圓

一、填空題

1．（2022·福建·九年級統考競賽）如圖，ABCD為圓O的內接四邊形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，則

圓O的面積為______．

2．（2022·廣東·九年級統考競賽）古希臘數學家希波克拉底曾研究過如圖所示的幾何圖形，此圖由三個半

圓構成，三個半圓的直徑分別為RtABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．若以AB，AC為直徑的兩個半圓

的弧長總長度為2，則以斜邊BC為直徑的半圓面積的最小值為________．

3．（2018·全國·九年級競賽）已知D是ABC內一點，E是AC的中點，AB6，BC10，BADBCD，

EDCABD，則DE__________．

4．（2022春·湖南長沙·八年級校聯考競賽）如圖1～4，在直角邊分別為3和4的直角三角形中，每多作一

條斜邊上的高就增加一個三角形的內切圓，依此類推，圖10中有10個直角三角形的內切圓，它們的面積

分別記為S1，S2，S3，…，S10，則S1+S2+S3+…+S10=______．

5．（2016秋·山東泰安·九年級競賽）如圖是“橫店影視城”的圓弧形門，妙可同學到影視城游玩，很想知道

這扇門的相關數據．于是她從景點管理人員處打聽到：這個圓弧形門所在的圓與水平地面是相切的，

cm，BD200cm，且AB，CD與水平地面都是垂直的．根據以上數據，你幫助妙可同學計

算這個圓弧形門的最高點離地面的高度是_________．

6．（2015秋·山東臨沂·九年級競賽）已知正六邊形的邊心距為3，則它的周長是______．

7．（2015秋·山東臨沂·九年級競賽）如果圓錐的底面周長是20π，側面展開后所得的扇形的圓心角為120°，

則圓錐的母線長是________．

8．（2015秋·山東泰安·九年級競賽）如圖，直線AB與半徑為2的⊙O相切于點C，點D、E、F是⊙O上

三個點，EF//AB，若EF=23，則∠EDC的度數為__________

二、單選題

9．（2016秋·山東臨沂·九年級競賽）如圖，平行四邊形ABCD的頂點A、B、D在⊙O上，頂點C在⊙O

直徑BE上，連結AE，若∠E=36°，則∠ADC的度數是（）

A．44°B．53°C．72°D．54°

1

10．（2017秋·江蘇鎮江·九年級競賽）如圖，AB為半圓O的直徑，C為半圓上一點，且AC為半圓的，

3

設扇形AOC、△COB、弓形BmC的面積分別為S1、S2、S3，則下列結論正確的是（）．

A．S1S2S3B．S3S2S1C．S2S3S1D．S2S1S3

11．（2016秋·山東泰安·九年級競賽）在平面直角坐標系中有兩點A（-1,2）,B（3,2），若點C是坐標軸上

的一點，且△ABC是直角三角形，則滿足條件的點C的個數為()

A．3B．4C．5D．6

12．（2015秋·山東臨沂·九年級競賽）如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連結AO并延長交⊙O于點

E，連結EC．若AB=8，CD=2，則EC的長為（）

A．2B．2C．2D．8

13．（2015秋·山東泰安·九年級競賽）如圖1，在正方形鐵皮上剪下一個扇形和一個半徑為1cm的圓形，使

之恰好圍成圖2所示的一個圓錐，則圓錐的高為（）.

A．17cmB．4cmC．15cmD．3cm

14．（2015秋·山東泰安·九年級競賽）如圖，在平面直角坐標系中，點A在第一象限，⊙A與x軸交于B

（2，0）、C（8，0）兩點，與y軸相切于點D，則點A的坐標是（）.

