04四月20251

電路定理04四月20252§4-1疊加定理1.定理的內容：對于線性電路，任何一條支路的電流(或電壓)，都可以看成是各個獨立源分別單獨作用時，在該支路所產生的電流(或電壓)的代數和。+-uSR1iSR2i2+-u1①R11+R21un1=iS+R1uSun1=R1+R2R1R2iS+R2uS2.定理的證明用結點法。()R1+R2i2

=un1R2=R1+R2R1iS+1uSR1+R2=

un1(1)+

un1(2)=

i2(1)+

i2(2)04四月20253結論

結點電壓和支路電流均為各電源的一次函數，均可看成各獨立電源單獨作用時，產生的響應之疊加。+-uSR1iSR2i2+-u1①R11+R21un1=iS+R1uSun1=R1+R2R1R2iS+R2uS()R1+R2i2

=un1R2=R1+R2R1iS+1uSR1+R2=

un1(1)+

un1(2)=

i2(1)+

i2(2)3.說明①疊加定理只適用于線性電路。②一個電源作用，其余電源為零：電流源為零—開路。電壓源為零—短路。

見下列示意圖：04四月20254兩個電源共同作用=+-uSR1iSR2i2結果為+電壓源單獨作用R1+R2R1iS

i2(1)=

i2(2)=uSR1+R2+-uSR1iSR2i2(1)+-uSR1R2i2(2)i2=i2(1)+

i2(2)結果為所以電流源單獨作用04四月202553.說明(續)③疊加時要注意各分量的參考方向；④功率不能疊加(功率是電壓和電流的乘積，為電源的二次函數)！⑤疊加方式是任意的，電源可以單獨作用，也可以按組作用。⑥含受控源的線性電路也可用疊加，但受控源應始終保留。

P=i2R=

(i'

+i''

)2R，

P

i'

2R+

i''

2R04四月20256

以上以兩個電源為例作了說明。對于任何線性電路，當電路有g個電壓源和h個電流源時，任意一處的電壓uf

和電流if

都可以寫成以下形式：疊加原理是線性電路的根本屬性，它一方面可以用來簡化電路計算，另一方面，線性電路的許多定理可以從疊加定理導出。在線性電路分析中，疊加原理起重要作用。uf=∑m=1g

kfm

uSmKfm

iSm∑m=1hif=∑m=1g

k'fm

uSm++K'fm

iSm∑m=1h04四月20257I2A70V+-10

5

2

4

4.解題指導例1：求電壓源的電流及發出的功率。解：畫出分電路圖。2A70V+-10

5

2

4

I(2)

2A電流源作用：=+I(1)=0。I(1)70V+-10

5

2

4

2A

70V電壓源作用：I(2)=707+7014=15AI=I(1)+I(2)=15

A

P發=70

15=1050W電橋平衡應用疊加定理使計算簡化。04四月20258例2：計算電壓u。-+6V6W1Wu+-12V3W3A+-2A-+6V6W1Wu(1)+-12V3W3A+-2A=解：畫出分電路圖計算①3A電流源作用時：u(1)=3

[(6//3)+1]u(2)=6i(2)-6

u

=u(1)+u(2)=17V

疊加方式是任意的，可以單干，亦可按組。取決于分析計算的簡便與否。②其它電源作用時：+-+6V6W1Wu(2)+-12V3W3A+-2Ai(2)2A+-2V+2

=8V=9Vi(2)

=(6+12)/(6+3)=2A

04四月20259例3：計算電壓u、電流

i。2i+-1W2Wi+-10V+-u5A2i(1)+-1W2Wi(1)+-10V+-5Au(1)2i(2)+-1W2W+-10V+-5Ai(2)u(2)解：畫分電路。10V電源作用：10=(2+1)i(1)+2i(1)i(1)=2Au(1)=1

i(1)+2i(1)5A電源作用：i(2)+52i(2)i(2)=-1Au(2)=-2i(2)=2Vu

=6

+2=8Vi

=2

+(-1)=1A

受控源要始終保留！=3i(1)=6V+1

(i(2)+5)+2i(2)

=004四月202510例4：封裝好的電路如圖。無源線性網絡iiS+-uS已知下列實驗數據：當iS=1A時，uS=1V，響應i=2A；當iS=2A時，uS=-1V，響應i=1A；求iS=5A時，uS=-3V，響應i=？解：根據疊加定理代入實驗數據：i=k1iS+k2uSk1+k2=2

