專題01質數那些事

閱讀與思考

一個大于1的自然數如果只能被1和本身整除，就叫作質數(也叫素數)；如果能被1和本身以外的

自然數整除，就叫作合數；自然數1既不是質數，也不是合數，叫作單位數．這樣，我們可以按約數個

數將正整數分為三類：

單位1

正整數質數

合數

關于質數、合數有下列重要性質：

1．質數有無窮多個，最小的質數是2，但不存在最大的質數，最小的合數是4．

2．1既不是質數，也不是合數；2是唯一的偶質數．

3．若質數p|ab，則必有p|a或p|b．

4．算術基本定理：任意一個大于1的整數N能唯一地分解成k個質因數的乘積(不考慮質因數之間

的順序關系)：

a1a2ak，其中，為質數，為非負數，，，…，．

N=P1P2PkP1P2PkPiai(i=123k)

正整數的正約數的個數為＋＋…＋，所有正約數的和為＋＋…＋a1＋

N(1a1)(1a1)(1a1)(1P1P1)(1P2

＋…＋a2…＋＋…＋ak．

P2)(1PkPk)

例題與求解

【例1】已知三個質數a，b，c滿足a＋b＋c＋abc=99，那么abbcca的值等于

_________________．

(江蘇省競賽試題)

解題思想：運用質數性質，結合奇偶性分析，推出a，b，c的值．

【例2】若p為質數，p3＋5仍為質數，則p5＋7為()

A．質數B．可為質數，也可為合數

C．合數D．既不是質數，也不是合數

(湖北省黃岡市競賽試題)

解題思想：從簡單情形入手，實驗、歸納與猜想．

【例3】求這樣的質數，當它加上10和14時，仍為質數．

(上海市競賽試題)

解題思想：由于質數的分布不規則，不妨從最小的質數開始進行實驗，另外，需考慮這樣的質數是

否唯一，按剩余類加以深入討論．

【例4】⑴將1，2，…，2004這2004個數隨意排成一行，得到一個數n，求證：n一定是合數．

⑵若n是大于2的正整數，求證：2n－1與2n＋1中至多有一個質數．

⑶求360的所有正約數的倒數和．

(江蘇省競賽試題)

解題思想：⑴將1到2004隨意排成一行，由于中間的數很多，不可能一一排出，不妨找出無論怎

樣排，所得數都有非1和本身的約數；⑵只需說明2n－1與2n＋1中必有一個是合數，不能同為質數即

可；⑶逐個求解正約數太麻煩，考慮整體求解．

112

【例5】設x和y是正整數，x≠y，p是奇質數，并且，求x＋y的值．

xyp

解題思想：由題意變形得出p整除x或y，不妨設xtp．由質數的定義得到2t－1=1或2t－

1=p．由x≠y及2t－1為質數即可得出結論．

【例6】若一個質數的各位數碼經任意排列后仍然是質數，則稱它是一個“絕對質數”[如2，3，5，

7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…都是質數]．求

證：絕對質數的各位數碼不能同時出現數碼1，3，7，9．

(青少年國際城市邀請賽試題)

解題思想：一個絕對質數如果同時含有數字1，3，7，9，則在這個質數的十進制表示中，不可能含

有數字0，2，4，5，6，8，否則，進行適當排列后，這個數能被2或5整除．

能力訓練

A級

1．若a，b，c，d為整數，a2b2c2d2=1997，則a2b2c2d2=________．

2．在1，2，3，…，n這個n自然數中，已知共有p個質數，q個合數，k個奇數，m個偶數，

則(q－m)＋(p－k)=__________．

3．設a，b為自然數，滿足1176a=b3，則a的最小值為__________．

(“希望杯”邀請賽試題)

4．已知p是質數，并且p6＋3也是質數，則p11－48的值為____________．

(北京市競賽試題)

5．任意調換12345各數位上數字的位置，所得的五位數中質數的個數是()

