專題02數的整除性

閱讀與思考

設a，b是整數，b≠0，如果一個整數q使得等式a=bq成立，那么稱a能被b整除，或稱b整

除a，記作b|a，又稱b為a的約數，而a稱為b的倍數．解與整數的整除相關問題常用到以下知識：

1．數的整除性常見特征：

①若整數a的個位數是偶數，則2|a；

②若整數a的個位數是0或5，則5|a；

③若整數a的各位數字之和是3(或9)的倍數，則3|a(或9|a)；

④若整數a的末二位數是4(或25)的倍數，則4|a(或25|a)；

⑤若整數a的末三位數是8(或125)的倍數，則8|a(或125|a)；

⑥若整數a的奇數位數字和與偶數位數字和的差是11的倍數，則11|a．

2．整除的基本性質

設a，b，c都是整數，有：

①若a|b，b|c，則a|c；

②若c|a，c|b，則c|(a±b)；

③若b|a，c|a，則[b，c]|a；

④若b|a，c|a，且b與c互質，則bc|a；

⑤若a|bc，且a與c互質，則a|b．特別地，若質數p|bc，則必有p|b或p|c．

例題與求解

【例1】在1，2，3，…，2000這2000個自然數中，有_______個自然數能同時被2和3整除，而

且不能被5整除．

(“五羊杯”競賽試題)

解題思想：自然數n能同時被2和3整除，則n能被6整除，從中剔除能被5整除的數，即為所求．

【例2】已知a，b是正整數(a＞b)，對于以下兩個結論：

①在a＋b，ab，a－b這三個數中必有2的倍數；

②在a＋b，ab，a－b這三個數中必有3的倍數．其中()

A．只有①正確B．只有②正確

C．①，②都正確D．①，②都不正確

(江蘇省競賽試題)

解題思想：舉例驗證，或按剩余類深入討論證明．

【例3】已知整數13ab456能被198整除，求a，b的值．

(江蘇省競賽試題)

解題思想：198=2×9×11，整數13ab456能被9，11整除，運用整除的相關特性建立a，b的等式，

求出a，b的值．

【例4】已知a，b，c都是整數，當代數式7a＋2b＋3c的值能被13整除時，那么代數式5a＋

7b－22c的值是否一定能被13整除，為什么？

(“華羅庚金杯”邀請賽試題)

解題思想：先把5a＋7b－22c構造成均能被13整除的兩個代數式的和，再進行判斷．

【例5】如果將正整數M放在正整數m左側，所得到的新數可被7整除，那么稱M為m的“魔術

數”(例如：把86放在415左側，得到86415能被7整除，所以稱86為415的魔術數)，求正整數n的

最小值，使得存在互不相同的正整數，，…，，滿足對任意一個正整數，在，，…，

a1a2anma1a2an

中都至少有一個為m的“魔術數”．

(2013年全國初中數學競賽試題)

解題思想：不妨設，，，…，；，，，，，，至少有一個為的

ai7kit(i=123nt=0123456)m

“魔術數”．根據題中條件，利用k是的位數被除所得余數，分析的取值．

ai10m(km)7i

【例】一只青蛙，位于數軸上的點，跳動一次后到達，已知，滿足－，

6akak1akak1|ak1ak|=1

我們把青蛙從開始，經－次跳動的位置依次記作：，，，…，．

a1n1Ana1a2a3an

⑴寫出一個，使其，且＋＋＋＋；

A5a1a50a1a2a3a4a5>0

⑵若，，求的值；

a1=13a2000=2012a1000

⑶對于整數≥，如果存在一個能同時滿足如下兩個條件：①；②＋＋＋…

n(n2)Ana1=0a1a2a3

＋．求整數≥被除的余數，并說理理由．

an=0n(n2)4

(2013年“創新杯”邀請賽試題)

