專題21從不同的方向看（錄入：王云峰）

閱讀與思考

20世紀初，偉大的法國建筑家列·柯爾伯齊曾說：“我想，到目前為止，我們從沒有生活在這樣的

幾何時期，周圍的一切都是幾何學．”

生活中蘊含著豐富的幾何圖形，圓的月亮，平的湖面，直的樹干，造型奇特的建筑，不斷移動、反

轉、放大縮小的電視畫面……圖形有的是立體的，有的是平面的，立體圖形與平面圖形之間的聯系，從

以下方面得以體現：

1．立體圖形的展開與折疊；

2．從各個角度觀察立體圖形；

3．用平面去截立體圖形．

觀察歸納、操作實驗、展開想象、推理論證是探索圖形世界的基本方法．

例題與求解

【例1】如圖是一個正方體表面展開圖，如果正方體相對的面上標注的值相等，那么xy＝＿＿＿

＿．

8

2xy8

810

（四川省中考試題）

解題思路：展開與折疊是兩個步驟相反的過程，從折疊還原成正方體入手．

【例2】如圖，是由一些完全相同的小立方塊搭成的幾何體的三種視圖，那么搭成這個幾何體所用的

小立方塊的個數是（）

主視圖左視圖俯視圖

A．5個B．6個C．7個D．8個

（四川省成都中考試題）

解題思路：根據三視圖和幾何體的關系，分別確定該幾何體的列數和每一列的層數．

【例3】由一些大小相同的小正方體組成的簡單幾何體的主視圖和俯視圖如圖．

（1）請你畫出這個幾何體的一種左視圖；

（2）若組成這個幾何體的小正方體的塊數為n，求n的值．

主視圖俯視圖

（貴州省貴陽市課改實驗區中考試題）

解題思路：本例可以在“腦子”中想象完成，也可以用實物擺一擺．從操作實驗入手，從俯視圖可

推斷左視圖只能有兩列，由主視圖分析出俯視圖每一列小正方形的塊數情況是解本例的關鍵，而有序思

考、分類討論，則可避免重復與遺漏．

【例4】如圖是由若干個正方體形狀木塊堆成的，平放于桌面上．其中，上面正方體的下底面四個頂

點恰是下面相鄰正方體的上底面各邊的中點，如果最下面的正方體的棱長為1，且這些正方體露在外面

的面積和超過8，那么正方體的個數至少是多少？按此規律堆下去，這些正方體露在外面的面積和的最

大值是多少？

（江蘇省常州市中考試題）

解題思路：所有正方體側面面積和再加上所有正方體上面露出的面積和，就是所求的面積．從簡單

入手，歸納規律．

【例5】把一個正方體分割成49個小正方體（小正方體大小可以不等），請畫圖表示．

（江城國際數學競賽試題）

解題思路：本例是一道圖形分割問題，解答本例需要較強的空間想象能力和推理論證能力，需要把

圖形性質與計算恰當結合．

【例6】建立模型18世紀瑞士數學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）

之間存在的一個有趣的關系式，被稱為歐拉公式．請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題．

（1）根據上面的多面體模型，完成表格中的空格：

多面體頂點數（V）面數（F）棱數（E）

四面體44

長方體8612

正八面體812

正十二面體201230

你發現頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的關系式是＿＿＿＿．

（2）—個多面體的面數比頂點數大8，且有30條棱，則這個多面體的面數是＿＿＿．

（3）某個玻璃飾品的外形是簡單多面體，它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且

有24個頂點，每個頂點處都有3條棱．設該多面體外表面三角形的個數為x個，八邊形的個數為y個，

求xy的值．

解題思路：對于（1），通過觀察、歸納發現V，F，E之間的關系，并遷移應用于解決（2），（3）．

模型應用

如圖，有一種足球是由數塊黑白相間的牛皮縫制而成，黑皮為正五邊形，白皮為正六邊形，且邊長

都相等，求正五邊形、正六邊形個數．

（浙江省寧波市中考試題改編）

能力訓練

A級

1．如圖是正方體的展開圖，則原正方體相對兩個面上的數字之和的最小值是＿＿＿．

（山東省菏澤市中考試題）

134

242

35

6主視圖左視圖俯視圖

第1題第2題左視圖左視圖

第3題圖

2．由幾個相同的小正方體搭成的幾何體的視圖如圖所示，則搭成這個幾何體的小正方體的個數是

＿＿＿＿．

（湖北省武漢市中考試題）

3．—個長方體的左視圖、俯視圖及相關數據如圖所示，則其主視圖的面積為＿＿＿＿．

（山東省煙臺市中考試題）

4．如圖，下列幾何體是由棱長為1的小立方體按一定規律在地面上擺成的，若將露出的表面都涂

上顏色（底面不涂色），則第n個幾何體中只有兩個面涂色的小立方體共有＿＿

圖①圖②圖③

（山東省青島市中考試題）

5．一個畫家有14個邊長為1m的正方體，他在地面上把它們擺成如圖的形式，然后他把露出的表

面都涂上顏色，那么被涂顏色的總面積為（）

A．19m2B．41m2C．33m2D．34m2

（山東省煙臺市中考試題）

6．一個幾何體由一些大小相同的小正方體組成，如圖是它的主視圖和俯視圖，那么組成該幾何體

所需小正方體的個數最少為（）

A．3B．4C．5D．6

主視圖俯視圖

（河北省中考試題）

7．從棱長為2的正方體毛坯的一角，挖去一個棱長為1的小正方體，得到一個如圖所示的零件，

則這個零件的表面積是（）

A．20B．22C．24D．26

（河北省中考試題）

8．我國古代數學家利用“牟合方蓋”（如圖甲）找到了球體體積的計算方法．“牟合方蓋”是由兩

個圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入一個正方體時兩圓柱公共部分形成的幾何體．圖乙所示的幾何體是可以

