函數的表示法

函數的表示法是八年級數學上學期第十八章內容，主要對函數的三個表示法

進行講解，重點是實際問題的函數表示法，難點是數形結合思想的應用的歸納總

結.通過這節課的學習為我們后期學習函數的應用提供依據.

模塊一：解析法

知識精講

1、解析法：用等式來表示一個變量與另一個變量之間函數關系的方法，這個等式稱為函數

的解析式（或函數關系式）.簡單明了，能從解析式了解函數與自變量之間的關系，便于

理論上的分析與研究，但求對應值時需要逐個計算，且有的函數無法用解析式表示.

例題解析

【例1】填空：

（1）正方形的邊長X和面積y之間的函數解析式是；

（2）長方形的周長為10厘米，長是x（厘米），寬是y（厘米），則y關于x的函數解析

式是.

【難度】★

【答案】（1）y=（2）y=5-x.

【解析】（1）根據正方形面積=邊長的平方，即得：y=W；

（2）根據長方形周長=2（長+寬），即得2（x+y）=10,解得:y=5-x.

【總結】考查函數解析式與實際問題的結合應用，用己知量替代即可.

【例2】已知矩形的面積是24平方厘米，其長為y（厘米），寬為x（厘米），則y與x之間

的函數關系的圖像大致在象限，y隨x的增大而.

【難度】★

【答案】第一，減小.

【解析】根據矩形面積計算公式，可得肛=24,即得y=蘭，由x>0,可知函數圖像在第

x

一象限，根據函數性質，％=24>0,可知y隨x的增大而減小.

【總結】考查利用公式解決實際問題與反比例函數的增減性.

【例3】某高速公路全長200公里，汽車以80公里每小時的速度行駛，開了x小時后，剩

下的路程y（公里）關于行駛的時間x（小時）之間的函數關系式為.

【難度】★

【答案】j=200-80%.

【解析】行程=速度X時間，可得汽車行程S=80x,則剩余路程y=200-S=200-80x.

【總結】考查行程問題建立等量關系表示相應的量.

【例4】某人將2萬元現金存入銀行，存款的年利率為1.5%,存入x年，則到期后取出的

本利和y關于期數x的函數解析式為.

【難度】★

【答案】y=20000+300%.

【解析】根據題意可得每年利率為20000xl.5%=300元，

則存入x期到期的本利和為：y=20000+300%.

【總結】考查利息問題，注意所要求解的是哪個量.

【例5】若點P(x,y)在第一、三象限的角平分線上，則用變量x來表示變量y的函數解

析式為.

【難度】★★

【答案】y=x.

【解析】點P(x,y)在一、三象限角平分線上，則有NPOv=45。，且有|x|=|y|,點在一、

三象限，則有x、y同號，由此即可得y=x.

【總結】考查象限角平分線上的點橫縱坐標的關系.

【例6】從A市向B市打長途電話，收費的方式如下：0~3分鐘收費2.4元，3分鐘以后每

加1分鐘加收1元.

(1)求當時間分鐘時(r是整數)，電話費y(元)和時間r(分鐘)之間

的函數關系式；

(2)若某次通話總費用為9.4元，求通話的時間.

【難度】★★

【答案】(1)y=t-0.6；(2)10.

【解析】(1)3分鐘以內收2.4元，超過3分鐘部分為3)分鐘，

由此可得總費用y=2.4+1-3)=r-0.6；

(2)令y=f—0.6=94,解得：r=10.

【總結】考查分段函數的簡單應用.

【例7】在平面直角坐標系尤0），中，直線y=-x繞點。順時針旋轉90。得到直線/,直線/

與反比例函數y=4的圖象的一個交點為4〃，3）,試確定反比例函數的解析式.

X

【難度】★★

【答案】y=~.

X

【解析】直線y=-x繞點O旋轉90。得到直線解析式即為y=x，直線/與反比例函數交于

點433）,即可得交點坐標為（3,3）,（3,3）在反比例函數y=A上，則有K=3,

x3

Q

解得：k=9,即反比例函數解析式為卜=^.

x

【總結】考查特殊正比例函數的旋轉，正反比例函數交點的結合應用.

【例8】將長為38厘米，寬為5厘米的長方形白紙，按如圖所示的方式粘合在一起，粘合

部分白紙為2厘米

（1）求10張白紙粘合后的長度？

（2）設x（張）白紙粘合后的總長為y（厘米），寫出y和x的函數關系式.

【難度】★★

【答案】（1）362cm：（2）y=36x+2.