解題思想：⑴．即從原點出發，經過次跳動后回到原點，這就只能兩次向右，兩次向

a1a504

左．為保證＋＋＋＋．只需將“向右”安排在前即可．

a1a2a3a4a5>0

⑵若，，從經過步到．不妨設向右跳了步，向左跳了步，則

a1=13a2000=2012a11999a2000xy

xy1999x1999

，解得可見，它一直向右跳，沒有向左跳．

13xy2012y0

⑶設同時滿足兩個條件：①；②＋＋＋…＋．由于，故從原點出發，經

Ana1=0a1a2a3an=0a1=0

過－步到達，假定這－步中，向右跳了步，向左跳了步，于是－，＋

(k1)ak(k1)xkykak=xkykxkyk=k

－，則＋＋＋…＋＋＋＋…＋＋…＋－

1a1a2a3an=0(x2y2)(x3y3)(xnyn)=2(x1x2xn)[(x2y2)

nn1

＋(xy)＋…＋(xy)]=2(x＋x＋…＋x)－．由于a＋a＋a＋…＋a=0，所以

33nn23n2123n

－＋＋…＋．即－．

n(n1)=4(x2x3xn)4|n(n1)

能力訓練

A級

111

1．某班學生不到50人，在一次測驗中，有的學生得優，的學生得良，的學生得及格，則

732

有________人不及格．

2．從1到10000這1萬個自然數中，有_______個數能被5或能被7整除．

(上海市競賽試題)

3．一個五位數3ab98能被11與9整除，這個五位數是________．

4．在小于1997的自然數中，是3的倍數而不是5的倍數的數的個數是()

A．532B．665C．133D．798

5．能整除任意三個連續整數之和的最大整數是()

A．1B．2C．3D．6

(江蘇省競賽試題)

6．用數字1，2，3，4，5，6組成的沒有重復數字的三位數中，是9的倍數的數有()

A．12個B．18個C．20個D．30個

(“希望杯”邀請賽試題)

7．五位數abcde是9的倍數，其中abcd是4的倍數，那么abcde的最小值為多少？

(黃岡市競賽試題)

8．1，2，3，4，5，6每個使用一次組成一個六位數字abcdef，使得三位數abc，bcd，cde，def

能依次被4，5，3，11整除，求這個六位數．

(上海市競賽試題)

9．173□是個四位數字，數學老師說：“我在這個□中先后填入3個數字，所得到的3個四位數，

依次可被9，11，6整除．”問：數學老師先后填入的這3個數字的和是多少？

(“華羅庚金杯”邀請賽試題)

B級

1．若一個正整數a被2，3，…，9這八個自然數除，所得的余數都為1，則a的最小值為_________，

a的一般表達式為____________．

(“希望杯”邀請賽試題)

2．已知m，n都是正整數，若1≤m≤n≤30，且mn能被21整除，則滿足條件的數對(m，n)

共有___________個．

(天津市競賽試題)

3．一個六位數x1989y能被33整除，這樣的六位數中最大是__________．

1,3,5,7,,1991,1993,1995,1997,1999

4．有以下兩個數串1,4,7,10,,1987,1990,1993,1996,1999同時出現在這兩個數串中的數的個

數共有()個．

A．333B．334C．335D．336

5．一個六位數a1991b能被12整除，這樣的六位數共有()個．

A．4B．6C．8D．12

6．若1059，1417，2312分別被自然數n除時，所得的余數都是m，則n－m的值為()．

A．15B．1C．164D．174

7．有一種室內游戲，魔術師要求某參賽者相好一個三位數abc，然后，魔術師再要求他記下五個

數：acb，bac，bca，cab，cba，并把這五個數加起來求出和N．只要講出N的大小，魔術師就

能說出原數abc是什么．如果N=3194，請你確定abc．

(美國數學邀請賽試題)

8．一個正整數N的各位數字不全相等，如果將N的各位數字重新排列，必可得到一個最大數和一

個最小數，若最大數與最小數的差正好等于原來的數N，則稱N為“拷貝數”，試求所有的三位“拷貝

數”．

(武漢市競賽試題)

9．一個六位數，如將它的前三位數字與后三位數字整體互換位置，則所得的新六位數恰為原數的6

倍，求這個三位數．

(“五羊杯”競賽試題)

10．一個四位數，這個四位數與它的各位數字之和為1999，求這個四位數，并說明理由．

(重慶市競賽試題)

11．從1，2，…，9中任取n個數，其中一定可以找到若干個數(至少一個，也可以是全部)，它們

的和能被10整除，求n的最小值．

(2013年全國初中數學競賽試題)

專題02數的整除性

例1267提示：333－66＝267．

例2C提示：關于②的證明：對于a，b若至少有一個是3的倍數，則ab是3的倍數．若a，b

都不是3的倍數，則有：(1)當a＝3m＋1，b＝3n＋1時，a－b＝3(m－n)；(2)當a＝3m＋1，b＝3n＋2時，

a＋b＝3(m＋n＋1)；(3)當a＝3m＋2，b＝3n＋1時，a＋b＝3(m＋n＋1)；(4)當a＝3m＋2，b＝3n＋2時，

a－b＝3(m－n).