A．（3，5）B．（4，5）C．（5，3）D．（5，4）

15．（2016·全國·九年級競賽）如圖，⊙O的半徑OD垂直于弦AB，垂足為點C，連接AO并延長交⊙O于

點E，連接BE，CE．若AB=8，CD=2，則BCE的面積為（）

△

A．12B．15C．16D．18

三、解答題

16．（2023春·浙江寧波·九年級校聯考競賽）如圖1，菱形ABCD的邊長為12cm，∠B＝60°，M，N分別

在邊AB，CD．上，AM＝3cm，DN＝4cm，點P從點M出發，沿折線MB﹣BC以1cm/s的速度向點C勻速

運動（不與點C重合）；△APC的外接圓⊙O與CD相交于點E，連接PE交AC于點F．設點P的運動時

間為ts．

(1)∠APE＝°；

(2)若⊙O與AD相切，

①判斷⊙O與CD的位置關系；

②求APC的長；

(3)如圖3，當點P在BC上運動時，求CF的最大值，并判斷此時PE與AC的位置關系；

(4)若點N在⊙O的內部，直接寫出t的取值范圍．

17．（2022·福建·九年級統考競賽）已知矩形ABCD的邊AB=21，BC=19，r是給定的小于1的正實數．

(1)在矩形ABCD內任意放入114個直徑為1的圓．證明：在矩形ABCD內一定還可以放入一個直徑為r的

圓，它和這114個圓都沒有交點（也不在某個圓的內部）；

(2)在矩形ABCD內任意放入95個單位正方形（邊長為1的正方形）．證明：在矩形ABCD內一定還可以放

入一個直徑為r的圓，它和這95個正方形都沒有交點（也不在某個正方形的內部）．

12

18．（2012·全國·九年級競賽）已知拋物線yxbxc的頂點為P，與x軸的正半軸交于Ax,0、

61

3

Bx2,0x1x2兩點，與y軸交于點C，PA是ABC的外接圓的切線．設M0,，若AM//BC，求拋

2

物線的解析式．

19．（2013·全國·九年級競賽）在ABC中，ABAC，O、I分別是ABC的外心和內心，且滿足

ABAC2OI．求證：

（1）OI//BC；

（2）S△AOCS△AOB2S△AOI．

20．（2022·廣東·九年級統考競賽）已知MPN的兩邊分別與圓O相切于點A，B，圓O的半徑為r．

（1）如圖1，點C在點A，B之間的優弧上，MPN80，求ACB的度數；

（2）如圖2，點C在圓上運動，當PC最大時，要使四邊形APBC為菱形，APB的度數應為多少？請說

明理由；

（3）若PC交圓O于點D，求第（2）問中對應的陰影部分的周長（用含r的式子表示）．

21．（2015秋·山東臨沂·九年級競賽）如圖，AB是⊙O直徑，D為⊙O上一點，AT平分∠BAD交⊙O于

點T，過T作AD的垂線交AD的延長線于點C．

（1）求證：CT為⊙O的切線；

（2）若⊙O半徑為2，CT=3，求AD的長．

參考答案：

1．41

【分析】連接AO，并延長交圓O于點E，連接EB，EC，可得ADEACE90，從而可得BD//CE，

得到CDBE，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的長，從而可求出圓O的面積．

【詳解】解：如圖，連接AO，并延長交圓O于點E，連接EB，EC．

則ABBE，ACCE．

∵ACBD，

∴BD//EC，

∴CDBE

∴BE=CD，

∵CD8

∴EBCD8．

在Rt△ABE中，AB=10，EB8

所以，由勾股定理得，AEAB2BE210282241

1

∴OAAE41．

2

所以圓O的面積為OA241．

【點睛】本題主要考查了直徑所對的圓周角是直角以及在同圓或等圓中平行弦所夾弧相等等知識，正確作

出輔助線構造直角是解答本題的關鍵．

2．

11

【分析】設AB=a，AC=b，由題意可得ab2,ab4．根據勾股定理可得：BCa2b2．以

22

1BC

斜邊BC為直徑的半圓面積S()2(a2b2)，再利用基本不等式的性質即可得出．

228

【詳解】解：設AB=a，AC=b，

∵以AB，AC為直徑的兩個半圓的弧長總長度為2π，

11

則ab2，

22

化簡為：a+b=4．

∵∠BAC90，

∴BCa2b2．

∴以斜邊BC為直徑的半圓面積