【解析】（1）粘合處的重疊部分長度為2c切，10張白紙粘合在一起，共有9處重疊,

則粘合后的長度為38*10-2x9=362加；

（2）粘合處的重疊部分長度為2cm,x張白紙粘合在一起，共有（x-1）處重疊，

貝ij粘合后的長度y=38x-2（x-l）=36x+2.

【總結】考查找規律的應用，注意疊合部分的長度.

【例9】某市城建部門經過長期市場調查發現，該市年新建商品房面積P（萬平方米）與市場

新房均價x（千元/平方米）之間存在函數關系尸=25x；年新房銷售面積。（萬平方米）與市

場新房均價M千元/平方米）之間的函數關系為。=型-10.

X

（1）如果年新建商品房的面積與年新房銷售面積相等，求市場新房均價和年新房銷售

總額；

（2）在（1）的基礎上，如果市場新房均價上漲1千元，那么該市年新房銷售總額是增

加還是減少?變化了多少？

【難度】★★

【答案】（1）單價2千元，銷售總額10億元；（2）減少1億元.

ion

【解析】（1）令25》=型-10,整理得：5X2+2X-24=0,解得：x,=-2.4,超=2,

X

即得新房銷售均價為2千元/平方米，銷售總額為0.2x（120+2-10）=10億元；

（2）依題意新房均價為2+1=3千元/平方米，年銷售面積為120+3-10=30萬平方米，

則銷售總額為0.3x30=9億元，即銷售總額減少，減少10-9=1億元.

【總結】考查根據函數解析式解決函數問題，根據題目要求進行計算即可.

【例10】小強利用星期日參加了一次社會實踐活動，他從果農處以每千克3元的價格購

進若干千克草莓到市場上銷售，在銷售了10千克時，銷售收入是50元，余下的他每千

克降價1元出售，全部售完，兩次共銷售收入70元，已知在降價前銷售收入y（元）

與銷售重量x（千克）之間成正比例關系.請你根據以上的信息解答下列問題：

（1）求降價前銷售收入y（元）與售出草莓重量x（千克）之間的函數關系式：

（2）小強共批發購進多少千克的草莓；

（3）小強決定將這次賣草莓賺的錢全部捐給汶川地震災區，那么小強共捐款多少元?

【難度】★★★

【答案】（1）y=5x；（2）15千克；（3）25元.

【解析】（1）售出草莓重量x與銷售收入y成正比，可設y=依，依題意可得10%=50,

解得：k=5＜即得y=5x：

（2）由（1）可知降價前草卷銷售單價為5元/千克，則降價后單價為5-1=4,

由此可得購進草荏總量為10+（70-50）+4=15千克；

（3）小強銷售總利潤為70-15X3=25元,即捐款總額為25元.

【總結】考查函數的分段，對銷售問題的理解應用.

【例11]如圖，奧運圣火抵達某市奧林匹克廣場后，沿圖中直角坐標系中的一段反比例

函數圖象傳遞.動點T（m,〃）表示火炬位置，火炬從離北京路10米處的M點開始傳遞，

到離北京路1000米的N點時傳遞活動結束.迎圣火臨時指揮部設在坐標原點O（北京

路與奧運路的十字路口），04TB為少先隊員鮮花方陣，方陣始終保持矩形形狀且面積

恒為10000平方米（路線寬度均不計）.

（1）求圖中反比例函數的關系式（不需寫出自變量的取值范圍）；

（2）當鮮花方陣的周長為500米時，確定此時火炬的位置（用坐標表示）；

（3）設”,"T,用含f的代數式表示火炬到指揮部的距離：當火炬離指揮部最近時，

確定此時火炬的位置（用坐標表示）.

,

【難度】★★★北

【答案】（1）y=W&；（2）（50,200）或（200,50）：京奧林匹克廣場

路

8T（火炬）

（3）而+20000,（100,100）.鮮花

方陣

【解析】（1）方陣面積恒為10000平方米，

0（指揮部）奧運路

叩得孫=10000,

所以反比例函數解析式為丫=理”；

X

（2）鮮花方陣周長為500,即得2（,"+“）=500,又加?=10000,

解得：In'-2（）0,即得火炬位置對應坐標為（5°，200）或（200,50）；

（3）由.inn=10000）可得：m2+n2=（/?-n）~+2mn=t2+20000,

即得火炬到指揮部距離為J，"2+〃2=>/產+20000,火炬離指揮部距離最近時，則有f=0,

即得“2=n,則火炬位置對應坐標為（100,100）.

【總結】考查反比例函數的綜合應用，轉化為解方程題型即可.