A．4B．8C．12D．0

6．在2005，2007，2009這三個數中，質數有()

A．0個B．1個C．2個D．3個

(“希望杯”邀請賽試題)

7．一個兩位數的個位數字和十位數字變換位置后，所得的數比原來的數大9，這樣的兩位中，質數

有()

A．1個B．3個C．5個D．6個

(“希望杯”邀請賽試題)

8．設p，q，r都是質數，并且p＋q=r，p<q．求p．

9．寫出十個連續的自然數，使得個個都是合數．

(上海市競賽試題)

10．在黑板上寫出下面的數2，3，4，…，1994，甲先擦去其中的一個數，然后乙再擦去一個數，

如此輪流下去，若最后剩下的兩個數互質，則甲勝；若最后剩下的兩個數不互質，則乙勝，你如果想勝，

應當選甲還是選乙？說明理由．

(五城市聯賽試題)

11．用正方形的地磚不重疊、無縫隙地鋪滿一塊地，選用邊長為xcm規格的地磚，恰用n塊，若

選用邊長為ycm規格的地磚，則要比前一種剛好多用124塊，已知x，y，n都是正整數，且(x，y)=1，

試問這塊地有多少平方米？

(湖北省荊州市競賽試題)

B級

1．若質數m，n滿足5m＋7n=129，則m＋n的值為__________．

ppqq

2．已知p，q均為質數，并且存在兩個正整數m，n，使得p=m＋n，q=m×n，則

mnnm

的值為__________．

3．自然數a，b，c，d，e都大于1，其乘積abcde=2000，則其和a＋b＋c＋d＋e的最大

值為__________，最小值為____________．

(“五羊杯”競賽試題)

4．機器人對自然數從1開始由小到大按如下的規則染色：凡能表示為兩個合數之和的自然數都染

成紅色，不合上述要求的自然數都染成黃色，若被染成紅色的數由小到大數下去，則第1992個數是

_______________．

(北京市“迎春杯”競賽試題)

5．若a，b均為質數，且滿足a11＋b=2089，則49b－a=_________．

A．0B．2007C．2008D．2010

(“五羊杯”競賽試題)

6．設a為質數，并且7a2＋8和8a2＋7也都為質數，記x=77a＋8，y=88a＋7，則在以下情形

中，必定成立的是()

A．x，y都是質數B．x，y都是合數

C．x，y一個是質數，一個是合數D．對不同的a，以上皆可能出現

(江西省競賽試題)

7．設a，b，c，d是自然數，并且a2b2c2d2，求證：a＋b＋c＋d一定是合數．

(北京市競賽試題)

8．請同時取六個互異的自然數，使它們同時滿足：

⑴6個數中任意兩個都互質；

⑵6個數任取2個，3個，4個，5個，6個數之和都是合數，并簡述選擇的數符合條件的理由．

9．已知正整數p，q都是質數，并且7p＋q與pq＋11也都是質數，試求pqqp的值．

(湖北省荊州市競賽試題)

