專題10最優(yōu)化

閱讀與思考

數(shù)學問題中常見的一類問題是：求某個變量的最大值或最小值；在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常碰到一些

帶有“最”字的問題，如投入最少、效益最大、材料最省、利潤最高、路程最短等，這類問題我們稱之

為最值問題，解最值問題的常見方法有：

1．配方法

由非負數(shù)性質得ab20．

2．不等分析法

通過解不等式（組），在約束條件下求最值．

3．運用函數(shù)性質

對二次函數(shù)yax2bxca0，若自變量為任意實數(shù)值，則取值情況為：

b4acb2

（1）當a0，x時，y最小值；

2a4a

b4acb2

（2）當a0，x時，y最大值；

2a4a

4．構造二次方程

利用二次方程有解的條件，由判別式0確定變量的取值范圍，進而確定變量的最值．

例題與求解

3x26x5

【例1】當x變化時，分式的最小值是．

1

x2x1

2

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

解題思路：因分式中分子、分母的次數(shù)相等，故可將原分式用整式、真分式的形式表示，通過配方

確定最小值．

【例2】已知y1，且2xy1，則2x216x3y2的最小值為（）

1927

A.B.3C.D.13

77

（太原市競賽試題）

解題思路：待求式求表示為關于x(或y)的二次函數(shù)，用二次函數(shù)的性質求出最小值，需注意的是變

量x、y的隱含限制．

x213

【例3】fx，在axb的范圍內最小值2a，最大值2b，求實數(shù)對(a，b).

22

解題思路:本題通過討論a，b與對稱軸x0的關系得出結論．

1

【例4】（1）已知y1xx的最大值為a，最小值b，求a2b2的值．

2

（“《數(shù)學周報》杯”競賽試題）

2

（2）求使x248x16取得最小值的實數(shù)x的值．

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

（3）求使9x249x212xy4y214y216y20取得最小值時x，y的值．

（“我愛數(shù)學”初中生夏令營數(shù)學競賽試題）

解題思路：解與二次根式相關的最值問題，除了利用函數(shù)增減性、配方法等基本方法外，還有下列

常用方法：平方法、判別式法、運用根式的幾何意義構造圖形等．

【例5】如圖，城市A處位于一條鐵路線上，而附近的一小鎮(zhèn)B需從A市購進大量生活、生產用品，

如果鐵路運費是公路運費的一半，問：該如何從B修筑一條公路到鐵路邊，使從A到B的運費最低？

（河南省競賽試題）

解題思路：設鐵路與公路的交點為C，AC＝x千米，BC＝y(tǒng)千米，AD＝n千米，BD＝m千米，又設

鐵路每千米的運費為a元，則從A到B的運費Sany2m22ay，通過有理化，將式子整理

為關于y的方程．

【例】（）設，，…，（），為－＋個互不相同的正整數(shù)，且＋＋…＋

61xrxr1xkkrkr1xrxr＋1

xk＝2003，求k的最大可能值．

（香港中學競賽試題）

（2）a，b，c為正整數(shù)，且a2b3c4，求c的最小值．

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

解題思路：對于(1)，因r＝1，對k－r＋1＝k－1＋1＝k個正整數(shù)x1，x2，…，xk，不妨設x1＜x2＜…

＜xk＝2013，可見，只有當各項x1，x2，…，xk的值愈小時，才能使k愈大（項數(shù)愈多），通過放縮求k

的最大值；對于（2），從c2ac2ab2入手．

能力訓練

A級

1．已知三個非負數(shù)a，b，c，滿足3a＋2b＋c＝5和2a＋b－3c＝1，若m＝3a＋b－7c，則m的最

小值為___________，最大值為．

2．多項式p＝2x2－4xy＋5y2－12y＋13的最小值為．

3．已知x，y，z為實數(shù)，且x＋2y－z＝6，x－y＋2z＝3，那么x2＋y2＋z2的最小值為．

（“希望杯”邀請賽試題）

4．若實數(shù)a，b，c，滿足a2＋b2＋c2＝9，則代數(shù)式(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2的最大值為()

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

5．已知兩點A(3，2)與B(1，－1)，點P在y軸上且使PA＋PB最短，則P的坐標是（）

1111

A.(0，)B.(0，0)C.(0，)D.(0，)

264

（鹽城市中考試題）

11

6．正實數(shù)x，y滿足xy1，那么的最小值為（）

x44y4

155

A.B.C.1D.E.2

284

（黃岡市競賽試題）

7．某公司試銷一種成本單價為500元/件的新產品，規(guī)定試銷時的銷售單價不低于成本單價，又不

高于800元/件，經(jīng)試銷調查，發(fā)現(xiàn)銷售量y(件)與銷售單價x(元/件)可近似看作一次函數(shù)ykxb的

關系（如圖所示）.

