PAGE1-第1講概率[2024考向導航]考點掃描三年考情考向預料2024202420241．古典概型第6題第6題江蘇高考近三年對概率的考查有兩年是古典概型，一年是幾何概型，難度以中低檔題為主，試題主要是教材習題的改編．2．幾何概型第7題1．古典概型古典概型有兩個特點：①試驗中全部可能出現的基本領件只有有限個；②每個基本領件出現的可能性相等．推斷滿意以上兩個特征，便可用古典概型概率公式P＝eq\f(m,n)求解．其中，n是基本領件總數，m是所求事務所含的基本領件數．2．幾何概型幾何概型是另一種重要的概率模型，它的兩個基本特點是：①試驗中全部可能出現的結果基本領件有無限多個；②每個基本領件的可能性相等．古典概型與幾何概型中基本領件發生都是等可能的，但古典概型要求基本領件有有限個，幾何概型要求基本領件有無限個．幾何概型中事務A的概率計算公式是：P(A)＝eq\f(構成事務A的區域長度（面積或體積）,試驗的全部結果構成的區域長度（面積或體積）)．3．幾何概型與古典概型的區分是幾何概型試驗中的可能結果不是有限個，它的特點是試驗結果在一個區域內勻稱分布，故隨機事務的概率大小與隨機事務所在區域的形態位置無關，只與該區域的大小有關．幾何概型中，線段的端點、圖形的邊界是否包含在事務之內不影響所求結果．古典概型[典型例題](1)(2024·高考江蘇卷)從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參與志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是________．(2)(2024·高考江蘇卷)某愛好小組有2名男生和3名女生，現從中任選2名學生去參與活動，則恰好選中2名女生的概率為________．【解析】(1)記3名男同學為A，B，C，2名女同學為a，b，則從中任選2名同學的狀況有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10種，其中至少有1名女同學的狀況有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共7種，故所求概率為eq\f(7,10)．(2)記2名男生分別為A，B，3名女生分別為a，b，c，則從中任選2名學生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10種狀況，其中恰好選中2名女生有ab，ac，bc，共3種狀況，故所求概率為eq\f(3,10)．【答案】(1)eq\f(7,10)(2)eq\f(3,10)eq\a\vs4\al()(1)古典概型計算三步曲第一，本試驗是不是等可能的；其次，本試驗的基本領件有多少個；第三，事務A是什么，它包含的基本領件有多少個．(2)確定基本領件的方法①當基本領件總數較少時，可列舉計算；②列表法、樹狀圖法．(3)較困難事務的概率可敏捷運用互斥事務、對立事務、相互獨立事務的概率公式簡化運算．[對點訓練]1．(2024·蘇北三市高三模擬)現有三張識字卡片，分別寫有“中”“國”“夢”這三個字．將這三張卡片隨機排序，則能組成“中國夢”的概率是________．[解析]三張卡片隨機排序的基本領件為(中，國，夢)，(中，夢，國)，(國，中，夢)，(國，夢，中)，(夢，中，國)，(夢，國，中)，共6個，而組成“中國夢”的事務有1個，所以由古典概型的概率計算公式可得所求概率為eq\f(1,6)．[答案]eq\f(1,6)2．從1，2，3，6這4個數中一次隨機地取2個數，則所取2個數的乘積為6的概率是________．[解析]取兩個數的全部狀況有：(1，2)，(1，3)，(1，6)，(2，3)，(2，6)，(3，6)，共6種．乘積為6的狀況有：(1，6)，(2，3)，共2種．故所求事務的概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)．[答案]eq\f(1,3)幾何概型[典型例題](1)記函數f(x)＝eq\r(6＋x－x2)的定義域為D．在區間[－4，5]上隨機取一個數x，則x∈D的概率是________．(2)如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以OA，OB為直徑作兩個半圓．在扇形OAB內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是________．【解析】(1)由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，則D＝[－2，3]，則所求概率為eq\f(3－（－2）,5－（－4）)＝eq\f(5,9)．(2)法一：設分別以OA，OB為直徑的兩個半圓交于點C，OA的中點為D，如圖，連結OC，DC．不妨令OA＝OB＝2，則OD＝DA＝DC＝1．在以OA為直徑的半圓中，空白部分的面積S1＝eq\f(π,4)＋eq\f(1,2)×1×1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(1,2)×1×1))＝1，所以整體圖形中空白部分的面積S2＝2．