2k1-k2=1

k1

=1，

k2

=1i=1

5+1

(-3)解之得=2A

本例給出了研究激勵與響應關系的實驗方法。04四月2025115.齊性定理f(Kx)=

K

f(x)

當所有激勵(電壓源和電流源)都增大或縮小K倍(K為實常數)時，響應(電流和電壓)也將同樣增大或縮小K倍。

首先，激勵指獨立電源；其次，必須全部激勵同時增大或縮小K倍。Kif

=∑m=1g

k'f

m

uSm+K'fm

iSm∑m=1h()K

顯然，當電路中只有一個激勵時，響應將與激勵成正比。用齊性定理分析梯形電路特別有效。04四月202512舉例說明

求各支路電流。采用“倒退法”i'3

=3A。+-26VR1R2i21

i11

uSR11

i3i4R21

iLRL2

ABC設i'L

=1A，得u'BC

=2V。i'4

=2A。

u'AC

=5V。i'2

=5A。i'1

=8A。

u'S

=13V。再用齊性定理修正：將u'S增大K

=uSu'S=2613

=2(倍)i1=K

i'1=16Ai2=K

i'2=10Ai3=K

i'3=6Ai4=K

i'4=4AiL=K

i'L=2A04四月202513§4-2替代定理1.

替代定理對于給定的一個任意電路，若某一支路電壓為uk、電流為ik，那么這條支路就可以用：①電壓等于uk的獨立電壓源；或者②電流等于ik

的獨立電流源；或者③阻值等于(uk/

ik)的電阻來替代。替代后，該電路中其余部分的電壓和電流均保持不變(解答唯一)。04四月202514替代定理的示意圖uSkikN+-Rk+-uk注意極性！uS=ukN+-用電壓源替代N用電流源替代iS=ik注意方向！ukikN用電阻替代R=04四月2025152.定理的證明ikN+-uk任一支路k+-uk-+uk+-ukikN+-uk+-uk任一支路kikN+-uk+-uk

替代定理也稱置換定理，電路分析時可簡化電路；有些新的等效變換方法與定理需用它導出；實踐中，采用假負載對電路進行測試，或進行模擬試驗也以此為理論依據。04四月202516

注意：

被替代的支路可以是有源的，或無源的(如只含一個電阻等)。但不能含受控源或受控源的控制量！+-uRuSkik+-Rk+-uk替代前的電路NuS=uk+-替代后的電路N

例如：Rk兩端的電壓uR為“N”中某個受控源的控制量，用電壓等于uk的獨立電壓源替代后，uR不存在了。04四月202517例：求圖示電路的支路電壓和電流。解：

替代后各支路電流和電壓不變。+-110Vi25

i110

6

i39

+-u替代i1=(6+9)110=10Ai2

=10+1515

10=6Ai3=i1-i2=4A，u

=10i2=60Vi1=5110-60=10Ai3=60=4A6+9+-110Vi25

i16

i39

+-u60V//10[]+5

若用u=60V的電壓源替代10

支路,則有：04四月202518例：求圖示電路的支路電壓和電流。解：

替代后各支路電流和電壓也不變。+-110Vi25

i110

6

i39

+-u替代i1=(6+9)110=10Ai2

=6A，i3=4A，u

=60Vi1

=5+(6+9)110-15

6=10A//10[]+5

若用i=i2=6A的電流源替代10

支路,則有：+-110Vi25

i16

i39

+-u6A110

=5i1+

(6+9)i3(i1-6)i3=i1

-6=4Au

=15i3

=60V04四月202519原因

用uk替代后，其余支路電壓不變(KVL)，其余支路電流也不變，故第k條支路ik也不變(KCL)。用ik替代后，其余支路電流不變(KCL)，其余支路電壓不變，故第k條支路uk也不變(KVL)。直觀地理解：對給定的一組線性(或非線性)代數方程，只要存在唯一解，則其中任何一個未知量，如果用解答值去替代，肯定不會引起其它變量的解答在量值上有所改變。例如：x+y+z=63x+2y+z=105x+3y+4z=23已知z=3x+y+3