10.41名運動員所穿運動衣號碼是1，2，…，40，41這41個自然數，問：

(l)能否使這41名運動員站成一排，使得任意兩個相鄰運動員的號碼之和是質數？

(2)能否讓這41名運動員站成一圈，使得任意兩個相鄰運動員的號碼之和都是質數？若能辦

到，請舉出一例；若不能辦到，請說明理由．

專題01質數那些事

例134

例2C

例33符合要求提示：當p=3k＋1時，p＋10=3k＋11，p＋14=3(k＋5)，顯然p＋14是合數，當p=3k

＋2時，p＋10=3(k＋4)是合數，當p=3k時，只有k=1才符合題意．

1

例4（1）因1＋2＋…＋2004=×2004×（1＋2004）=1002×2005為3的倍數，故無論怎樣交換這2004

2

個數的順序，所得數都有3這個約數．

（2）因n是大于2的正整數，則2n－1≥7，2n－1、2n、2n＋1是不小于7的三個連續的正整數，

其中必有一個被3整除，但3不整除2n，故2n－1與2n＋1中至多有一個數是質數．

（）設正整數的所有正約數之和為，，，，…，為的正約數從小到大的排列，

3abd1d2d3dna

1111

于是，．由于中各分數分母的最小公倍數，故

d1=1dn=aSdn=a

d1d2d3dn

ddddddb

S=nn11=12n=，而a=360=23325，故b=（1＋2＋22＋23）×（1

dndndndna

b11701

＋3＋32）×（1＋5）=1170．==3．

a3604

xy22xy

例5由=，得x＋y==k．（k為正整數），可得2xy=kp，所以p整除2xy且p為奇質數，故

xypp

tp

p整除x或y，不放設x=tp，則tp＋y=2ty，得y=為整數．又t與2t－1互質，故2t－1整除p，

2t1

xy2

p為質數，所以2t－1=1或2t－1=p．若2t－1=，得t=1，x=y=p，與x≠y矛盾；若2t－1=p，則=，

xyp

pxy

2xy=p（x＋y）．∵p是奇質數，則x＋y為偶數，x、y同奇偶性，只能同為xy=必有某數含

2

apyap

因數p．令x=ap，ay=，2ay=ap＋y．∴y=，故a，2a－1互質，2a－1整除p，又p

22a1

p1p1pp1pp1p1p12

是質數，則2a－1=p，a=，故x=p=，∴x＋y=＋=。

222222

例設是一個同時含有數字，，，的絕對質數．因為，，，，

6N1379k0=7931k`=1793k2=9137k3=7913

，，除以所得余數分別為，，，，，，．故如下個正整數：

k4=7193k5=1937k6=7139701234567

4，

N0C1C2Cn47931=LL10k0

4，

N1C1C2Cn41793=LL10k1

…

4，

N6C1C2Cn47139=LL10k6

其中，一定有一個能被7整除，則這個數就不是質數，故矛盾．

A級

1．19982．－13．634．20005．D6．A7．B

8．由r=p＋q可知r不是最小的質數，則為奇數，故p，q為一奇一偶，又因為p＜q．故p既是質數又

是偶數，則p=2．

9．設十個連續合數為k＋2，k＋3，k＋4，…，k＋10，k＋11，這里k為自然數，則只要取k是2，3，4，…，

11的倍數即可．

10．選甲．提示：相鄰的兩個自然數總是互質數，把相鄰自然數兩兩分為一組，這兩數總是互質的，（2，

3），（4，5），（6，7），…，（1992，1993），1994，甲擦掉1994，無論乙擦哪一個數，甲就擦那一組

的另一數，以此類推，最后還剩一對互質數．

11．設這塊地面積為S，則S=nx2=（n＋124）y2．

∴nx2y2=124y2∵x＞y（x，y）=1

∴（x2，y2）=1（x2y2，y2）=1得x2y2｜124

∵124=22×31，x2y2=（x＋y）（x－y）

xy31xy62

∴，或

xy1xy2

x16x32

∴，或（舍）

y15y30

124y2

此時n==900．

x2y2

∴S=nx2=900×162=230400cm2=23．04m2。

B級

1．19或25

31

2．提示：q=mn，則m、n只能一個為1，另一個為q．

3

3．133234．2001

5．B提示：唯有a=2，b=2089－211=2089－2048=41是質數，符合題意．

6．A提示：當a=3時，符合題意；當a≠3時，a2被3處余1，設a2=3n＋1，則7a2＋8=21n＋15，

8a2＋7=24n＋15，它們都不是質數，與條件矛盾．故a=3．

7．a2－a，b2－b，c2－c，d2－d都是偶數，即M=a2b2c2d2－（a＋b＋c＋d）是偶數．因

為a2b2=c2d2，所以a2b2c2d2=2（a2b2）是偶數，從而