第2課時等差數列的概念及其通項公式(二)南陽市五中要點一等差數列與一次函數的關系由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其圖象是直線y＝dx＋(a1－d)上的一些等間隔的點，這些點的橫坐標是正整數，其中公差d是該直線的________，即自變量每增加1，函數值增加d.當d>0時，數列{an}為________，如圖甲所示．當d<0時，數列{an}為________，如圖乙所示．當d＝0時，數列{an}為________，如圖丙所示．斜率遞增數列遞減數列常數列

項目等差數列一次函數解析式an＝kn＋b(n∈N*)f(x)＝kx＋b(k≠0)不同點定義域為N*，圖象是一系列孤立的點(在直線上)定義域為R，圖象是一條直線相同點等差數列的通項公式與函數的解析式都是關于自變量的一次整式

等差

1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)數列{an}的通項公式為an＝3n＋5，則數列{an}的公差與函數y＝3x＋5的圖象的斜率相等．(

)(2)等差數列{an}的單調性與公差d有關．(

)(3)若三個數a，b，c滿足2b＝a＋c，則a，b，c一定是等差數列．(

)(4)任意兩個實數都有等差中項．(

)√√√√2．已知點(1，5)，(2，3)是等差數列{an}圖象上的兩點，則數列{an}為(

)A．遞增數列

B．遞減數列C．常數列

D．無法確定答案：B

3．若5，x，y，z，21成等差數列，則x＋y＋z的值是(

)A．26B．29C．39D．52答案：C解析：因為5，x，y，z，21成等差數列，所以y既是5和21的等差中項也是x和z的等差中項，所以5＋21＝2y，∴y＝13，∴x＋z＝2y＝26∴x＋y＋z＝39.故選C.4．在△ABC中，三個內角A、B、C成等差數列，則B等于________.60°解析：因為三個內角A、B、C成等差數列，所以2B＝A＋C，又因為A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，所以B＝60°.題型一等差數列與一次函數的關系例1

已知(2，1)，(4，5)是等差數列{an}圖象上的兩點．(1)求這個數列的通項公式；(2)判斷(n，17)是否是{an}圖象上的點，若是，求出n的值，若不是，說明理由；(3)判斷這個數列的增減性，并求其最小正數項．

(1)根據等差數列圖象上的兩點求通項公式的一般方法是設出an＝dn＋b，將圖象上的點代入，求d，b.(2)判斷等差數列增減性的方法主要有兩種，一是公差法：d>0遞增；d<0遞減；d＝0不單調．二是圖象法：圖象上升遞增；下降遞減；圖象不上升也不下降，不單調．跟蹤訓練1

在數列{an}中，a1＝3，a10＝21，已知該數列的通項公式是關于n的一次函數，則a2021＝________．4043

題型二等差中項例2

已知三個數成等差數列，其和為15，其平方和為83，則這三個數分別為________．答案：3，5，7或7，5，3

變式探究已知四個數成等差數列，它們的和為26，中間兩項的積為40，求這四個數．

當等差數列{an}的項數n為奇數時，可設中間的一項為a，再以d為公差向兩邊分別設項，即設為…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；當等差數列的項數n為偶數時，可設中間兩項分別為a－d，a＋d，再以2d為公差向兩邊分別設項，即設為…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….

題型三等差數列性質的應用例3

(1)在等差數列{an}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，則an＝________________．(2)在等差數列{an}中，a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，且ak＝13，則k＝________．2n－7或－2n＋1318

跟蹤訓練3

(1)在等差數列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，則3a9－a13的值為(

)A．20B．30C．40D．50(2)設數列{an}，{bn}都是等差數列，且a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝________．答案：(1)C

(2)35解析：(1)∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20.∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.故選C.(2)因為{an}，{bn}都是等差數列所以{an＋bn}是等差數列設{an＋bn}的公差為d則(a3＋b3)－(a1＋b1)＝2d∴d＝7∴a5＋b5＝(a3＋b3)＋2d＝21＋2×7＝35.題型四等差數列的實際應用例4

某公司經銷一種數碼產品，第1年可獲利200萬元．從第2年起，由于市場競爭等方面的原因，其利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規律，如果公司不開發新產品，也不調整經營策略，從哪一年起，該公司經銷這一產品將虧損？解析：設從第1年起，第n年的利潤為an，則由題意知a1＝200，an－an－1＝－20(n≥2，n∈N＋)．所以每年的利潤an可構成一個等差數列{an}，且公差d＝－20.從而an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.若an<0，則該公司經銷這一產品將虧損，由an＝220－20n<0，得n>11，即從第12年起，該公司經銷此產品將虧損．解決實際應用問題，首先要認真領會題意，根據題目條件，尋找有用的信息．若一組數按次序“定量”增加或減少時，則這組數成等差數列．合理地構建等差數列模型是解決這類問題的關鍵，在解題過程中，一定要分清首項、項數等關鍵的問題．跟蹤訓練4

某市出租車的計價標準為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4km(不含4km)計費10元．如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，求需要支付的車費．解析：根據題意，當該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一個等差數列{an}來計算車費．令a1＝11.2，表示4km處的車費，公差d＝1.2，那么當出租車行至14km處時，n＝11，此時需要支付車費a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．易錯辨析混淆等差數列的公共項問題中n的取值致錯例5

兩個等差數列5，8，11，…和3，7，11，…都有100項，那么它們共有多少相同的項？

1．已知數列{an}的通項公式是關于n的一次函數，a3＝7，a7＝19，則a10的值為(

)A．26B．28C．30D．32答案：B

2．已知m和2n的等差中項是4，2m和n的等差中項是5，則m和n的等差中項是(

)A．