中，OA=檸.宇=3,

A(-3,0),

把A(?3,0)代入y=ax2-5ax-4得9a+15a-4=0,解得a=

拋物線解析式為y=*2-看x-4；

(3)解：作PQIIy軸交AF于Q,如圖1,

設直線AD的解析式為y=kx+b,

-b=0|fe=-5

把A(-3,0),D(5,-4)代入得.J、，，解得；

「?直線AD的解析式為y=-4X-V

當x=0時，y=-得x-4=-"，則E(0，-[)，

.「AB平分NEAF,AO±EF,

/.OF=OE=,，

F(0,-y),

易得直線AF的解析式為y=4X+W，

MB

(x-4)2+孚,

當X=4時，S4APF的最大值為學，此時P點坐標為(4,--y)：

⑷呼.

【考點】二次函數圖像與坐標軸的交點問題，軸對稱的應用-最短距離問題，二次函數的實際應用-

動態幾何問題，二次函數y=a(x-h)人2+1＜的性質

【解析】【解答】(1)拋物線的對稱軸為直線x=?二渾=(4)作DCLLAF于Q,交x軸于M,

作MN_LAD于N,EH_LAF于H,如圖2,

AB平分NEAF,

MQ=MN,

/.MN+MD=DQ,

/.此時MN+MD的值最小，

,/A(-3,0),E(0,-g),D(5,-4),

,/EHIIDQ,

即MN+MD的最小值是K

故答案為直線x="；"

5

【分析】(1)拋物線的對稱軸：x=-V，將a、b的值代入即可求解；

2a

(2)因為拋物線交y軸于點C,所以易得點C(0,-4),由題意知點C與點D關于直線x=W對稱，

由軸對稱的性質可求得點D的坐標；再由AC-CD即可求得點A的坐標，然后用待定系數法可求得拋

物線的解析式；

(3)作PQIIy軸交AF于Q,由題意已知點E、F關于y軸對稱，用待定系數法可求得直線AD的解

析式，AD交y軸于點E,則點,E的坐標可求，由軸對稱的性質可求得點F的坐標，用待定系數法可

求得直線AF的解析式，由協助線的作法可知，點P、Q的橫坐標相同，設點P的橫坐標為X,則點P、

Q的縱坐標可用含X的代數式表示，△APF面積=△APQ面積-△PFQ面積，代入可得關于x的二次函

數，配成頂點式即可求解；

(4)作DQ_LAF于Q,交X軸于M,作MN_LAD于N,EH_LAF于H,由角平分線的性質可得MQ=MN,

依據兩點之間線段最短可得D2是最短線段，DQ=DM+MQ=DM+MN；用平行線分線段成比洌定理可

求得最小值。

4.【答案】(1)解：如圖1，*/AC=EC,F是AE的中點,

/.CF±AE,

/.ZAFC=90°,

,??四邊形ABCD是矩形，AD=DC,

矩形ABCD為正方形，

AB=BC,ZABC=90°,

ZAFC=ZABC,

,/ZAMF=ZBMC,

/.ZEAB=ZMCB,

,/ZABE=ZABC=90°,

△AEB合△CMB,

/.BE=BM

(2)解：如圖2,連接BF并延長交直線AD于M,

D

O

C

E圖J

?」F是AE的中點,

AF=EF,

四邊形ABCD是矩形,

ADIIBC,AC=BD,

ZM=ZFBE,

,/ZAFM=ZEFB,

△AM卜祥△LBI-,

FM=BF,AM=BE,

,/AD=BC,

/.AD+AM=BC+BE,

即DM=CE,

?「AC=CE,

/.EC=DM=AC=BD,

」.△DMB是等腰三角形，

???F是BM的中點,

二.DF平分NBDM,

,/ZBDF=30°,

/.ZBDM=60°,

」.△BDM是等邊三角形，

/.ZM=60°,

在RtABCD中，ZBDC=90°-6O°=3O°,

/.ZDBC=60%

OB=OC,

ZDBC=ZOCB=60°,

」.△ACE為等邊三角形，

在AOHD中，ZHOD=ZBOC=60°,

/.ZOHD=90%

設OH=x,則0D=2x,BD=4x,BC=2x,

DH=^x,AH=x,DC=AB=2^x,

RtAABC?f,NACE=60°,

ZBAC=30°,

AH

cos30°=~AGf

：.BG=AB-AG=2

S四邊形GBOH=SADGB-SAOHD，

==BG?AD?\OH?DH,

=4.?2X.3”?晨座,

z512

解得：X2=9,

BC=2x=6,

BG=X3=4",

由勾股定理得：CG=-BG-=-6?=2亞.

