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文檔簡介

專題02從求根公式談起

閱讀與思考

一元二次方程是解數學問題的重要工具,在因式分解、代數式的化簡與求值,應用題,各種代數方

程,幾何問題、二次函數等方面有廣泛的應用.

初學一元二次方程,需要注意的是:

1、熟練求解

解一般形式的一元二次方程,因式分解法是基礎,它體現了“降次求解”的基本設想,公式法具有

一般性,是解一元二次方程的主要方法,對于各項系數較大的一元二次方程,可以先從分析方程的各項

系數特征入手,通過探求方程的特殊根來求解,常用的兩個結論是:

①若abc0,則方程ax2bxc0(a0)必有一根為1.

②若abc0,則方程ax2bxc0(a0)必有一根為1.

2、善于變形

解有些與一元二次方程相關的問題時,直接求解常給解題帶來諸多不便,若運用整體思想,構造零

值多項式,降次變形等相關思想方法,則能使問題獲得簡解.

思想精髓

bb24ac

一元二次方程的求根公式為x這個公式形式優美,內涵豐富:

1,22a

1公式展示了數學的抽象性,一般性與簡潔美;

2公式包含了初中階段所學過的全部六種代數運算;

3公式本身回答了解一元二次方程的全部的三個問題,方程有沒有實數根?有實根時共有幾

個?如何求出實根?

例題與求解

例1閱讀下列的例題

解方程:x2|x|20

解:①當≥時,原方程化為2,解得舍

x0xx20x12,x21()

1當時,原方程化為2,解得舍,

x0xx20x11()x22

請參照例題解方程:

x2|x3|30,則方程的根是____

(晉江市中考試題)

解題思路:通過討論,脫去絕對值符號,把絕對值方程轉化為一般的一元二次方程求解.

例2方程|x21|(423)(x2)的解的個數為()

A、1個B、2個C、3個D、4個

(全國初中數學聯賽試題)

解題思路:通過去絕對值,將絕對值方程轉化為一元二次方程求解.

例3已知m,n是二次方程x21999x70的兩個根,求(m2+1998m6)(n22000n8)的

值.

(“祖沖之杯”邀請賽試題)

解題思路:若求出m,n值或展開待求式,則計算繁難,由方程根的定義可得關于m,n的等式,

不妨從變形等式入手.

反思:

一元二次方程常見的變形方法有:

①把ax2bxc0(a0)變形為ax2bxc

②把ax2bxc0(a0)變形為ax2bxc

c

③把ax2bxc0(a0)變形為axb

x

其中①②體現了“降次”代換的思想;③則是構造倒數關系作等值代換.

例4解關于x的方程:(m1)x2(2m1)xm30

解題思路:因未指明關于x的方程的類型,故首先分m10及m1≠0兩種情況,當m1≠0

時,還考慮就b24ac的值的三種情況加以討論.

例5已知三個不同的實數a,b,c滿足abc3,方程x2ax10和x2bxc0,有

一個相同的實根,方程x2xa0和x2cxb0也有一個相同的實根,求a,b,c的值.

解題思路:這是一個一元二次方程有公共根的問題,可從求公共根入手.

方法指導:公共根問題是一元二次方程常見問題,解這類問題的基本方法是:

①若方程便于求出簡單形式的根,則利用公共根相等求解.

②設出公共根,設而不求,消去二次項.

例6已知a是正整數,如果關于x的方程x3(a17)x2(38a)x560的根都是整數,求a

的值及方程的整數根.

(全國初中數學聯賽試題)

解題思路:本題有兩種解法,由方程系數特點發現1為隱含的根,從而將試題進行降次處理,或變

更主元,將原方程整理為關于a的較低次數的方程.

能力訓練

A級

2

1、已知方程x26xq0可以配成xp7的形式,那么x26xq2可以配成____

__________的形式.

(杭州市中考試題)

x2x2

2、若分式的值為0,則x的值等于____.

x22x1

(天津市中考試題)

3、設方程x21993x19940,和(1994x)219931995x10的較小的根分別為α,β,則

=___.

4、方程|x24x5|62x的解應是____(上海市競賽試題)

5、方程(x2x1)x31的整數解的個數是____.

A、2個B、3個C、4個D、5個

(山東省選拔賽試題)

6、若關于x的一元二次方程(m1)x25xm23m20的常數項為0,則m的值等于()

A、1B、2C、1或2D、0

(德州市中考試題)

111b

7、已知a,b都是負實數,且0,那么的值是()

ababa

15151515

A、B、C、D、

2222

(江蘇省競賽試題)

8、方程x2|x|10的解是()

1515151515

A、B、C、或D、

22222

1999

9、已知a是方程x21999x10的一個根,求a21998a的值.

a21

a4ma21

10、已知a24a10且3,求m的值.

2a3ma22a

(荊州市競賽試題)

11、是否存在某個實數m,使得方程x2mx20和x22xm0有且只有一個公共根?如果

存在,求出這個實數m及兩方程的公共實根;如果不存在,請說明理由.

12、已知關于x的方程(4k)(8k)x2(8012k)x320的解都是整數,求整數k的值.

B級

1、已知α、β是方程x2(m2)x10的兩根,則(1m2)(1m2)的值為___

2、若關于x的方程x2pxq0與x2qxp0只有一個公共根,則(pq)1999=___

3、設a,b是整數,方程x2axb0有一個根為743,則ab=_________

(全國通訊賽試題)

4、用x表示不大于x的最大整數,則方程x22[x]30解的個數為()

A、1個B、2個C、3個D、4個

11

5、已知|a|1,那么代數式|a|()

aa

55

A、B、C、5D、5

22

6、方程x|x|3|x|20的實根的個數為()

A、1個B、2個C、3個D、4個

(x2)4(x1)21

7、已知x25x19910,則代數式的值為()

(x1)(x2)

A、1996B、1997C、1998D、1999

8、已知三個關于x的一元二次方程ax2bxc0,bx2cxa0,cx2axb0恰有一個公

a2b2c2

共實根,則的值為()

bccaab

A、0B、1C、2D、3

(全國初中數學聯賽試題)

x46x32x218x23

9、已知x1983,求的值.

x28x15

(“祖沖之杯”邀請賽試題)

10、設方程x2|2x1|40,求滿足該方程的所有根之和.

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