1BC(ab)242

S()2(a2b2)，

2288282

當且僅當a=b=2時取等號．

∴以斜邊BC為直徑的半圓面積的最小值為π．

故答案為：π．

【點睛】本題考查了圓的性質、勾股定理、基本不等式，考查了推理能力與計算能力．

3．4

【分析】延長CD至F，使DFDC，則有A，F，B，D四點共圓，得到△BCF是等腰三角形，利用三線

合一可得FAB90，進而用勾股定理求出AF8，再利用中位線性質求出DE4．

1

【詳解】延長CD至F，使DFDC，則DE∥AF且DEAF，

2

∴AFDEDCABD，

∴A，F，B，D四點共圓，

∴BFDBADBCD，

∴BFBC10，

∴BDFC，

∴FABFDB90．

又AB6，

∴AF102628，

1

∴DEAF4．

2

故答案為：4

【點睛】本題考查了三角形中位線定理，四點共圓，圓周角定理，等腰三角形的判定和性質，解題的關鍵

是能夠構建四點共圓．

4．π.

【詳解】

圖1,過點O做OE⊥AC,OF⊥BC,垂足為E.F,則∠OEC=∠OFC=90°

∵∠C=90°

∴四邊形OECF為矩形

∵OE=OF

∴矩形OECF為正方形

設圓O的半徑為r,

則OE=OF=r,

AD=AE=3?r,

BD=4?r

345

∴3?r+4?r=5,r==1

2

2

∴S1=π×1=π

11

圖2,由SABC=×3×4=×5×CD

22

12△

∴CD=

5

129

由勾股定理得：AD=32()2

55

916

,BD=5?=，

55

由(1)得：

912

3

⊙的半徑3

O=55,

25

1216

4

⊙的半徑4，

E=55

25

3242

∴S1+S2=π×()+π×()=π.

55

112161

圖3,由SCDB=××=×4×MD

2552

4△8

∴MD=，

25

124836

由勾股定理得：CM=()2()2,

52525

3664

MB=4?=，

2525

3

由(1)得：⊙O的半徑=,

5

12

⊙E的半徑=，

25

16

∴⊙F的半徑=，

25

31216

∴S1+S2+S3=π×()2+π×()2+π×()2=π

52525

5．520cm．

【詳解】試題解析：連接OF，交AD于點E，

∵BC是⊙O的切線，

∴OF⊥BC，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴OE⊥AD，EF=AB，

ADBC

設圓O的半徑為R，在Rt△AOE中，AE==100

22

OE=R-AB=R-20，

∵AE2+OE2=OA2，

∴1002+（R-20）2=R2，

解之R=260．

260×2=520（cm）．

答：這個圓弧形門的最高點離地面的高度為520cm．

考點：垂徑定理的應用；勾股定理．

6．12

【分析】首先由題意畫出圖形，易證得△OAB是等邊三角形，又由正六邊形的邊心距利用三角函數的知識

即可求得OA的長，即可得AB的長，繼而求得它的周長．

【詳解】如圖，連接OA，OB，

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，

1

∴∠AOB=×360°=60°，

6

∵OA=OB，

∴△OAB是等邊三角形，

∴∠OAH=60°，

∵OH⊥A，OH=3，

OH

∴OA2，

sin60

∴AB=OA=2，

∴它的周長是：2×6=12

考點：正多邊形和圓

點評：此題考查了圓的內接正多邊形的性質．此題難度不大，注意數形結合思想的應用

7．30

【分析】圓錐的底面周長即為側面展開后扇形的弧長，已知扇形的圓心角，所求圓錐的母線即為扇形的半

徑，利用扇形的弧長公式求解．

【詳解】解：∵圓錐的底面周長是20π

∴側面展開后所得的扇形的弧長是20π

∵側面展開后所得的扇形的圓心角為120°

18020

∴側面展開后所得的扇形的半徑為：＝30

120

∵圓錐的母線就是側面展開后所得的扇形的半徑

∴圓錐的母線長度為30.

