專題17不等式(組)的應用

閱讀與思考

許多數學問題和實際問題所求的未知量往往受到一些條件的限制，可以通過數量關系和分析，列出不等

式(組)，運用不等式的有關知識予以求解，不等式(組)的應用主要體現在：

1．作差或作商比較有理數的大小．

2．求代數式的取值范圍．

3．求代數式的最大值或最小值．

4．列不等式(組)解應用題．

列不等式(組)解應用題與列方程(組)解應用題的步驟相仿，關鍵是在理解題意的基礎上，將一些詞

語轉化為不等式．如“不大于”“不小于”“正數”“負數”“非正數”“非負數”等對應不等號：“≤”“≥”“＞0”“＜

0”“≤0”“≥0”．

例題與求解

【例1】如果關于x的方程m2xx10只有負根，那么m的取值范圍是_________．

(遼寧省大連市“育英杯”競賽試題)

解題思路：由x＜0建立關于m的不等式．

199819991998200019982001

【例2】已知A＝，B＝，C＝，則有()．

200020011999200119992000

A．A＞B＞CB．C＞B＞AC．B＞A＞CD．B＞C＞A

(浙江省紹興市競賽試題)

解題思路：當作差比較困難時，不妨考慮作商比較

【例】已知，，，，，，是彼此不相等的正整數，它們的和等于，求其中最小

3a1a2a3a4a5a6a7159

數的最大值．

a1

(北京市競賽試題)

解題思路：設＜＜＜＜，則＝，解題的關鍵是怎樣把多元等式

a1a2a3···a7a1+a2+a3+···+a7159

轉化為只含的不等式．

a1

【例4】一玩具廠用于生產的全部勞力為450個工時，原料為400個單位，生產一個小熊玩具要使用15

個工時、20個單位的原料，售價為80元；生產一個小貓玩具要使用10個工時、5個單位的原料，售價

為45元．在勞力和原料的限制下合理安排生產小熊玩具、小貓玩具的個數，可以使小熊玩具和小貓玩

具的總售價盡可能高．請用你所學過的數學知識分析，總售價是否可能達到2200元．

(“希望杯”邀請賽試題)

解題思路：列不等式的關鍵是勞力限制在450個工時，原料限制為400個單位．引入字母，把方程

和不等式結合起來分析．

【例5】某錢幣收藏愛好者想把3.50元紙幣兌換成1分，2分，5分的硬幣，他要求硬幣總數為150枚，

且每種硬幣不少于20枚，5分的硬幣多于2分的硬幣，請你據此設計兌換方案．

(河北省競賽試題)

解題思路：引入字母，列出含等式、不等式的混合組，把解方程組、解不等式組結合起來．

123nk

【例6】已知n，k皆為自然數，且1＜k＜n．若10，nka．求a的值．

n1

(香港中學數學競賽試題)

解題思路：此題可理解為在n個連續自然數中去除其中一個數k(且1＜k＜n，k是非兩頭的兩

個數)，使剩余的數的平均數等于10，求n和k之和。

能力訓練

A級

a

1.若方程249xx10的解小于零，則a的取值范圍是___________．

8

3xyk1,

2.若方程組的解為x，y，且2＜k＜4，則x－y的取值范圍是___________．

x3y3

（山東省聊城市中考試題）

3.a，b，c，d是正整數，且a＋b＝20，a＋c＝24，a＋d＝22，設a＋b＋c＋d的最大值為M，

最小值為N，則M－N＝_________．

（重慶市競賽試題）

4．一輛公共汽車上有5a4名乘客，到某一車站時有92a名乘客下車，則車上原有

______________名乘客．

（吉林省長春市中考試題）

11

5．一個盒子里裝有紅、黃、白三種顏色的球，若白球至多是黃球的，且至少是紅球的，黃球與白

23

球合起來不多于55個，則盒子中至多有紅球__________個．

(河北省競賽試題)

6．若ab2，且a≥2b，則()

b1baa8

A．有最小值B．有最大值1C．有最大值2D．有最小值

a2abb9

(浙江省杭州市中考題)