【考點】全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，矩形的性質

【解析】【分析】（1）依據等腰三角形的三線合一得出.?.NAFC=90。，依據一組鄰邊相等的矩形是

正方形得出矩形ABCD為正方形，依據正方形的性質得出AB=BC,ZABC=90\依據等角的余角相等

得出NEAB=/MCB,然后利用ASA推斷出△AEB合△CMB,依據全等三角形對應邊相等得Hl結論；

（2）如圖2,連接BF并延長交直線AD于M,依據中點的定義得出AF=EF,依據矩形的性質得出

ADIIBC,AC=BD,依據平行線的性質得出NM=NFBE,然后利用AAS推斷出△AMF里△EBF,得FM=BF,

AM=BE,再證明△DMB是等腰三角形，由三線合一得：DF平分NBDM,依據NFDB=3O。得△BDM是

等邊三角形；由此△ACE為等邊三角形，AOHD為直角三角形，設未知數：OH=x,則OD=2x,BD=4x,

BC=2x,進而表示出DH,AH,DC,AB,依據銳角三角函數表示出AG,BG,依據S網邊形GBOH=SAOGB-SZ.OHD，列

方程得出BC的長，BG的長，最終由勾股定理得出CG的長。

5.【答案】(1)證明：,/AB=<\C,CD=CA,/.ZABC=ZACB,AB=CD.

四邊形ABCE是圓內接四邊形，NECD=ZBAE,ZCED=ZABC.

,/ZABC=ZACB=ZAEB,/.ZCED=ZAEB,/.△ABE合△CDE(AAS)

9

(2)60；V

【考點】全等三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，圓的綜合題，相像三角形的判定與性質

【解析】【解答】解：(2)①當/ABC的度數為60。時，四邊形AOCE是菱形；

理由是：連接AO、OC.

丁四邊形ABCE是圓內接四邊形，NABC+ZAEC=180°.

?「ZABC=60,.JZAEC=120°=ZAOC.

?「OA=OC,ZOAC=ZOCA=30°.

?「AB=AC,&ABC是等邊三角形，「./ACB=60°.

,/ZACB=ZCAD+ZD.

AC=CD,ZCAD=ZD=30°,/.ZACE=180°-120°-30°=30°,/.ZOAE=ZOCE=60°,二四邊形

AOCE是平行四邊形.

???OA=OC,...口AOCE是菱形;

②由(1)得：△ABE^△CDE,BE=DE=8,AE=CE=6,/.ZD=ZEBC.

ZCED=ZABC=ZACB,△ECD-△CFB,「?/方=g

,/ZAFE=ZBFC,ZAEB=ZFCB,/.△AEF-△BCF,/.匿=舞，.二條=/.EF=平=斗.

故答案為：①60。；(2)號.

【分析】(1)由題意易證NABC=NACB,AB=CD：再由四點共圓和己證可得NABC=NACB=NAEB,

ZCED=ZAEB,則利用AAS可證得結論；

(2)①連接A。、CO.憲政△ABC是等邊三角形，再證明四邊形AOCE是平行四邊形，又AO=C。可

得結論；

②先證△ECD-△CFB,可得EC：ED=CF：BC=6:8：再證△AEF~△BCF,則AE：EF=BC：CF,從而求

出EF.

6.【答案】(1)8；4；4后；

⑵選A.①由(1)知，BC-4,AB-8,由折疊知，CD-AD.在BCD中，BD-AB-AD-8-AD,

依據勾股定理得，22

CD2=BC2+BC)2,g[J:AD=16+(8-AD),/.AD=5；

②由①知，D(4,5),設P(0,y).,「A(4,0),/.AP2=16+y2,DP2=16+(y-5)2.丁△APD

為等腰三角形，???分三種狀況探討：

I、AP=AD,16+y2=25,/.y=±3,/.P(0,3)或(0,-3)；

口、AP=DP,16+y2=16+(y-5)2,「.y=?，「?P(0，5)；

田、AD=DP,25=16+(y-5)2,y=2或8,/.P(0,2)或(0,8).