故答案為30.

【點睛】本題考查了圓錐的計算．關鍵是體現兩個轉化，圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長為圓錐的

底面周長，扇形的半徑為圓錐的母線長．

8．

【詳解】分析：連接OC、OE，由切線的性質知OC⊥AB，而EF∥AB，則OC⊥EF；設OC交EF于M，

在Rt△OEM中，根據垂徑定理可得到EM的長，OE即⊙O的半徑已知，即可求出∠EOM的正弦值，進而

可求得∠EOM的度數，由圓周角定理即可得到∠EDC的度數．

解：連接OE、OC，設OC與EF的交點為M；

∵AB切⊙O于C，

∴OC⊥AB；

∵EF∥AB，

∴OC⊥EF，則EM=MF=3；

Rt△OEM中，EM=3，OE=2；

則sin∠EOM=，∴∠EOM=60°；

∴∠EDC=∠EOM=30°．

9．D

【分析】根據直徑所對的圓周角為直角可得∠BAE=90°，再根據直角三角形的性質和平行四邊形的性質可

得解.

【詳解】根據直徑所對的圓周角為直角可得∠BAE=90°，

根據∠E=36°可得∠B=54°，

根據平行四邊形的性質可得∠ADC=∠B=54°.

故選D

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、圓的基本性質.