（1）根據(jù)圖象，求一次函數(shù)ykxb的解析式；

（2）設公司獲得的毛利潤（毛利潤=銷售總價-成本總價）為S元．

①試用銷售單價x表示毛利潤；

②試問：銷售單價定為多少時，該公司可獲得最大毛利潤？最大毛利潤是多少？此時的銷量是多

少？

（南通市中考試題）

8．方程x22m1xm60有一根不大于1，另一根不小于1，

（1）求m的取值范圍；

（2）求方程兩根平方和的最大值與最小值．

（江蘇省競賽試題）

9．已知實數(shù)a，b滿足a2abb21，求a2abb2的最大值與最小值．

（黃岡市競賽試題）

10.已知a，b，c是正整數(shù)，且二次函數(shù)yax2bxc的圖象與x軸有兩個不同的交點A，B，若

點A，B到原點的距離都小于1，求a＋b＋c的最小值．

（天津市競賽試題）

11．某單位花50萬元買回一臺高科技設備，根據(jù)對這種型號設備的跟蹤調查顯示：該設備投入使

1

用后，若將養(yǎng)護和維修的費用均攤到每一天，則有結論：第x天應付的養(yǎng)護與維修費為x1500

4

元．

（1）如果將設備從開始投入使用到報廢所需的養(yǎng)護與維修費及購買設備費用的總和均攤到每一天，

叫作每天的平均損耗，請你將每天的平均損耗y（元）表示為使用天數(shù)x（天）的函數(shù)．

（2）按照此行業(yè)的技術和安全管理要求，當此設備的平均損耗達到最小值時，就應當報廢，問：

該設備投入使用多少天應當報廢？

（河北省競賽試題）

B級

1．a，b是正數(shù)，并且拋物線yx2ax2b和yx22bxa都與x軸有公共點，則a2b2的

最小值是．

2．設x，y，z都是實數(shù)，且滿足x＋y＋z＝1，xyz＝2，則xyz的最小值為．

3．如圖，B船在A船的西偏北45°處，兩船相距102km，若A船向西航行，B船同時向南航行，

且B船的速度為A船速度的2倍，那么A、B兩船的最近距離為km．

（全國初中數(shù)學競賽試題）

4．若a，b，c，d是乘積為1的四個正數(shù)，則代數(shù)式a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋bc＋ac＋ad＋bd＋cd的

最小值為（）

A.0B.4C.8D.10

（天津市競賽試題）

5．已知x，y，z為三個非負實數(shù)，且滿足3x＋2y＋z＝5，x＋y－z＝2.若s＝2x＋y－z，則s的最大

值與最小值的和為（）

232735

A.5B.C.D.

444

（天津市選拔賽試題）

6．如果拋物線yx2k1xk1與x軸的交點為A，B，頂點為C，那么△ABC的面積的最

小值為（）

A.1B.2C.3D.4

7．某商店將進貨價每個10元的商品按每個18元售出時，每天可賣出60個，商店經(jīng)理到市場上做

了一番調查后發(fā)現(xiàn)，若將這種商品的售價（在每個18元的基礎上）每提高1元，則日銷售量就減少5

個；若將這種商品的售價（在每個18元的基礎上）每降低1元，則日銷量就增加10個，為獲得每日最

大利潤，此商品售價應定為每個多少元？

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

8．有甲、乙兩種商品，經(jīng)營銷售這兩種商品所能獲得的利潤依次是p（萬元）和q（萬元），它們

13

與投入資金x（萬元）的關系有經(jīng)驗公式：px,qx.今有3萬元資金投入經(jīng)營甲、乙兩種商品，

55

為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入分別應為多少？能獲得多大的利潤？

（紹興市競賽試題）

9．已知為x，y，z為實數(shù)，且xyz5，xyyzzx3，試求z的最大值與最小值．

bc

10．已知三個整數(shù)a，b，c之和為13，且，求a的最大值和最小值，并求出此時相應的b與

ab

c值．

（四川省競賽試題）

11．設x1，x2，…，xn是整數(shù)，并且滿足：

①－1≤xi≤2，i＝1，2，…，n

②x1＋x2＋…＋xn＝19

222

③x1＋x2＋…＋xn＝99

333

求x1＋x2＋…＋xn的最大值和最小值．

（國家理科實驗班招生試題）

222

12．已知x1，x2，…，x40都是正整數(shù)，且x1＋x2＋…＋x40＝58，若x1＋x2＋…＋x40的最大值為A，

最小值為B，求A＋B的值．

（全國初中數(shù)學競賽試題）

專題10最優(yōu)化

2

例1.4提示：原式=6-.

