專題05一元二次方程的整數根

閱讀與思考

解一元二次方程問題時，我們不但需熟練地解方程，準確判斷根的個數、符號特征、存在范圍，而

且要能深入地探討根的其他性質，這便是大量出現于各級數學競賽中的一元二次方程的整數根問題。這

類問題因涵蓋了整數的性質、一元二次方程的相關理論，融合了豐富的數學思想方法而備受命題者的青

睞..

解整系數（即系數為整數）一元二次方程的整數根問題的基本方法有：

1．直接求解

若根可用有理式表示，則求出根，結合整除性求解.

2．利用判別式

在二次方程有根的前提下，通過判別式確定字母或根的范圍，運用枚舉討論、不等分析求解

3．運用根與系數的關系

由根與系數的關系得到待定字母表示的兩根和、積式，從中消去待定字母，再通過因式分解和整數性質

求解.

4．巧選主元

若運用相關方法直接求解困難，可選取字母為主元，結合整除知識求解.

例題與求解

【例1】已知關于x的方程(4k)(8k)x2(8012k)x320的解都是整數，求整數k的值.

（紹興市競賽試題）

解題思路：用因式分解法可得到根的表達式，因方程類型未指明，故須按一次方程、二次方程兩

種情形討論，這樣確定k的值才能全面而準確.

qp

【例2】p,q為質數且是方程x213xm0的根，那么的值是（）

pq

121123125127

A．B．C．D．

22222222

（黃岡市競賽試題）

解題思路：設法求出p,q的值，由題設條件自然想到根與系數的關系

【例3】關于x,y的方程x2xy2y229的整數解(x,y)的組數為（）

A．2組B．3組C．4組D．無窮多組

解題思路：把x2xy2y229看作關于x的二次方程，由x為整數得出關于x的二次方程的

根的判別式是完全平方數，從而確定y的取值范圍，進而求出x的值.

【例4】試確定一切有理數r，使得關于x的方程rx2(r2)xr10有根且只有整數根.

（全國初中數學聯賽試題）

解題思路：因方程的類型未確定，故應分類討論.當r0時，由根與系數的關系得到關于r的兩個不等

式，消去r，先求出兩個整數根.

【例5】試求出這樣的四位數，它的前兩位數字與后兩位數字分別組成的兩位數之和的平方，恰好等

于這個四位數.

（全國初中數學聯賽試題）

解題思路：設前后兩個兩位數分別為x,y，x10,y99，則(xy)2100xy，即

x22(y50)x(y2y)0，于是將問題轉化為求一元二次方程有理根、整數根的問題.

【例6】試求出所有這樣的正整數解a，使得二次方程ax22(2a1)x4(a3)0至少有一個整

數根.（“祖沖之杯”競賽試題）

解題思路：本題有兩種解法.由于a的次數較低，可考慮“反客為主”，以a為元，以x為已知數整理成

一個關于a的一元一次方程來解答；或考慮因方程根為整數，故其判別式為平方式.

能力訓練

A級

1．已知方程x21999xa0有兩個質數根，則a_______.(江蘇省競賽題)

2．已知一元二次方程x2mxm10（m是整數）有兩個不相等的整數根，則m_________.

(四川省競賽題)

3．若關于x的一元二次方程mx24x40和x24mx4m24m50的根都是整數，則整數m

的值為__________

4．若k正整數，且一元二次方程(k1)x2pxk0的兩個根都是正整數，則kpk(ppkk)的值等

于______________.

ba

5．兩個質數a,b恰是x的整系數方程x221xt0的兩個根，則等于（）

ab

582402365

A．2213B．C．D．

214938

6．若x2mx60的兩個根都是整數，則m可取值的個數是（）

A．2個B．4個C．6個D．以上結論都不對

p

．方程2恰有兩個整數根，則的值是（）

7xpx19970x1,x2

(x11)(x21)

11

A．1B．1C．D．

22

（北京市競賽試題）

8．若a,b都是整數，方程ax2bx20080的相異兩根都是質數，則3ab的值為（）

（太原市競賽試題）

A．100B．400C．700D．1000

9．求所有的實數k，使得方程kx2(k1)x(k1)0的根都是整數.（“祖沖之”邀請賽試題）

10．已知關于x的方程4x28nx3n2和x2(n3)x2n220，是否存在這樣的n值，使第一

個方程的兩個實數根的差的平方等于第二個方程的一整數根？若存在，求出這樣的n值；若不存在，請

說明理由.（湖北省選拔賽試題）

11．若關于x的方程ax22(a3)x(a2)0至少有一個整數根，求整數a的值.

（上海市競賽試題）

p21115

12．已知p,q為整數，且是關于x的方程x2x(pq)160的兩個根，求p,q的值.

94

（全國初中數學聯賽試題）

B級

1．已知pq96，并且二次方程x2pxq0的根都是整數，則其最大根是___________.

2．若關于x的二次方程x2ax6a0只有整數根，則a_________.（美國數學邀請賽試題）

3．若關于x的方程(6k)(9k)x2(11715k)x540的解都是整數，則符合條件的整數k的值有

_________個.

4．使方程a2x2ax17a20的兩根都是整數的所有正數a的和是______________.

（上海市競賽題）

5．已知方程a2x2(3a28a)x2a213a150（其中a為非零實數）至少有一個整數根，那么

a_________.（全國初中數學聯賽試題）

6．設方程x2(m6)xm30有兩個不同的奇數根，則整數m的值為____________

（《學習報》公開賽試題）

a

7．若ab1，且有5a22001a90及9b22001b50，則的值為（）

b

9520012001

A．B．C．D．

5959

．若方程2有一個正跟，和一個負根，由以為根的二次方程為（）

8x3xm20x1x2x1,x2

A．x23xm20B．x23xm20

C．x214mxm20D．x214mxm20

9．設關于x的二次方程