例3a＝8．b＝0提示：由9｜(19＋a＋b)得a＋b＝8或17；由11|(3＋a－b)得a－b＝8或－3．

例4設x，y，z，t是整數，并且假設5a＋7b－22c＝x(7a＋2b＋3c)＋13(ya＋zb＋tc).比較上式a，b，c

7x13y5

的系數，應當有2x13z7，取x＝－3，可以得到y＝2，z＝1，t＝－1，

3x13t22

則有13(2a＋b－c)－3(7a＋2b＋3c)＝5a＋7b－22c．既然3(7a＋2b＋3c)和13(2a＋b－c)都能被13整除，

則5a＋7b－22c就能被13整除．

例5考慮到“魔術數”均為7的倍數，又a1，a2，…，an互不相等，不妨設a1＜a2＜…＜an，余數必

為1，2，3，4，5，6，0，設ai＝ki＋t(i＝1，2，3，…，n；t＝0，1，2，3，4，5，6)，至少有一個為m

k

的“魔術數”，因為ai·10＋m(k是m的位數)，是7的倍數，當i≤b時，而ai·t除以7的余數都是0，

k

1，2，3，4，5，6中的6個；當i＝7時，而ai·10除以7的余數都是0，1，2，3，4，5，6這7個數

kk

字循環出現，當i＝7時，依抽屜原理，ai·10與m二者余數的和至少有一個是7，此時ai·10＋m被7

整除，即n＝7．

例6(1)A5：0，1，2，1，0.(或A5：0，1，0，1，0)(2)a1000＝13＋999＝1012．(3)n被4除余數

為0或1．

A級

1．12．31433．397984．A5．C6．B

—————

7．五位數abcde＝10×abcd＋e.又∵abcd為4的倍數．故最值為1000，又因為abcde為9的倍數．故1

—

＋0＋0＋0＋e能被9整除，所以e只能取8．因此abcde最小值為10008.

8．324561提示：d＋f－e是11的倍數，但6≤d＋f≤5＋6＝11，1≤e≤6，故0≤d＋f－e≤10，因此d

＋f－e＝0，即5＋f＝e，又e≤d，f≥1，故f＝l，e＝6，

9．19提示：1＋7＋3＋□的和能被9整除，故□里只能填7，同理，得到后兩個數為8，4．

B級

1．2521a＝2520n＋1(n∈N＋)

2．57

3．719895提示：這個數能被33整除，故也能被3整除．于是，各位數字之和(x＋1＋9＋8＋9＋y)也能

被3整除，故x＋y能被3整除．

4．B

5．B

6．A提示：兩兩差能被n整除，n＝179，m＝164．

———————

7．由題意得acb＋bac＋bca＋cab＋cba＝3194，兩邊加上abc．得222(a＋b＋c)＝3194＋abc

——

∴222(a＋b＋c)＝222×14＋86＋abc．則abc＋86是222的倍數．

——————

且a＋b＋c＞14．設abc＋86＝222n考慮到abc是三位數，依次取n＝1，2，3，4.分別得出abc的可能

——

值為136，358，580，802，又因為a＋b＋c＞14．故abc＝358．

8．設N為所求的三位“拷貝數”，它的各位數字分別為a，b，c(a，b，c不全相等)．將其數碼重新排列

————————

后，設其中最大數為abc，則最小數為cba．故N＝abc－cba＝(100a＋10b＋c)－(100c＋10b＋a)

＝99(a－c)．

可知N為99的倍數．這樣的三位數可能是198，297，396，495，594，693，792，891，990．而

這9個數中，只有954－459＝495.故495是唯一的三位“拷貝數”．

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9．設原六位數為abcdef，則6×abcdef＝defabc，即6×(1000×abc＋def)＝1000×def＋abc，所