專題22直線、射線與線段（錄入：王云峰）

閱讀與思考

構成平面圖形的基本元素是點和線，在幾何圖形中，點無大小，線無寬窄，它們都是抽象思維的產

物，點與線有著密切的聯系，點運動成線，線與線相交的地方形成點，一條線確定了兩個端點，線的長

短也就確定了，從這個意義上講，點是線的界限．

在線中，最簡單、最常見的就是直線、射線、線段，它們是最基本的圖形，它們的概念、性質及畫

圖是今后研究由線段所組成的比較復雜圖形（如三角形、四邊形等）的基礎，解與直線、射線、線段相

關問題常涉及如下知識與方法：

1．直線、射線、線段的區別與聯系．

2．線段中點的概念．

3．枚舉法、分類討論法．

例題與求解

【例1】已知一條直線上有A，B，C三點，線段AB的中點為P，AB＝10，線段BC的中點為Q，

BC＝6，則線段PQ的長為＿＿＿＿．

（江蘇省競賽試題）

解題思路：未給出圖形，注意C點位置有多種可能．

【例2】在一條直線上已知四個不同的點依次是A，B，C，D，那么到A，B，C，D的距離之和最小

的點（）

A．可以是直線AD外的某一點B．只有點B或點C

C．只是線段AD的中點D．有無窮多個

（全國初中數學聯賽試題）

解題思路：直線上的四個點把直線分成五部分，就每一種情況畫圖表示出到A，B，C，D的距離，

從直觀的圖形中作出判斷．

1

【例3】如圖，C是線段上的一點，D是BC的中點，已知圖中所有線段的長度之和為23，線段AC

的長度與線段BC的長度都是正整數，求線段AC的長．

ACDB

（“希望杯”邀請賽試題）

解題思路：解題的關鍵是將每一條線段用AC或BC來表示，依題意可列一個關于AC，BC的方程，

討論此不定方程的正整數解．

【例4】如圖所示，點C為線段AB的中點，點E為線段AB上的點，點D為線段AE的中點．

（1）若線段AB＝a，CE＝b，a15(b4.5)2＝0，求a，b．

（2）如圖①，在（1）的條件下，求線段DE的長．

（3）如圖②，若AB＝15，AD＝2BE，求線段CE的長．

ADCEBADCEB

圖①圖②

（湖北省武漢市調考試題）

解題思路：將幾何問題代數化，對于（3），引入未知數，列方程求解．

【例5】（1）一條直線可以把平面分成兩個部分（或區域），如圖，兩條直線可以把平面分成幾個部

分？三條直線可以把平面分成幾個部分？試畫圖說明．

（2）四條直線最多可以把平面分成幾個部分？試畫出示意圖，并說明這四條直線的位置關系．

（3）平面上有n條直線，每兩條直線都恰好相交，且沒有三條直線交于一點，處于這種位置的n條

直線分一個平面所成的區域最多，記為an，試研究an與n之間的關系．

1

l

2

（山東省聊城市中考試題）

解題思路：從簡單情形入手，由簡到繁，歸納發現規律．

2

【例6】已知線段AB＝m，CD＝n，線段CD在直線上運動（A在B左側，C在D左側），若m2n

與(6n)2互為相反數．

（1）求線段AB，CD的長．

（2）M，N分別是線段AC，BD的中點，若BC＝4，求MN．

（3）當CD運動到某一時刻時，D點與B點重合，P是線段延長線上任意一點，下列兩個結論：

①PAPB是定值；②PAPB是定值．可以證明，有且只有一個結論是正確的，請你作出正確的

PCPC

選擇并畫圖求值．

（浙江省寧波市中考試題改編）

解題思路：（1）m2n與(6n)的平方互為相反數，可以推出二者都為零，否則一個正數是不可

能等于一個負數的，所以n＝6，m＝12．

（2）需要分類討論：如圖①，當點C在點B左側時，根據“M，N分別為線段AC，BD的中點”，

先計算出AM，DN的長度，然后計算MN＝ADAMDN；如圖②，當點C位于點B右側時，利用線

段間的和差關系求得MN的長度．

（3）能計算出①或②的值是一個常數的，即為符合題意的結論．

能力訓練

A級

1．已知點O在直線AB上，且線段OA的長度為4cm，線段OB的長度為6cm，E，F分別為線段

ｏA，OB的中點，則線段EF的長度為＿＿＿＿．

（黑龍江省中考試題）

2．如圖，線段AB＝BC＝CD＝DE＝1厘米，那么圖中所有線段的長度之和等于＿＿＿厘米．

ABCDE

（“希望杯”邀請賽試題）

3．如圖，B，C，D依次是上的三點，已知AE＝8.9cm，BD＝3cm，則圖中以A，B，C，D，E這5

個點為端點的所有線段長度的和為＿＿＿＿cm．

3