形成“牟合方蓋”的一種模型，它的主視圖是（）

牟合方蓋主視方向

ABCD

甲乙

（2012年溫州市中考試題）

9．5個棱長為1的正方體組成如圖的幾何體．

（1）該幾何體的體積是＿＿＿＿（立方單位），表面積是＿＿＿＿（平方單位）；

（2）畫出該幾何體的主視圖和左視圖．

正面

（廣州市中考試題）

10．用同樣大小的正方體木塊搭建的幾何體，從正面看到的平面圖形如圖①所示，從上面看到的平

面圖形如圖②所示．

（1）如果搭建的幾何體由9個小正方體木塊構成，試畫出從左面看這個幾何體所得到的所有可能的

平面圖形．

（2）這樣的幾何體最多可由幾塊小正方體構成？并在所用木塊最多的情況下，畫出從左面看到的所

有可能的平面圖形．

圖①圖②

（“創新杯”邀請賽試題）

B級

1．如圖，是一個正方體表面展開圖，請在圖中空格內填上適當的數，使這個正方體相對兩個面上

標注的數值相等．

a

a2

1

a

（《時代學習報》數學文化節試題）

2．如圖是由一些大小相同的小正方體組成的簡單幾何體的主視圖和俯視圖，若組成這個幾何體的

小正方體的塊數為n，則n的所有可能的取值之和為＿＿＿＿．

主視圖俯視圖

（江蘇省江陰市中考試題）

3．如圖是一個立方體的主視圖、左視圖和俯視圖，圖中單位為厘米，則立體圖形的體積為＿＿＿

＿立方厘米．

2

1

22

主視圖左視圖左視圖

（“華羅庚金杯賽”試題）

4．若干個正方體形狀的積木擺成如圖所示的塔形，平放于桌面上，上面正方體的下底四個頂點是

下面相鄰正方體的上底各邊中點，最下面的正方體棱長為1，如果塔形露在外面的面積超過7，則正方

體的個數至少是（）

A．2B．3C．4D．5

（江蘇省常州市中考試題）

5．由若干個單位立方體組成一個較大的立方體，然后把這個大立方體的某些面涂上油漆，油漆干

后，把大立方體拆開成單位立方體，發現有45個單位立方體上任何一面都沒有漆，那么大立方體被涂

過油漆的面數是（）

A．1B．2C．3D．4

（“創新杯”邀請賽試題）

6．小明把棱長為4的正方體分割成了29個棱長為整數的小正方體，則其中棱長為1的小正方體的

個數是（）

A．22B．23C．24D．25

（浙江省競賽試題）

7．墻角處有若干大小相同的小正方體堆成如圖所示的立體圖形，如果你打算搬走其中部分小正方

體（不考慮操作技術的限制），但希望搬完后從正面、從上面、從右面用平行光線照射時，在墻面及地

面上的影子不變，那么你最多可以搬走多少個小正方體？

上面

右面

（水平線）

正面

（江蘇省競賽試題）

8．一個長方體紙盒的長、寬、高分別是a，b，c（a＞b＞c）厘米．如圖，將它展開成平面圖，

那么這個平面圖的周長最小是多少厘米？最大是多少厘米？

⑥

①⑦②

a

④⑤③cb

（江蘇省競賽試題）

9．王老師將底面半徑為20厘米、高為35厘米的圓柱形容器中的果汁全部倒入如圖所示的杯子中，

若杯口直徑為20厘米，杯底直徑為10厘米，杯高為12厘米，杯身長13厘米，問果汁可以倒滿多少杯？

20

1213

10

（世界數學團體錦標賽試題）

10．一個邊長為5厘米的正方體，它是由125個邊長為1厘米的小正方體組成的．.P為上底面ABCD

的中心，如果挖去（如圖）的陰影部分為四棱錐，剩下的部分還包括多少個完整的棱長是1厘米的小正

