專題12三角函數

閱讀與思考

三角函數揭示了直角三角形中邊與銳角之間的關系，是數形結合的重要體現，解三角函數相關問題

時應注意以下兩點：

1．理解同角三角函數間的關系．

（1）平方關系：sin2cos21；

sincos

（2）商數關系：tan，cot；

cossin

（3）倒數關系：tancot1．

2．善于解直角三角形．

從直角三角形中的已知元素推求其未知的一些元素的過程叫作解直角三角形．解直角三角形，

關鍵是合理選用邊角關系，它包括勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數的概念．許

多幾何計算問題都可歸結為解直角三角形，常見的基本圖形有：

例題與求解

【例1】在△ABC中，BC＝1992，AC＝1993，AB＝19921993，則sinAcosC．

（河北省競賽試題）

解題思路：通過計算，尋找BC2，AC2，AB2之間的關系，判斷三角形形狀，看能否直接用三角函

數的定義解題．

【例2】某片綠地形狀如圖所示，其中∠A＝600，AB⊥BC，AD⊥CD，AB＝200m，CD＝100m．

求AD，BC的長．（精確到1m，31.732）

解題思路：本題的解題關鍵是構造直角三角形，構造的原則是不能破壞∠A，所以連結AC不

行．延長AD和BC交于一點E（如圖1），這樣既構造出了直角三角形，又保全了特殊角∠A；

或過點D作矩形ABEF（如圖2）來求解．

【例3】如圖，已知正方形ABCD中，E為BC上一點．將正方形折疊起來，使點A和點E重

1

合，折痕為MN．若tanAEN，DC＋CE＝10．

3

（1）求△ANE的面積；

（2）求sinENB的值．

1

解題思路：將tanAEN與DC＋CE＝10結合起來，可求出相關線段的長，為解題鋪平

3

道路．

【例4】如圖，客輪沿折線A—B—C從A出發經B再到C勻速航行，貨輪從AC的中點D出

發沿某一方向勻速直線航行，將一批物品送達客輪．兩船同時起航，并同時到達折線A—B—C上

的某點E處．已知AB＝BC＝200海里，∠ABC＝900，客輪速度是貨輪速度的2倍．

（1）選擇：兩船相遇之處E點（）

A．在線段AB上

B．在線段BC上

C．可以在線段AB上，也可以在線段BC上

（2）求貨輪從出發到兩船相遇共航行了多少海里？（結果保留根號）

（南京市中考試題）

解題思路：對于（2），過D作DF⊥CB于F，設DE=x，建立關于x的方程．

【例5】若直角三角形的兩個銳角A，B的正弦是方程x2pxq0的兩個根．

（1）那么，實數p，q應滿足哪些條件？

（2）如果p，q滿足這些條件，方程x2pxq0的兩個根是否等于直角三角形的兩個銳角

A，B的正弦？

（江蘇省競賽試題）

解題思路：解本例的關鍵是建立嚴密約束條件下的含不等式、等式的混合組，需綜合運用一

元二次方程，三角函數的知識與方法．

【例6】設a，b，c是直角三角形的三邊，c為斜邊，整數n≥3．求證：anbncn．

（福建省競賽試題）

解題思路：由直角三角形的邊可以轉化為三角函數正余弦來解．其不等關系可以利用正弦、

余弦的有界性來證明．

能力訓練

A級

3

1．如圖，D是△ABC的邊AC上一點，CD＝2AD，AE⊥BC于E．若BD＝8，sinCBD，則AE

4

＝．

2．已知00900，則y54sinsin的最大值是，最小值是．

（上海市理科實驗班招生考試試題）

3．如圖，在△ABC中，∠C＝900，∠BAC＝300，BC＝1，D為BC邊上的一點，tanADC是方

11

程3(x2)5(x)2的一個較大的根，則CD＝．

x2x

4．已知△ABC的兩邊長a＝3，c＝5，且第三邊長b為關于x的一元二次方程x24xm0的兩

個正整數根之一，則sinA的值為．（哈爾濱中考試題）

5．如圖，小雅家（圖中點O處）門前有一條東西走向的公路，經測得有一水塔（圖中點A處）在

她家北偏東600距離500m處，那么水塔所在的位置到公路的距離AB是（）

500

A．250mB．2503mC．3mD．2502m