=63x+2y+3

=105x+3y+4

3

=2304四月202520

注意替代定理既適用于線性電路，也適用于非線性電路。替代后電路必須有唯一解。無電壓源回路；無電流源結點(含廣義結點)。i=2A-2

+10V-+6V-+6V？？替代后其余支路及參數不能改變。04四月2025213.替代定理的應用解：用替代例1:若則Rx=?。Ix=81I,

I1

0.5

0.5

0.5

Ix+-10V3

-+URxI1

0.5

0.5

0.5

-+U81IU

I1

0.5

0.5

0.5

-+用疊加U

=-0.5

I2+1I1I1I2=-0.5

2.51.5I

(I單獨作用)2.51I=0.1I+1

(=Rx)IxU分析：應求出04四月202522U

=0.1IU

I1

0.5

0.5

0.5

-+1

0.5

0.5

0.5

-+81IU

I1

0.5

0.5

0.5

-+U81I(I/8)單獨作用U

=-0.075I(0.5+0.5)U=U

+U

=0.025I=0.1I

-0.075II1I1=(0.5+0.5)+(1+0.5)(1+0.5)81I2.51.581I==

-0.075I=

-0.075IRx=IxU0.125I0.025I==0.2

=0.125I時當Ix=81I

04四月202523例2：求i1+-i18V3W6W5

8

2

4A+-6V1

+-6V1

2

+-i18V8

2

4Ai18

2

4A1Ai1=2+88

(4-1)=2.4A04四月202524例3：用多大電阻替代2V電壓源而不影響電路的工作。+-4V10

2

3A10

+-2V4

2

解：應求2V電壓源的I為求I1，先化簡電路。并聯等效變換+-10V5

2

+-2V2

①

應用結點法得：（21+un1=51+21）210+22=6un1=5VI1I1=25-2=1.5AI1I2I2=42=0.5AI=I1-I2=1AR=12=2

電流

I：=I1-I204四月202525作業:4-404四月202526

快速回放91.疊加定理和齊性定理

反映想線性電路基本性質的兩個定理。描述線性電路的方程是線性方程，其解答滿足可加性和齊性。(1)疊加定理

在線性唯一解的電路中，由幾個電源共同作用產生的響應等于各獨立電源單獨作用時產生相應響應的代數和。(2)齊性定理數學描述：f(Kx)=Kf(x)

當所有激勵(獨立電源)都增大或縮小K倍時，響應(電流和電壓)也將同樣增大或縮小K倍。

在只有一個激勵的電路中，響應與激勵成正比。04四月202527(3)說明

疊加定理和齊性定理可一般表述為：線性直流電路的任意響應Y都是激勵X1，X2

，???，Xm的線性組合，即Y=K1X1

+K2X2+???+KmXm④功率不能疊加。①疊加方式是任意的。②獨立電源單獨作用時，受控源要保留在電路中。

根據具體情況：單獨作用，分組作用。甚至可以將某個激勵拆成若干不同激勵值作用。③不作用的電壓源用短路線替代不作用的電流源用開路端口替代⑤僅適用于線性電路。04四月2025282.替代定理(1)定理的內容在任意線性或非線性電路中，若某支路電壓為uk、電流為ik，則可用①電壓等于uk的獨立電壓源；或者②電流等于ik

的獨立電流源；或者③阻值等于(uk/

ik)的電阻來替代。替代后不影響其它部分的電壓和電流。(2)應用條件①替代前后的電路必須有唯一解。②被替代的電路部分與電路其它部分不能有耦合。③替代后其余支路及參數不能改變。回放結束04四月202529例4：+-42V4

30W10

60WR20

0.5Aabcd40

25

解：用開路替代后求ubdubd

=0.5

20=10V用短路替代后求uacuac=ubd

=

10V20

先求并聯電阻+-uRuR=20

1

+uaciRiR=42-uR4-1=R=uRiR=15

42-304-1=2A

=302iab=0idc=0iab=0，idc=0。所以ubd因uab=0，udc=0uac因uab=0，30//60=20

1A=20+10

=30V求電阻R。已知uab=0，04四月202530習題3-12(作業題)解：1.4Ia-+U0-+14VIa8W2.5W15W4W2W

把受控源看作獨立電源；使無伴受控電流源支路僅屬于一個回路I1

=1.4Ia-2I1+12.5I2-2.5I3=-14-15I1-2.5I2+21.5I3=0

用回路電流表示控制量Ia

=I3

消去I1并整理得-5.3I312.5I2=-14+0.5I3-2.5I2=0

解得Ia

=I3

=

5AI2

=

1AU0

=

-8I2-14=-42VI2I1I31.4Ia-+U0-+14VIa8W2.5W15W4W2W-4I3=1.4I304四月202531§4-3戴維寧定理和諾頓定理

