專題三

函數及其性質——高考數學考前三個月速記清單一、函數的性質及其應用（一）函數的概念三要素：定義域（解析式有意義），對應關系（常用換元法求解析式），值域（由定義域與對應關系共同確定）；分段函數：“分段”研究；復合函數：“分層”研究；抽象函數：常用“賦值法”.（二）函數的性質函數的單調性優先確定函數的定義域；復合函數單調性（同增異減）.函數的最值定義：一般地，設函數的定義域為I，如果存在實數M滿足：，都有；，使得.那么，我們稱M是函數的最大值.定義：一般地，設函數的定義域為I，如果存在實數M滿足：，都有；，使得.那么，我們稱M是函數的最小值.函數的奇偶性奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱.確定函數的奇偶性，務必先判斷函數的定義域是否關于原點對稱.對于偶函數而言，有.函數的周期性定義：圖像特征：圖像按一定規律重復出現.函數的對稱性若函數滿足，即，則的圖像關于直線對稱；若函數滿足，即，則的圖像關于點對稱；若函數滿足，則的圖像關于直線對稱.二、基本初等函數（一）指數與對數的七個運算公式.2..3..4..5.6.7..（二）指數函數與對數函數的圖像與性質指數函數對數函數圖像單調性0<a<1時，在R上單調遞減；a>1時，在R上單調遞增0<a<1時，在上單調遞減；a>1時，在上單調遞增指數函數對數函數函數值性質0<a<1，當x>0時，0<y<1；當x<0時，y>10<a<1，當x>1時，y<0；當0<x<1時，y>0a>1，當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1a>1，當x>1時，y>0；當0<x<1時，y<0（三）冪函數的圖象與性質函數y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝eq\f(1,x)定義域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函數偶函數奇函數非奇非偶函數奇函數單調性在R上遞增在(－∞，0)上遞減，在(0，＋∞)上遞增在R上遞增在(0，＋∞)上遞增在(－∞，0)和(0，＋∞)上遞減圖象過定點(0,0)，(1,1)(1,1)冪函數在區間(0,＋∞)上，當時，是增函數；當時，是減函數．（四）函數與方程1.函數的零點及函數的零點與方程根的關系對于函數f(x)，把使f(x)＝0的實數x叫做函數f(x)的零點，函數F(x)＝f(x)－g(x)的零點就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數y＝f(x)的圖象與函數y＝g(x)的圖象交點的橫坐標.2.零點存在性定理如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數y＝f(x)在區間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的一個根．3.函數f(x)的圖像與x軸有公共點方程f(x)＝0有實數根函數f(x)有零點.(五）函數與方程及應用1.方程f（x）=0有實數根函數y=f（x）的圖像與x軸有交點函數y=f（x）有零點.2.思想方法：數學方法：圖象法、分離參數法、最值的求法．數學思想：數形結合、轉化與化歸、函數與方程．（六）判斷函數零點個數的方法1.直接求零點：令f(x)＝0，則方程解的個數即為零點的個數．2.零點存在性定理：利用該定理不僅要求函數在[a，b]上是連續的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結合函數的圖象和性質(如單調性)才能確定函數有多少個零點．3.數形結合：對于給定的函數不能直接求解或畫出圖形，常會通過分解轉化為兩個函數圖象，然后數形結合，看其交點的個數有幾個，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．（七）易錯易混1.判斷函數奇偶性時忽略定義域；2.利用換元法證明或求解時忽略“新元”的范圍變化；3.混淆“單調區間”與“