專題27以形借數——借助圖形思考

閱讀與思考

數學是研究數量關系與空間形式的科學，數與形以及數和形的關聯與轉化，這是數學研究的永恒主

題，就解題而言，數與形的恰當結合，常常有助于問題的解決，美國數學家斯蒂恩說：“如果一個特定

的問題可以被轉化為一個圖形，那么思維就整體地把握了問題，并且能創造性地思考問題的解法”．將

問題轉化為一個圖形，把問題中的條件與結論直觀地、整體地表示出來，是一個十分重要的解題方法，

現階段借助圖形思考是指以下兩個方面：

1．從給定的圖形獲取解題信息

數學問題的表述方法很多，既有用文字敘述的，也有通過圖形（如數軸、圖表、平面圖形等）來呈

現的，善于從給定的圖形獲取解題信息是一個重要技能．

2．有意地畫圖輔助解題

圖形能直觀、形象地表示數量及關系，解題中有意地畫圖（如畫直線圖、列表、構造圖

形等）能幫助分析理順復雜數量關系，使問題獲得簡解．

閱讀與思考

【例1】如圖，圓周上均勻地釘了9枚釘子，釘尖朝上，用橡皮筋套住

其中的3枚，可套得一個三角形，所有可以套出來的三角形中，不同

形狀的共有____________種。

（“五羊杯”競賽試題）

解題思路：圓周長保持不變，設圓周長為9，套成的三角形三邊所對應的弧長分別為x,y,z,則

xyz9。不妨設x≤y≤z，借助圖形分析，找出滿足條件的整數解即可。

【例2】一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發，設慢車行駛的時間

為x（h），兩．車．之．間．的．距．離．為．y（km），圖中的折線表示y與x之間的函數關系。根據圖像進行一下探

究：

信息讀取

（1）甲、乙兩地之間的距離為___________km。

（2）請解釋圖中點B的實際意義。

圖像理解

（3）求慢車和快車的速度。

（4）求線段BC所表示的y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍。

問題解決

（5）若第二列快車也從甲地出發駛往乙地，速度與第一列快車相同。在第一列快車與慢車相遇30分鐘

后，第二列快車與慢車相遇。求第二列快車比第一列快車晚車發多少小時？

（江蘇省南京市中考試題）

解題思路：函數圖像包含了兩種不同層次的信息：有慢車行駛900km用了12h等可直接感知的淺層結構

信息，也有在0～4小時之間以及稍后的一段時間內，快車和慢車的速度之和為定值和C點表示快車在

某一時刻已到達終點等需要經過分析或運算才能獲得的深層結構的信息。

【例3】某電視臺為了解A,B,C三個特色欄目的收視情況，向28位觀眾進行調查，調查后得知：

每位觀眾至少收看了其中的一個欄目；沒有收看欄目A的觀眾中，收看欄目B人數為收看欄目C的兩

倍；在收看欄目A的觀眾中，只收看欄目A的觀眾人數比除了收看欄目A之外同時還收看其他欄目的

人數多1；只收看一個欄目的觀眾中，有一半沒有收看B或欄目C，求欄目A的收視率。

（“《數學周報》”杯全國數學競賽試題）

解題思路：設未知數，借助于圖表表示題中各數量之間的關系。

【例4】甲、乙、丙、丁、戌五名同學參加推鉛球比賽，通知抽簽決定出賽順序，在未公布順序前

每人都對出賽順序進行了猜測。甲猜：乙第三，丙第五；乙猜：戌第四，丁第五；丙猜：甲第一，戌第

四；丁猜：丙第一，乙第二；戌猜：甲第三，丁第四。老師說每人的出賽順序都至少被一人所猜中，問：

出賽順序中，第一、第三、第五分別是哪位同學？

（“希望杯”邀請賽試題）

解題思路：文字羅列出來的條件，其相互關系錯綜復雜，不便分析和推斷，不妨借助于圖表直觀

地表示研究對象及其關系。

【例5】某班有50名同學，期末考試優秀的學生人數及科目如表：

一科二科三科

科目數外語數、語數、外語外數、語、外

