PAGEPAGE1第2講用樣本估計總體1．把樣本容量為20的數據分組，分組區間與頻數如下：[10，20)，2；[20，30)，3；[30，40)，4；[40，50)，5；[50，60)，4；[60，70]，2，則在區間[10，50)上的數據的頻率是()A．0.05 B．0.25C．0.5 D．0.7解析：選D.由題知，在區間[10，50)上的數據的頻數是2＋3＋4＋5＝14，故其頻率為eq\f(14,20)＝0.7.2．(2024·廣西三市第一次聯考)在如圖所示一組數據的莖葉圖中，有一個數字被污染后模糊不清，但曾計算得該組數據的極差與中位數之和為61，則被污染的數字為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B.由題圖可知該組數據的極差為48－20＝28，則該組數據的中位數為61－28＝33，易得被污染的數字為2.3．(2024·岳陽模擬)某商場在國慶黃金周的促銷活動中，對10月2日9時到14時的銷售額進行統計，其頻率分布直方圖如圖所示，已知9時至10時的銷售額為2.5萬元，則11時到12時的銷售額為()A．6萬元 B．8萬元C．10萬元 D．12萬元解析：選C.設11時到12時的銷售額為x萬元，依題意有eq\f(2.5,x)＝eq\f(0.10,0.40)，解得x＝10.4．(2024·高考全國卷Ⅰ)某地區經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍，實現翻番．為更好地了解該地區農村的經濟收入改變狀況，統計了該地區新農村建設前后農村的經濟收入構成比例，得到如下餅圖：則下面結論中不正確的是()A．新農村建設后，種植收入削減B．新農村建設后，其他收入增加了一倍以上C．新農村建設后，養殖收入增加了一倍D．新農村建設后，養殖收入與第三產業收入的總和超過了經濟收入的一半解析：選A.法一：設建設前經濟收入為a，則建設后經濟收入為2a，則由餅圖可得建設前種植收入為0.6a，其他收入為0.04a，養殖收入為0.3a.建設后種植收入為0.74a，其他收入為0.1a，養殖收入為0.6a，養殖收入與第三產業收入的總和為1.16a，所以新農村建設后，種植收入削減是錯誤的．故選A.法二：因為0.6<0.37×2，所以新農村建設后，種植收入增加，而不是削減，所以A是錯誤的．故選A.5．某人5次上班途中所花的時間(單位：分鐘)分別為x，y，10，11，9.已知這組數據的平均數為10，方差為2，則|x－y|的值為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選D.由題意這組數據的平均數為10，方差為2，可得：x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，設x＝10＋t，y＝10－t，由(x－10)2＋(y－10)2＝8，得t2＝4，所以|x－y|＝2|t|＝4.6．(2024·湖南省五市十校聯考)某中學奧數培訓班共有14人，分為兩個小組，在一次階段測試中兩個小組成果的莖葉圖如圖所示，其中甲組學生成果的平均數是88，乙組學生成果的中位數是89，則n－m的值是________．解析：由甲組學生成果的平均數是88，可得eq\f(70＋80×3＋90×3＋（8＋4＋6＋8＋2＋m＋5）,7)＝88，解得m＝3.由乙組學生成果的中位數是89，可得n＝9，所以n－m＝6.答案：67．為了普及環保學問，增加環保意識，某高校有300名員工參與環保學問測試，按年齡分組：第1組[25，30)，第2組[30，35)，第3組[35，40)，第4組[40，45)，第5組[45，50]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．現在要從第1，3，4組中用分層抽樣的方法抽取16人，則在第4組中抽取的人數為________．解析：依據頻率分布直方圖得，第1，3，4組的頻率之比為1∶4∶3，所以用分層抽樣的方法抽取16人時，在第4組中應抽取的人數為16×eq\f(3,1＋4＋3)＝6.答案：68．(2024·成都市其次次診斷性檢測)在一個容量為5的樣本中，數據均為整數，已測出其平均數為10，但墨水污損了兩個數據，其中一個數據的十位數字1未被污損，即9，10，11，1，那么這組數據的方差s2可能的最大值是________．解析：由題意可設兩個被污損的數據分別為10＋a，b，(a，b∈Z，0≤a≤9)，則10＋a＋b＋9＋10＋11＝50，即a＋b＝10，b＝10－a，所以s2＝eq\f(1,5)[(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(10＋a－10)2＋(b－10)2]＝eq\f(1,5)[2＋a2＋(b－10)2]＝eq\f(2,5)(1＋a2)≤eq\f(2,5)×(1＋92)＝32.8.答案：32.89．某校1200名高三年級學生參與了一次數學測驗(滿分為100分)，為了分析這次數學測驗的成果，從這1200人的數學成果中隨機抽取200人的成果繪制成如下的統計表，請依據表中供應的信息解決下列問題：成果分組頻數頻率平均分[0，20)30.01516[20，40)ab32.1[40，60)250.12555[60，80)c0.574[80，100]620.3188(1)求a、b、c的值；(2)假如從這1200名學生中隨機抽取一人，試估計這名學生該次數學測驗及格的概率P(注：60分及60分以上為及格)；(3)試估計這次數學測驗的年級平均分．