綜上所述：P(0，3)或(0,-3)或P(0,g)或P(0,2)或(0,8).

選B.①由A①知,AD=5,由折疊知,AE=、AC=2后,DE_LAC于E.在R3ADE中,DE=(山—遼)=

②;以點A,P,C為頂點的三角形與△ABC全等，??.△APC?△ABC,或△CP虺△ABC,

/.ZAPC=ZABC=90°....四邊形OABC是矩形，△ACOA△CAB,此時，符合條件，點P和點O重

合，即：P(0,0):

如圖3,過點。作ONJLAC于N,

羋，過點N作NH_LOA,「.NHIIOA,

學，N（號J）,而點P2與點0關于AC對稱，P2（專，號），同理：點B關于AC的對

稱點P】，同上的方法得，Pi（一早片）.

綜上所述：滿意條件的點P的坐標為：（o,0）,（々，竽），（■與,4）.

【考點】矩形的判定與性質，軸對稱的性質，翻折變換（折疊問題），一次函數圖像與坐標軸交點

問題

【解析】【解答】解：（1）??.一次函數y=-2x+8的圖象與x軸，y軸分別交于點A,點C,

A（4,0）,C（0,8）,

OA=4,OC=8.

?「AB_Lx軸，CB_Ly軸，ZAOC=90°,

.1.四邊形OABC是矩形，

AB=OC=8,BC=OA=4.

在RtAABC中，依據勾股定理得AC山5,孑BC7出

故答案為：8,4,4積【分析】（1）因為一次函數y=-2x+8的圖象與x軸，y軸分別交于點A,

點C兩點，所以A（4,0）,C（0,8）,則OA=4,0C=8；依據有三個角是直角的四邊形是矩形可

得四邊形OABC是矩形，由矩形的性質可得AB=OC=8,BC=OA=4.在ABC中，依據勾股定理得,

AC="6T玳"=4,氐

（2）若選A,①利用折疊的性質可得出BD=8-AD,利用勾股定理即可得出結論；

②分三種狀況利用方程的思想可得出結論；

若選B,①利用折疊的性質可得出AE,利用勾股定理可得出結論；②先推斷出NAPC=90。，再分狀

況探討計算即可。

7.【答案】（1）證明：VOA=OC,/.ZA=ZACO,

又NCOB=2ZA,乙COB=2ZPCB,/.NA=ZACO=ZPCB,

又TAB是OO的直徑，NACO+NOCB=90°,NPCB+NOCB=90°,

即OC±CP,

OC是OO的半徑，PC是00的切線

（2）證明：,/AC=PC,/.ZA=ZP,/.ZA=ZACO=ZPCB=ZP.

又;ZCOB=ZA+ZACO,ZCBO=ZP+ZPCB,/.ZCOB=ZCBO,BC=OC,

BC=5.必

(3)解：連接MA,MB,

二.點M是弧AB的中點，弧AM=<BM，/.NACM=ZBCM,

,/ZACM=ZABM,ZBCM=ZABM,

BMMV：

,/ZBMN=ZBMC,△MBN-△MCB,.赤=...BM2=MN-MC,

又?「AB是OO的直徑，弧

/.ZAMB=yU\AM=BM,

AB=4,BM:至,

/.MN-MC=BM2=8.

【考點】等腰三角形的性質，圓周角定理，切線的判定，相像三角形的判定與性質

【解析】【分析】(1)依據等邊對等角得出NA=NACO,運用外角的性質和已知條件得出

NA=NACO=NPCB,再依據直徑所對的圓周角是直角得出NPCB+NOCB=90。，進而求解.

(2)依據等邊對等角得出NA=NP,再依據第一問中的結論求解即可，

(3)連接MA,MB,依據同弧或等弧所對的圓周角相等得出NACM=NABM,「.NBCM=NABM,證

出^MBN-△MCB,得出比例式進而求解即可.