對一個復雜的電路，有時我們只對局部的電壓和電流感興趣，例如只需計算某一條支路的電流或電壓，

此時，采用戴維寧定理或者是諾頓定理，就比對整體電路列方程求解簡單。+-10VR5kWi3mA20kW16kW+-ui=?或

u=?或

R=?能獲得最大功率?其余部分就成為一個有源二端網絡：04四月2025321.戴維寧定理！

任何一個線性含源一端口NS，對外電路來說，都可以用一個電壓源和電阻的串聯組合等效替代；電壓源的電壓等于NS的開路電壓uoc，電阻等于NS中所有獨立源置零時的輸入電阻Req。含源一單口NS外電路+-ReqiuocR+u-11'11'+-10VR5kWi3mA20kW16kW+-u等效電路04四月2025331.戴維寧定理！

任何一個線性含源一端口NS，對外電路來說，都可以用一個電壓源和電阻的串聯組合等效替代；電壓源的電壓等于NS的開路電壓uoc，電阻等于NS

中所有獨立源置零時的輸入電阻Req。+-ReqiuocR+u-11'+-Req11'+-10V5kW3mA20kW16kWuRiuoc04四月202534應用電源等效變換+-20V+-10V10W10Wab+-Uocab+-Uoc2A10W1A10Wab+-Uoc3A5W+-15V5Wab+-Uoc(1)求開路電壓Uoc應用電戴維寧定理II=20-1010+10=0.5AUoc=(2)求輸入電阻ReqReq=

10//10=5W

兩種解法結果一致，戴維寧定理更具普遍性。例：+10=15V10

0.5

Req04四月2025352.定理的證明應用替代定理和疊加定理。iNSRL+-u11'u

=u(1)

+

u(2)=uoc-

iReqiNS+-u11'i(1)=0u(1)=uocNS+-11'iS=iu(2)

N0+-11'i(2)=iu(2)=-iReqReq+-ReqiuocRL+u-11'=+04四月2025363.定理的應用(1)開路電壓Uoc的計算(2)等效電阻Req的計算

戴維寧等效電路中電壓源電壓等于將外電路斷開時的開路電壓Uoc，電壓源方向與所求開路電壓方向有關。計算Uoc的方法視電路形式選擇前面學過的任意方法，使易于計算。

等效電阻為將一端口網絡內部獨立電源全部置零(電壓源短路，電流源開路)后，所得無源一端口網絡的輸入電阻。常用的計算方法有三種：04四月202537

計算Req

的方法當一端口內部不含受控源時，可采用電阻串并聯和△－Y互換的方法計算等效電阻；開路電壓、短路電流法。外加電源法(加電壓求電流或加電流求電壓)；iN0

+-u11'ReqiN0

+-u11'ReqReq

=ui+-Requoc+uoc-11'+-Requocisc11'Req

=uocisc

①、②法第2章講過。

②、③法更有一般性。04四月2025384.解題指導例1：計算Rx分別為1.2

、5.2

時的電流I。Ia10V+-Rx4Wb4W6W6W解：斷開Rx支路，將剩余一端口化為戴維寧等效電路：Uoc

=

U2

-

U1求開路電壓Uoca10V+-Uoc4Wb4W6W6W+-+-U1+-U2=6-4=2V求等效電阻ReqReq=(4//6)+(6//4)=4.8

a10V+-Req4Wb4W6W6W+-RequocabRxI4.8

2V04四月202539

當Rx

=1.2

時，當Rx

=5.2

時，4.解題指導例1：計算Rx分別為1.2

、5.2

時的電流I。Ia10V+-Rx4Wb4W6W6W+-RequocabRxI4.8

2VI=UocReq+

Rx

=24.8+1.2=0.333AI=UocReq+

Rx

=24.8+5.2=0.2A04四月202540例2：求電壓U0。+-3W6WI+-9V+-U06I3W解：①求開路電壓UocI=Uoc=9V+-3W6WI+-9V+-Uoc6I96+3=1AUoc=6I+3I求等效電阻Req方法1：加電壓求電流法+-3W6WI+-9V+-U6II1I

=6+36I1=(2/3)I1U

=6I+3I=9I=6I1Req

=I1U=6

04四月202541例2：求電壓U0。+-3W6WI+-9V+-U06I3W方法2：開路電壓、短路電流法(Uoc=9V)6I2

+3I=96I+3I=0I=0Isc

=I2=+-3W6WI+-9V6IIscI296=1.5AReq

=IscUoc=6

=1.59等效電路+-ReqUoc6

9V3W+-U0U0

=6+39

3

=3V×04四月202542

注意：計算含受控源電路的等效電阻是用外加電源法還是開路、短路法，要具體問題具體分析，以計算簡便為好。解：①求開路電壓Uoc例3：求負載RL消耗的功率。等效變換4I1+-40V50W50W100W+-50V5WRL4I15W+-40V50W50W-+50VRL100WI104四月202543例3：求負載RL消耗的功率。200I1+-40V50W50W100W+-I1Isc200I1+-40V50W50W100W+-I1+-Uoc(50+50)I1+200I1+100I1=40I1