【例12]如圖所示：長方形ABCD中，A8=5,A。=3,點P從A點出發，沿長方形

A8CD的邊逆時針運動，再次回到A點時停止運動，設點P運動的距離是x,AAPC的

面積是y,求y和x的函數關系式及定義域.

【難度】★★★

3

—X(0<x<5)

2

5

—X+20(5<x<8)

【答案】2

3

-x-12(8<x<13)

2

5

——X+40(13<x<16)

2

【解析】由點P的運動軌跡可知,

當0vx<5時，此時點尸在A3邊上,

13

AP=x,y=—AP8C=」x；

’22

當5Vx<8時，此時點P在8C邊上，CP=8-x,

y=；CPA8=g(8-x)x5=-1x+20；

當8Vx<13時，此時點P在CD邊上，CP=x-8,

113

J=-CP-AZ>=-(x-8)x3=-x-12；

當13cx<16時，AP=\6-x,

y=—/4P-CD=-^(16-x)x5=-^x+40.

【總結】考查函數的分段解析式，用題目條件分別對應表

示線段長度再進行代值計算，注意分類討論.

備用圖2

模塊二：列表法

⑥）知識精講

1、列表法：用表格形式來表示一個變量與另一個變量之間函數關系的方法；從表格中直接

找到自變量對應的函數值，查找方便，但無法將自變量與函數值的全部對應值都列出來,

且難以看出規律.

例題解析

【例13】函數、=以2的部分對應值如下表:

X-1012

y202b

根據表格回答問題：

（1）函數的解析式為，定義域為,b=

（2）請再舉一些對應值，猜想該函數的圖像關于對稱.

【難度】★

【答案】（1）y=2x"全體實數，8；（2）y軸.

【解析】（1）函數y=a?過點（1,2）,即得：?=2,則函數解析式為y=2f,對應定義域

為全體實數，令x=2,即得。=y=2x2?=8；

（2）x互為相反數，對應y值相等，可知函數圖像關于y軸對稱.

【總結】考查根據函數圖像上一點確定相應函數解析式并適當猜想應用.

【例14】某商店有鉛筆出售，鉛筆的總售價與所售鉛筆的數量之間的數量關系如下表:

所售鉛筆的數量M支）012345678

售價y（元）00.511.522.533.54

（1）上表反映的變量是和，是自變量，隨的變化而變化,

是的函數；

（2）若出售10支鉛筆，售價應為元；

（3）根據你的預測，付款20元，可買支鉛筆；

（4）請寫出售價y與所售鉛筆數量x的函數關系式.

【難度】★

【答案】（I）鉛筆的數量，售價，鉛筆的數量，售價，鉛筆的數量，售價，鉛筆的數量;

（2）5；（3）40；（4）y=0.5x.

【解析】（1）略（函數相關基本概念）；

（2）根據表格可知，售價與所售鉛筆支數成正比，即可得每支鉛筆單價為0.5元，

出售10支鉛筆，售價為10X0.5=5元；

（3）可買鉛筆支數為20+0.5=40支；

（4）根據總價=單價X數量，即得y=0.5x.

【總結】考查函數的基本定義和判定，總價=單價X數量的關系應用.

【例15】如果函數y=ax+6的部分對應值如下表:

X-2-10123

y6420-2-4

根據表格回答：

（1）求方程ar+6=0的解?

（2）不等式ox+6<0的解集又是多少？

【難度】★★

【答案】（1）x=l；（2）x>l.

【解析】（1）根據表格可知，x=l時，y=0,即得方程?+6=0的解為x=l；

（2）由表格可知，y隨著x的增大而減小，x=l時，y=0,y<0,即y值從0開始

逐漸減小，對應的x值從1開始逐漸增大，即可得"+。<0的解集為x>l.

【總結】考查根據表格確定相應自變量取值范圍，注意相應函數的增減性即可，不需要求解

代值計算.

【例16]在下圖中，每個正方形由邊長為I的小正方形組成:

正方形邊長1357n（奇數）

黑色小正方形個數

正方形邊長2468n（偶數）

黑色小正方形個數

【難度】★★

【答案】1,5,9,13,2n-l：4,8,12,16,In.

【解析】觀察相應圖形可知，分別從"為奇數和偶數觀察，邊長每增加2,黑色小正方形個

數增加4個，〃為奇數，小正方形個數從1開始增長，即得黑色小正方形個數為

1+4（〃-1）+2=2〃-1；”為偶數，小正方形個數從4開始增長，即得黑色小正方形個

數為4+4（〃-2）+2=2〃，即可得到對應表格中的數字.

【總結】考查找規律方法的應用，注意數字之間的變化.