（x1）21

1

例2.B提示：由-1≤y≤1有0≤x≤1，則z=2x2+16x+3y2=14x2+4x+3是開口向上，對稱軸為x的拋

7

物線.

例3.分三種情況討論：①0≤a<b，則f(x)在a≤x≤b上單調遞減，∴f(a)=2b，f(b)=2a，

a213

2ba1

即22解得

b213b3

2a

22

②a<b≤0，則f(x)在a≤x≤b上單調遞增，∴f(a)=2a，f(b)=2b，

a213

2a

即22此時滿足條件的（a，b）不存在.

b213

2b

22

1313

③a<0<b，此時f(x)在x=0處取得最大值，即2b=f(0)=,b=,而f(x)在x=a或x=b處取最小值

24

1311313a213

2a.∵a<0，則2a<0，又∵f(b)=f()=-（）20，∴f(a)=2a，即2a=-，則

424222

a217

13

b

4

13

綜上，（a，b）=(1，3)或（-2-17，）

4

11313

例4.（1）x1，y2=+2（-x）2.當x=時，y2取得最大值1，a=1；

224164

1123

當x或x=1時，y2取得最小值，b=.故a2+b2=.

2222

(2)如圖，AB=8，設AC=x，則BC=8-x，AD=2，CD=x24，BE=4，CE=(8-x)216

BF=AD=2.

x24(8x)216CDCEDEDF2EF282(42)210

BCEB4

當且僅當D，C，E三點共線時，原式取最小值.此時△EBC∽△DAC，有2,

CADA2

188

從而x=AC=AB.故原式取最小值時，x=.

333

(3)如圖，

2

原式=0（--2）2（3x0）2(10)2(2y3x)2(31)2(42y)2

=AB+BC+CD≥AD，其中A（-2,0），B（0，3x）,C(1,2y),D(3,4),并且當點B，C在線段AD上時，原式取

3x42y4

得最小值，此時，.

2535

例5.由S=a(ny2m2)2ay，得an-S+2ay=ay2n2，兩邊平方，經(jīng)整理得

3a2y24a(anS)y(anS)2a2m20.因為關于y的一元二次方程有實數(shù)解，所以

2

4a(anS)43a2(anS)2a2m20，可化為（S-an）23a2m2.

∵S>an，∴S-an3am，即San3am，故S最小=an3am.

k(k1)

例6（1）設x1≥1，x2≥2，xk≥k，于是1+2+…+k≤x1+x2+…+xk=2003，即2003

2

k(k+1)≤4006，∵62×63=3906<4006<4032=63×64，∴k≤62.當x1=1，x2=2，…x61=61，x62=112時，原等式

成立，故k的最大可能值為62.

c2abb(b1)b(b1)

（2）若取，則2由小到大考慮b，使為完全平方數(shù).當b=8時，c2=36，

22c

cab22

則c=6，從而a=28.下表說明c沒有比6更小的正整數(shù)解.顯然，表中c4-x3的值均不是完全平方數(shù)，故c

的最小值為6.