219891219901

7．設P，Q，則P，Q的大小關系是（）．

219901219911

A．P＞QB．P＜QC．P＝QD．不能確定

8．小芳和爸爸、媽媽三人玩蹺蹺板，三人的體重一共為150千克，爸爸坐在蹺蹺板的一端，體重只有

媽媽一半的小芳和媽媽一同坐在蹺蹺板的另一端，這時，爸爸的那一端仍然著地，請你猜一猜小芳的體

重應小于()

A．49千克B．50千克C．24千克D．25千克

(山東省煙臺市中考試題)

9．中國第三屆京劇藝術節在南京舉行，某場京劇演出的票價有2元到100元多種，某團體需購買票價6

元和10元的票共140張，其中票價為10元的票數不少于票價為6元的票數的2倍．問這兩種票各購買

多少張所需的錢最少?最少需要多少錢?

(江蘇省競賽試題)

10．某港受潮汐的影響，近日每天24小時港內的水深變化大體如圖所示：

一艘貨輪于上午7時在該港碼頭開始卸貨，計劃當天卸完貨后離港．已知這艘貨輪卸完貨后吃水深

度為2.5m(吃水深度即船底與水面的距離)．該港口規定：為保證航行安全，只有當船底與港內水底間的

距離不少于3.5m時，才能進出該港．

根據題目中所給的條件，回答下列問題：

(1)要使該船能在當天卸完貨并安全出港，則出港時水深不能少于_______m，卸貨最多只能用______

小時；

(2)已知該船裝有1200噸貨，先由甲裝卸隊單獨卸，每小時卸180噸，工作了一段時間后，交由乙

隊接著單獨卸，每小時卸120噸．如果要保證該船能在當天卸完貨并安全出港，則甲隊至少應該工作幾

小時，才能交給乙隊接著卸？

（江蘇省蘇州市中考試題）

B級

1．設a，b，c，d都是整數，且a＜3b，b＜5c，c＜7d，d＜30，那么a的最大可能值為_______．

（“新世紀杯”數學競賽試題）

2．某賓館底樓客房比二樓少5間，某旅游團有48人，若全安排住底樓，每間住4人，房間不夠；每間

住5人，有房間沒有住滿5人．又若全安排在二樓，每間住3人，房間不夠；每間住4人，有房間沒有

住滿4人，該賓館底樓有客房___________間．

3．已知a＜0，x滿足不等式ax1ax1，那么x的取值范圍是___________．

4．若a，b滿足3a25b7，S＝2a23b，則S的取值范圍是__________．

(廣西競賽試題)

．已知，，，，是彼此互不相等的負數，且＝＋＋＋＋＋＋，

5a1a2a3…a2007M(a1a2…a2006)(a2a3…a2007)

＝＋＋＋＋＋＋，那么與的大小關系是

N(a1a2…a2007)(a2a3…a2006)MN()

A．M＞NB．M＝NC．M＜ND．無法確定

(江蘇省競賽試題)

6．某出版社計劃出版一套百科全書，固定成本為8萬元，每印刷一套增加成本20元．如果每套書定價

100元，賣出后有3成收入給經銷商，出版社要盈利10％，那么該書至少要發行()套．

A．2000B．3000C．4000D．5000

(“希望杯”邀請賽試題)

7．今有濃度為5％，8％，9％的甲、乙、丙三種鹽水分別為60克，60克，47克，現要配制濃度為7％

的鹽水100克，問甲種鹽水最多可用多少克?最少可用多少克?

(北京市競賽試題)

8．為了迎接世界杯足球賽的到來，某足球協會舉辦了一次足球聯賽，其記分規則與獎勵方案如下表：

勝一場平一場負一場

積分310

獎金（元/人）15007000

當比賽進行到第12輪結束(每隊均需比賽12場)時，A隊共積19分．

(1)請通過計算，判斷A隊勝、平、負各幾場．

(2)若每賽一場，每名參賽隊員均得出場費500元．設A隊其中一名參賽隊員所得的獎金與出場費

的和為W(元)，試求W的最大值。

(黑龍江省中考試題)

9．為實現區域教育均衡發展，我市計劃對某縣A，B兩類薄弱學校全部進行改造．根據預算，共需資

金1575萬元，改造一所A類學校和兩所．B類學校共需資金230萬元；改造兩所A類學校和一所B類

學校共需資金205萬元．

(1)改造一所A類學校和一所B類學校所需的資金分別是多少萬元?