【例17】某市全面推行農村合作醫療，農民每年每人只拿出10元就可以享受合作醫療:

住院費（元）報銷費（％）

不超過3000元部分15

3000?400025

4000-500030

5000-1000035

100000-2000040

超過2000045

設報銷的費用是），元

（1）求住院費不超過3000元時，報銷費），與住院費x元之間的關系;

（2）求住院費不超過4000時，報銷費y與住院費x之間的關系；

（3）某人住院費報銷了805元，求花費的總費用.

【難度】★★★

……15%x(0<x<3000)_

7

【答案】(1)y=\5°/ox；(2)y'；(3)4350兀.

25%x-300(3000<x<4000)

【解析】(1)住院費不超過3000元，報銷費用y與住院費x成正比，則有y=15%x；

(2)住院費不超過4000元，需根據費用是否超過3000元進行分類討論，即：

當04x43000時，y=15%x；

3000<x<400004,y=3000x15%+25%(x-3000)=25%x-300；

(3)由(2)可知費用不超過4000元時，最高報銷費用為25%x4000-300=700元，

由表格知費用不超過5000元時，最高報銷費用為700+(5000-4000)x30%=1000元,

現報銷費用為805元，在700與1000之間，可知住院費用在4000與5000之間，

令y=700+30%a-4000)=805,解得：x=4350,即住院費用為4350元.

【總結】考查分段函數的應用，注意是整體討論還是分段進行討論，是否進行分段計算.

模塊三：圖像法

知識精講

1、圖像法：用圖像來表示一個變量與另一個變量之間函數關系的方法；函數與自變量的

對應關系、函數的變化情況及趨勢能夠很直觀地顯示出來，但從圖像上找自變量與函

數的對應值一般只能是近似的，且只能反映出變量間關系的一部分而不是全體.

2、三種表示法的相互聯系與轉化：由函數的解析式畫函數的圖像，一般分為“列表、描點、

連線''三個步驟，通常稱作描點作圖法；同樣，函數圖像中點的坐標或表格中自變量與

函數的對應值，也是函數解析式所表示的方程的一個解.

俚)例題解析

【例18】一輛客車從上海出發開往北京，設客車發f小時后與北京的距離為S千米，下

列圖像能大致反應S和r的函數關系的是(

【難度】★

【答案】A

【解析】客車發車時，與北京距離最遠，即對應y值最大；客車到達北京時，與北京距離最

近為0,符合條件的圖像為A選項.

【總結】考查圖像法表達函數關系，注意相應函數圖像上的點的意義.

【例19]圖中是某水池有水。(萬噸)與排水時間，小時的函數圖像.試根據圖像，回答

下列問題：

(1)水池內有水萬噸；

(2)向水池內注水小時；每小時注水萬噸；

(3)小時把水排完，每小時排水萬噸.

【難度】★

【答案】(1)100；(2)3,—；(3)5

3

【解析】(1)，=0時，(2=100,

可知水池內原有水100萬噸；

(2)f=3時，水池內水量達到最多Q=300,

可知注水時間為3〃，

注水速度為當二^^=出萬噸；

33

(3)f=8時，水池內水排空，可知排水時間為8-3=5/?,排水速度為±=60萬噸.

5

【總結】考查函數圖像的應用，注意函數上相應特殊點的意義和相應的狀態.

【例20】已知在矩形ABC。中，AB=3,BC=4,點P在8c邊上運動，連結DP,過

點A作AELQP,垂足為E,設。尸=x,AE=y,則能反映y與x之間函數關系的大

致圖像是（）

ABCD

【難度】★★

【答案】C

【解析】根據題意可得s麗m=1AEOP='S矩形.8,即得：芍=12,圖像為反比例函數的

一段，同時易得X的取值范圍為34x45,故選C.

【總結】考查與平行四邊形相關的圖形面積的綜合應用，兩個變量之積不變成反比例.

【例21]如圖是一位同學騎自行車出行時，所行路程sa%）和時間f（機山）的函數關

系圖像，從中得到正確的信息是（）

7s￡千米）

A.整個行程的平均速度是一km/h

60

B.前20分鐘的速度比后半個小時的速度慢

C.前20分鐘的速度比后半個小時的速度快

D.從起點到達終點，該同學共用了50分鐘

【難度】★★

【答案】C10203040506070t（min）

【解析】根據函數圖像，可知這位同學行程為7切/,行車時間為60min=l/?,得平均速度為

7加7/〃，故A、D錯誤，同時根據圖像的傾斜程度，即可確定相應的平均速度快慢，

直線越陡峭，速度越快，可知前20分鐘比后半個小時速度快，B錯誤，C正確.