=0.1AUoc

=100I1=10V求等效電阻Req用開路電壓、短路電流法Isc

=40/(50+50)

=0.4AReq

=IscUoc=25

+-ReqUoc25

10V

5W-+50VRL04四月202544例3：求負載RL消耗的功率。4I15W+-40V50W50W-+50VRL100WI1+-ReqUoc25

10V

5W-+50VRLILIL

=Uoc+5025+5

=2APL

=5

IL2=54=20W04四月202545例4：求戴維寧等效電路。

解法1：R3無壓降，a-+25VR15W3A20W4WR2iS2uS1R3o11'uoc=51201+525+3=4+1100+60=32V+-Requoc11'Req=4+5+205

20=8

uoc=

uac。由結點法a-+25VR15W3A20W4WR2iS2uS1R3o11'04四月202546例4：求戴維寧等效電路。

解法2：在端口處加u，與u

=uoc-Req

i

uao=51201+525+3+41+4u=2u+16uao=

4i+u消去uao得u=32-8iuoc=32V，a-+25VR15W3A20W4WR2iS2uS1R3o11'+-Requoc11'i+-u比較得：寫出u與

i的關系：Req=8

04四月2025475.諾頓定理

一個線性含源一端口Ns，對外電路來說，可以用一個電流源和電阻的并聯組合等效置換。電流源的電流等于Ns的短路電流

isc，電阻等于Ns中所有獨立源置零時的輸入電阻Req。與戴維寧定理統稱等效發電機定理。+-11'iscReqiuiNS+-u11'

一般情況，諾頓等效電路可以由戴維寧等效電路經電源等效變換得到，反之亦然。諾頓等效電路可采用與戴維寧定理類似的方法證明。iscNS11'N011'Req04四月2025486.解題指導例1：求下圖的等效發電機。解：本題求短路電流比較方便。+-40V20W3A11'+-40V40W+-60V20Wisc+-11'iscReqisc

==-2+1+3-3=

-1AReq=20//40//20=8

+-40V20W3A11'+-40V40W+-60V20W-4020+4040+3-4020-1A8

04四月202549例2：求電壓U。Isc

=6W+-24V3W3W6WabIsc6W6W6W+-24V3W3W6Wab6W6W+-U1A

本題用諾頓定理求比較方便，求短路電流Isc(6//6)+324

21+(3//6)+624

3+63=3A因a、b處的短路電流比開路電壓容易求。04四月202550例2：求電壓U。求等效電阻Req6W+-24V3W3W6Wab6W6W+-U1AReq

=[(3//6)+6]//

[(3//6)+6]=

8

//

8

=

4

abIscReq4W3A+-U1AU

=

(3+1)

4

=16VIsc

=3A3W6W+-24V3W6Wab6W6WReq

04四月202551

注意若一端口的等效電阻Req=0，則該一端口網絡只有戴維寧等效電路，無諾頓等效電路。若一端口的等效電阻Req=

，則該一端口網絡只有諾頓等效電路，無戴維寧等效電路。N011'Req=

11'iscN011'Req=011'+-uoc04四月202552例3：習題4-13(a)P1103i解：求uOC1-1'端開路時i

=0

3i

=0uOC+-uOC=4+2+610

6=5V+-10V6W4

2

11'i求Req+-10V6W4

i11'6i+-2

Req若在1-1'端口加電壓，則無論i為何值，故1-1'端口電壓為0。6Wi11'i6WReq兩6

電阻中均無電流，04四月202553例3：習題4-13(a)解：求uOCuOC+-uOC=5V3i+-10V6W4

2

11'i求Req6Wi11'i6WReq電流任意，端電壓為0，這是短路線的特點。所以：Req=0+-5V11'是一個無內阻的電壓源。不存在諾頓等效電路。iSC2i

若求短路電流iSC=i

i10=4i-2

2i=0i04四月202554作業：4-1504四月2025551.戴維寧定理

含源線性一端口NS的對外作用，可以用一個電壓源和電阻的串聯組合等效替代。其中，電壓源的電壓等于NS的開路電壓uoc，電阻等于NS中所有獨立源置零時所得無源一端口的輸入電阻Req。