8.【答案】(1)解：?.?四邊形ABCD是矩形，

AD—BC=SADIIBC,匚.4二工「二90”

在中，5D=10,

???E、F分別是的中點，

???EFIIAD,￡F=^W=4,5F=DF=.5<

??.￡3EF=7=90?=4cJFiiBC,

￡BFE=ZDBJ

iBEF-ADCB；

(2)解：如圖i,過點Q作0A/JLE尸于_U，

,rai

QMIIBE,

.二Ql/piBEF.

??■RF=RF.

?~='丁；

Swp=’產Fx0M=#4T)x夕5_2z)=0￡=g,

r=5(舍)或r=2秒

(3)解：當點Q在DF上時，如圖2,PF=0F、

f=1.

當點Q在BF上時，PF=QF,如圖3,

.豈-4!

■>T=5'-

,??-7?

P0=尸尸時，如圖5,

綜上所述，t=l或3或半或噂秒時，APCIF是等腰三角形

【考點】等腰三角形的判定，相像三角形的判定與性質

【解析】【分析】（1）依據題中的已知條件可得△BEF和4DCB中的兩角對應相等，從而可證

△BEF~aDCB；（2）過點Q作QM±EF于M，先依據相像三角形的預備定理可證△QMF，△BEF；

再由△QMF-△BEF可用含t的代數式表示出QM的長；最終代入三角形的面積公式即可求出t的

值。（3）由題意應分兩種狀況：（1）當點Q在DF上時，因為/PFQ為鈍角，所以只有PF=QF。

（2）當點Q在BF上時，因為沒有指明腰和底，所以有PF=QF：PQ=FQ；PQ=PF三種狀況，因此

所求的t值有四種結果.

9.【答案】（1）30°；30°；90°

（2）解：如圖，延長AD交BC于點F

在ABDC中，DB=DC,DB±DC,

DF=5BC=I,

AD=AF-DF=Js-l,

由（1）得NAEH=ZCAD=30°,

DE=AD=j3-l,

由（1）得NAHE=90ozZBAD=30o,

DH=4AD=4（J3-I）?

EH=DH+DE=4（/3-l）+j3-l=5（j3-l）：

故答案為：g（「T）；

（3）解：如圖作延長AD交BC與F,過點E作EG_LAF,過點H作HMJ_AD,過點H作HNJ_AE,

不

5FC

,/AB=AC,BD=CD,

??AF垂直平分BC

*/ZDAE=30o,

EG={AE='X,

,/ZBAD=30。,

HM=4AH=4Y，

電在"+）

-?1SAAHE=SAADH+SAADE={ADXHM+2ADXEG"（4-1）+J（4T）X=x=y

--4

*/ZBAC=60°,

/.HNJy，

2^

SAAHE=4-AEXHN=4XEy=jLlxy,

--24

???臣（x+y）=Bxy,

44

當點E與C重合時，x最大是2,

當點H與點B重合時,x最小,y最大是2,此時x的值為（J7-1?=4-26,

即：Y譽562層

【考點】等邊三角形的性質

【解析】解答：（1）在^ADB和^ADC中，

產=皿

JS=.4C

IBD=CD

△ADB合△ADC,

ZBAD=ZCAD=-yZBAC=30°,

.「△ABC是邊長為2的正三角形，

ZACB=ZBAC=60o,

DB=DC,DB±DC,

ZBCD=45o,

ZDCE=15o,

,/ED=EC,

ZAEH=2ZDCE=30o,

ZBAC=60o,

ZAHE=90o,

故答案為：30。,30。,90。；

【分析】（1）依據已知易證△ADB登△ADC,得出NBAD=30）再依據等邊三角形和等腰直角三角形

的性質求出NDC性15°,從而求出NAEH和NAHE的度數。

（2）先求出AD,利用有一個角是30。的直角三角形的性質求出DE,DH即可。

（3）先作出對應三角形的高，利用有一個角是30。的直角三角形的性質表示出EG,HM,HN,利用

SAAEH=SAAED+SAAHD,建立方程即可。

10.【答案】(1)解：(1)四邊形ABCD是平行四邊形,

AD=BC=6.

在RtAADE中，AD=6,ZEAD=30%

AE=AD*cos300=6x￡噸,

DE=AD?sin300=6