專題02從求根公式談起

閱讀與思考

一元二次方程是解數學問題的重要工具，在因式分解、代數式的化簡與求值，應用題，各種代數方

程，幾何問題、二次函數等方面有廣泛的應用.

初學一元二次方程，需要注意的是：

1、熟練求解

解一般形式的一元二次方程，因式分解法是基礎，它體現了“降次求解”的基本設想，公式法具有

一般性，是解一元二次方程的主要方法，對于各項系數較大的一元二次方程，可以先從分析方程的各項

系數特征入手，通過探求方程的特殊根來求解，常用的兩個結論是：

①若abc0，則方程ax2bxc0(a0)必有一根為1.

②若abc0，則方程ax2bxc0(a0)必有一根為1.

2、善于變形

解有些與一元二次方程相關的問題時，直接求解常給解題帶來諸多不便，若運用整體思想，構造零

值多項式，降次變形等相關思想方法，則能使問題獲得簡解.

思想精髓

bb24ac

一元二次方程的求根公式為x這個公式形式優美，內涵豐富：

1,22a

1公式展示了數學的抽象性，一般性與簡潔美；

2公式包含了初中階段所學過的全部六種代數運算；

3公式本身回答了解一元二次方程的全部的三個問題，方程有沒有實數根？有實根時共有幾

個？如何求出實根？

例題與求解

例1閱讀下列的例題

解方程：x2|x|20

解：①當≥時，原方程化為2，解得舍

x0xx20x12,x21()

1當時，原方程化為2，解得舍，

x0xx20x11()x22

請參照例題解方程：

x2|x3|30，則方程的根是＿＿＿＿

（晉江市中考試題）

解題思路：通過討論，脫去絕對值符號，把絕對值方程轉化為一般的一元二次方程求解.

例2方程|x21|(423)(x2)的解的個數為（）

A、1個B、2個C、3個D、4個

（全國初中數學聯賽試題）

解題思路：通過去絕對值，將絕對值方程轉化為一元二次方程求解.

例3已知m，n是二次方程x21999x70的兩個根，求（m2+1998m6)(n22000n8)的

值.

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

解題思路：若求出m，n值或展開待求式，則計算繁難，由方程根的定義可得關于m，n的等式，

不妨從變形等式入手.

反思：

一元二次方程常見的變形方法有：

①把ax2bxc0(a0)變形為ax2bxc

②把ax2bxc0(a0)變形為ax2bxc

c

③把ax2bxc0(a0)變形為axb

x

其中①②體現了“降次”代換的思想；③則是構造倒數關系作等值代換.

例4解關于x的方程：(m1)x2(2m1)xm30

解題思路：因未指明關于x的方程的類型，故首先分m10及m1≠0兩種情況，當m1≠0

時，還考慮就b24ac的值的三種情況加以討論.

例5已知三個不同的實數a，b，c滿足abc3,方程x2ax10和x2bxc0，有

一個相同的實根，方程x2xa0和x2cxb0也有一個相同的實根，求a，b，c的值.

解題思路：這是一個一元二次方程有公共根的問題，可從求公共根入手.

方法指導：公共根問題是一元二次方程常見問題，解這類問題的基本方法是：

①若方程便于求出簡單形式的根，則利用公共根相等求解.

②設出公共根，設而不求，消去二次項.

例6已知a是正整數，如果關于x的方程x3(a17)x2(38a)x560的根都是整數，求a

的值及方程的整數根.

（全國初中數學聯賽試題）

解題思路：本題有兩種解法，由方程系數特點發現1為隱含的根，從而將試題進行降次處理，或變

更主元，將原方程整理為關于a的較低次數的方程.

能力訓練

A級

2

1、已知方程x26xq0可以配成xp7的形式，那么x26xq2可以配成＿＿＿＿

＿_________的形式.

（杭州市中考試題）

x2x2

2、若分式的值為0，則x的值等于＿＿＿＿.

x22x1

（天津市中考試題）

3、設方程x21993x19940,和(1994x)219931995x10的較小的根分別為α，β，則

＝＿＿＿.

4、方程|x24x5|62x的解應是＿＿＿＿（上海市競賽試題）

5、方程(x2x1)x31的整數解的個數是＿＿＿＿.

A、2個B、3個C、4個D、5個

（山東省選拔賽試題）

6、若關于x的一元二次方程(m1)x25xm23m20的常數項為0，則m的值等于（）

A、1B、2C、1或2D、0

（德州市中考試題）

111b

7、已知a,b都是負實數，且0，那么的值是（）

ababa

15151515

A、B、C、D、

2222

（江蘇省競賽試題）

8、方程x2|x|10的解是（）

1515151515

A、B、C、或D、

22222

1999

9、已知a是方程x21999x10的一個根，求a21998a的值.

a21

a4ma21

10、已知a24a10且3，求m的值.

2a3ma22a

（荊州市競賽試題）

11、是否存在某個實數m，使得方程x2mx20和x22xm0有且只有一個公共根？如果

存在，求出這個實數m及兩方程的公共實根；如果不存在，請說明理由.

12、已知關于x的方程(4k)(8k)x2(8012k)x320的解都是整數，求整數k的值.

B級

1、已知α、β是方程x2(m2)x10的兩根，則(1m2)(1m2)的值為＿＿＿

2、若關于x的方程x2pxq0與x2qxp0只有一個公共根，則(pq)1999＝＿＿＿

3、設a,b是整數，方程x2axb0有一個根為743，則ab=_________

(全國通訊賽試題)

4、用x表示不大于x的最大整數，則方程x22[x]30解的個數為（）

A、1個B、2個C、3個D、4個

11

5、已知|a|1，那么代數式|a|（）

aa

55

A、B、C、5D、5

22

6、方程x|x|3|x|20的實根的個數為（）

A、1個B、2個C、3個D、4個

(x2)4(x1)21

7、已知x25x19910，則代數式的值為（）

(x1)(x2)

A、1996B、1997C、1998D、1999

8、已知三個關于x的一元二次方程ax2bxc0,bx2cxa0,cx2axb0恰有一個公

a2b2c2

共實根，則的值為（）

bccaab

A、0B、1C、2D、3

（全國初中數學聯賽試題）

x46x32x218x23

9、已知x1983，求的值.

x28x15

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

10、設方程x2|2x1|40，求滿足該方程的所有根之和.