10．D

1

【分析】連接AC，根據△AOC的面積=△BOC的面積，得S2＜S1，再由S1占半圓面積的，可得S3大于

3

1

半圓面積的，即可求解．

3

【詳解】解：連接AC，

∵AB為半圓O的直徑，

∴∠ACB=90°，點O為AB的中點，

∴△AOC的面積=△BOC的面積，

∵S1大于△AOC的面積，

∴S2＜S1，

1

∵S1占半圓面積的，

3

1

∴S2小于半圓面積的

3

1

∴S3大于半圓面積的，

3

∴S2S1S3．

故選：D

【點睛】本題主要考查了扇形面積的計算，直徑所對的圓周角是直角，根據題意得到△AOC的面積=△BOC

的面積是解題的關鍵．

11．C

【分析】分三種情況考慮：即當點A為直角頂點時；當點B為直角頂點時；當點C為直角頂點時，分別畫

圖，據此即可解答．

【詳解】解：根據題意畫出相應的圖形，如圖所示：

分三種情況考慮：當點A為直角頂點時，過點A作AC⊥x軸于點C1，連接BC1，此時滿足題意的點為C1；

當點B為直角頂點時，過點B作BC⊥x軸于點C2，連接AC2，此時滿足題意的點為C2；

當點C為直角頂點時，以AB為直徑作圓，由A（-1，2），B（3，2），得到AB=4，可得此圓與x軸相切，

∴此圓與坐標軸有三個交點，分別為C3，C4，C5，

如圖所示，根據直徑所對的圓周角為直角可得此3點滿足題意，

綜上，所有滿足題意的點C有5個．

故選：C．

【點睛】此題考查了圓周角定理，切線的性質，勾股定理，以及坐標與圖形性質，利用了分類討論及數形

結合的思想．

12．B

1

【詳解】試題分析：由OD⊥AB，根據垂徑定理得到AC=BC=AB=4，設AO=x，則OC=OD﹣CD=x﹣2，

2

在Rt△ACO中根據勾股定理得到x2=42+（x﹣2）2，解得x=5，則AE=10，OC=3，再由AE是直徑，根據

圓周角定理得到∠ABE=90°，利用OC是△ABE的中位線得到BE=2OC=6，然后在Rt△CBE中利用勾股定

理可計算出CE．

試題解析：連結BE，如圖，

∵OD⊥AB，

11

∴AC=BC=AB=×8=4，

22

設AO=x，則OC=OD﹣CD=x﹣2，

在Rt△ACO中，∵AO2=AC2+OC2，

∴x2=42+（x﹣2）2，解得x=5，

∴AE=10，OC=3，

∵AE是直徑，

∴∠ABE=90°，

∵OC是△ABE的中位線，

∴BE=2OC=6，

在Rt△CBE中，CE=CB2BE24262213．

考點：1、垂徑定理；2、勾股定理；3、三角形中位線定理；4、圓周角定理

13．C

【詳解】利用已知得出底面圓的半徑為：1，周長為2π，進而得出母線長，即可得出答案．

解：∵半徑為1cm的圓形，

∴底面圓的半徑為：1，周長為2π，

90R

扇形弧長為：2π=，

180

∴R=4，即母線為4cm，

∴圓錐的高為：161=15（cm）．

故選C．

此題主要考查了圓錐展開圖與原圖對應情況，以及勾股定理等知識，根據已知得出母線長是解決問題的關

鍵．

14．D

【詳解】試題分析：連接AB，作AE⊥BC于點E，由點B、C的坐標可求得OE的長，即可得到AB，再

根據勾股定理即可求得結果.

連接AB，作AE⊥BC于點E

∵B（2，0）、C（8，0）

∴OE=5，BE=3

∴AB=5

∴

∴點A的坐標是（5，4）

故選D.

考點：勾股定理，垂徑定理

點評：勾股定理與垂徑定理的結合使用是初中數學的重點，是中考中比較常見的知識點，一般難度不大，

需熟練掌握.