【總結】考查對函數圖像上點的意義的理解應用.

【例22】折線表示一輛電瓶車的行程圖，騎車者7:30離開家，14時回到家，根據圖像

中提供的有關信息，解答下列問題:

(1)離家最遠的地方離家_________一千米;

(2)在目的地游玩并午餐用了_____一分鐘；

(3)回家所用的時間是____________

(4)回家的平均速度.

【難度】★★

【答案】(1)10；(2)192；(3)0.8/?

(4)12.5km/h.

【解析】(1)根據圖像y的最大值為10,即離家最

遠距離為10千米;

(2)10——13.2期間圖像y值保持不變，在此期間即為游玩并午餐時間,

共用時(13.2-10)x60=192分鐘;

(3)回家時間為14—13.2=0.8/?；

(4)回家平均速度為10+0.8=12.5m/".

【總結】考查對函數圖像上點的意義的理解應用.

【例23】小華、爸爸、爺爺同時從家中出發，到達同一目的地后立即返回，小華去時騎

自行車，返回時步行，爺爺去時步行，返回時騎自行車，爸爸往返都步行，三人步行速

度不等，小華與爺爺騎車的速度相等，每個人的行走路程與時間的關系可用下面三個圖

象分別表示，根據圖象回答下列問題：

(2)小華家距離目的地多遠？

(3)小華和爺爺騎車的速度是多少?三人的步行速度分別是多少？

【難度】★★

【答案】(1)第一個圖像對應爺爺，第二個圖像對應爸爸，第三個圖像對應小華：

(2)1200w；(3)小華和爺爺騎車速度為200m/min,爺爺步行速度為60〃?/min,

爸爸步行速度為100m/min，小華步行速度為80〃?/min.

【解析】（1）根據圖像的傾斜程度，即可確定相應的平均速度快慢，直線越陡峭，速度越快，

可知第一個圖為先步行后騎車，表示爺爺，第二個圖為來回都步行，表示爸爸，第三個

圖為先騎車后步行，表示小華；

（2）根據圖像可知小華到達的最遠距離為1200,〃，即小華家與目的地距離為1200加；

（3）根據圖像，小華與爺爺騎車6min到達目的地，騎車速度為1200+6=200而min；

圖像一，爺爺步行20min到達目的地，步行速度為1200+20=60〃?/min；爸爸步行

12min到達目的地，步行速度為1200+12=100w/min；小華步行21-6=15min到家，

步行速度為1200+15=85〃/min.

【總結】考查對函數圖像法的觀察分析，根據直線的傾斜程度即可判斷相應的速度大小解決

問題.

【例24】某水電站的蓄水池有2個進水口，1個出水口，每個進水口進水量與時間的關

系如圖（甲）所示，出水口出水量與時間的關系如圖（乙）所示.已知某天0點到6點，進

行機組試運行，試機時至少打開一個水口，且該水池的蓄水量與時間的關系如圖丙所示,

根據圖像說明：

（1）進水口單位時間內進水量是多少?出水口單位時間內出水量是多少？

（2）求0點到3點這段時間水池內水量y與時間x的函數解析式及定義域；

（3）試說明3到4點和4點到6點這個時間段內進出水口的開放情況.

【難度】★★

【答案】（1）1萬立方米/時，2萬立方米/時；（2）y=2x（OW）；（3）3點到4點開

放1個進水口，1個出水口；4點到6點開放2個進水口，1個出水口.

【解析】（1）根據（甲）圖像可知，1小時進水1萬立方米，即單位時間進水量為1萬立方

米/時；根據（乙）圖像可知，1小時出水2萬立方米，即單位時間出水量為2萬立方米/時；

（2）根據圖像可知,0點到3點函數為正比例函數，設函數解析式為y=kx,函數過點（3,6）,

則有弘=6,解得：k=2,即相應函數解析式為y=2x（OWx<3）；

（3）根據圖像可知3點到4點之間1小時減少1立方米，至少開放1個進水口，則為開放

1個進水口，1個出水口；4點到6點之間2小時內水量保持不變，至少開放1個進水

口，則為開放2個進水口，1個出水口.

【總結】考查進出口問題，注意觀察函數圖像體現的單位時間內水量變化情況，確定相應的

進水口和出水口的開放情況.

【例25】小剛從家門口騎車去單位上班，先走平路到達A,再走上坡路到達8,最后走

下坡路到達單位，所用的時間和路程的關系如圖所示，下班后，如果他按照原路返回，

且走平路、上坡路、下坡路的速度分別保持和上班的時候一致,求他從單位到家的時間.

【難度】★★路程“（千米）

【答案】15分.