ABCDE

（《中學生數理化》讀刊用刊知識競賽試題）

4．平面內兩兩相交的8條直線，其交點個數最少為＿＿＿＿，最多為＿＿＿＿．

（“希望杯”邀請賽試題）

5．直線a，b，c，d，e共點O，直線l與上述五條直線分別交于A，B，C，D，E五點，則上述

圖形中共有線段（）條．

A．4B．5C．10D．15

cb

da

e

O

l

ABCDE

6．如圖，點A，B，C順次在直線上，M是線段AC的中點，N是線段BC的中點．若想求出MN

的長度，則只需條件（）

A．AB＝12B．BC＝4C．AM＝5D．CN＝2

AMBNC

（海南省競賽試題）

7．如圖，A，B，C，D四點在同一直線上，M是線段AB的中點，N是線段DC的中點，MN＝a，

BC＝b則AD＝（）

A．abB．a2bC．2baD．2ab

AMBCND

11

8．如圖，AC＝AB，BD＝AB，且AE＝CD，則CE為AB長的（）

34

1111

A．B．C．D．

681216

ACEDB

9．已知線段AB＝6．

（1）取線段AB的三等分點，這些點連同線段AB的兩個端點可以組成多少條線段？求這些線段長

度的和．

（2）再在線段AB上取兩種點：第一種是線段AB的四等分點；第二種是線段AB的六等分點，這些

點連同（1）中的三等分點和線段AB的兩個端點可以組成多少條線段？求這些線段長度的和．

（湖北省武漢市武昌區期末調考試題）

4

10．已知AB＝60cm，點C是直線AB上不同于A，B的點，M為AC中點，N是BC中點，求MN

的長度．

11．如圖，已知點A，B，C是數軸上三點，點C對應的數為6，BC＝4，AB＝12．

（1）求點A，B對應的數；

（2）動點P，Q同時從A，C出發，分別以每秒6個單位和3個單位的速度沿數軸正方向運動．M

1

為AP的中點，N在CQ上，且CN＝CQ，設運動時間t（t＞0）．

3

①求點M，N對應的數（用含t的式子表示）．

②t為何值時，OM＝2BN？

ABC

0

B級

3

1．把線段AB延長至D，使BD＝AB，再延長BA至C，使CA＝AB，則BC是CD的＿＿＿＿倍．

2

2．如圖，AB︰BC︰CD＝2︰3︰4，AB的中點M與CD的中點N的距離是3厘米，則BC＝＿＿＿

＿厘米．

AMBCND

3．如圖，C是線段AB的中點，D是線段CB上的一點，若所有線段的長度都是正整數，且線段AB

的所有可能的長度數的乘積等于140，則線段AB的所有可能的長度數的和等于＿＿＿＿．

ACDB

（“希望杯”邀請賽試題）

4．如圖，已知B，C是線段AD上的兩點，M是AB的中點，N是CD的中點，若MN＝a，BC＝b，

則線段AD＝＿＿＿＿．

AMBCND

5．如圖，已知數軸上點A，B，C所對應的數a，b，c都不為0，且C是AB的中點．如果

aba2cb2cab2c＝0，那么原點O的位置在（）

A．線段AC上B．線段CA的延長線上

C．線段BC上D．線段CB的延長線上

ACB

acb

（江蘇省競賽試題）

5

6．如圖，已知B是線段AC上的一點，M是線段AB的中點，N為線段AC的中點，P為NA的中

點，Q為MA的中點，則MN︰PQ等于（）

A．1B．2C．3D．4

AQPMNBC

7．平面上有四個點，經過其中每兩個點畫一條直線，那么一共可以畫直線（）

A．6條B．1條或3條或6條

C．1條或4條D．1條或4條或6條

8．如圖，在一條筆直的公路上有7個村莊，其中A，B，C，D，E，F離城市的距離分別為4，10，

15，17，19，20公里，而村莊G正好是AF的中點，現要在某個村莊建一個活動中心，使各村到活動中

心的路程之和最短，則活動中心應建在（）

A．A處B．C處C．G處D．E處

ABGCDEF

城市

（江蘇省競賽試題）

9．電子跳蚤游戲盤為△ABC，AB＝8a，AC＝9a，BC＝10a，如果電子跳蚤開始時在BC邊上P0

點，BP0＝4a，第一步跳蚤跳到AC邊上P1點，且CP1＝CP0；第二步跳蚤從P1跳到邊上P2點，且AP2

＝AP1；第三步跳蚤從P2跳到BC邊上P3點，且BP3＝BP2…跳蚤按上述規則跳下去，第2001次落到P2001，

請計算P0與P2001之間的距離．

（“華杯賽”邀請賽試題）

10．設有甲、乙、丙三人，他們步行的速度相同，騎車的速度也相同，騎車的速度為步行速度的