方體？

DC

P

AB

HG

EF

（深圳市“啟智杯”數學思維能力競賽試題）

專題21從不同的方向看

例114提示：2x＝8，y＝10，x＋y＝14．

例2D

例3(1)左視圖有以下5種情形：

(2)n＝8，9，10，11．

例4正方體個數至少為4個．正方體露在外面的面積和的最大值為9．提示:最下面正方體1個面的面

積是1，側面露出的面積和是4，每相鄰兩個正方體中上面的1個正方體每個面的面積都正好是其下

1

面正方體1個面面積的，所有正方體側面面積之和加上所有正方體的上面露出的面積和(正好是最下

2

4

面正方體上底面的面積1)即是這些正方體露在外面的面積和．如：2個正方體露出的面積和是4＋＋

2

444441

1＝7，3個正方體露出的面積和是4＋＋＋1＝8，4個正方體露出的面積和是4＋＋＋＋1＝8，

242482

4444344444

5個正方體露出的面積和是4＋＋＋＋＋1＝8，6個正方體露出的面積和是4＋＋＋＋＋

2481642481632

7

＋1＝8，……故隨著小正方體木塊的增加，其外露的面積之和都不會超過9．

8

例5為方便起見，設正方體的棱長為6個單位，首先不能切出棱長為5的立方體，否則不可能分割成49

個小正方體．

設切出棱長為1的正方體有a個，棱長為2的正方體有b個，如果能切出1個棱長為4的正方體，則

a＋8b＋64＝2166

有，解之得b＝14．不合題意，所以切不出棱長為4的正方體．

a＋b＝49－17

設切出棱長為1的正方體有a個，棱長為2的正方體有b個，棱長為3的正方體有c個，

a＋8b＋27c＝216

則，解得a＝36，b＝9，c＝4，

a＋b＋c＝49

故可分割棱長分別為1，2，3的正方體各有36個，9個，4個，分法如圖所示．

24×3

例6(1)66V＋F－E＝2(2)20(3)這個多面體的面數為x＋y，棱數為＝36條．根據V

2

＋F－E＝2，可得24＋(x＋y)－36＝2，∴x＋y＝24．

模型應用

設足球表面的正五邊形有x個，正六邊形有y個，總面數F為x＋y個．因為一條棱連著兩個面，所

1

以球表面的棱數E為(5x＋6y)，又因為一個頂點上有三條棱，一條棱上有兩個頂點，所以頂點數V＝

2

121

(5x＋6y)·＝(5x＋6y)．

233

11

由歐拉公式V＋F－E＝2得(x＋y)＋(5x＋6y)－×(5x＋6y)＝2,解得x＝12．

32

所以正五邊形只要12個．

5x

又根據每個正五邊形周圍連著5個正六邊形，每個正六邊形又連著3個正五邊形，所以六邊形個數

3

＝20，即需20個正六邊形．

A級

1．62．53．84．4(2n－1)5．C6．B7．C8．B9(1)522(2)略

10．(1)

(2)11塊．

B級

1

1．上空格填，下空格填22．383．2π4．B

2

5．D提示:設大立方體的棱長為n，n>3，若n＝6，即使6個面都油漆過，未油漆的單位立方體也有43

＝64個>45，故n＝4或5．除掉已漆的單位立方體后，剩下未漆的構成一個長方體，設其長、寬、高

分別為a，b，c，abc＝45，只能是3×3×5＝45，故n＝5．

6．C提示:若分割出棱長為3的正方體，則棱長為3的正方體只能有1個，余下的均是棱長為1的正方