【解析】根據圖像可知，小剛走上坡路騎車

速度為2」=」切1/min,小剛走下坡路

8-35

騎車速度為3~^=-km/min?從單位

12-82

到家的過程中，先走上坡路，

再走下坡路，最后走平路，

則到家所需時間為（4-2）《+（2-1）+；+3=15分鐘.

【總結】考查函數圖像傾斜程度的意義，根據一定時間內的行程即可確定相應行車速度.

【例26】函數y=*。20）,必=々》＞0）的圖像如圖所示，則結論：①兩函數圖像的交

X

點A的坐標為（2,2）；②當x＞2時,y＞為；③當x=l時,8C=3；④當x逐漸增大

時，/隨著x的增大而增大，為隨著x的增大而減小.其中正確的結論的序號是

【難度】★★

【答案】①③④

A

【解析】令x=—,解得：x=12,由x>0,則有x=2,止匕時y=x=2,

x

即得交點坐標（2,2）,①正確；對同一x值而言，函數圖像在上方即相應函數值越大，

x>2時與在%上方，即%>%，②錯誤;令x=l，得8（1,1）,C（l,4）,則有8c=3,

③正確；根據正比例函數和反比例函數的增減性，x>0時，4=1>0,正比例函數x隨

x增大而增大，A=4>0,反比例函數丫2隨x增大而減小，可知④正確；

綜上，①③④正確.

【總結】考查正反比例函數性質和交點的結合應用.

【例27】在四邊形48a>中，動點P從A開始沿的路徑勻速運動到。為止,

在這個過程中，設△APO的面積是S,運動的時間為r,則S關于，的函數圖像為

【難度】★★

【答案】D

【解析】根據題意，點P在移動過程中，S先從0增大，然后保持不變，最后減小為0,由

此排除A、C選項，同時，由C￡>>M，可知點P在C￡>上運動時間長于在上運動

時間，即圖形面積變化相對慢，排除B,故選D.

【總結】考查動點問題，根據點的移動確定相應的圖形面積表示，同時注意相應線段的傾斜

程度表示面積變化的快慢.

【例28]如圖，表示玲玲騎自行車離家的距離與時間的關系，她9點鐘離開家，15點

回到家，請根據圖像回答下列的問題：

(1)玲玲到達離家最遠的地方是什么時

間，離家多遠？

(2)她何時開始第一次休息？休息了多

長時間？

(3)第一次休息時，離家多遠？

(4)11：00~12:00她騎了多遠？

(5)她在9:00~10:00和10:00~10:30的平

均速度是多少？

(6)她在何時至何時停止休息用午餐？

(7)她在停止前進后返回，騎了多少千

米？

(8)返回時的平均速度是多少？

【難度】★★★

【答案】略

【解析】(1)根據圖像可知玲玲到達離家最遠的地方時間是12：00,離家30初/:

(2)10:30開始休息，休息時間為30分鐘；

(3)第一次休息時離家17Am；

(4)11:00~12:00行程為30-17=13Am；

(5)9:00~10:00平均速度15+1=15癡/〃，10:00~10:30平均速度(17-15):0.5=4帆//?：

(6)12:00~13:00停止休息用午餐;

(7)停止前進后返回騎了30k”；

(8)返回時平均速度為30+(15-13)=15%/〃.

【總結】考查對函數圖像的觀察，注意函數上各個節點的意義.

【例29】在平面直角坐標系中，一動點P(x,y)從M(1,0)出發，沿由A(-1,1),

B(-1,-1),C(1,-1),D(1,1)四點組成的正方形邊線(如圖1)按一定方向運動.

圖2是P點運動的路程s(個單位)與運動時間f(秒)之間的函數圖象，圖3是尸點

的縱坐標y與P點運動的路程s之間的函數圖象的一部分.

(1)s與，之間的函數關系式是；

(2)與圖③相對應的P點的運動路徑是；尸點出發秒首次到達點B：

(3)補全圖3中函數圖象.

【答案】(1).v=-r(r>0)；(2)M-D-A-N,10；(3)如圖.

【解析】(1)圖像為正比例函數的一部分，過點(2,1),即得：5=！?壯0)；

(2)根據縱坐標的變化，可知運動路線為A7—￡>—A—N,^-s=-t=5,得：r=10

2;

(3)如圖.

【總結】考查動點問題的應用，主要運動過程中的量的變化.

隨堂檢測

【習題1】與函數y=-3x的圖像關于x軸對稱的圖像的函數解析式為

【難度】★

【答案】y=3x.