15．A

【詳解】∵⊙O的半徑OD垂直于弦AB，垂足為點C，AB=8，

1

∴AC=BC=AB=4．

2

設OA=r，則OC=r﹣2，

在Rt△AOC中，

∵AC2+OC2=OA2，即42+（r﹣2）2=r2，解得r=5，

∴AE=10，

∴BE=AE2AB2102826，

11

∴△BCE的面積=BC?BE=×4×6=12．

22

故選A．

16．(1)60°

163

(2)①⊙O與CD相切；②APC

3

(3)CF的最大值為3cm，此時AC⊥PE

(4)當0<t<1時或17<t<21時，點N在圓內部；

【分析】（1）根據菱形的性質易證△ACD為等邊三角形，根據同弧所對的圓周角相等即可得到∠APE的度

數；

（2）①先找出⊙O與AD相切時的情況，根據切線長定理即可證明⊙O與CD相切；②根據切線長定理和

菱形的性質，可求得圓的半徑，根據弧長公式即可求解；

（3）要使CF取得最大值，則AF應該取最小值，當AC⊥PE時，AF最小，此時CF取得最大值，求出即

可；

（4）分兩種情況進行討論，當P在AB上時和當點P在BC上時．

【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD為菱形，∠B＝60°，

∴∠D=∠B＝60°，AD=CD，

∴△ACD為等邊三角形，

∴∠ACE=60°，

∴∠APE=∠ACE=60°，

故答案為：60°．

（2）

如圖，當點P運動到點B時，⊙O與AD相切，

①∵四邊形ABCD為菱形，

∴AD=CD，

∵⊙O與AD相切，

∴⊙O與CD相切；

②連接OD，

由（1）可知，∠ADC=60°，

∵AD、CD分別與⊙O相切，

1

∴∠ADO=∠ADC=30°，

2

3

∴AO=ADtan30=1243，

3

2163

∴APC(243)；

33

（3）

由圖可知：CF=AC-AF，

∵AB=BC，∠B=60°，

∴△ABC為等邊三角形，則AC=12cm，∠ACB=60°，

∴要使CF取得最大值，則AF應該取最小值，

當AC⊥PE時，AF最小，此時CF取得最大值，

∵點O為△APC外接圓圓心，

1

∴OA=OC=OP=AC=6cm，

2

∵∠ACB=60°，

∴CF=CPcos60=3cm，

綜上：CF的最大值為3cm，此時AC⊥PE．

（4）①當點P在AB上時，

∵四邊形APCE為圓的內接四邊形，

∴∠APC+∠AEC=180°，

∵∠AED++∠AEC=180°，

∴∠APC=∠AED，

在△APC和△DEA中，

AC=AD，∠PAC=∠D，∠APC=∠AED，

∴△APC≌△DEA，

∴AP=DE，

當點E與點N重合時，DE=DN=AP=4，

∴MP=4-3=1cm，

∴t=1s，

當0<t<1時，點N在圓內部；

②當點P在BC上運動時，

∵∠AEP=∠ACP=60°，

∴△APE為等邊三角形，

∴AP=AE，∠PAE=60°，

∵∠BAC=60°，

∴∠BAP=∠CAE，

在△BAP和△CAE中，

AB=AC，∠BAP=∠CAE，AP=AE，

∴△BAP≌△CAE，

∴BP=CE，

當點E與帶你N重合時，CE=CN=BP=12-4=8cm，

MPBP

此時t==9+8=17s，

1

當點P到達點C時，t=21s，

當17<t<21時，點N在圓內部；

綜上：當0<t<1時或17<t<21時，點N在圓內部．

【點睛】本題主要考查了菱形的性質，切線長定理，以及和圓相關的內容，熟練掌握相關知識點是解題的

關鍵．注意在解題過程中靈活運用“同弧所對的圓周角相等”這一定理．

17．(1)證明見解析；

(2)證明見解析．

1

【分析】（1）將矩形ABCD的每條邊向內縮進得到矩形ABCD，再把直徑為1的小圓縮小為一點O進

21111

行考慮，將原直徑為1的圓擴大，即以原圓心為圓心，直徑為2作114個新的圓，計算可得114個新圓的

面積和小于矩形A1B1C1D1的面積，即可證明在矩形ABCD內一定還可以放入一個直徑為r的圓，它和這114

個圓都沒有交點（也不在某個圓的內部）；

1

（2）將矩形ABCD的每條邊向內縮進得到矩形ABCD，再把直徑為1的小圓縮小為一點O進行考慮，

21111

1

把每個小正方形加框，即在小正方形的每條邊的外部加一個長和寬分別為1和的矩形，4個角上加上一個

2

直徑為1的四分之一圓弧，計算此時95個加框圖形的面積總和小于矩形A1B1C1D1的面積，即可證明在矩形

ABCD內一定還可以放入一個直徑為r的圓，它和這95個正方形都沒有交點（也不在某個正方形的內部）．

(1)

1

解：將矩形ABCD的每條邊向內縮進，得到一個長和寬分別為20和18的矩形ABCD(如圖1所示)，則

21111

矩形A1B1C1D1的面積為2018360．對矩形ABCD內任意放入的114個直徑為1的圓，分別以這114個圓

的圓心為圓心，直徑為2作114個新的圓(如圖2所示)．因為這114個新圓的面積和等于

2

11411141143.15359.1小于矩形A1B1C1D1的面積．

所以在矩形A1B1C1D1內，一定存在一點O，它在這114個新的圓的外部．因為點O到矩形ABCD每條邊的

1

距離都大于，且點O到每個舊圓圓心的距離都大于1，所以以點O為圓心，直徑為r的圓一定在矩形ABCD

2

內，且與矩形內原有的114個直徑為1的個圓都沒有交點，也不在某個圓的內部．

所以在矩形ABCD內一定還可以放入一個直徑為r的圓，它和這114個圓都沒有交點(也不在某個圓的內部)．

圖1圖2

(2)