人數32312916171810

這里，一科優秀者包括兩、三科優秀者，兩科優秀者包括三科優秀者，試說明上述統計表有錯誤。

（“創新杯”競賽試題）

解題思路：借助于圖形直觀地表示出數學、外語、語文優秀學生的集合，有利于分析與推斷。

能力訓練

1．甲、乙、丙、丁與小強五位同學一起比賽象棋，每兩人都要比賽一盤，到現在為止，甲已經賽

了4盤，乙賽了3盤，丙賽了2盤，丁賽了1盤。則小強已經賽了________盤。

（“華羅庚金杯”競賽試題）

2．某市儲運部緊急調撥一批物資，調進物資共用4小時，調進物資2小時后開始調出物資（調進

物資與調出物資的速度保持不變）。儲運部庫存物資s(噸)與時間t(小時)之間的函數關系如圖，這批物

資從開始調進到全部調出所需要的時間是___________________。

（山東省濟南市中考試題）

3．甲、乙兩人同時從A地出發，以各自的速度勻速汽車到B地后原地休息，甲、乙兩人的距離y(千米)

與乙騎車的時間x(時)之間的函數關系的圖像如圖，則A,B兩地的距離為______________________千

米。

4．一臺計算機的硬盤分為3個區，每個區的使用情況如圖所示，則這個硬盤的使用率為

______________________。

（“希望杯”邀請賽試題）

5．A,B,C三支足球隊舉行單循環比賽（每支隊與另一支隊只比賽一場，共三場），下表給出的是

比賽的部分結果：

球隊比賽場數勝負平總進球數總失球數

A221

B2124

C237

請根據上表，填上A隊與C隊比賽時的比分為_______________。

（重慶市競賽試題）

6．如圖是某班全體學生外出時乘車、步行、騎車的人數分布直方圖和扇形統計圖（兩圖都不完整），

則下列結論中錯誤的是（）

A．該班總人數為50人B．騎車人數占總人數的20％

C．步行人數30人D．乘車人數是騎車人數的2.5倍

7．某人騎車沿直線旅行，先前進了a千米，休息了一段時間，又原路返回b千米（ba），再前

進c千米，則此人離起點的距離s與時間t的關系示意圖為（）。

A．B．C．D．

8．一圓形地塊，打算分A、B、C、D四個區域栽種觀賞植物，要在同一區域種同一種植物，相鄰

（有公共邊）的兩塊里中不同的植物。現有4種不同的植物可供選擇，那么所有的栽種方案的個數為

()。

A．66B．68

C．60D．84

（重慶市競賽試題）

9．某校參加數學競賽有120名男生，80名女生；參加英語競賽有120名女生，80名男生。已知該

校總共有260名學生參加了競賽，其中有75名男生兩科競賽都參加了，問參加數學競賽而沒有參加英

語競賽的女生人數有多少人？

（“祖沖之杯”邀賽試題）

10．某人租用一輛汽車由A城前往B城，沿途可能經過的城市以及通過兩城市之間所需的時間（單

位：h）如圖所示。若汽車行駛的平均速度為80km/h。而汽車每行駛1km需要的平均費用為1.2元。試

指出此人從A城出發到B城的最短線路，并求出所需費用最少多少元？

（全國初中數學競賽試題）

11.剛回到營地的兩個搶險隊又接到救災命令：一分隊立即出發趕往30千米外的A鎮;二分隊因疲勞可在

營地休息a（0≤a≤3）小時再趕往A鎮參加救災。一分隊出發后得知，唯一通往A鎮的道路在里營地

10千米處發生塌方，塌方處地形復雜，必須有一分隊用1小時打通．已知一分隊的行進速度為5千米/

時，二分隊的行進速度是（4a）千米/時．

（1）若二分隊在營地不休息，問二分隊幾個小時能趕到A鎮？

（2）若需要二分隊和一分隊同時趕到A鎮，二分隊應在營地休息幾個小時？

（3）下列圖中，①②分別描述一分隊和二分隊離A鎮的距離y（千米）和時間x（小時）的函數關系，

請寫出你認為所有可能合理圖像的代號，并說明它們的實際意義．

ABCD

(安徽省中考題)

