*§5數學歸納法南陽市五中要點數學歸納法(1)概念：用來證明某些與正整數n有關的數學命題的一種方法．(2)步驟：①證明：當n取第一個值n0(n0是一個確定的正整數，如n0＝1或2等)時，命題成立；②假設當n＝k(k∈N＋，k≥n0)時命題成立，證明當n＝k＋1時，命題也成立．根據①②可以斷定命題對一切從n0開始的正整數n都成立．1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)推證n＝k＋1時可以不用n＝k時的假設．(

)(2)所有與正整數有關的數學命題都必須用數學歸納法證明．(

)(3)不管是等式還是不等式，用數學歸納法證明時由n＝k到n＝k＋1時，項數都增加了一項．(

)(4)用數學歸納法證明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，驗證n＝1時，左邊式子應為1＋2＋22＋23.(

)×××√

答案：D

3．用數學歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的過程中，第二步n＝k時等式成立，則當n＝k＋1時應得到(

)A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1答案：D解析：因為將式子：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1中n用k＋1替換得：當n＝k＋1時，有1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1.故選D.

用數學歸納法證明等式的策略應用數學歸納法證明等式時需要確定兩個式子的結構，即：(1)n＝n0時，等式的結構．(2)n＝k到n＝k＋1時，兩個式子的結構：n＝k＋1時的代數式比n＝k時的代數式增加(或減少)的項．這時一定要弄清三點：①代數式從哪一項(哪一個數)開始，即第一項．②代數式相鄰兩項之間的變化規律．③代數式中最后一項(最后一個數)與n的關系．

用數學歸納法證明不等式的四個關鍵(1)驗證第一個n的值時，要注意n0不一定為1，若n>k(k為正整數)，則n0＝k＋1.(2)證明不等式的第二步中，從n＝k到n＝k＋1的推導過程中，一定要用歸納假設，不應用歸納假設的證明不是數學歸納法，因為缺少歸納假設．(3)用數學歸納法證明與n有關的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進行證明；二是給出兩個式子，按要求比較它們的大小．對第二類形式往往要先對n取前k個值的情況分別驗證比較，以免出現判斷失誤，最后猜出從某個k值開始都成立的結論，常用數學歸納法證明．(4)用數學歸納法證明不等式的關鍵是由n＝k時成立，得n＝k＋1時成立，主要方法有比較法、放縮法等．

(2)由(1)猜想數列{an}的通項公式，并且用數學歸納法證明你的猜想．

2．“歸納—猜想—證明”解決的主要問題(1)已知數列的遞推公式，求通項公式或前n項和．(2)由一些恒等式，不等式改編的一些探究性問題，求使命題成立的參數值是否存在．(3)給出一些簡單命題(n＝1，2，3……)，猜想并證明對任意正整數n都成立的一般性命題．提醒：①計算特例時，不僅僅是簡單的算數過程，有時要通過計算過程發現數據的變化規律；②猜想必須準確，絕對不能猜錯，否則將徒勞無功．③如果猜想出來的結論與正整數n有關，一般用數學歸納法證明．跟蹤訓練3

設數列{an}滿足a1＝3，an＋1＝3an－4n.(1)計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；(2)求數列{2n·an}的前n項和Sn.解析：(1)由題知，a2＝5，a3＝7.猜想an＝2n＋1.證明如下：①當n＝1時，顯然成立．②假設當n＝k(k∈N＋)，ak＝2k＋1(k∈N＋)成立，則當n＝k＋1時，ak＋1＝3ak－4k＝3(2k＋1)－4k＝2k＋3＝2(k＋1)＋1，∴當n＝k＋1時也成立，由①②知an＝2n＋1，猜想成立．(2)由(1)得2nan＝(2n＋1)2n，所以Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n.①從而2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1.②①－②得－Sn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