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文檔簡介
專題02從求根公式談起
閱讀與思考
一元二次方程是解數學問題的重要工具,在因式分解、代數式的化簡與求值,應用題,各種代數方
程,幾何問題、二次函數等方面有廣泛的應用.
初學一元二次方程,需要注意的是:
1、熟練求解
解一般形式的一元二次方程,因式分解法是基礎,它體現了“降次求解”的基本設想,公式法具有
一般性,是解一元二次方程的主要方法,對于各項系數較大的一元二次方程,可以先從分析方程的各項
系數特征入手,通過探求方程的特殊根來求解,常用的兩個結論是:
①若abc0,則方程ax2bxc0(a0)必有一根為1.
②若abc0,則方程ax2bxc0(a0)必有一根為1.
2、善于變形
解有些與一元二次方程相關的問題時,直接求解常給解題帶來諸多不便,若運用整體思想,構造零
值多項式,降次變形等相關思想方法,則能使問題獲得簡解.
思想精髓
bb24ac
一元二次方程的求根公式為x這個公式形式優美,內涵豐富:
1,22a
1公式展示了數學的抽象性,一般性與簡潔美;
2公式包含了初中階段所學過的全部六種代數運算;
3公式本身回答了解一元二次方程的全部的三個問題,方程有沒有實數根?有實根時共有幾
個?如何求出實根?
例題與求解
例1閱讀下列的例題
解方程:x2|x|20
解:①當≥時,原方程化為2,解得舍
x0xx20x12,x21()
1當時,原方程化為2,解得舍,
x0xx20x11()x22
請參照例題解方程:
x2|x3|30,則方程的根是____
(晉江市中考試題)
解題思路:通過討論,脫去絕對值符號,把絕對值方程轉化為一般的一元二次方程求解.
例2方程|x21|(423)(x2)的解的個數為()
A、1個B、2個C、3個D、4個
(全國初中數學聯賽試題)
解題思路:通過去絕對值,將絕對值方程轉化為一元二次方程求解.
例3已知m,n是二次方程x21999x70的兩個根,求(m2+1998m6)(n22000n8)的
值.
(“祖沖之杯”邀請賽試題)
解題思路:若求出m,n值或展開待求式,則計算繁難,由方程根的定義可得關于m,n的等式,
不妨從變形等式入手.
反思:
一元二次方程常見的變形方法有:
①把ax2bxc0(a0)變形為ax2bxc
②把ax2bxc0(a0)變形為ax2bxc
c
③把ax2bxc0(a0)變形為axb
x
其中①②體現了“降次”代換的思想;③則是構造倒數關系作等值代換.
例4解關于x的方程:(m1)x2(2m1)xm30
解題思路:因未指明關于x的方程的類型,故首先分m10及m1≠0兩種情況,當m1≠0
時,還考慮就b24ac的值的三種情況加以討論.
例5已知三個不同的實數a,b,c滿足abc3,方程x2ax10和x2bxc0,有
一個相同的實根,方程x2xa0和x2cxb0也有一個相同的實根,求a,b,c的值.
解題思路:這是一個一元二次方程有公共根的問題,可從求公共根入手.
方法指導:公共根問題是一元二次方程常見問題,解這類問題的基本方法是:
①若方程便于求出簡單形式的根,則利用公共根相等求解.
②設出公共根,設而不求,消去二次項.
例6已知a是正整數,如果關于x的方程x3(a17)x2(38a)x560的根都是整數,求a
的值及方程的整數根.
(全國初中數學聯賽試題)
解題思路:本題有兩種解法,由方程系數特點發現1為隱含的根,從而將試題進行降次處理,或變
更主元,將原方程整理為關于a的較低次數的方程.
能力訓練
A級
2
1、已知方程x26xq0可以配成xp7的形式,那么x26xq2可以配成____
__________的形式.
(杭州市中考試題)
x2x2
2、若分式的值為0,則x的值等于____.
x22x1
(天津市中考試題)
3、設方程x21993x19940,和(1994x)219931995x10的較小的根分別為α,β,則
=___.
4、方程|x24x5|62x的解應是____(上海市競賽試題)
5、方程(x2x1)x31的整數解的個數是____.
A、2個B、3個C、4個D、5個
(山東省選拔賽試題)
6、若關于x的一元二次方程(m1)x25xm23m20的常數項為0,則m的值等于()
A、1B、2C、1或2D、0
(德州市中考試題)
111b
7、已知a,b都是負實數,且0,那么的值是()
ababa
15151515
A、B、C、D、
2222
(江蘇省競賽試題)
8、方程x2|x|10的解是()
1515151515
A、B、C、或D、
22222
1999
9、已知a是方程x21999x10的一個根,求a21998a的值.
a21
a4ma21
10、已知a24a10且3,求m的值.
2a3ma22a
(荊州市競賽試題)
11、是否存在某個實數m,使得方程x2mx20和x22xm0有且只有一個公共根?如果
存在,求出這個實數m及兩方程的公共實根;如果不存在,請說明理由.
12、已知關于x的方程(4k)(8k)x2(8012k)x320的解都是整數,求整數k的值.
B級
1、已知α、β是方程x2(m2)x10的兩根,則(1m2)(1m2)的值為___
2、若關于x的方程x2pxq0與x2qxp0只有一個公共根,則(pq)1999=___
3、設a,b是整數,方程x2axb0有一個根為743,則ab=_________
(全國通訊賽試題)
4、用x表示不大于x的最大整數,則方程x22[x]30解的個數為()
A、1個B、2個C、3個D、4個
11
5、已知|a|1,那么代數式|a|()
aa
55
A、B、C、5D、5
22
6、方程x|x|3|x|20的實根的個數為()
A、1個B、2個C、3個D、4個
(x2)4(x1)21
7、已知x25x19910,則代數式的值為()
(x1)(x2)
A、1996B、1997C、1998D、1999
8、已知三個關于x的一元二次方程ax2bxc0,bx2cxa0,cx2axb0恰有一個公
a2b2c2
共實根,則的值為()
bccaab
A、0B、1C、2D、3
(全國初中數學聯賽試題)
x46x32x218x23
9、已知x1983,求的值.
x28x15
(“祖沖之杯”邀請賽試題)
10、設方程x2|2x1|40,求滿足該方程的所有根之和.
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