【解析】函數圖像關于軸對稱，即對同一個x值而言，y值互為相反數，任取函數圖像上一

點即可確定對稱的函數解析式為y=3x.

【總結】根據題目條件在原函數上找一些相應的特殊點進行解題計算.

【習題2】某水庫在汛期當水庫內貯滿水時，泄洪閘會自動打開，到水庫內剩下一半水量

時停止排水，當水庫再次注滿水后，又一次自動將水量排剩一半，假設水庫的進水量和

排水量都是勻速的，這一過程中水庫的存水量v與時間f之間函數關系的大致圖像是

【難度】★

【答案】D

【解析】依題意可得水庫水量最低位為原水量一半，從全滿到排到一半到全滿，沒有排空的

過程，即可排除A、B、C選項，D正確.

【總結】考查根據描述的情境題目確定相應的大致函數圖像.

【習題3】小張第一次離家到縣城上學，假期回家寫了一首小詩：”首次離家今日返，父親

早早到車站，父子見面細端詳，雙雙高興把家還若用y表示小張和父親行進中離開

家的距離，用x表示父親離家的時間，則與詩意大致吻合的圖像是（）

【難度】★

【答案】B

【解析】依小詩所表達的題意可知父親比小張早到車站，小張再經過一段時間后才到達車站

與父親碰面，兩人在車站聊了一會才回家的，在函數圖像上的反饋即為B選項.

【總結】考查根據描述的情境題目確定相應的大致函數圖像.

【習題4】某市為鼓勵居民節約用水，對自來水用戶按分段計費方式收取水費，若每月用

水不超過7〃3則按1元加收費：若每月用水超過7加，則超過部分按2元加收費.如

果某居民戶今年5月繳納了17元水費，那么這戶居民今年5月的用水量為多少立方米?

【難度】★★

【答案】12.

【解析】設居民用水量為x立方米，用水量不超過7加時，最高收費為7元，現收費17元，

可知xN7,則用費應該分段計算，依題意則有7+2（x-7）=17,解得：x=12,

即這戶居民5月用水量為12立方米.

【總結】考查函數的分段問題.

【習題5】某市的空調公共汽車的票價按下列規則制定：

（1）5公里以內（含5公里），票價2元.（不足5公里的，按5公里計算）

（2）5公里以上，每增加5公里，票價增加1元.已知相鄰的兩個公共汽車站之間相

距1公里，如果沿途（包括起點和終點）共有21個站點，請根據題意，寫出票價y與

里程x之間的函數解析式，并畫出函數圖象.

【難度】★★

2（0<x<5）

3（5<x<10）

【答案】y=<）、，圖像略

4（10<x<15）

5（15<x<20）

【解析】全程共有21個站點，每兩個站點相距1公里，可知全程為20公里，每5公里票價

增加I元，可將函數分為4段，每段為5公里，由此即得：當0<x45時，y=2；

當5cxM10時，y=3；當10<x415時，y=4；當15<x420時，y=5,圖像略.

【總結】考查分段函數的應用，根據題意確定好分段標準即可.

【習題6】夏日的一個星期六，小紅全家上午8時自駕車從家出發，到距她家180的？的

一旅游景點去玩，若小紅離家的距離s(to)與時間f(力)的關系可以用下圖中的折線

表示，根據圖象提供的信息，解答下列問題:

(1)小紅全家是幾點鐘到達目的地?游玩了多少小時?

(2)求出返程途中，距離s(km)與時間1(h)的函數關系式(不要求寫出自變量的

取值范圍)；

(3)小紅全家是什么時間到家的?返回時小汽車的平均速度是多少?

【難度】★★

【答案】(1)10點鐘到達，游玩了4小時；

(2)5=-90r+1440：(3)16點到家，

返程平均速度為9Qhji/h.

【解析】(1)根據函數圖像可知小紅全家10

點鐘到達目的地，10-14時期間在旅游景

點，可知全家游玩時間為14-10=4/?：

(2)設函數解析式為5=公+〃，函數過點

04,18。)，(15,9。)，則有‘

解得：k=-9O,b=1440,即得相應函數關系式為s=-90f+1440；

(3)令s=—98+1440=0,解得：/=16,即小紅全家16點到家，

返回時小汽車平均速度為180+(16-14)=90km/h.

【總結】考查根據函數圖像確定相應的運動情況，根據橫縱坐標軸表示的量確定相應的函數

關系.

【習題7】用洗衣粉洗衣物時，漂洗的次數與衣物中洗衣粉的殘留量近似地滿足反比例函

數關系，寄宿生小紅、小敏晚飯后用同一種洗衣粉各自洗一件同樣的衣服，漂洗時，小

紅每次用一盆水(約10升)，小敏每次用半盆水(約5升)，如果她們都用了5克洗衣

粉，第一次漂洗后，小紅的衣服中殘留的洗衣粉還有1.5克，小敏的衣服中殘留的洗衣

粉還有2克.