1

將矩形ABCD的每條邊向內縮進，得到一個長和寬分別為20和18的矩形ABCD，則矩形ABCD的面

211111111

積為2018360．對矩形ABCD內任意放入的95個單位正方形，將這95個單位小正方形的每一個都加一

1

個框：在小正方形的每條邊的外部加一個長和寬分別為1和的矩形，4個角上加上一個直徑為1的四分之

2

一圓弧(如圖3所示)．

圖3

3.15

因為這95個加框的圖形的面積和等于953953359.8125小于矩形A1B1C1D1的面積．所以在

44

矩形A1B1C1D1內，一定存在一點O，它在這95個加框的圖形的外部．因為點O到矩形ABCD每條邊的距離

11

都大于，且點O到每個單位正方形的邊上的點的距離都大于，所以以點O為圓心，直徑為r的圓一定在

22

矩形ABCD內，且與矩形內原有的95個單位正方形都沒有交點，也不在某個正方形的內部．

所以在矩形ABCD內一定還可以放入一個直徑為r的圓，它和這95個正方形都沒有交點(也不在某個正方形

的內部)．

【點睛】本題主要考查了用創新性數學思維解決實際問題，解題關鍵是使用“縮”、“放”的構思作為證題技巧．

15

18．yx2x6

62

【分析】利用公式法求出拋物線的頂點坐標，再令x=0，求出此時對應的y值，即C的縱坐標，設△ABC

的外接圓的圓心為D，則點P和點D都在線段AB的垂直平分線上，設點D的坐標為（3b，m）．再利用

根與系數的關系求出AE的值，利用射影定理和切線的性質即可求出m的值，進而求出c的值，最后利用相

似三角形的性質求出b的值，從而求出拋物線的解析式．

1

【詳解】解：∵拋物線yx2bxc中，

6

1

a,bb,cc，

6

b4acb23

∴點P的橫坐標為：3b，縱坐標為：b2c，

2a4a2

3

∴點P的坐標為(3b,b2c)，

2

令x=0，則y=c，

∴點C（0，c），

設△ABC的外接圓的圓心為D，則點P和點D都在線段AB的垂直平分線上，

設點D的坐標為（3b，m）．

12

∴x1，x2是一元二次方程xbxc0的兩根，

6

∴22，

x13b9b6cx23b9b6c

又∵AB的中點E的坐標為（3b，0），

∴AE9b26c．

∵PA為⊙D的切線，

∴PA⊥AD，

又∵AE⊥PD，

3

∴由射影定理可得AE2=PE?DE，即(9b26c)2(b2c)|m|，又易知m＜0，

2

∴可得m=-6，

又∵DA=DC得DA2=DC2，即(9b26c)2m2(3b0)2(mc)2，

把m=-6代入后可解得c=-6（另一解c=0舍去）．

又∵AM∥BC，

3

OAOM2||

∴，即3b9b6c2．

OBOC

3b9b26c|6|

55

把c=-6代入，解得b，（另一解b舍去）．

22

15

∴拋物線的解析式為yx2x6．

62

【點睛】本題綜合性的考查了二次函數的各種性質、圓的切線的性質、平行線的性質、射影定理的運用，

根與系數的關系以及相似三角形的判定和性質，題目的難度非常大．

19．（1）證明見解析；（2）證明見解析

【詳解】證明（1）作OMBC于M，INBC于N．

設BCa，ACb，ABc．

11

易求得CMa，CN(abc)，

22

1

所以MNCMCNcbOI，

2

又MN恰好是兩條平行線OM，IN之間的垂線段，所以OI也是兩條平行線OM，IN之間的垂線段，

所以OI//MN，所以OI//BC．

（2）由（1）知OMNI是矩形，連接BI，CI，設OMINr（即為ABC的內切圓半徑），則

S△AOCS△AOBS△AOIS△COIS△AIOS△AIBS△AO