又因為S扇形OAB＝eq\f(1,4)×π×22＝π，所以陰影部分的面積為S3＝π－2．所以P＝eq\f(π－2,π)＝1－eq\f(2,π)．法二：連結AB，設分別以OA，OB為直徑的兩個半圓交于點C，令OA＝2．由題意知C∈AB且S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC，所以S空白＝S△OAB＝eq\f(1,2)×2×2＝2．又因為S扇形OAB＝eq\f(1,4)×π×22＝π，所以S陰影＝π－2．所以P＝eq\f(S陰影,S扇形OAB)＝eq\f(π－2,π)＝1－eq\f(2,π)．【答案】(1)eq\f(5,9)(2)1－eq\f(2,π)eq\a\vs4\al()數形結合為幾何概型問題的解決供應了簡捷直觀的方法．用圖解題的關鍵：用圖形精確表示出試驗的全部結果所構成的區域，由題意將已知條件轉化為事務A滿意的不等式，在圖形中畫出事務A發生的區域，通用公式：P(A)＝eq\f(構成事務A的區域的測度,試驗的全部結果所組成的區域的測度)．[對點訓練]3．(2024·南京模擬)在圓x2＋y2＝4上任取一點，則該點到直線x＋y－2eq\r(2)＝0的距離d∈[0，1]的概率為________．[解析]圓x2＋y2＝4的圓心為O(0，0)，半徑r＝2，所以圓心O到直線x＋y－2eq\r(2)＝0的距離為d1＝eq\f(|0＋0－2\r(2)|,\r(12＋12))＝2＝r，所以直線x＋y－2eq\r(2)＝0與圓O相切．不妨設圓x2＋y2＝4上到直線x＋y－2eq\r(2)＝0的距離d∈[0，1]的全部點都在eq\o(AB,\s\up8(︵))上，其中直線AB與直線x＋y－2eq\r(2)＝0平行，直線AB與直線x＋y－2eq\r(2)＝0的距離為1，所以圓心到直線AB的距離為r－1＝1，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)∠AOB))＝eq\f(1,2)，所以eq\f(1,2)∠AOB＝eq\f(π,3)，得∠AOB＝eq\f(2π,3)，所以所求的概率P＝eq\f(\f(2,3)π·2,2π·2)＝eq\f(1,3)．[答案]eq\f(1,3)1．(2024·蘇北四市高三模擬)若隨機支配甲、乙、丙三人在3天節日中值班，每人值班1天，則甲與丙都不在第一天值班的概率為________．[解析]3人值班的狀況有(甲，乙，丙)、(甲，丙，乙)、(乙，甲，丙)、(乙，丙，甲)、(丙，甲，乙)、(丙，乙，甲)，共6種，其中甲與丙都不在第一天值班的狀況有(乙，甲，丙)、(乙，丙，甲)，共2種，故所求的概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)．[答案]eq\f(1,3)2．(2024·無錫市高三模擬)從1，2，3，4這四個數中一次隨機取兩個數，則取出的數中一個是奇數一個是偶數的概率為________．[解析]從1，2，3，4這四個數中一次隨機取兩個數有以下6種可能：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，取出的數中一個是奇數一個是偶數有4種可能：(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，故由古典概型的概率計算公式可得取出的數中一個是奇數一個是偶數的概率為eq\f(2,3)．[答案]eq\f(2,3)3．(2024·無錫期末)將2本不同的數學書和1本語文書在書架上隨機排成一行，則2本數學書相鄰的概率為________．[解析]記兩本數學書為1，2，1本語文書為3，則將它們排成一行的全部基本領件為(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，共6個基本領件，其中2本數學書相鄰的基本領件有(1，2，3)，(2，1，3)，(3，1，2)，(3，2，1)，共4個基本領件，故所求的概率為P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)．[答案]eq\f(2,3)4．(2024·蘇州市高三調研測試)一架飛機向目標投彈，擊毀目標的概率為0．2，目標未受損的概率為0．4，則目標受損但未完全擊毀的概率為________．[解析]目標受損但未完全擊毀的概率為1－(0．2＋0．4)＝0．4[答案]0．45．(2024·江蘇省高考命題探討專家原創卷(二))某飲品店供應A，B兩種口味的飲料，且每種飲料均有大杯、中杯、小杯三種．甲、乙兩人隨機各點一杯飲料，且甲只點大杯，乙點中杯或小杯，則甲和乙恰好點了同一種口味飲料的大杯和小杯的概率為________．