cC4x3(x3<c4)C4-x3

2161，817,8

3811,8,27,6480,73,54,17

42561,8,27,64,125,216255,248,229,192,131,40

56251,8,27,64,125,216,343,512624,617,598,561,500,409,282,113

51

A級1．2．13．14提示：y=5－x,z=4－x，原式=3(x－3)2+14．4．A提示：

711

原式=27－(a+b+c)2．5．D6．C7．(1)y=－x+1000(500≤x≤800)(2)①S=(x－500)(－x+1000)=

－x2+1500x－500000(500≤x≤800);②S－(x－750)2+62500,即銷售單價定為750時，公司可獲最大毛利潤

22323

62500元，此時銷量為250件．8．（1）－4≤m≤2（2）設方程兩根為x1，x2，則x1+x2=4(m－)+10，

44

22322221

由此得x1+x2最小值為10，最大值為101．9．設a－ab+b=k，又a+ab+b=1②，由①②得ab=(1

42

13k3k1k

－k)，于是有（a+b)2=(3－k)≥0，∴k≤3，從而a+b=．故a，b是方程t2t+=0

2222

12

的兩實根，由Δ≥0，得k3．10．設A（x1,0)，B（x2，0)，其中x1，x2是方程ax+bx+c=0的兩

3

bc2

根，則有x1+x2=<0，x1x2=>0，得x1<0，x2<0，由Δ=b－4ac>0，得b>2ac．∵|OA|=|x1|<1，|OB|=|x2|<1，

aa

c

∴－1<x1<0，－1<x2<0，于是=x1x2<1，c<a．由于a是正整數(shù)，已知拋物線開口向上，且當x=－1時，

a

對應的二次函數(shù)值大于0，即a－b+c>0，a+c>b．又a，b，c是正整數(shù)，有a+c≥b+1>2ac+1，從而

a+c>2ac+1，則(ac)21,ac1,ac12，于是a>4，即a≥5，故b>2ac≥

25125，即b≥5．因此，取a=5，b=5，c=1，y=5x2+5x+1滿足條件，故a+b+c的最小值為

11．11．（1）該設備投入使用x天，每天平均損耗為

1111x111x(x1)

y=[500000(0500)(1500)(2500)(500)]=[500000500x]

x4444x42

500000x7500000x7500000x77500000x

=499．(2)y=4992499999．當且僅當，

x88x88x888x8

即x=2000時，等號成立．故這臺設備投入使用2000天后應當報廢．

B級1．20提示：a2－8b≥0，4b2－4a≥0，從而a4≥64b2≥64a，a≥4，b2≥4．2．4提示：構造

方程．3．25提示：設經(jīng)過t小時后，A，B船分別航行到A1，B1，設AA1=x，則BB1=2x，

22222222222

B1A1=|10x||102x|=5(x6)20．4．D提示：a+b≥2ab，c+d≥2cd，∴a+b+c+d

≥2(ab+cd)≥4abcd=4．∴ab+cd≥2，同理bc+ad≥2，ac+bd≥2．5．A提示：x=s－2≥0,y=5－

41

s≥0，z=1－s≥0，解得2≤s≤3，故s的最大值與最小值的和為5．6．A提示：|AB|=k22k5，

33

k1k22k51

C(,），S(k22k5)3，而k2+2k+5=(k+1)2+4≥4．7．設此商品每個售價

24ABC8

為x元，每日利潤為S元．當x≥18時，有S=[60－5（x－18)](x－10)=－5(x－20)2+500，即當商品提價

為20元時，每日利潤為500元；當x≤18時，S=[60+10（18－x)](x－10)=－10(x－17)2+490，即當商品

降價為17元時，每日利潤最大，最大利潤為490元，綜上，此商品售價應定為每個20元．8．設對

1313

甲、乙兩種商品的資金投入分別為x，(3－x)萬元，設獲取利潤為s，則sx3x，s－x=3x，

5555

兩邊平方，經(jīng)整理得x2+(9－10s)x+25s2－27=0，∵關于x的一元二次方程有實數(shù)解，∴（9－10s)2－4×

189

（25s2－27)≥0，解得s1.05，進而得x=0.75（萬元），3－x=2.25(萬元）．即甲商品投入0.75萬

180

元，乙商品投入2.25萬元，獲得利潤1.05萬元為最大．9．y=5－x－z，代入xy＋yx＋zx=3，得x2

13

＋(z－5)x＋(z2－5z＋3)=0．∵x為實數(shù)，∴Δ=(z－5)2－4(z2－5z＋3)≥0，解得－1≤z≤,故z的最大值

3

13bc

為，最小值為－1．10．設x，則b=ax，c=ax2，于是，a＋b＋c=13，化為a(x2＋x＋1)=13．∵

3ab

1352

a≠0，∴x2＋x＋1－=0①．又a，b，c為整數(shù)，則方程①的解必為有理數(shù)，即Δ=－3>0，得到

aa

522

1≤a≤，且為有理數(shù)，故1≤a≤16．當a=1時，方程①化為x＋x－12=0，解得x1=－4，x2=3．故

3

233

amin=1，b=－4，c=16或amin=1，b=3，c=9．當a=16時，方程①化為x＋x＋=0．解得x1=－，x2=

16