含源線性一端口NS的對外作用，可以用一個電流源和電阻的并聯組合等效替代。其中，電流源的電流等于Ns的短路電流

isc，電阻等于Ns中所有獨立源置零時所得無源一端口的輸入電阻Req。2.諾頓定理

快速回放1004四月2025563.戴維寧定理和諾頓定理的說明(1)計算開路電壓uOC或短路電流iSC

采用第2章中輸入電阻的計算方法。

令一端口開路或短路，根據電路特點，選擇某種列方程的方法，求出uOC或iSC。(2)計算等效電阻Req

求出一端口的開路電壓uOC和短路電流iSC：Req

=uocisc(3)可用于復雜電路的化簡和未知一端口的求解。回放結束04四月2025574–4最大功率傳遞定理

一個含源線性一端口電路，當所接負載不同時，一端口電路傳輸給負載的功率就不同，討論負載為何值時能從電路獲取最大功率，及最大功率的值是多少的問題是有工程意義的。i+-u含源線性一端口NSRL+-Requoci+-uRLRL=?可獲得最大功率。P=i2RL=(Req+

RLuoc)RL電源傳給負載

RL的功率為

204四月202558

含源線性一端口傳給外接負載電阻最大功率的條件：RL

=Reqd2pdR2R=Req=-uoc28Req3<0負載獲得的最大功率為：p=i2RL

=(Req+

RLuoc)2RL

p

RL

oPmax功率P隨負載RL

而變化，存在一極大值點。dpdR=uoc2(Req-RL)(Req+

RL)3=0令：得：RL

=ReqPmax=4Requoc2最大功率匹配條件。04四月202559解題指導：RL為何值時能獲得最大功率，并求最大功率。RL解：①求開路電壓Uoc20W10W2A+-20URUR+-20VI1I2I2=(UR/20)=I1I2+I1=2I2=I1=1AUoc=2×10②求等效電阻Req+-U20W10W2A+-20URUR+-20VI1I2I2=I1=I/2U

=10I

+20I2

=20IReq=U／I=20W③由最大功率傳輸定理得Pmax=4ReqUoc2=4×20602=45W+-Uoc+20I2+20=60VI04四月202560

注意最大功率傳輸定理用于一端口電路給定，負載電阻RL可調的情況；因等效僅對外電路(負載RL)而言，故一端口等效電阻消耗的功率一般并不等于端口內部消耗的功率，當負載獲取最大功率時，電路的傳輸效率并不一定是50%(見教材例4-10)；計算最大功率問題結合應用戴維寧定理或諾頓定理最方便。04四月202561§4-5*

特勒根定理1.特勒根定理一任何時刻，一個具有n個結點和b條支路的集總電路，在支路電流和電壓取關聯參考方向下，滿足：∑bk=1ukik=0

定理一表明：任何一個電路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。功率守恒

定理一對支路內容沒有任何限制，對任何由線性、非線性、時變、時不變元件組成的集總電路都適用。04四月202562定理一的證明：=

un1i1用結點電壓表示各支路電壓：u1=

un1，

u2=

un1-

un2，

u3=

un2-

un3，

u4=

un3-

un1，∑6k=1ukik+u4i4+u5i5+u6i6把支路電壓換成結點電壓=u1i1+u2i2+u3i3①③②123456

u5=

un2，u6

=un3

+(un1-un2)i2+(un2-un3)i3+(un3-un1)i4+un2i5+un3i6=

un1(i1+i2-i4)+un2(-i2+i3+i5)+un3(-i3+i4+i6)①②③根據KCL可知：∑6k=1ukik=0證畢04四月2025632.特勒根定理二

任何時刻，對于兩個具有n個結點和b條支路的集總電路，當它們具有相同的圖，但由內容不同的支路構成時，在支路電流和電壓參考方向關聯的情況下，滿足：∑bk=1ukik=0?①③②123456

①③②123456

uk,ikuk,ik??∑bk=1ukik=0?擬功率定理(quasi-powertheorem)04四月202564用結點電壓表示各支路電壓，并代入整理得=0∑bk=1ukik

?定理的證明：①③②123456

①③②123456

uk,ikuk,ik??對電路2應用KCLi1+i2-i4=0???-i2+i3+i5=0???-i3+i4+i6=0???=u1i1?+u2i2?+u3i3?+u4i4?+u5i5?+u6i6?=

un1(i1+i2-i4)???+

un2(-i2+i3+i5)???+

un3(-i3+i4+i6)???證畢04四月2025653.解題指導例1①R1=R2=2

，Us=8V時，I1=2A，U2=2V。②R1=1.4

，R2=0.8

，Us=9V時，I1=3A。

解：同一電路，不同參數，可視為拓撲結構相同，參數不同的兩個電路。利用特勒根定理2:求此時的U2。由①得：U1=Us-R1I1=4V，I1=2AI2==1AU2R2由②得：U1?I1?I2==U2R2??54U2