3

6．如圖，在△ABC中，∠C＝900，∠ABC＝300，D是AC的中點，則cotDBC的值是（）

33

A．3B．23C．D．

24

（大連市中考試題）

7．一漁船上的漁民在A處看見燈塔M在北偏東600方向，這艘漁船以28海里/時的速度向正東航

行．半小時后到B處，在B處看見燈塔M在北偏東150方向，此時燈塔M與漁船的距離是

（）（黃岡市中考試題）

A．72海里B．142海里C．7海里D．14海里

8．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，AD＝8，AB＝7，則BC＋CD等于（）

A．63B．53C．43D．33

9．如圖是某品牌太陽能熱水器的實物圖和橫斷面示意圖．已知真空集熱管AB與支架CD所在直線

相交于水箱橫斷面⊙O的圓心，支架CD與水平面AE垂直，AB＝150厘米，∠BAC＝300，另一

根輔助支架DE＝76厘米，∠CED＝600．

（1）求垂直支架CD的長度（結果保留根號）；

（2）求水箱半徑OD的長度（結果保留三位有效數字，參考數據：21.41,31.73）．

（揚州市中考試題）

111

10．若為銳角，求證：4．

sincossincos

（寧波市競賽試題）

11．如圖，已知AB＝CD＝1，∠ABC＝900,∠CBD＝300，求AC的長．

（加拿大數學奧林匹克競賽試題）

12．如圖，在△ABC中，∠ACB＝900，CD⊥AB于點D，CD＝1．若AD，BD的長是關于x的方程

x2pxq0的兩根，且tanAtanB2，求p，q的值并解此二次方程．

B級

1

1．若00300，且sinkm（k為常數，k＜0），則m的取值范圍是．

3

37

2．設00450，sincos，則sin．（武漢市選拔賽試題）

16

5

3．已知在△ABC中，∠A，∠B是銳角，且sinA,tanB2，AB＝29cm，則△ABC的面積

13

等于．（“祖沖之杯”邀請賽試題）

4．如圖，在正方形ABCD中，N是DC的中點，M是AD上異于D的點，且NMBMBC，

則有tanABM．（全國初中數學聯賽試題）

ABAC

5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝900,∠CAB＝300，AD平分∠CAB，則的值為（）

CDCD

3

A．3B．C．33D．623

3

（湖北省選拔賽試題）

6．如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E是CD上一點，∠ABE＝450，

則tanAEB的值等于（）（天津市競賽試題）

35

A．B．2C．D．3

22

AD

7．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝900,∠CBD＝300，則＝（）

DC

32

A．B．C．21D．31

32

（山東省競賽試題）

8．如圖是一座人行天橋的引橋部分的示意圖，上橋通道是由兩段互相平行并且與地面成370角的樓

梯AD，BE和一段水平天臺DE構成．已知天橋高度BC＝4.8米，引橋水平跨度AC＝8米．

（1）求水平天臺DE的長度；

（2）若與地面垂直的平臺立柱MN的高度為3米，求兩段樓梯AD與BE的長度之比．（參考數據：

取sin3700.60,cos3700.80,tan3700.75）（長沙市中考試題）

9．在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，且c＝53．若關于x的方程

(53b)x22ax(53b)0有兩個相等的實根，又方程2x2(10sinA)x5sinA0

的兩實數根的平方和為6，求△ABC的面積．

（武漢市中考試題）

10．如圖，EFGH是正方形ABCD的內接四邊形，兩條對角線EG和FH所夾的銳角為，且BEG

與CFH都是銳角．已知EGk,FHl,四邊形EFGH的面積為S．

2S

（1）求證：