(1)請幫助小紅、小敏求出各自衣服中洗衣粉的殘留量y與漂洗次數x的函數關系式;

(2)當洗衣粉的殘留量降至0.5克時，便視為衣服漂洗干凈，從節約用水的角度來看，

你認為誰的漂洗方法值得提倡，為什么？

【難度】★★

a?

【答案】(1)小紅：%=上，小敏:y.=-；⑵小敏.

2xx

【解析】(1)根據題意可分別設小紅、小敏洗衣粉殘留量與漂洗次數解析式為％=2和

X

必=4，函數分別過(1,1.5)和(1,2),即可得：仁=1.5,幺=2,即得相應函數解析式

X

分別為x=--和必=2；

2xx

(2)4-y,=—=0.5,解得x=3,小紅漂洗干凈至少用水3*10=30L；4-y=-=0.5,

2xx2

解得：x=4,小敏漂洗干凈至少用水4x5=20L；20<30,從節約用水來說，

可知小敏的漂洗方法值得提倡.

【總結】考查反比例函數的實際應用問題，根據題目條件解決問題.

【習題8】依法納稅是每個公民應盡的義務.《中華人民共和國個人所得稅法》規定，公

民每月收入不超過3500元，不需交稅；超過3500元的部分為全月應納稅所得額，都應

納稅，且根據超過部分的多少按不同的稅率納稅，詳細的稅率如下表：

級別全月應納稅所得額稅率(％)

1不超過1500元的3

2超過1500元至4500元的部分10

3超過4500元至9000元的部分20

4超過9000元至35000元的部分25

(1)某工廠一名工人2016年5月的收入為4000元，問他應交稅款多少元？

(2)設x表示公民每月收入(單位：元)，y表示應交稅款(單位：元)，當6000WxW8000

時，請寫出y關于x的函數關系式；

(3)某公司一名職員2016年8月應交稅款600元，問該月他的收入是多少元？

【難度】★★

【答案】(1)15；(2)y=10%x—455：(3)9275元.

【解析】(1)月收入4000元，則全月應納所得稅額為4CXX)-3500=500元，根據稅率表，

則應交稅款為500x3%=15元；

(2)6000WxW8000時，全月應納所得稅額2500Vx-350044500,由此可得應交稅款分

為兩部分，則有y=1500x3%+a-3500-1500)/0%=10%x-455；

(3)若工資在8000元以下，最高稅款為10%x8000-455=345元，工資在12500元以下,

最高稅款為20%x4500+10%x3000+3%x1500=1245元，可知該職工收入在

8000-12500之間，依題意有345+20%(x-8000)=600,解得：x=9275,

即這名職工該月收入為9275元.

【總結】考查分段函數的實際應用，納稅問題，注意先判斷所處范圍再進行計算.

【習題9】如圖，在甲、乙兩同學進行400米跑步比賽中，路程s(米)與時間f(秒)

之間的函數關系的圖像分別為折線OA8和線段OC,請根據圖上信息回答下列問題：

(1)先到達終點；

(2)第秒時，追上__________；

(3)比賽全程中，的速度始終保持不變；

(4)寫出優勝者在比賽過程中所跑的路程s(米)與時間/(秒)之間的函數關系式

【難度】★★★

【答案】(1)乙；(2)40,乙，甲；(3)乙；

(4)S=8r.

【解析】(1)根據圖像可知，線段OC表示先到達

終點，即乙先到達終點；

(2)兩人相遇，即兩者距離為0,由圖像可知在40s

時兩人相遇，甲在前，即乙追上甲；

(3)乙的圖像為一條直線，表示速度不變；

(4)乙為優勝者，函數圖像為正比例函數，可設函

數解析式為s="f，50s時乙到達終點，即函數

過點(50,400),則有50a=400,解得:”=8,即相應函數解析式為s=&.

【總結】考查根據函數圖像判斷運動情況，函數圖像傾斜程度表示速度大小.

【習題10]如圖，在長方形A8CD中，以對角線AC與的交點。為原點，建立直角坐

標系，使x軸和y軸分別與兩組對邊平行，已知長方形的長為25,寬為16,分別求直

線AC和BD所對應的函數解析式.

【難度】★★★

【答案】AC:y=-—X,BD:y=—x.

■2525

【解析】根據矩形的性質可知A、。兩點關于y軸對稱，A、

5兩點關于x