解：(1)由題意可得，b＝1－(0.015＋0.125＋0.5＋0.31)＝0.05，a＝200×0.05＝10，c＝200×0.5＝100.(2)依據已知，在抽出的200人的數學成果中，及格的有162人．所以P＝eq\f(162,200)＝eq\f(81,100)＝0.81.(3)這次數學測驗樣本的平均分為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(16×3＋32.1×10＋55×25＋74×100＋88×62,200)＝73，所以這次數學測驗的年級平均分大約為73分．10．(2024·高考北京卷)某高校藝術專業400名學生參與某次測評，依據男女學生人數比例，運用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于70的概率；(2)已知樣本中分數小于40的學生有5人，試估計總體中分數在區間[40，50)內的人數；(3)已知樣本中有一半男生的分數不小于70，且樣本中分數不小于70的男女生人數相等．試估計總體中男生和女生人數的比例．解：(1)依據頻率分布直方圖可知，樣本中分數不小于70的頻率為(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以樣本中分數小于70的頻率為1－0.6＝0.4.所以從總體的400名學生中隨機抽取一人，其分數小于70的概率估計為0.4.(2)依據題意，樣本中分數不小于50的頻率為(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分數在區間[40，50)內的人數為100－100×0.9－5＝5.所以總體中分數在區間[40，50)內的人數估計為400×eq\f(5,100)＝20.(3)由題意可知，樣本中分數不小于70的學生人數為(0.02＋0.04)×10×100＝60，所以樣本中分數不小于70的男生人數為60×eq\f(1,2)＝30.所以樣本中的男生人數為30×2＝60，女生人數為100－60＝40，男生和女生人數的比例為60∶40＝3∶2.所以依據分層抽樣原理，總體中男生和女生人數的比例估計為3∶2.1．(2024·長春模擬)某銷售公司為了解員工的月工資水平，從1000位員工中隨機抽取100位員工進行調查，得到如下的頻率分布直方圖：(1)試由此圖估計該公司員工的月平均工資；(2)該公司的工資發放是以員工的營銷水平為重要依據來確定的，一般認為，工資低于4500元的員工屬于學徒階段，沒有營銷閱歷，若進行營銷將會失敗；高于4500元的員工屬于成熟員工，進行營銷將會勝利．現將該樣本依據“學徒階段工資”“成熟員工工資”分成兩層，進行分層抽樣，從中抽出5人，在這5人中任選2人進行營銷活動．活動中，每位員工若營銷勝利，將為公司賺得3萬元，否則公司將損失1萬元．試問在此次競賽中公司收入多少萬元的可能性最大？解：(1)估計該公司員工的月平均工資為0.0001×1000×2000＋0.0001×1000×3000＋0.0002×1000×4000＋0.0003×1000×5000＋0.0002×1000×6000＋0.0001×1000×7000＝4700(元)．(2)抽取比為eq\f(5,100)＝eq\f(1,20)，從工資在[1500，4500)內的員工中抽出100×(0.1＋0.1＋0.2)×eq\f(1,20)＝2人，設這兩位員工分別為1，2；從工資在[4500，7500]內的員工中抽出100×(0.3＋0.2＋0.1)×eq\f(1,20)＝3人，設這三位員工分別為A，B，C.從中任選2人，共有以下10種不同的等可能結果：(1，2)，(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)．兩人營銷都勝利，公司收入6萬元，有以下3種不同的等可能結果：(A，B)，(A，C)，(B，C)，概率為eq\f(3,10)；其中一人營銷勝利，一人營銷失敗，公司收入2萬元，有以下6種不同的等可能結果：(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)，概率為eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)；兩人營銷都失敗，公司收入－2萬元，即損失2萬元，有1種結果：(1，2)，概率為eq\f(1,10).因為eq\f(1,10)<eq\f(3,10)<eq\f(3,5)，所以公司收入2萬元的可能性最大．2．(2024·河北三市其次次聯考)某高三畢業班甲、乙兩名同學在連續的8次數學周練中，統計解答題失分的莖葉圖如圖：(1)比較這兩名同學8次周練解答題失分的平均數和方差的大小，并推斷哪位同學做解答題相對穩定些；(2)以上述數據統計甲、乙兩名同學失分超過15分的頻率作為概率，假設甲、乙兩名同學在同一次周練中失分多少互不影響，預料在接下來的2次周練中，甲、乙兩名同學失分均超過15分的次數X的分布列和均值．解：(1)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,8)(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,8)(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.甲、乙兩名同學解答題失分的平均數相等；甲同學解答題失分的方差比乙同學解答題失分的方差大．所以乙同學做解答題相對穩定些．(2)依據統計結果，在一次周練中，甲和乙失分超過15分的概率分