專題29歸納與猜想

閱讀與思考

當一個問題涉及相當多的乃至無窮多的情形時，可從問題的簡單情形或特殊情況人手，通過對簡

單情形或特殊情況的試驗，從中發現一般規律或作出某種猜想，從而找到解決問題的途徑或方法，這種

研究問題的方法叫歸納猜想法.

歸納是建立在細致而深刻的觀察基礎上，發現往往是從觀察開始的，觀察是解決問題的先導，解

題中的觀察活動主要有三條途徑：

1．數與式的特征觀察．

2．幾何圖形的結構觀察．

3．通過對簡單、特殊情況的觀察，再推廣到一般情況.

需要注意的是，用歸納猜想法得到的結果，常常具有或然性，它可能是成功的發現，也可能是失敗

的嘗試，需用合乎邏輯的推理步驟把它寫成無懈可擊的證明．

【例1】下圖是飛行棋的一顆骰子，根據圖中A，B，C三種狀態所顯示的數字，推出“？”處的數

字是___________.

（“東方航空杯”上海市競賽試題）

(A)(B)(C)

解題思路：認真觀察A，B，C三種狀態所顯示的數字，從中發現規律，作出推斷。

【例2】如圖，依次連結第一個正方形各邊的中點得到第二個正方形，再依次連結第二個正方形各

邊的中點得到第三個正方形，按此方法繼續下去，若第一個正方形邊長為1，則第n個正方形的面積是

____．

（湖北省武漢市競賽試題）

解題思路：從觀察分析圖形的面積入手，先考察n＝1，2，3，4時的簡單情形，進而作出猜想．

【例3】如圖，平面內有公共端點的六條射線OA，OB，OC，OD，OE，OF，從射線OA開始按逆

時針方向依次在射線上寫出數字1，2，3，4，5，6，7，…．

(1)“17”在射線____上．

(2)請任意寫出三條射線上數字的排列規律．

(3)“2007”在哪條射線上？

（貴州省貴陽市中考試題）

解題思路：觀察發現每條射線上的數除以6的余數相同．

【例4】觀察按下列規則排成的一列數：

1121231234123451

，，，，，，，，，，，，，，，，…(※)

1213214321543216

2

(1)在(※)中，從左起第m個數記為F(m)，當F(m)＝時，求m的值和這m個數的積．

2001

(2)在(※)中，未經約分且分母為2的數記為c．它后面的一個數記為d，是否存在這樣的兩個數c

和d，使cd＝2001000?如果存在，求出c和d；如果不存在，請說明理由．

（湖北省競賽試題）

解題思路：按分母遞減而分子遞增的變化規律，對原數列恰當分組，明確每組中數的個數與分母的

關系、未經約分且分母為2的數在每組中的位置，這是解本例的關鍵，

2＋32＋57

【例5】在2,3兩個數之間，第一次寫上＝5，第二次在2.5之間和5，3之間分別寫上＝和

122

5＋3

＝4，如圖所示：

2

1

第k次操作是在上一次操作的基礎上，在每兩個相鄰的數之間寫上這兩個數的和的．

k

(1)請寫出第3次操作后所得到的9個數，并求出它們的和．

(2)經過k次操作后所有的數的和記為Sk，第k＋1次操作后所有數的和記為

Sk＋1，寫出Sk＋1與Sk之間的關系式．

(3)求S6的值．

（“希望杯”邀請賽試題）

解題思路：(1)先得出第3次操作后所得到的9個數，再把它們相加即可．

(2)找到規律，即毒次操作幾個數的時候，除了頭尾兩個數2和3之外，中間的

n－2個數均重復計算了2次，用Sk表示出Sk＋1

(3)根據(1)，(2)可算出S6的值．

能力訓練

1．有數組(1，1，1)，(2，4，8)，(3，9，27)，…，則第100組的三個數之和為．

（廣東省廣州市競賽試題）

2．如圖有一長條型鏈子，其外形由邊長為1cm的正六邊形排列而成．其中每個黑色六邊形與6個

白色六邊形相鄰，若鏈子上有35個黑色六邊形，則此鏈子有________個白色六邊形．

（2013年“實中杯”數學競賽試題）

3．按一定規律排列的一串數：

112312345123

．－，，－，，－，，－，，－，，－，…中，第98個數是__________.

133355555777

（山東省競賽試題）

4．給出下列麗列數

2，4，6，8，10,…，1994

6，13,20,27,34,…，1994

則這兩列數中，相同的數的個數是()．

A．142B．143C．284

（浙江省競賽試題）

5．如圖，∠AOB＝45°，對OA上到點Ｏ的距離分別為1，3，5，7，9，11，…的點作OA的垂線

且與OB相交，得到并標出一組黑色梯

形，面積分別為S1，S2，S3，…，則S10＝.

6．一條直線分一張平面為兩部分，二條直線最多分一張平面為4部分，設五條直線最多分平面為

ｎ部分，則n等于()

A．16B．18Ｃ．24D．31

（北京市“迎春杯”競賽試題）

7．觀察下列正方形的四個頂點所標的數字規律．那么2013這個數標在()．

A．第503個正方形的左下角B．第503個正方形的右下角

C．第504個正方形的左下角D．第504個正方形的右下角

（2013年浙江省衢江市競賽試題）

8．自然數按下表的規律排列：

(1)求上起第10行，左起第13列的數．

(2)數127應在上起第幾行，左起第幾列．

（北京市“迎春杯”競賽試題）

9．一串數排成一行，它們的規律是這樣的：頭兩個數都是1，從第三個數開始，每一個數都是前兩

個數的和，也就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…

問：這串數的前100個數中（包括第100個數）有多少個偶數？

（“華羅庚金杯”競賽試題）

10.將一個圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于50個小紙片，至少要

畫多少條直線？請說明理由．

（“五羊杯”競賽試題）

11.下面是按一定規律排列的一列數：

1－1

第1個數：－(1＋)；

22

111213

第2個數：111；

3234

1112131415

第3個數：11111；

423456

…

11121312n1

第n個數：1111．

n12342n

那么