[解析]“甲、乙兩人隨機各點一杯飲料，且甲只點大杯，乙點中杯或小杯”共有8種等可能基本領件，分別為(A大，A中)，(A大，A小)，(A大，B中)，(A大，B小)，(B大，A中)，(B大，A小)，(B大，B中)，(B大，B小)，其中“甲和乙恰好點了同一種口味飲料的大杯和小杯”包括2種狀況為(A大，A小)，(B大，B小)，所以所求概率P＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4)．[答案]eq\f(1,4)6．(2024·南通模擬)同時拋擲兩枚質地勻稱的骰子(一種各面上分別標有1，2，3，4，5，6個點的正方體玩具)，視察向上的點數，則兩個點數之積不小于4的概率為________．[解析]基本領件有36種，其中兩個點數之積小于4的有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(3，1)，共計5種，故兩個點數之積小于4的概率為eq\f(5,36)，故不小于4的概率為1－eq\f(5,36)＝eq\f(31,36)．[答案]eq\f(31,36)7．(2024·南京模擬)如圖，六邊形ABCDEF是一個正六邊形，若在正六邊形內任取一點，則該點恰好在圖中陰影部分的概率是________．[解析]設正六邊形的中心為點O，BD與AC交于點G，BC＝1，則BG＝CG，∠BGC＝120°，在△BCG中，由余弦定理得1＝BG2＋BG2－2BG2cos120°，得BG＝eq\f(\r(3),3)，所以S△BCG＝eq\f(1,2)×BG×BG×sin120°＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),3)×eq\f(\r(3),3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12)，因為S六邊形ABCDEF＝S△BOC×6＝eq\f(1,2)×1×1×sin60°×6＝eq\f(3\r(3),2)，所以該點恰好在圖中陰影部分的概率是1－eq\f(6S△BCG,S正六邊形ABCDEF)＝eq\f(2,3)．[答案]eq\f(2,3)8．(2024·江蘇省高考名校聯考信息卷(六))在區間(0，3)上隨機取一個數a，使得函數y＝ax(a>0)是增函數的概率為________．[解析]要使函數y＝ax(a>0)是增函數，則需a>1，又a∈(0，3)，所以所求概率為eq\f(3－1,3)＝eq\f(2,3)．[答案]eq\f(2,3)9．現有10個數，它們能構成一個以1為首項，－3為公比的等比數列，若從這10個數中隨機抽取一個數，則它小于8的概率是________．[解析]由題意得an＝(－3)n－1，易知前10項中奇數項為正，偶數項為負，所以小于8的項為第一項和偶數項，共6項，即6個數，所以P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)．[答案]eq\f(3,5)10．(2024·江蘇名校高三入學摸底)已知集合A＝{x|x＝sineq\f(nπ,4)，n∈N*，1≤n≤8}，若從集合A中任取一個元素x，則滿意x2≤eq\f(1,2)的概率為________．[解析]由已知得，集合A＝{x|x＝sineq\f(nπ,4)，n∈N*，1≤n≤8}＝{0，1，eq\f(\r(2),2)，－1，－eq\f(\r(2),2)}，由x2≤eq\f(1,2)解得－eq\f(\r(2),2)≤x≤eq\f(\r(2),2)，集合A中滿意x2≤eq\f(1,2)的元素有0，eq\f(\r(2),2)，－eq\f(\r(2),2)，則由古典概型的概率計算公式可知P＝eq\f(3,5)．[答案]eq\f(3,5)11．袋中裝有大小相同且形態一樣的四個球，四個球上分別標有“2”“3”“4”“6”這四個數．現從中隨機選取三個球，則所選的三個球上的數恰好能構成一個等差數列的概率是________．[解析]從四個不同的數中選三個的狀況有(2，3，4)，(2，3，6)，(2，4，6)，(3，4，6)，共四種，滿意成等差數列的狀況有(2，3，4)和(2，4，6)，共兩種．故所求概率為eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)．[答案]eq\f(1,2)12．(2024·江蘇高考信息卷)設連續拋擲兩次骰子得到的點數分別為x，y，若平面對量a＝(x，y)，b＝(－2，1)，則|a|>|b|的概率為________．[解析]法一：由題意知，x∈{1，2，3，4，5，6}，y∈{1，2，3，4，5，6}，故(x，y)全部可能的取法共36種，列表如下：其中，滿意|a|>|b|的(x，y)的取法共有33種(表中斜線部分)，則所求概率P＝eq\f(33,36)＝eq\f(11,12)．法二：由題意知，x∈{1，2，3，4，5，6}，y∈{1，2，3，4，5，6}，故(x，y)全部可能的取法共36種．若|a|≤|b|，即x2＋y2≤5，所以滿意|a|≤|b|的(x，y)的取法共有3種：(1，1)、(1，2)、(2，1)，故|a|>|b|的概率P＝1－eq\f(3,36)＝eq\f(11,12)．[答案]eq\f(11,12)13．(2024·武漢武昌區調研)已知函數f(x)＝eq\f(1,3)