(2)若該縣的A類學校不超過5所，則B類學校至少有多少所?

(3)我市計劃今年對該縣A，B兩類學校共6所進行改造，改造資金由國家財政和地方財政共同承擔，

若今年國家財政撥付的改造資金不超過400萬元；地方財政投入的改造資金不少于70萬元，其中地方

財政投入到A，B兩類學校的改造資金分別為每所10萬元和15萬元，請你通過計算求出有幾種改造方

案．

(湖北省襄樊市中考試題)

．設，，，是整數，且滿足下列條件：

10x1x2…x2008

－＝，，，；

(1)l≤xn≤2(n12…2008)

；

(2)x1x2x2008200

222．

(3)x1x2x20082008

求333的最大值和最小值．

x1x2x2008

(“宗滬杯”競賽試題)

專題17不等式（組）的應用

例1-1＜m＜1

例2A

例設＜＜＜＜＜＜，因，，…為正整數，故，，，

3a1a2a3a4a5a6a7a1a2a7a11a2a12a3a13a4

5

a4a，a5a，a6a，上面不等式相加，得7a21159，a19，故a的最大

1516171171

值為19.

z80x45y,

例4設小熊玩具和小貓玩具的個數分別為x、y，總售價為z，則15x10y450

20x5y400

44016x

16x9y4403x90

9

當總售價z=2200元時，則為3x2y90，即

44016x

4xy804x80

9

解得14x14，故x=14.

當x=14時，y=24，z=80×14+45×24=2200元，故安排生產小熊玩具14個，小貓玩具24個可達到總售

價2200元.

例5提示：設兌換成的1分，2分，5分硬幣分別為x枚，y枚，z枚，則

xyz150

x2y5z350

例6解得40＜z45，故z=41，42，43，44，45.由此得出x，y的對應值，于

z＞y

x20,y20,z20

是得到5種方案：（x，y，z）=（73，36，41）；（x，y，z）=（76，32，42）；（x，y，z）=（79，28，

43）；（x，y，z）=（82，24，44）；（x，y，z）=（85，20，45）.

例6∵1＜k＜n

123nn123nk123n1

∴＜＜

n1n1n1

11

nn1n2n1

nn2

即2＜10＜2，∴＜10＜，即n＜20＜n+2

n1n122

12319k

∴n=19。于是10，解得k=10，故a=n+k=19+10=29.

191

A級

1.a＞19922.0＜x-y＜1

3.36提示：b=20-a,c=24-a.d=22-a，，由a，b，c，d為正整數，得1a19，原式=66-2a，∴M=66-2

×1=64，N=66-2×19=28，則M-N=64-28=36.

4.6或11或16提示：5a-4≥0，9-2a≥0以及5a-4≥9-2a.

1

xy①

2

1

5.54提示：設有白球x個，黃球y個，紅球z個，則依題意有xz②，由①得y2x，∴

3

yx55③

55

3xyx55，即x，又∵x為整數，∴x18，則②式得z3x，即z54.

3

b1b1a

6.C提示：由條件得a＞0，b＜0或a＜0，b＜0，從而或，2.

a2a2b

7.A8.D

9.購買46張6元票、94張10元票花錢最少，最少需要1216元.

10.（1）68（2）甲愉至少應工作4小時.

B級

1.3026提示：a≤3b-1，b≤5c-1，c≤7d-1，d≤30-1=29.

3x5＜48＜4x5

2.10提示：設底樓有x間客房，則

4x＜48＜5x

1

3.x＞

a

215S

2

2a

21143a5|b|7192

4.S提示：由題中條件知，解得，又因為a0,b0，

532a23|b|S143S

b

19

215S

0

192114

故，解得S.

143S53

0

19

提示：設，，則

5.Aa1a2a2006aa2a3a2006b

＞，故＞

MNaba2007aa2007ba2007ab0MN.

6.A設出版社發行x套書，則100×（1-0.3）x≥（8000+20x）（1+10%）.

7.提示：設甲、乙、丙三種鹽水應分別取x克，y克，z克，

xyz100

5%x8%y9%z1007%

y2004x02004x60

0x60解得，從而，解得35x49

z3x10003x10047

0y60

0z47

xyz12y193x

8.（1）設A隊勝x場、平y場、負z場，則，，