12.已知函數y|x1|2|x1||x2|．

（1）在直角坐標系中作出函數圖象．

（2）已知關于x的方程kx3|x1|2|x1||x2（|k0）有三解.求k的取值范圍．

（“創新杯”競賽試題）

專題27以形助數

——借助圖形思考

例17提示：設圓周長為9，套成的三角形三邊所對的弧長分別為x，y，z，則x+y+z=9，不妨設

xyz，則（x，y，z）只有（1，1，7），（1，2，6），（1，3，5），（1，4，4），（2，2，5），（2，3，

4）和（3，3，3）這7種情形.

例2（1）900（2）圖中點B的實際意義是：當慢車行駛4h時，慢車和快車相遇.（3）由圖像可知，

900

慢車12h行駛的路程為900km，所以慢車的速度為=75km/h；當慢車行駛4h時，慢車和快車相遇，

12

900

兩車行駛的路程之和為900km，所以慢車和快車行駛的速度之和為=225km/h,所以快車的速度為

4

900

150km/h.（4）根據題意快車行駛900km到達乙地，所以快車行駛=6h到達乙地，此時兩車之間的

150

距離為6×75=450km，所以點C的坐標為（6，450）.設線段BC所表示的y與x之間的函數關系式為y=kx+b，

04kbk225

把（4，0），（6，450）帶入得，解得

4506kbb900

所以，線段BC所標示的y與x之間的函數關系式為y=225x-900.自變量x的取值范圍是4x6.

（5）慢車與第一列快車相遇30分鐘后與第二列快車相遇，此時，慢車的行駛時間是4.5h，把x=4.5代

入y=225x-900，得y=112.5，此時，慢車與第一列快車之間的距離等于兩列快車之間的距離112.5km，

所以兩列快車出發間隔的時間是112.5÷150=0.75h，即第二列快車比第一列快車晚出發0.75h.

例3設只收看A,B,C三個欄目的觀眾人數分別為x，y，z，沒有收看欄目A而收看欄目B和欄目C的

人數為m.不只收看欄目A的人數為n，如圖所示.

ym2zm,

nx1,

得z=29-4y.

xyz,

xnymz28,

58

由y-2z=m≥0得9y-58≥0，∴y

9

29

由29-4y=z≥0得y≤，∵y為整數，∴y=7

4

從而z=1，x=8，n=7，m=5.

xn25

故欄目A的收視率為×100﹪=×100﹪≈53.6﹪

2828

例4第一個是丙，第三個是甲，第五個是丁.

例5如圖，A,B,C三個圓分別表示數學、外語、語文優秀學生的集合，而a，

b，c，…，f，g則分別表示各類優秀學生的人數，如g表示數、外、語三科均

優秀的學生人數f表示語、外兩科優秀而數學不優秀的學生人數.

adeg32,

bdfg31,

cefg29,

則eg16,解得：a=9，b=6，c=5，d=7，e=6，f=8，g=10.

dg17

fg18,

g10

故a+b+c+d+e+f+g=51.說明數、外、語三科中至少有一科優秀的學生共有51人，而全班僅有50人，

故統計錯誤.

【能力訓練】

1.2提示：如圖，用5個點表示甲、乙、丙、丁及小強這5個人，如果兩個人已經賽過一盤，就在相

應的兩個點之間連一條線段.

2.4.4小時3.24

12.526015.829010.2440

4.32﹪提示：依照圖中數據計算：0001000=32﹪

12.515.810.20

5.5：1

6.C提示：由直方圖可知，乘車人數為25人，由扇形圖可知，乘車人數占全班總人數的