活頁作業(八)直線與平面的位置關系及公理3、公理4一、選擇題1．a，b，c為三條不重合的直線，如果a⊥c，b⊥c，則a，b的位置關系必定是()A．相交 B．平行C．異面 D．以上答案都不對解析：垂直于同一條直線的兩條直線可能平行，可能相交，也可能異面．答案：D2．已知一對等角，若一個角的一邊和另一個角的一邊平行，則它的另一邊()A．一定平行 B．一定不平行C．一定相交 D．不一定平行解析：如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1∠D1A1B1＝∠DAB，AD∥A1D1，AB∥A1B1但∠D1A1B1＝∠B1C1C，A1D1∥B1C1，A1B答案：D3．下列命題中，正確的結論有()①如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；②如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；③如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補；④如果兩條直線同平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：①錯，符合條件的兩角相等或互補；②符合等角定理；③錯，可能不相等也不互補；④是公理3.故②④正確．答案：B4．已知如圖，在三棱錐A－BCD中，M、N分別為AB、CD的中點，則下列結論正確的是()A．MN≥eq\f(1,2)(AC＋BD) B．MN≤eq\f(1,2)(AC＋BD)C．MN＝eq\f(1,2)(AC＋BD) D．MN<eq\f(1,2)(AC＋BD)解析：如圖，取AD的中點P，連接NP、MP.∵M、N也分別為AB、CD的中點，∴NP綊eq\f(1,2)AC，MP綊eq\f(1,2)BD，∴在△MPN中，MP＋NP＝eq\f(1,2)(AC＋BD)>MN.答案：D二、填空題5．若點A∈面α，點B∈α，則直線AB與面α內的直線的位置關系可能有________．解析：當面α內的直線過點A時，AB與它相交，當面α內的直線不過點A時，AB與它異面．答案：相交或異面6．分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關系是________．解析：(1)圖：分別與異面直線a，b平行的兩條直線c，d是相交關系．(2)圖：分別與異面直線a，b平行的兩條直線c，d是異面關系．(1)(2)答案：異面或相交三、解答題7．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，面對角線B1D1與長方體的六個面之間的位置關系如何解：∵B1∈平面A1C1，D1∈平面A1C∴B1D1?平面A1C1∵B1∈平面BC1，D1?平面BC1，∴直線B1D1∩平面BC1＝B1.∴直線B1D1與平面BC1相交．同理直線B1D1與平面AB1、平面AD1、平面CD1都相交．在平行四邊形B1BDD1中，B1D1∥BD，B1D1與BD無公共點，∴B1D1與平面AC無公共點，∴B1D1∥平面AC.8．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1，分別是棱AD，AB，B1C1，C1D1的中點，求證：∠EA1F＝∠E1證明：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，取A1B1的中點M，連接BM，F1M，由題意得BF＝A1M＝eq\f(1,2)AB.又BF∥A1M，∴四邊形A1FBM∴A1F∥BM又F1，M分別是C1D1，A1B1的中點，∴F1M綊C1B1，而C1B1綊BC，∴F1M綊∴四邊形F1MBC是平行四邊形，∴MB∥F1C又BM∥A1F，∴A1F∥F1C.同理可得A1E∥∴∠EA1F與∠E1CF1由圖可知∠EA1F與∠E1CF1∴∠EA1F＝∠E1CF1一、選擇題1．如圖所示，在三棱錐S—MNP中，E，F，G，H分別是棱SN，SP，MN，MP的中點，則EF與HG的位置關系是()A．平行 B．相交C．異面 D．平行或異面解析：∵E，F分別為SN和SP的中點，∴EF∥PN.又∵G，H分別為MN和MP的中點，∴GH∥PN.由公理3知，EF∥GH.答案：A2．下列命題：①如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與平面內的任意一條直線平行；②如果一條直線與一個平面相交，那么這條直線與平面內的無數條直線異面；③過平面外一點有且只有一條直線與這個平面平行；④一條直線上有兩點到一個平面的距離相等，則這條直線平行于這個平面．其中正確的個數為()A．0 B．1C．2 D．3解析：①錯．直線與平面平行，只是說明直線與平面沒有公共點，也就是直線與平面內的直線沒有公共點．沒有公共點的兩條直線除了平行之外，還有可能異面，因此命題①是錯誤的；②對．③錯．過平面外一點有無數條直線與已知平面平行；④錯．直線還可以與平面相交．答案：B二、填空題3．設平面α與平面β相交于l，直線a?α，直線b?β，a∩b＝M，則M________l.解析：因為a∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.又因為α∩β＝l，所以M∈l.答案：∈4．如圖所示的各正方體中，P、Q、R、S分別是所在棱的中點，則這四個點共面的圖形是________．解析：①②③中四點共面，④不共面．答案：①②③三、解答題5．求證：兩條平行線中的一條與已知平面相交，則另一條也與該平面相交．已知：直線a∥b，a∩平面α＝P，如圖．求證：直線b與平面α相交．證明：∵a∥b，∴a和b確定一平面，設為β.∵a∩α＝P，∴平面α和平面β相交于過P點的直線，設為l.∵在平面β內l與兩條平行直線a、b中的一條直線a相交，∴l必與b相交于Q，即b∩l＝Q.又∵b不在平面α內(若b在α內，由a∥b，得a∥α，與a與α相交矛盾)，∴直線b和平面α相交．6．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點M，N，E，F分別是棱CD，AB，DD1，AA1上的點，若MN與EF交于點Q，求證：D，A，Q三點共線證明：∵MN∩EF＝Q.∴Q∈直線MN，Q∈直線EF，又∵M∈直線CD