，?=Us-R1I1=3A，=4.8V?+-UsI1+-U1R2+-U2I2R1無源電阻網絡U2=2V，U2是待求量。?04四月202566由①得：U1=Us-R1I1=4V，I1=2AI2==1AU2R2由②得：U1?I1?I2==U2R2??54U2

，?=Us-R1I1=3A，=4.8V?U2=2V，U2是待求量。?無源電阻網絡+-R1I2=1A+-2VU2

為防止出錯，在圖中標出這兩種情況。無源電阻網絡+-+-U2R1?54U2?U1=4.8V?I1=3A?I2=??U1=4VI1=2AR2=2

2

R2=0.8

1.4

04四月202567負號是因為U1、I1的方向不關聯。無源電阻網絡+-U1=4V+-R1I1=2AI2=1A2VU2-U1I1?+U2I2?+∑k=3b(Rk

Ik)Ik=-U1I1?+U2I2?+∑k=3b(Rk

Ik)Ik??-4

3+2

54U2?=-4.8

2+U2?

1U2=?2.41.5=1.6V代入數據得

為防止出錯，在圖中標出這兩種情況。無源電阻網絡+-+-U2R1?54U2?U1=4.8V?I1=3A?I2=??求出：04四月202568例2：已知U1=10V,I1=5A,P+-U2I2I1???+-U1?2WP+-U2I2I1+-U1U2=10V。?求U1。?U2=0,I2=1A，解：利用特勒根定理2U1I1?-U2I2?=-U1?I1+

U2?

I2U1??=2I1

10

2

1

U1?=-U1?

5+

10

1U1?=1V

代入得：?I1

=

2

1

U1，?-

0U1=10V，I1=5AU2=0，I2=1AU1待求。?列出已知量和待求量：U2=10V，I2=0??04四月202569

應用特勒根定理時注意①只與網絡拓撲結構有關，網絡N和N'必須具有相同的拓撲結構。故也可以是同一電路的不同時刻之間。②對應支路取相同的參考方向，且各支路電壓、電流均取關聯的參考方向；(不關聯為負)③為防止列錯方程，分別標出兩電路對應支路的電壓電流(也可以作簡表)，這樣已知量、未知量一目了然，不易出錯；④實際解題應用中，要注意網絡內部必須是無源電阻電路時其擬功率才相等，才可以抵消。04四月202570§4-6*互易定理

在討論回路電流法和結點電壓法時發現：若電路中只含獨立電源和線性電阻，則有Rik=Rki，Gik=Gki，即兩相鄰回路間或是兩相鄰結點間的相互影響分別相同。這一現象說明，此類線性電路有一個重要性質—互易性(reciprocity)。互易性是一類特殊的線性網絡的重要性質。一個具有互易性的網絡在輸入端(激勵)與輸出端(響應)互換位置后，同一激勵所產生的響應并不改變。具有互易性的網絡叫互易網絡，互易定理是對電路的這種性質所進行的概括，它廣泛的應用于網絡的靈敏度分析和測量技術等方面。

引言04四月2025711.互易定理

對一個僅含線性電阻的二端口網路，其中一個端口加激勵源，一個端口作響應端口，在只有一個激勵源的情況下，當激勵與響應互換位置時，同一激勵所產生的響應相同。

互易定理有三種形式形式1：激勵是電壓源，響應為電流；形式2：激勵是電流源，響應為電壓；形式3：置后，激勵是電壓源，響應為電壓。激勵是電流源，響應為電流。互換位分別討論如下。04四月2025722.互易定理的三種形式

把激勵與響應互換位置后，uS1=i2i1uS2圖1線性電阻網絡b+-uS1i2adc線性電阻網絡bi1adc圖2+-uS2注意：若激勵不變，則響應也不變。

形式①：激勵是電壓源，響應為電流。或uS1i1=uS2i2即：當uS1=

uS2時，i2=

i1

。端口電壓電流滿足關系：10V2A10V2A5V？1A04四月202573圖1線性電阻網絡b+-uS1i2adc線性電阻網絡bi1adc圖2+-uS2證明：

圖中電阻網絡有不同的外部條件，根據特勒根定理2有i1+-u2+-u1?i2??i1uS1i1++

u2i2b?兩式相減，得?∑k=3(Rk

ik)ik?=

0u1i1++

uS2i2b?∑k=3(Rk

ik)ik?=

0uS1i1=+

u2i2??u1

i1+

uS2i2?代入u2

=0，u1

?uS1i1=

uS2i2注意到i1=i1?證畢！

=0得?04四月202574例：求圖中的電流I。+-12V2W6W4W1WIbcda2W6W4W1WIbcda+-12V解：利用互易定理I1I1

=1

+6//(2+4)12

=3AI=2I1

=23

=1.5A04四月202575即端口電壓電流滿足關系：

把激勵與響應互換位置圖1線性電阻網絡biS1u2adc+-線性電阻網絡badc圖2iS2u1+-

形式②：激勵是電流源，響應為電壓。-iS1u1+0=-iS2u2+0iS1=u2u1iS2或u1iS1=

u2iS2注意：當iS1=

iS2時，u2=

u1。由特勒根定理2得：后，04四月202576例：求圖中的電壓U。6A2W4W6W1WU+-6A2W4W6W1WU+-解：利用互易定理U=2

3

=6V3A圖1線性電阻網絡biS1u2adc+-線性電阻網絡badc圖2iS2u1+-形式②:u1iS1=

u2iS2若iS1=

iS2，則u2=

u104四月202577注意：若在數值上有iS1

=

uS2

，則i2

=

u1

。

形式③：激勵是電流源，響應為電流；由特勒根定理2可得：圖1線性電阻網絡biS1adci2線性電阻網絡badc圖2+-uS2+-u1-iS1u1+uS2i2

=0+0

端口電壓電流在數值上滿足關系：iS1u1=uS2i2

或uS2=u1i2iS1

互換置后，激勵是電壓源，響應為電壓。04四月202578

歸納三個條件，一個結論。三個條件：網絡僅含線性電阻；單一激勵下產生的響應；

把電壓源和電流源置零時，互換前后的兩電路相同。

一個結論：激勵和響應互換位置后，其比值保持不變。互易定理有3種形式，其實可以統一定義為：04四月202579

互易時注意①互易前后注意電壓電流的方向:支路電壓和電流要么都關聯，要么都非關聯；②含受控源的網絡，互易定理一般不成立；實際解題時，兩電路中相同的部分都可以包含在線性電阻網絡內部；互易定理是特勒根定理的特例。若發現電源都置零時兩電路不同，就用特勒根解之。04四月202580例1：測得a圖中U1=10V，U2=5V，求b圖中的電流I。a圖線性電阻網絡b2AU2adc+-U1+-線性電阻網絡badcb圖2A+-I5

求開路電壓解法1：U2?=

U2=5V+-UocReqab5

I

思路：求出b圖虛線框內的戴維寧等效電路后,再求I。

對照a圖，利用互易定理即可得到：線性電阻網絡badc2A+-U2+-?=Uoc04四月202581求等效電阻ReqReq

=U1I1=102=5

+-5V5

ab5

I所以

I=0.5A

Req例1:測得a圖中U1=10V,U2=5V,求b圖中的電流I。a圖線性電阻網絡b2AU2adc+-U1+-線性電阻網絡badcb圖2A+-I5

線性電阻網絡badc2A+-U2+-??U2?=

U1=10V結合a圖可知2AI1I1Uoc=5V04四月202582例1:測得a圖中U1=10V,U2=5V,求b圖中的電流I。解法2，應用特勒根定理：=U1I1?-

U2I2?U1I1?+

U2I2?10

I-52=-5I2+U2?U20?整理：20I=10a圖線性電阻網絡b2AU2adc+-U1+-線性電阻網絡badcb圖2A+-I5

I1?

I1I2?

分別標出兩電路對應支路的電壓電流。I1=I,?+-U1?

I2=0-U1=

5I?注意到解得：I=0.5A04四月202583例2：問圖示電路

與

取何關系時電路具有互易性?+-

U3WI+-U1W1WaIabcd解：在a-b端加電流源得Ucd

=UIS=(

+1)

aI

+3I=[(

+1)a

+3]IS在c-d端加電流源得+-

U3WI+-U1W1WaIabcdISUab

==(3-a)I

+3I+

U-aI+3I+

U+(IS+

aI)=(3-a

+

+

a)IS04四月202584如果要電路具有互易性，+-

U3WI+-U1W1WaIabcd例2：問圖示電路

與

取何關系時電路具有互易性?Ucd

=[(

+1)a

+3]ISUab

=(3-a

+

+

a